2025《壓軸題專項講練系列》數(shù)學七上專題02絕對值含答案及解析

專題02絕對值（壓軸題專項講練）【典例1】結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示﹣3和2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是，最小距離是．（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|＝．【思路點撥】（1）根據(jù)數(shù)軸，觀察兩點之間的距離即可解決；（2）根據(jù)絕對值可得：x+1＝±3，即可解答；（3）根據(jù)絕對值分別求出a，b的值，再分別討論，即可解答；（4）根據(jù)|a+4|+|a﹣2|表示數(shù)a的點到﹣4與2兩點的距離的和即可求解．【解答過程】解：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是：4﹣1＝3；表示﹣3和2兩點之間的距離是：2﹣（﹣3）＝5，故答案為：3，5；（2）|x+1|＝3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x＝2或x＝﹣4．故答案為：2或﹣4；（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，當a＝5，b＝﹣3時，則A、B兩點間的最大距離是8，當a＝1，b＝﹣1時，則A、B兩點間的最小距離是2，則A、B兩點間的最大距離是8，最小距離是2；故答案為：8，2；（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間，|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．故答案為：6．【典例2】閱讀下列有關材料并解決有關問題．我們知道|x|=x(x＞0)0(x=0)?x(x＜0)，現(xiàn)在我們可以利用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式．例如：化簡代數(shù)式|x+1|+|x﹣2|時，可令x+1＝0和x﹣2＝0，分別求得x＝﹣1和x＝2（稱﹣1，2分別為|x+1|與|x﹣2|的零點值）．在有理數(shù)范圍內(nèi)，零點值x＝﹣1和x＝2可將全體有理數(shù)分成不重復且不遺漏的如下3種情況：x＜﹣1；﹣1≤x＜2；x≥2．從而在化簡|x+1|+|x﹣2|時，可分以下三種情況：①當x＜﹣1時，原式＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1；②當﹣1≤x＜2時，原式＝（x+1）﹣（x﹣2）＝3；③當x≥2時，原式＝（x+1）+（x（1）|x﹣3|+|x+4|的零點值是；（2）化簡代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|；（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值為，此時x的取值范圍為．【思路點撥】（1）根據(jù)“零點值”的意義進行計算即可；（2）根據(jù)題目中提供的方法分三種情況分別進行計算即可；（3）分三種情況分別對|x﹣3|+|x+4|進行化簡進而求出相應方程的解；（4）根據(jù)代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的意義，得出當2≤x≤3時，該代數(shù)式的值最小，再根據(jù)兩點距離的計算方法進行計算即可．【解答過程】解：（1）令x﹣3＝0和x+4＝0，求得：x＝3和x＝﹣4，故答案為：﹣4和3；（2）①當x＜﹣4時，原式＝﹣（x﹣3）﹣（x+4）＝﹣2x﹣1；②當﹣4≤x＜3時，原式＝﹣（x﹣3）+（x+4）＝7；③當x≥3時，原式＝（x﹣3）+（x+4）＝2x+1；綜上所述：原式=?2x?1(x＜?4)（3）分三種情況：①當x＜﹣4時，﹣2x﹣1＝9，解得：x＝﹣5；②當﹣4≤x＜3時，7＝9，不成立；③當x≥3時，2x+1＝9，解得：x＝4．綜上所述，x＝﹣5或x＝4．（4）代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|表示的意義為數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)﹣4，2，3，2000的距離之和，由數(shù)軸表示數(shù)的意義可知，當2≤x≤3時，該代數(shù)式的值最小，最小值為（2+4）+（3﹣2）+（2000﹣2）＝2005，故答案為：2005，2≤x≤3．1．已知|x﹣2|+|x+y﹣5|+|y﹣1|＝y(tǒng)﹣1．則x+y的值為（）A．2 B．3 C．4 D．52．（2023秋?長垣市月考）若x為整數(shù)，且滿足|x﹣2|+|x+4|＝6，則滿足條件的x的值有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個3．（2021?福州模擬）若實數(shù)a、b、c滿足|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，則|b﹣c|的值為（）A．6 B．7 C．6或8 D．6或74．如果實數(shù)a，b，c滿足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（）A．5 B．6 C．7 D．85．（2023秋?武昌區(qū)期中）已知有理數(shù)a，b，c滿足a＜0＜b＜c，則代數(shù)式|x?的最小值為（）A．c B．2b?a3 C．a(chǎn)+9c?2b6 6．已知a，b，c，d分別是一個四位數(shù)的千位，百位，十位，個位上的數(shù)字，且低位上的數(shù)字不小于高位上的數(shù)字，當|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值時，這個四位數(shù)的最小值是．7．設x是有理數(shù)，y＝|x﹣1|+|x+1|．有下列四個結(jié)論：①y沒有最小值；②有無窮多個x的值，使y取到最小值；③有x的值，使y＝1.8；④使y＝2.5的x有兩個值．其中正確的是（填序號）．8．（2023秋?武侯區(qū)校級月考）如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒為一常數(shù)，則此值為．9．（2023秋?江岸區(qū)校級月考）若a、b都為整數(shù)，且|a﹣1|+|b﹣2|＝1．則a+b＝．10．（2023秋?溫江區(qū)校級期末）若x、y都是整數(shù)，且（2y+3）2+|x﹣1|＝1，則x﹣y＝．11．（2023秋?江北區(qū)校級期中）設a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，則a+2b+c的最小值為．12．（2023秋?雁塔區(qū)校級期中）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，則x+y的最小值是．13．實數(shù)a，b滿足|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，a2+b2的最大值為，最小值為．14．（2023秋?碑林區(qū)校級月考）若有理數(shù)x，y，z滿足（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）＝36，則x+2y+3z的最小值是．15．（2023秋?江岸區(qū)校級月考）在解決數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答問題．【提出問題】三個有理數(shù)a，b，c滿足abc＞0，求|a|a【解決問題】解：由題意，得a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．①a，b，c都是正數(shù)，即a＞0，b＞0，c＞0時，則|a|a②當a，b，c中有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，不妨設a＞0，b＜0，c＜0，則|a|a綜上所述，|a|a【探究拓展】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）已知a，b是不為0的有理數(shù)，當|ab|＝﹣ab時，則a|a|+b（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當abc＜0時，求a|a|（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，求b+c|a|16．（2023秋?海安市月考）同學們都知道，|5﹣3|表示5與3的差的絕對值，也可理解為在數(shù)軸上表示數(shù)5的點與數(shù)3的點的距離．試探索：（1）點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣3、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為（用含絕對值的式子表示）；（2）滿足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值為．（3）試求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣100|的最小值．17．（2023秋?撫順縣期中）已知a，b為實數(shù)，m＝|2a+b|，n＝|2a﹣b|，r＝|1﹣b|．（1）若a+b＜0，ab＜0，|a|＞|b|＞1，且2m+n+r＝11，能否確定a，b的值？能確定的，求出它的值；若不能確定，請說明理由．（2）對于任意實數(shù)a，b，求m，n，r三個數(shù)中最大的數(shù)的最小值．

專題02絕對值（壓軸題專項講練）【典例1】結(jié)合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是；表示﹣3和2兩點之間的距離是；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m﹣n|．（2）如果|x+1|＝3，那么x＝；（3）若|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是，最小距離是．（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間，則|a+4|+|a﹣2|＝．【思路點撥】（1）根據(jù)數(shù)軸，觀察兩點之間的距離即可解決；（2）根據(jù)絕對值可得：x+1＝±3，即可解答；（3）根據(jù)絕對值分別求出a，b的值，再分別討論，即可解答；（4）根據(jù)|a+4|+|a﹣2|表示數(shù)a的點到﹣4與2兩點的距離的和即可求解．【解答過程】解：（1）數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是：4﹣1＝3；表示﹣3和2兩點之間的距離是：2﹣（﹣3）＝5，故答案為：3，5；（2）|x+1|＝3，x+1＝3或x+1＝﹣3，x＝2或x＝﹣4．故答案為：2或﹣4；（3）∵|a﹣3|＝2，|b+2|＝1，∴a＝5或1，b＝﹣1或b＝﹣3，當a＝5，b＝﹣3時，則A、B兩點間的最大距離是8，當a＝1，b＝﹣1時，則A、B兩點間的最小距離是2，則A、B兩點間的最大距離是8，最小距離是2；故答案為：8，2；（4）若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于﹣4與2之間，|a+4|+|a﹣2|＝（a+4）+（2﹣a）＝6．故答案為：6．【典例2】閱讀下列有關材料并解決有關問題．我們知道|x|=x(x＞0)（1）|x﹣3|+|x+4|的零點值是；（2）化簡代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|；（3）解方程|x﹣3|+|x+4|＝9；（4）|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的最小值為，此時x的取值范圍為．【思路點撥】（1）根據(jù)“零點值”的意義進行計算即可；（2）根據(jù)題目中提供的方法分三種情況分別進行計算即可；（3）分三種情況分別對|x﹣3|+|x+4|進行化簡進而求出相應方程的解；（4）根據(jù)代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|的意義，得出當2≤x≤3時，該代數(shù)式的值最小，再根據(jù)兩點距離的計算方法進行計算即可．【解答過程】解：（1）令x﹣3＝0和x+4＝0，求得：x＝3和x＝﹣4，故答案為：﹣4和3；（2）①當x＜﹣4時，原式＝﹣（x﹣3）﹣（x+4）＝﹣2x﹣1；②當﹣4≤x＜3時，原式＝﹣（x﹣3）+（x+4）＝7；③當x≥3時，原式＝（x﹣3）+（x+4）＝2x+1；綜上所述：原式=?2x?1(x＜?4)（3）分三種情況：①當x＜﹣4時，﹣2x﹣1＝9，解得：x＝﹣5；②當﹣4≤x＜3時，7＝9，不成立；③當x≥3時，2x+1＝9，解得：x＝4．綜上所述，x＝﹣5或x＝4．（4）代數(shù)式|x﹣3|+|x+4|+|x﹣2|+|x﹣2000|表示的意義為數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)﹣4，2，3，2000的距離之和，由數(shù)軸表示數(shù)的意義可知，當2≤x≤3時，該代數(shù)式的值最小，最小值為（2+4）+（3﹣2）+（2000﹣2）＝2005，故答案為：2005，2≤x≤3．1．已知|x﹣2|+|x+y﹣5|+|y﹣1|＝y(tǒng)﹣1．則x+y的值為（）A．2 B．3 C．4 D．5【思路點撥】因為絕對值是一個非負數(shù)，所以y﹣1＞0根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)列式求出x+y的值即可．【解答過程】解：|x﹣2|+|x+y﹣5|+|y﹣1|＝y(tǒng)﹣1，|x﹣2|+|x+y﹣5|＝0，由題意得，x﹣2＝0，x+y﹣5＝0，解得x＝2，x+y＝5．故選：D．2．（2023秋?長垣市月考）若x為整數(shù)，且滿足|x﹣2|+|x+4|＝6，則滿足條件的x的值有（）A．4個 B．5個 C．6個 D．7個【思路點撥】依據(jù)|x﹣2|+|x+4|＝6，分類討論即可得到所有整數(shù)x即可．【解答過程】解：①當x＜﹣4時，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合題意）；②當﹣4≤x≤2時，|x﹣2|+|x+4|＝6，符合題意的所有整數(shù)x的值為﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，③當x＞2時，|x﹣2|+|x+4|＞6（不合題意）；綜上所述，滿足|x﹣2|+|x+4|＝6的所有整數(shù)x的個數(shù)是7．故選：D．3．（2021?福州模擬）若實數(shù)a、b、c滿足|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，則|b﹣c|的值為（）A．6 B．7 C．6或8 D．6或7【思路點撥】根據(jù)條件得：a﹣b＝±1，a﹣c＝±7，然后分四種情況分別計算即可．【解答過程】解：∵|a﹣b|＝1，|a﹣c|＝7，∴a﹣b＝±1，a﹣c＝±7，當a﹣b＝1，a﹣c＝7時，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝7﹣1＝6，原式＝6；當a﹣b＝﹣1，a﹣c＝﹣7時，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝﹣7+1＝﹣6，原式＝6；當a﹣b＝1，a﹣c＝﹣7時，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝﹣7﹣1＝﹣8，原式＝8；當a﹣b＝﹣1，a﹣c＝7時，b﹣c＝a﹣c﹣（a﹣b）＝7+1＝8，原式＝8；故選：C．4．如果實數(shù)a，b，c滿足|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，|a+c|＝3，那么|a+2b+3c|等于（）A．5 B．6 C．7 D．8【思路點撥】通過對式子|a+c|＝3的變形，確定已知之間的關系，再進行分類討論，結(jié)合對所求式子的變形，找到已知所求之間的關系，再進行求解．【解答過程】解：|a+c|＝|a﹣b+b+c|＝3，∵|a﹣b|＝1，|b+c|＝2，∴a﹣b＝1，b+c＝2或a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，分兩種情況討論：①若a﹣b＝1，b+c＝2，則兩式相加，得a+c＝3，∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|3+2×2|＝7；②若a﹣b＝﹣1，b+c＝﹣2，則兩式相加，得a+c＝﹣3，∴|a+2b+3c|＝|a+c+2（b+c）|＝|﹣3+2×（﹣2）|＝7．故選：C．5．（2023秋?武昌區(qū)期中）已知有理數(shù)a，b，c滿足a＜0＜b＜c，則代數(shù)式|x?的最小值為（）A．c B．2b?a3 C．a(chǎn)+9c?2b6 【思路點撥】利用a、b、c的大小關系，當a?c2＜a+b3＜a+c2，由于|x?a+b3|+|x?a+c2|+|x+c?a2|=|x?a+b3|+|x?a+c2|+|x【解答過程】解：∵a＜0＜b＜c，∴當a?c2∵|x?a+b3|+|x?a+c2|+|x+c?a∴|x?a+b3|+|x?a+c2|+|x+c?a當x=a+b3時，數(shù)x對應的點到三個數(shù)a?c2、a+b3、當a?c2＜a+c∵2b+3c?a6∴代數(shù)式|x?a+b故選：A．6．已知a，b，c，d分別是一個四位數(shù)的千位，百位，十位，個位上的數(shù)字，且低位上的數(shù)字不小于高位上的數(shù)字，當|a﹣b|+|b﹣c|+|c﹣d|+|d﹣a|取得最大值時，這個四位數(shù)的最小值是1119．【思路點撥】依題意a≤b≤c≤d原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，所以d＝9，a＝1，即可求解．【解答過程】解：依題意a≤b≤c≤d，則原式＝（b﹣a）+（c﹣b）+（d﹣c）+（d﹣a）＝2（d﹣a）最大，則d＝9，a＝1四位數(shù)要取最小值且可以重復，故答案為1119．7．設x是有理數(shù)，y＝|x﹣1|+|x+1|．有下列四個結(jié)論：①y沒有最小值；②有無窮多個x的值，使y取到最小值；③有x的值，使y＝1.8；④使y＝2.5的x有兩個值．其中正確的是②④（填序號）．【思路點撥】依據(jù)絕對值的幾何意義，|x﹣1|可以看成是x與1的距離，|x+1|可以看出是x與﹣1的距離，這樣y可以看成兩個距離之和，即在數(shù)軸上找一點x，使它到1和﹣1的距離之和等于y．要從三個情形分析討論：①x在﹣1的左側(cè)；②x在﹣1和1之間（包括﹣1，1）；③x在1的右側(cè)．【解答過程】解：∵|x﹣1|是數(shù)軸上x與1的距離，|x+1是數(shù)軸上x與﹣1的距離，∴y＝|x﹣1|+|x+1|是數(shù)軸上x與1和﹣1的距離之和．∴當x在﹣1和1之間（包括﹣1，1）時，y的值總等于2．如下圖：當x在﹣1的左側(cè)時，y的值總大于于2．如下圖：當x在1的右側(cè)時，y的值總大于于2．如下圖：綜上，y有最小值2，且此時﹣1≤x≤1．∴①③不正確，②正確．∵使y＝2.5的x有﹣1，25和1，25兩個值，∴④正確．故答案為②④．8．（2023秋?武侯區(qū)校級月考）如果對于某一特定范圍內(nèi)的任意允許值，P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒為一常數(shù)，則此值為1．【思路點撥】由于P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒為一常數(shù)，即P的值與x無關，因此化簡后就不含有x項，根據(jù)絕對值的化簡得出答案即可．【解答過程】解：∵P＝|1﹣4x|+|1﹣5x|+|1﹣6x|+|1﹣7x|+|1﹣8x|的值恒為一常數(shù)，∴P的值與x無關，即，化簡絕對值后就不含有x項，也就是去掉絕對值號以后，x項的系數(shù)之和為0，又∵﹣4﹣5﹣6+7+8＝0，∴1﹣4x＞0，1﹣5x＞0，1﹣6x＞0而1﹣7x＜0，1﹣8x＜0，即17＜x此時P＝1﹣4x+1﹣5x+1﹣6x+7x﹣1+8x﹣1＝1，故答案為：1．9．（2023秋?江岸區(qū)校級月考）若a、b都為整數(shù)，且|a﹣1|+|b﹣2|＝1．則a+b＝2或4．【思路點撥】根據(jù)絕對值的定義，分類討論即可．【解答過程】解：若a＝1，則|b﹣2|＝1，所以b＝1或3，所以a+b＝2或4；若b＝2，則|a﹣1|＝1，所以a＝0或2，所以a+b＝2或4．故答案為：2或4．10．（2023秋?溫江區(qū)校級期末）若x、y都是整數(shù)，且（2y+3）2+|x﹣1|＝1，則x﹣y＝2或3．【思路點撥】根據(jù)整數(shù)的定義和非負數(shù)的性質(zhì)得到2y+3＝±1，x﹣1＝0或2y+3＝0，x﹣1＝±1，解方程求得x，y，舍去不滿足條件的x，y，再代入計算即可求解．【解答過程】解：∵x、y都是整數(shù)，且（2y+3）2+|x﹣1|＝1，∴2y+3＝±1，x﹣1＝0或2y+3＝0，x﹣1＝±1，解得x＝1，y＝﹣2或x＝1，y＝﹣1或x＝0，y＝﹣1.5（舍去）或x＝2，y＝﹣1.5（舍去），當x＝1，y＝﹣2時，x﹣y＝1+2＝3；當x＝1，y＝﹣1時，x﹣y＝1+1＝2．故x﹣y＝2或3．故答案為：2或3．11．（2023秋?江北區(qū)校級期中）設a＝|x+1|，b＝|x﹣1|，c＝|x+3|，則a+2b+c的最小值為6．【思路點撥】由于|x+1|+|x﹣1|+|x+3|表示x到數(shù)﹣1、﹣3的距離以及到1的距離的2倍之和，則當x＝﹣1時，a+2b+c有最小值．【解答過程】解：|x+1|+2|x﹣1|+|x+3|表示x到數(shù)﹣1、1、﹣3的距離以及到1的距離的2倍之和，所以當x＝﹣1時，它們的距離之和最小，此時a+2b+c＝0+4+2＝6；故答案為：6．12．（2023秋?雁塔區(qū)校級期中）已知式子|x+1|+|x﹣2|+|y+3|+|y﹣4|＝10，則x+y的最小值是﹣4．【思路點撥】令|x+1|+|x﹣2|=a，|y+3|+|y﹣4|【解答過程】解：令|x+1|+|x﹣2|=a，|y+3|+|y﹣4|根據(jù)絕對值幾何意義，a表示x到﹣1與2兩點之間的距離之和；b表示y到﹣3與4兩點之間的距離之和；∵當﹣1≤x≤2，﹣3≤y≤4時，正好有a+b＝10，∴當x＝﹣1，y＝﹣3時，x+y的最小值為：﹣1+（﹣3）＝﹣4．故答案為：﹣4．13．實數(shù)a，b滿足|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，a2+b2的最大值為29，最小值為4．【思路點撥】將|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|拆分開來看，從而分別得到他們的最值小均為3，而根據(jù)已知知道，它們的和為6，從而得到|a+1|+|2﹣a|以及|b+2|+|b+5|的值均為3，從而得到a和b的取值范圍，進而可以求出a2+b2的最大值和最小值．【解答過程】解：|a+1|+|2﹣a|＝6﹣|b+2|﹣|b+5|，∴|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，∵|a+1|表示a到﹣1的距離，|2﹣a|表示a到2的距離，∴|a+1|+|2﹣a|≥3，又∵|b+2||表示b到﹣2的距離，|b+5|表示b到﹣5的距離，∴|b+2|+|b+5|≥3，又∵|a+1|+|2﹣a|+|b+2|+|b+5|＝6，∴|a+1|+|2﹣a|＝3，|b+2|+|b+5|＝3，此時﹣1≤a≤2，﹣5≤b≤﹣2，∴a2的最大值為4，最小值為0，b2的最大值為25，最小值為4，∴a2+b2的最大值為29，最小值為4．故答案為：29，4．14．（2023秋?碑林區(qū)校級月考）若有理數(shù)x，y，z滿足（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）＝36，則x+2y+3z的最小值是-8．【思路點撥】根據(jù)絕對值的性質(zhì)分別得出|x+1|+|x﹣2|，|y﹣1|+|y﹣3|，|z﹣3|+|z+3|的取值范圍，進而得出x，y，z的取值范圍進而得出答案．【解答過程】解：當x＜﹣1時，m＝﹣（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣2x+1＞3，當﹣1≤x≤2時，m＝x+1﹣（x﹣2）＝3，當x＞2時，m＝x+1+x﹣2＝2x﹣1＞3，所以可知|x+1|+|x﹣2|≥3，同理可得：|y﹣1|+|y﹣3|≥2，|z﹣3|+|z+3|≥6，所以（|x+1|+|x﹣2|）（|y﹣1|+|y﹣3|）（|z﹣3|+|z+3|）≥3×2×6＝36，所以|x+1|+|x﹣2|＝3，|y﹣1|+|y﹣3|＝2，|z﹣3|+|z+3|＝6，所以﹣1≤x≤2，1≤y≤3，﹣3≤z≤3，∴x+2y+3z的最大值為：2+2×3+3×3＝17，x+2y+3z的最小值為：﹣1+2×1+3×（﹣3）＝﹣8．故答案為：﹣8．15．（2023秋?江岸區(qū)校級月考）在解決數(shù)學問題的過程中，我們常用到“分類討論”的數(shù)學思想，下面是運用分類討論的數(shù)學思想解決問題的過程，請仔細閱讀，并解答問題．【提出問題】三個有理數(shù)a，b，c滿足abc＞0，求|a|a【解決問題】解：由題意，得a，b，c三個有理數(shù)都為正數(shù)或其中一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)．①a，b，c都是正數(shù)，即a＞0，b＞0，c＞0時，則|a|a②當a，b，c中有一個為正數(shù)，另兩個為負數(shù)時，不妨設a＞0，b＜0，c＜0，則|a|a綜上所述，|a|a【探究拓展】請根據(jù)上面的解題思路解答下面的問題：（1）已知a，b是不為0的有理數(shù)，當|ab|＝﹣ab時，則a|a|+b（2）已知a，b，c是有理數(shù)，當abc＜0時，求a|a|（3）已知a，b，c是有理數(shù)，a+b+c＝0，abc＜0，求b+c|a|【思路點撥】（1）仿照題目給出的思路和方法，解決（1）即可；（2）（3）根據(jù)已知等式，利用絕對值的代數(shù)意義判斷出a，b，c中負數(shù)有2個，正數(shù)有1個，判斷出abc的正負，原式利用絕對值的代數(shù)意義化簡計算即可．【解答過程】解：（1）a，b是不為0的有理數(shù)，當|ab|＝﹣ab時，a＞0，b＜0，或a＜0，b＞0，當a＞0，b＜0時，a|a|當a＜0，b＞0時，a|a|故答案為：0．（2）abc＜0，∴a、b、c都是負數(shù)或其中一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)，①當a、b、c都是負數(shù)，即a＜0，b＜0，c＜0時，則：|a|a|②a、b、c有一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)時，設a＜0，b＞0，c＞0，則a|a|（3）∵a，b，c為三個不為0的有理數(shù)，且a+b+c＝0得，a+b＝﹣c，c+a＝﹣b，b+c＝﹣a．a(chǎn)、b、c有一個為負數(shù)，另兩個為正數(shù)時，設a＜0，b＞0，c＞0，b+c|a|a、b、c有兩個為負數(shù)，另一個為正數(shù)時，設a＜0，b＜0，c＞0，b+c|a|a、b、c有兩個為負數(shù)，另一個為正數(shù)時，設a＜0，b＞0，c＜0，b+c|a|a、b、c有兩個為負數(shù)，另一個為正數(shù)時，設a＞0，b＜0，c＜0，b+c|a|16．（2023秋?海安市月考）同學們都知道，|5﹣3|表示5與3的差的絕對值，也可理解為在數(shù)軸上表示數(shù)5的點與數(shù)3的點的距離．探索：（1）點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣3、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+3|+|x﹣1|（用含絕對值的式子表示）；（2）滿足|x﹣3|+|x+2|＝7的x的值為﹣3或4．（3）試求|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣1