2024年高考物理一輪復習講義（新人教版）：第五章萬有引力與宇宙航行

第五章萬有引力與宇宙航行

2022?湖南卷.T82022?浙江1月選考

開普勒行星運動定律2021?全國甲卷?T182021?天津卷?T5

2021?北京卷?T62021?福建卷?T8

2022?全國乙卷?T142022?遼寧卷?T9

考2022?河北卷?T22022?廣東卷?T22021?全國

情乙卷T182021?山東卷?T52020?全國卷

萬有引力定律及應用

分IT152020?全國卷IIT152020?山東

析卷T72020?浙江7月選考-T72018?全國卷

IIT16

2022.湖北卷.T22022?山東卷?T62021?湖南

人造衛(wèi)星宇宙速度

卷?T72020?全國卷HLT162020?天津卷T2

雙星模型2018?全國卷I-T20

生活實踐類地球不同緯度重力加速度的比較

開普勒第三定律的應用，利用“重力加速度

試題法”“環(huán)繞法”計算天體的質(zhì)量和密度，衛(wèi)

情境學習探窕類星運動參量的分析與計算，人造衛(wèi)星，宇宙

速度，天體的“追及”問題，衛(wèi)星的變軌和

對接問題，雙星或多星模型

第1講萬有引力定律及應用

【目標要求】1.理解開普勒行星運動定律和萬有引力定律，并會用來解決相關問題2掌握計算

天體質(zhì)量和密度的方法.

考點一開普勒行星運動定律

■梳理必備知識

定律內(nèi)容圖示或公式

所有行星繞太陽運動的軌道

開普勒第一定律（軌道定律）都是橢圓,太陽處在橢圓的一

空陽L少

個焦點上

對任意一個行星來說，它與太O

開普勒第二定律（面積定律）陽的連線在相等的時間內(nèi)掃

過的面也相等

所有行星軌道的半長軸的三

了=落2是一個與仃星

開普勒第三定律（周期定律）次之跟它的公轉(zhuǎn)周期的三次

方的比都相等無關的常量

-判斷正誤二

1.圍繞同一天體運動的不同行星橢圓枇道不一樣，但都有一個共同的焦點.（V）

2.行星在橢圓軌道上運行速率是變化的，離太陽越遠，運行速率越大.（X）

3.不同就道上的行星與太陽的連線在相等時間內(nèi)掃過相等的面積.（X）

■提升關鍵能力

1.行星繞太陽運動的軌道通常按圓軌道處理.

2.由開普勒第二定律可得駟］門=和2/2，品八7?1=,公”2，解得斌=會，即行星在兩個位置

的速度大小之比與到太陽的距離成反比，近日點速度最大，遠日點速度最小.

3.開普勒第三定律報=&中，攵值只與中心天體的質(zhì)量有關，不同的中心天體女值不同，且

該定律只能用在同一中心天體的兩星體之間.

m1］某行星沿橢圓軌道繞太陽運行，如圖所示，在這顆行星的軌道上有4、b、C、d四個

點〃、C在長軸上，〃、d在短軸上.若該行星運動周期為T,則該行星（）

A.從〃到人的運動時間等于從。到d的運動時間

B.從d經(jīng)a到8的運動時間等于從b經(jīng)c到d的運動時間

C.。到。的時間加彳

D.c到d的時間加＞，

答案D

解析據(jù)開普勒第二定律可知，行星在近日點的速度最大，在遠日點的速度最小，行星由4

到運動時的平均速率大于由c到〃運動時的平均速率，而弧長ab等于孤長cd,故從“到。

的運動時間小于從c到d的運動時間，同理可知，從d經(jīng)a到b的運動時間小于從b經(jīng)c到

d的運動時間，A、B錯誤：從“經(jīng)2到c的時間和從c經(jīng)d到a的時間均*,可得/?z?=/（/?＜

T

版=3＞不C錯誤,D正確.

【例2】如圖所示，1、2分別是A、8兩顆衛(wèi)星繞地球運行的軌道，I為圓軌道，2為橢圓軌

道，橢圓軌道的長軸（近地點和遠地點間的距離）是圓軌道半徑的4倍?.。點為橢圓軌道的近

地點，M點為橢圓軌道的遠地點，〃是衛(wèi)星A的周期.則下列說法正確的是（）

P

M

A.B衛(wèi)星在由近地點向遠地點運動過程中受到地球引力將先增大后減小

B.地心與衛(wèi)星B的連線右血入時間內(nèi)掃過的面積為橢圓面積

C.衛(wèi)星8的周期是衛(wèi)星人的周期的8倍

D.1軌道圓心與2軌道的一個焦點重合

答案D

解析根據(jù)萬有引力定律有F=dyL,B衛(wèi)星在由近地點向遠地點運動過程中受到地球引力

逐漸減小，A錯誤；根據(jù)開普勒第三定律得第=號#，解得徐=2啦所以地心與衛(wèi)星3

的連線在小。時間內(nèi)掃過的面積小于桶圓面積，B、C錯誤：1軌道圓心在地心,2軌道的一

個焦點也在地心，所以二者重合，D正確.

考點二萬有引力定律

■梳理必備知識

1.內(nèi)容

自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質(zhì)量

必和利2的乘積成正比、與它們之間距離，?的二次方成反比.

2.表達式

/7=畔與G為引力常量，通常取G=6.67X10"N-m2/kg2,由英國物理學家卡文迪什測定.

3.適用條件

⑴公式適用于質(zhì)點間的相互作用,當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視

為質(zhì)點.

⑵質(zhì)量分布均勻的球體可視為質(zhì)點，「是兩球心間的距離.

-判斷正誤--------------------------------------------------------------------------

1.只有天體之間才存在萬有引力.（X）

2.只要知道兩個物體的質(zhì)量和兩個物體之間的距離，就可以由尸=d警計算物體間的萬有

引力.（X）

3.地面上的物體所受地球的萬有引力方向一定指向地心.（J）

4.兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大.（X）

■提升關鍵能力

1.星體表面及上空的重力加速度（以地球為例）

⑴地球表面附近的重力加速度大小g（不考慮地球自轉(zhuǎn)）：有〃吆=辱，得8=臂.

（2）地球上空的重力加速度大小g'

地球上空距離地球中心「=寵+力處的重力加速度大小為屋，則有用屋=潞%,得/=

GM火（/?+力）2

（R+種所以g，-R2

2.萬有引力的“兩點理解”和“兩個推論”

⑴兩點理解

①兩物體相互作用的萬有引力是一對作用力和反作用力.

②地球上（兩極除外）的物體受到的重力只是萬有引力的一個分力.

（2）星體內(nèi)部萬有引力的兩個推論

①推論1：在勻質(zhì)球殼的空腔內(nèi)任意位置處，質(zhì)點受到球殼的各部分萬有引力的合力為零,

即E產(chǎn)引=0.

②推論2：在勻質(zhì)球體內(nèi)部距離球心〃處的質(zhì)點⑺）受到的萬有引力等于球體內(nèi)半徑為，的同

心球體（M'）對它的萬有引力，即尸=

考向I萬有引力定律的理解和簡單計算

【例3】（2020.全國卷IJ5］火星的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的七,半徑約為地球半徑的斗則同一物

體在火星表面與在地球表面受到的引力的比值約為（）

A.0.2B.0.4C.2.0D.2.5

答案B

解析萬有引力表達式為尸=用空\則同一物體在火星表面與在地球表面受到的引力的比

.,FKi\及，地~.

值為工一=~--~=0.4,選項B正確.

考向2挖補法求解萬有引力

r例4］有一質(zhì)量為M、半徑為R的密度均勻球體，在距離球心。為3R的地方有一質(zhì)量為

的質(zhì)點.先從M中挖去一半徑為亨的球體，如圖所示，己知引力常量為G,則剩余部分對質(zhì)

點的萬有引力大小為（）

答案C

解析半徑為R且密度均句的完整球體對距離球心O為3R且質(zhì)量為m的質(zhì)點的萬有引力大

小為F=G^^=G^^,挖去部分的質(zhì)量為M'=-^―X^7t（7）3=,挖去部分對質(zhì)點的萬

有引力大小為Fi=G）、f=G------j—=表。^￡則剩余部分對質(zhì)點的萬有引力大小為Fi

（2R+］R）

=F—Fi,解得尸像,

2=故選C.

考向3重力和萬有引力的關系

r例5】某行星為質(zhì)量分布均勻的球體，半徑為大質(zhì)量為M.科研人員研究同一物體在該行

星上的重力時，發(fā)現(xiàn)物體在“兩極”處的重力為“赤道”上某處重力的1.1倍.已知引力常

量為G,則該行星自轉(zhuǎn)的角速度為()

答案B

解析設赤道處的重力加速度大小為g,物體在兩極時萬有引力大小等于重力大小，即

=1.1〃氓,在赤道時萬有引力大小等于重力和自轉(zhuǎn)所需的向心力的合力大小，即瑞^=叫十

mco2R,由以上兩式解得該行星自轉(zhuǎn)的角速度為口=點條，故選B.

規(guī)律總結(jié)萬有引力與重力的關系

地球?qū)ξ矬w的萬有引力戶表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg,二是提供物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心

力尸向，如圖所示.

⑴在赤道上：

(J^T=mgi+morR.

(2)在兩極上：G華=〃?go.

(3)在一般位置：萬有弓I力等于重力mg與向心力〃詢的矢量和.

越靠近兩極，向心力越小，g值越大.由于物體隨地球0轉(zhuǎn)所需的向心力較小，常認為萬有

引力近似等于重力，即爺坦=〃R

考向4地球表面下重力加速度的計算

【例6】(2023?湖北省模擬)中國科學院沈陽自動化研究所主持研制的“海斗一號”在無纜自主

模式下刷新了中國下潛深度紀錄，最大下潛深度超過了10000米，首次實現(xiàn)了無纜無人潛水

器萬米坐底并連續(xù)拍攝高清視頻影像.若把地球看成質(zhì)量分布均勻的球體，且球殼對球內(nèi)任

一質(zhì)點的萬有引力為零，忽略地球的自轉(zhuǎn)，則下列關于“海斗一號”下潛所在處的重力加速

度大小g和下潛深度h的關系圖像可能正確的是（）

答案D

解析設地球的質(zhì)量為M,地球的半徑為R“海斗一號”下潛/?深度后，以地心為球心、

以〃一〃為半徑的球體的質(zhì)量為,則根據(jù)密度相等有盧=5-----------由于球殼對球內(nèi)

鏟網(wǎng)鏟（犬―〃）3

任一質(zhì)點的萬有引力為零，根據(jù)萬有引力定律有（端聯(lián)立以上兩式并整理可得g

=季（/?一〃），由該表達式可知D正確，A、B、C錯誤.

考點三天體質(zhì)量和密度的計算

1.利用天體表面重力加速度

已知天體表面的重力加速度g和天體半徑R.

（1）由。筆=〃*，得天體質(zhì)量M=符.

MM3女

天體密度〃V-4

（2）-4nGR-

3

2.利用運行天體

已知衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T.

.Mtn4兀2

（1）由G~p~=nr^r,得M=彳產(chǎn).

(2)若已知天體的半徑處則天體的密度產(chǎn)*產(chǎn)=潦泉.

(3)若衛(wèi)星繞天體表面運行，可認為軌道半徑，等于天體半徑R,則天體密度p=懸，故只要

測出衛(wèi)星環(huán)繞天體表面運動的周期T,就可估算出中心天體的密度.

考向1利用“重力加速度法”計算天體質(zhì)量和密度

m7J宇航員在月球表面將一片羽毛和一個鐵錘從同一高度由靜止同時釋放，二者幾乎同時

落地.若羽毛和鐵錘是從高度為人處F落，經(jīng)時間/落到月球表面.已知引力常量為G,月

球的半徑為R(不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響).求：

(1)月球表面的自由落體加速度大小g月；

(2)月球的質(zhì)量M；

(3)月球的密度p.

答案(1泮⑵然

解析(1)月球表面附近的物體做自由落體運動，有人=上月尸

月球表面的自由落體加速度大小g月=生

(2)不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，有染=〃%月，得月球的質(zhì)量加=彈

2h群

(3)月球的密度〃=§=不二=五熟產(chǎn)

考向2利用“環(huán)繞法”計算天體質(zhì)量和密度

【例8】(2023?四川內(nèi)江市模擬)登月艙在離月球表面112km的高空圓軌道上，環(huán)繞月球做勻

速圓周運動，運動周期為120.5min,月球的半徑約為1.7X1。3km,只考慮月球?qū)Φ窃屡摰?/p>

作用力，引力常量G=6.67X10-“Nm2/kg2,則月球質(zhì)量約為()

A.6.7X1022kgB.6.7X1023kg

C.6.7X1024kgD.6.7XIO25kg

答案A

解析由題意可知，力=112km=1.12X105m,7=120.5min=7230s,/?=1.7X1O3km=

1.7X106m,設月球的質(zhì)量為M,登月艙的質(zhì)量為〃?，由月球?qū)Φ窃屡摰娜f有引力提供向心

力，可得G瑞；尸亭:R+/?）'可有"=也黠"，代入數(shù)據(jù)解得MQ6.7X1（）22kg,A

正確，B、C、D錯誤.

【例91（多選）（2023?黑龍江省鶴崗一中高三檢測）“嫦娥五號”探測器繞月球做勻速圓周運動

時，軌道半徑為，，速度大小為。.已知月球半徑為R,引力常量為G,忽略月球自轉(zhuǎn)的影響.下

列選項正確的是（）

A.月球平均密度為3t赍r5

B.月球平均密度為湍"

C.月球表面重力加速度大小需

D.月球表面重力加速度大小為富

答案BD

解析由萬有引力提供向心力，可得屋轡=〃”，解得用=味，月球體積丫，所以

月球平均密度為〃=爺=蓋全，故A錯誤，B正確；在月球表面，有哪1=〃陪，解得月

球表面重力加速度大小為§=筆^=券，故C錯誤，D正確.

課時精練

用基礎落實練

1.在萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)歷程中，下列敘述符合史實的是（）

A.開普勒通過分析第谷的天文觀測數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)了萬有引力定律

B.丹麥天文學家第谷經(jīng)過多年的天文觀測和記錄，提出了“日心說”的觀點

C.卡文迪什通過實驗推算出來引力常量G的值，被譽為第一個能“稱量地球質(zhì)量”的人

D.伽利略利用“地一月系統(tǒng)”驗證了萬有引力定律的正確性，使得萬有引力定律得到了推

廣和更廣泛的應用

答案C

解析萬有引力定律是由牛頓發(fā)現(xiàn)的，故A錯誤；日心說是哥白尼提出的，故B錯誤：卡文

辿什通過扭稱裝置測出了引力常量，由黃金代換式可得地球質(zhì)量，故C正確；牛頓利用“地

一月系統(tǒng)”險證了萬有引力定律的正確性，故D錯誤.

2.火星和木星沿各自的楙圓軌道繞太陽運行，根據(jù)開普勒行星運動定律可知（）

A.太陽位于木星運行軌道的中心

B.火星和木星繞太陽運行速度的大小始終相等

C.火星與木星公轉(zhuǎn)周期之比的平方等于它們軌道半長軸之比的立方

D.相等時間內(nèi)，火星與太陽連線掃過的面積等于木星與太陽連線掃過的面積

答案C

解析由開普勒第一定律（軌道定律）可知，太陽位于木星運行橢圓就道的一個焦點上，故A

錯誤；火星和木星繞太陽運行的軌道不同，運行速度的大小不可能始終相等，故B錯誤；根

據(jù)開普勒第三定律（周期定律）知，太陽系中所有行星就道的半長軸的三次方與它的公轉(zhuǎn)周期

的平方的比值是同一個常數(shù)，故C正確；對于太陽系某一個行星來說，其與太陽連線在相等

的時間內(nèi)掃過的面積相等，不同行星在相等時間內(nèi)掃過的面積不相等，故D錯誤.

3.（2023?河南省孟津縣一中檢測）國際小行星中心于2021年10月8日確認公布了中國科學院

紫金山天文臺發(fā)現(xiàn)的一顆新彗星，命名為C/2021S4.這顆彗星與太陽的最近距禽約為7AU,

繞太陽轉(zhuǎn)一圈約需要1000年，假設地球繞太陽做圓周運動，地球與太陽的距離為1AU,引

力常量已知.則（）

A.由以上數(shù)據(jù)不可估算太陽的質(zhì)量

B.由以上數(shù)據(jù)可估算太陽的密度

C.彗星由近日點向遠日點運動時機械能增大

D.該彗星與太陽的最遠距離約為193AU

答案D

解析地球環(huán)繞太陽做圓周運動時，由萬有引力提供向心力有G^=〃聿；，解得M=等,

由于地球的軌道半徑和公轉(zhuǎn)周期及引力常量G已知.則可估算中心天體（太陽）的質(zhì)量.A錯

誤；由于太陽的半徑未知，則太陽的密度不能估算，B錯誤；彗星由近日點向遠日點運動的

過程中，只有太陽的引力做功，則機械能守恒，C錯誤；由開普勒第三定律可得5=窄，代

入數(shù)據(jù)得彗星的半長軸為a=100AU,所以音星與太陽的最遠距離約為2?-7AU=193AU,

D正確.

4.（多選）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間/小球落回原處.若他

在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5/小球落回原處.已知該星球

的半徑與地球半徑之比為R星：R地=1：4,地球表面重力加速度為g,設該星球表面附近的

重力加速度大小為景，空氣阻力不計，忽略地球和星球自轉(zhuǎn)的影響.則（）

A.g':g=l：5B./:g=5：2

C.M星：M地=1:20D.M星：M地=1：80

答案AD

2加2r

解析設初速度為如，由對稱性可知豎直上拋的小球在空中運動的時間1=一7，因此得丁=

ob

5?=5＞選項A正確，B錯誤；由堂=〃陪得“哼,則我=驚竽=賢（92=擊,選項

C錯誤，D正確.

5.國產(chǎn)科幻巨作《流浪地球》引起了人們對地球如何離開太陽系的熱烈討論.其中有?種思

路是不斷加速地球使其圍繞太陽做半長軸逐漸增大的橢圓軌道運動，最終離開太陽系.假如

其中某一過程地球剛好圍繞太陽做橢圓軌道運動，地球到太陽的最近距離仍為R，最遠距離

為1R（R為加速前地球與太陽間的距離），則在該軌道上地球公轉(zhuǎn)周期將變?yōu)椋ǎ?/p>

A.8年B.6年C.4年D.2年

答案A

R+7Ra

R3（—T~?

解析由開普勒第三定律得丁=j2.解得丁=8年，選項A正確.

6.（2021?全國乙卷?18）科學家對銀河系中心附近的恒星S2進行了多年的持續(xù)觀測，給出1994

年到2002年間S2的位置如圖所示.科學家認為S2的運動軌跡是半長軸約為1000AU（太陽

到地球的距離為1AU）的橢圓，銀河系中心可能存在超大質(zhì)量黑洞.這項研究工作獲得了2020

年諾貝爾物理學獎.若認為S2所受的作用力主要為該大質(zhì)量黑洞的引力，設太陽的質(zhì)量為

可以推測出該黑洞質(zhì)量約為（

A.4X104”B.4X106/W

C.4X10s/WD.4X10,()M

答案B

/能力綜合練

7.（多選）（2022?重慶卷?9）我國載人航天事業(yè)已邁入“空間站時代”.若中國空間站繞地球近

似做勻速圓周運動，運行周期為T,軌道半徑約為地球半徑的照倍，已知地球半徑為R,引

力常量為G,忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，則（）

A.漂浮在空間站中的宇航員不受地球的引力

B.空間站繞地球運動的線速度大小約為臂

C.地球的平均密度約為券瑞I；

D.空間站繞地球運動的向心加速度大小約為地面重力加速度的（第）2倍

答案BD

解析漂浮在空間站中的宇航員依然受地球的引力，所受引力提供向心力，做勻速圓周運動，

處于完全失重狀態(tài)，視重為零，故A錯誤；根據(jù)勻速圓周運動的規(guī)律，可知空間站繞地球運

2兀義景nR

動的線速度大小約為-7—=得「故B正確：設地球質(zhì)量為M,空間站的質(zhì)量為加,

其所受萬有引力提供向心力，有=〃（手）2得r）則地球的平均密度約為〃=產(chǎn)-=

Gi），房筆，故C錯誤：根據(jù)萬有引力提供向心力,有=〃心,則空間站繞地球運動的

,地面的重力加速度為g=罌，可得，=（居）:即空間站繞地

向心加速度大小為a—

球運動的向心加速度大小約為地面重力加速度大小的（方，倍，故D正確.

8.將一質(zhì)量為〃？的物體分別放在地球的南、北兩極點時，該物體的重力均為/郎°；將該物

體放在地球赤道上時，該物體的重力為〃格假設地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R,

已知引力常量為G,則由以上信息可得出（）

A.go小于g

B.地球的質(zhì)量為哆

C.地球自轉(zhuǎn)的角速度為3=\/審

D.地球的平均密度為患

解析設地球的質(zhì)量為M,物體在赤道處隨地球自轉(zhuǎn)做圓周運動的角速度等于地球自轉(zhuǎn)的角

速度，軌道半徑等于地球半徑，物體在赤道上受到的重力和物體隨地球自轉(zhuǎn)所需的向心力是

萬有引力的分力，有G$一〃7g=/〃c/R,物體在兩極受到的重力等于萬有引力，即點宇=

mgo,所以go>g,故A錯誤；在兩極有”?go=d胃,解得知=警~,故B錯誤；由G耨一

mg=marR,mg0=C^^,解得助=\/48,故C正確”也球的平均密度〃=,=

故D錯誤.

9.（2023?重慶市模擬）2021年5月15日，“天問一號”著陸巡視器成功著陸于火星烏托邦平

原，中國首次火星探測任務著陸火星取得圓滿成功.如戾著陸前著陸器近火星繞行的周期為

100min.已知地球平均密度為5.5XIO3kg/m3,地球近地衛(wèi)星的周期為85min.估算火星的平均

密度約為（）

A.3.8X103kg/m3B.4.0X103kg/m；

C.4.2X103kg/m3D.4.5X103kg/m3

答案B

解析衛(wèi)星在行星表面繞行星做勻速圓周運動時，根據(jù)萬有引力提供向心力可得筆出=〃眉

A1

47r2ir1ov

R,設行星密度為p,則有M=p?拳?聯(lián)立可得〃=券0c京，則有力=左，解得火星的平

均密度約為，火=^W燉=T^X5.5X103kg/m3七4.0X10'kg/m3,B正確，A、C、D錯誤.

10.（2023?四川省成都七中模擬）如圖所示，A、4兩顆衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，。為地心，

在兩衛(wèi)星運行過程中，八"連線和連線的夾角最大為仇則人、〃兩衛(wèi)星（）

A.做圓周運動的周期之比為24s

B.做圓周運動的周期之比為擊

ol111/

c.與地心。連線在相等時間內(nèi)掃過的面積之比為

D.與地心。連線在相等時間內(nèi)掃過的面積之比為熹

ol11。

答案C

解析夾角最大時，0B與AB垂直,根據(jù)幾何關系有W=〃sin。，由開普勒第三定律可得要

IB

JU"A、B錯誤；/時間內(nèi)，衛(wèi)星與地心連線掃過的面積5=*兀匕則藁=

；,C正確，D錯誤.

11.（2021?全國甲卷18）2021年2月,執(zhí)行我國火星探測任務的“天問一號”探測器在成功實

施三次近火制動后，進入運行周期約為1.8X105$的橢圜形停泊軌道，軌道與火星表面的最

近距離約為2.8X105m.已知火星半徑約為3.4X106m,火星表面處自由落體的加速度大小

約為3.7IH/S2,則“天問一號”的停泊軌道與火星表面的最遠距離約為（）

A.6XIO5mB.6X106m

C.6X107mD.6X108m

答案C

解析忽喀火星自轉(zhuǎn)，則在火星表面有一聲一=，咫，可知GM=gW,設與運行周期為1.8X105

s的橢圓形停泊軌道周期相同的圓形軌道半徑為「，由萬有引力提供向心力可知筆邁="爺小

設近火點到火星中心的距離為R=R+di,設遠火點到火星中心的距離為R2=R+d2,橢圓軟,

,（凡+與

道半長軸為華N由開普勒第三定律可知信=—1—,由以上分析可得心"6X10：m,

故選C.

立素養(yǎng)提升練

12.若地球半徑為R,把地球看作質(zhì)量分布均勻的球體.“蛟龍?zhí)枴毕聺撋疃葹閐,“天宮

一號”軌道距離地面高度為〃，“蛟龍”號所在處與“天宮一號”所在處的重力加速度大小

之比為（質(zhì)量分布均勻的球殼對內(nèi)部物體的萬有引力為零K）

R-d（一―4

A/?+〃B?（R+/?）2

（R—d）（R+4（R-d）（R+/?）

C.03D./'

答案C

解析設地球的密度為小則在地球表面，物體受到的重力和地球的萬有引力大小似近相等，

4

M4CMG，P,，冗

有g=G烹.由于地球的質(zhì)量為M=pyiR\所以重力加速度的表達式可寫成g=$=—/一

4

=鏟6〃肥質(zhì)量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，故在深度為d的地球內(nèi)部，受到地球

的萬有引力即為半徑等于（R—d）的球體在其表面產(chǎn)生的萬有引力，故“姣龍?zhí)枴钡闹亓铀?/p>

度，=qtGp（R-d）,所以有T=-^-；根據(jù)萬有引力提供向心力有G（R+h）2=〃m，“天

宮一號”所在處的重力加速度為。=毫/所以；=焉尹￡-="曙電，故C正

確，A、B、D錯誤.

13.（多選）（2021?福建卷?8）兩位科學家因為在銀河系中心發(fā)現(xiàn)了一個超大質(zhì)量的致密天體而獲

得了2020年諾貝爾物理學獎.他們對一顆靠近銀河系中心的恒星S2的位置變化進行了持續(xù)

觀測，記錄到的S2的橢圓軌道如圖所示.圖中O為橢圓的一個焦點，橢圓偏心率（離心率）約

為0.87.P、。分別為軌道的遠銀心點和近銀心點，。與。的距離約為120AU（太陽到地球的

距離為1AU）,S2的運行周期約為16年.假設S2的運動機跡主要受銀河系中心致密天體的萬

有引力影響，根據(jù)上述數(shù)據(jù)及日常的天文知識，可以推出（）

A.52與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比0

B.銀河系中心致密天體與太陽的質(zhì)量之比

C.S2在尸點與。點的速度大小之比

D.$2在「點與Q點的加速度大小之比

答案BCD

解析設銀河系中心超大質(zhì)量的致密天體質(zhì)量為M,恒星52繞銀河系中心（銀心）做橢圓軌道

運動的橢圓半長軸為”,半焦距為c,根據(jù)題述。與。的距離約為120人5可得。一。=120人5

又有橢圓偏心率（離心率）約為：=0.87,聯(lián)立可以解得a和c,設想恒星S2繞銀心做半徑為a

的勻速圓周運動，由開普勒第三定律可知周期也為仆2,因此用崇里="52原下，對地球

圍繞太陽運動，有詈=〃喋（$},而。=]20r,7s2=164,聯(lián)立可解得銀河系中心致

密天體與太陽的質(zhì)量之比，不能得出S2與銀河系中心致密天體的質(zhì)量之比，選項A錯誤，B

正確；由開普勒第二定律有昂可解得S2在P點與。點的速度大小之比

7）pa—c

為二=一「，選項C正確；在遠銀心點和近根心點，由萬有引力定律和牛頓第二定律，分別

VQa-rc

有=/gap,,聯(lián)立可解得S2在尸點與Q點的加速度大小之比為落

=喑選項D正確.

第2講人造衛(wèi)星宇宙速度

【目標要求】1.會比較衛(wèi)星運行的各物理量之間的關系.2.理解三種宇宙速度，并會求解第一宇

宙速度的大小3會分析天體的“追及”問題.

考點一衛(wèi)星運行參量的分析

■梳理必備知識

1.基本公式

⑴線速度：由*得

⑵角速度：由G誓=〃?蘇/得3=]^.

⑶周期：由6^爭=〃?(鄂廠得T=2K\J^j.

(4)向心加速度：由G^=/Mn得斯=誓.

結(jié)論：同一中心天體的不同衛(wèi)星，軌道半徑「越大，。、?、所越小，T越大，即越高越慢.

2.“黃金代換式”的應用

忽略中心天體自轉(zhuǎn)影響，則有，叫=琛,整理可得創(chuàng)三處.在引力常量G和中心天體質(zhì)量

M未知時，可用42替換GM

3.人造衛(wèi)星

衛(wèi)星運行的軌道平面一定通過地心，一般分為赤道軌道、極地軌道和其他軌道，同步衛(wèi)星的

軌道是赤道軌道.

(1)極地衛(wèi)星運行時每圈都經(jīng)過南北兩極，由于地球自轉(zhuǎn)，極地衛(wèi)星可以實現(xiàn)全球覆蓋.

(2)同步衛(wèi)星

①軌道平面與赤道平面共面，且與地球自轉(zhuǎn)的方向相同.

②周期與地球自轉(zhuǎn)周期相等，T=24h.

③高度固定不變，仁3.6X10,m.

④運行速率約為。=3.1kni/s.

（3）近地衛(wèi)星：軌道在地球表面附近的衛(wèi)星,其軌道半徑r=R（地球半徑），運行速度等于第一

宇宙速度。=7.9km/s（人造地球衛(wèi)星的最大圓軌道運行速度），7=85min（人造地球衛(wèi)星的最

小周期）.

注意：近地衛(wèi)星可能為極地衛(wèi)星，也可能為赤道衛(wèi)星.

■判斷正誤--------------------------------------------------------------------------

1.同一中心天體的兩顆行星，公轉(zhuǎn)半徑越大，向心加速度越大.（X）

2.同一中心天體質(zhì)量不同的兩顆行星，若軌道半徑相同，速率不一定相等.（X）

3.近地衛(wèi)星的周期最小.（V）

4.極地衛(wèi)星通過地球兩極，且始終和地球某一經(jīng)線平面重合.（X）

5.不同的同步衛(wèi)星的質(zhì)量不一定相同，但離地面的高度是相同的.（J）

■提升關鍵能力

1.公式中r指軌道半徑，是衛(wèi)星到中心天體球心的距離，R通常指中心天體的半徑，有r=R

+力.

2.同一中心天體，各行星。、8、a、丁等物理量只與「有關；不同中心天體，各行星。、公、

。、「等物理量與中心天體質(zhì)量M和7?有關.

考向I衛(wèi)星運行參量與軌道半徑的關系

m1]（2022?廣東卷?2）“祝融號”火星車需要“休眠”以度過火星寒冷的冬季.假設火星和

地球的冬季是各自公轉(zhuǎn)周期的四分之一，且火星的冬季時長約為地球的1.88倍.火星和地球

繞太陽的公轉(zhuǎn)均可視為勻速圓周運動.下列關于火星、地球公轉(zhuǎn)的說法正確的是（）

A.火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大

B.火星公轉(zhuǎn)的角速度比地球的大

C.火星公轉(zhuǎn)的半徑比地球的小

D.火星公轉(zhuǎn)的加速度比地球的小

答案D

解析由題意可知，火星的公轉(zhuǎn)周期大于地球的公轉(zhuǎn)周期，根據(jù)G誓=〃?爺r,可得T=

27rx笈器，可知火星的公轉(zhuǎn)半徑大于地球的公轉(zhuǎn)半徑，故C錯誤：根據(jù)^可得o

結(jié)合C選項解析，可知火星公轉(zhuǎn)的線速度小于地球公轉(zhuǎn)的線速度，故A錯誤；根

據(jù)口=卒可知火星公轉(zhuǎn)的角速度小于地球公轉(zhuǎn)的角速度，故B錯誤；根據(jù)^^〃口，可得

“="，可知火星公轉(zhuǎn)的加速度小于地球公轉(zhuǎn)的加速度，故D正確.

【例2J（2020?浙江7月選考?7）火星探測任務“天問一號”的標識如圖所示.若火星和地球繞

太陽的運動均可視為勻速圓周運動，火星公轉(zhuǎn)軌道半徑與地球公轉(zhuǎn)軌道半徑之比為3：2,則

火星與地球繞太陽運動的（）

中國行星探測

Mars

A.軌道周長之比為2：3

B.線速度大小之比為?。阂?/p>

C.角速度大小之比為2啦：3小

D.向心加速度大小之比為9：4

答案C

解析就道周長C=2〃，與半徑成正比，故枕道周長之比為3：2,故A錯誤；根據(jù)萬有引

力提供向心力有G誓=后,得則產(chǎn)噂，故B錯誤；由萬有引力提供

向心力有得①則亍=\/^3二微忌，故C正確：由G?"=〃?n,得

GM火一地24

0=下,則故D錯誤.

考向2同步衛(wèi)星

m31關于地球同步衛(wèi)星，下列說法錯誤的是（）

A.它的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同

B.它的周期、高度、速度大小都是一定的

C我國發(fā)射的同步通信衛(wèi)星可以定點在北京上空

D.我國發(fā)射的同步通信衛(wèi)星必須定點在赤道上空

答案C

解析地球同步衛(wèi)星的周期與地球自轉(zhuǎn)周期相同，選項A正確；根據(jù)〃專■「可

知，因地球同步衛(wèi)星的周期一定，則高度、速度大小都是一定的，選項B正確：同步衛(wèi)星必

須定點在赤道上空，不可以定點在北京上空，選項C錯誤，D正確.

【例4］利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通

信.目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍.假設地球的自轉(zhuǎn)周期變小，若

仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，則地球自轉(zhuǎn)周期的最小值約為（）

A.IhB.4hC.8hD.I6h

答案B

解析地球自轉(zhuǎn)周期變小，衛(wèi)星要與地球保持同步，則衛(wèi)星的公轉(zhuǎn)周期也應隨之變小，由開

普勒第三定律可知衛(wèi)星離地球的高度應變小，要實現(xiàn)三顆衛(wèi)星覆蓋全球的目的，則衛(wèi)星周期

最小時，由幾何關系可作出衛(wèi)星間的位正關系如圖所示.

衛(wèi)星

A

R

衛(wèi)星的軌道半徑為r=忑而=2R

上,3正（6.6R）』（2米）3版UT?M"

由不一方何（24h）2—T->2，解何乃?4h,故選DB.

考向3同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星和赤道上物體比較

1例5］（多選）如圖所示，同步衛(wèi)星與地心的距離為r,運行速率為0，向心加速度為山，地

球赤道上的物體隨地球自轉(zhuǎn)的向心加速度為S，第一宇宙速度為。2,地球半徑為R,則下列

比值正確的是（）

答案AD

解析根據(jù)萬有引力提供向心力，有*G"?=W,,故費=\^：對于同步

衛(wèi)星和地球赤道上的物體，其共同點是角速度相等，有4|=蘇〃S=Q/R,故:=看，故選A、

。2K

D.

工例6】有4、b、C、"四顆地球衛(wèi)星，衛(wèi)星〃還未發(fā)射，在地球赤道上隨地球表面一起轉(zhuǎn)動，

衛(wèi)星〃在地面附近近地軌道上正常運行，C?是地球同步衛(wèi)星，d是高空探測衛(wèi)星，各衛(wèi)星排列

位置如圖，重力加速度為g，則有（）

A.a的向心加速度大小等于重力加速度大小g

B.〃在相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過的弧長最長

C.。在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是看

D.d的運行周期有可能是20h

答案B

解析赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的衛(wèi)星所需的向心力大小等于萬有引力的一個分力，萬有引力大小

--_2

近似等于重力大小，則4的向心加速度小于重力加速度g,故A錯誤；由G：手=〃巧7,解得

衛(wèi)星的凱道半徑r越大，速度。越小，所以在力、c、d中〃的速度最大，又由。

知。的速度小于c的速度，故在相同時間內(nèi)。轉(zhuǎn)過的弧長最長，故B正確；c是地球同

步衛(wèi)星，周期是24h,則c在4h內(nèi)轉(zhuǎn)過的圓心角是攜X2冗=至故C錯誤；由開普勒第三

定律可知，衛(wèi)星的半徑,?越大，周期7越大，所以〃的運動周期大于c的運動周期，即大于

24h,則不可能是20h,故D錯誤.

方法點撥同步衛(wèi)星、近地衛(wèi)星及赤道上物體的比較

如圖所示，〃為近地衛(wèi)星，就道半徑為門：》為地球同步衛(wèi)星，軌道半徑為仁：c為赤道上隨

地球自轉(zhuǎn)的物體，抗道半徑為6

近地衛(wèi)星同步衛(wèi)星赤道上隨地球自轉(zhuǎn)的

比較項目

S、Q）i、（r2、（02>物體（匚3、①3、03）

功、41）S、C12）

向心力來源萬有引力萬有引力萬有引力的一個分力

軌道半徑r2>n=r3

角速度①i>ct)2=g

線速度V\>V2>Vy

向心加速度0>42>。3

考點二宇宙速度

■梳理必備知識

第一宇宙速度3=Z§km/s,是物體在地球附近繞地球做勻速圓周運動的最大環(huán)

（環(huán)繞速度）繞速度，也是人造地球衛(wèi)星的地生發(fā)射速度

第二宇宙速度

02=U.2km/s,是物體掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度

（逃逸速度）

第三宇宙速度S=16.7km/s,是物體掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度

-判斷正誤-

1.地球的第一宇宙速度的大小與地球質(zhì)量有關.（J）

2.月球的第一宇宙速度也是7.9km/s.（X）

3.同步衛(wèi)星的運行速度一定小于地球第一宇宙速度.（V）

4.若物體的發(fā)射速度大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，則物體繞太陽運行.（V）

■提升關鍵能力

1.第一宇宙速度的推導

一'/椀v2四[Gm^/6.67X10*hX5.98X1024-7

V3

方法一：由得=、J下~=\-------64x106-------m/s^7.9XIOin/s.

方法二：由叫=屆得

0=病=49.8乂6.4X10。m/s^7.9X103m/s.

第一宇宙速度是發(fā)射人造衛(wèi)星的最小速度，也是人造衛(wèi)星的最大環(huán)繞速度，此時它的運行周

期最短，Znin=S^5075s^85min.正是近地衛(wèi)星的周期.

2.宇宙速度與運動軌跡的關系

(1)。發(fā)=7.9knVs時，衛(wèi)星繞地球表面做勻速圓周運動.

(2)7.9km/s<u^<11.2km/s,衛(wèi)星繞地球運動的軌跡為橢圓.

(3)11.2km/sW。發(fā)<16.7km/s,衛(wèi)星繞太陽運動的軌跡為哺圓.

(4加發(fā)216.7km/s,衛(wèi)星將掙脫太陽引力的束縛，飛到太陽系以外的空間.

工例7](2023?湖北省聯(lián)考)中國火星探測器“天問一號”成功發(fā)射后，沿地火轉(zhuǎn)移軌道飛行

七個多月，于2021年2月到達火星附近，要通過制動減速被火星引力俘獲，才能進入環(huán)繞火

星的軌道飛行.已知地球的質(zhì)量約為火星質(zhì)量的10倍，地球半徑約為火星半徑的2倍，下列

說法正確的是()

A.若在火星上發(fā)射一顆繞火星運動的近地衛(wèi)星，其速度至少需要7.9km/s

B.“天問一號”探測器的發(fā)射速度一定大于7.9km/s,小于11.2km/s

C.火星與地球的第一宇宙速度之比為1:小

D.火星表面的重力加速度大于地球表面的重力加速度

答案C

解析衛(wèi)星在行星表面附近繞行的速度為該行星的第一宅宙速度，由瑞舌=點,可得。=

7平,故”：9地=1：小，所以在火星上發(fā)射一顆繞火星運動的近地衛(wèi)星，其速度至少需

要?；?kmys，故A錯俁，C正確；“天問一號”探測器掙脫了地球引力束縛，則它的發(fā)

射速度大于等于11.2km/s,故B錯誤；g>t=G^,g火聯(lián)立可得gBg火，故D錯

誤.

1例8】宇航員在一行星上以速度如豎直上拋一質(zhì)量為也的物體，不計空氣阻力，經(jīng)2i后落

回手中，已知該星球半徑為R.求：

(1)該星球的第一宇宙速度的大?。?/p>

(2)該星球的第二宇宙速度的大小.已知取無窮遠處引