2025年物理新高考備考2025年（版）物理《三維設計》一輪總復習（提升版）第1講　萬有引力和相對論

課標要求備考策略1.知道開普勒行星運動定律和萬有引力定律。2.會計算人造地球衛(wèi)星的環(huán)繞速度。3.知道第二宇宙速度和第三宇宙速度抓住對基本概念、基本規(guī)律的理解，牢記各類公式以及公式的變形，知道任何天體做圓周運動都是靠萬有引力提供向心力的，天體表面的萬有引力近似等于天體表面的重力第1講萬有引力和相對論考點一開普勒行星運動定律定律內容圖示或公式開普勒第一定律（軌道定律）所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓，太陽處在橢圓的一個焦點上定律內容圖示或公式開普勒第二定律（面積定律）對任意一個行星來說，它與太陽的連線在相等的時間內掃過的面積相等開普勒第三定律（周期定律）所有行星軌道的半長軸的三次方跟它的公轉周期的二次方的比都相等a3T2＝k1.行星繞太陽運動的軌道通常按圓軌道處理。2.由開普勒第二定律可得12Δl1r1＝12Δl2r2，12v1·Δt·r1＝12v2·Δt·r2，解得v1v2＝3.開普勒第三定律a3T2＝k中，k值只與中心天體的質量有關，不同的中心天體k1.【開普勒第一、二定律】（2024·江蘇無錫模擬）某行星繞太陽運動的軌道如圖所示，則以下說法正確的是（）A.該行星在a點的速度比在b、c兩點的都大B.該行星在a點的速度比在b、c兩點的速度都小C.該行星與太陽的連線在相等時間內掃過的面積是不相等的D.該行星繞太陽做勻速圓周運動，太陽在圓心上解析：A由開普勒第二定律得相等時間內，太陽和運動著的該行星的連線所掃過的面積是相等的，知該行星在近日點速度最大、遠日點速度最小，所以該行星在a點的速度比在b、c兩點的速度都大，故A正確，B、C錯誤；由開普勒第一定律可知，太陽一定在該橢圓軌道的一個焦點上，行星繞太陽做橢圓運動，D錯誤。2.【開普勒第三定律】由于潮汐力的作用，地球的自轉將逐漸變慢。設想未來某個時候地球上的一晝夜為27h，則那個時候地球上空的同步衛(wèi)星的軌道半徑與現(xiàn)在同步衛(wèi)星的軌道半徑之比為（）A.98 B.C.9823解析：C設地球現(xiàn)在的自轉周期為T0，同步衛(wèi)星的軌道半徑為r0，地球的自轉逐漸變慢后，地球未來的自轉周期為T1，同步衛(wèi)星的軌道半徑為r1，由開普勒第三定律可知，r03T02＝r13T12，解得r3.【開普勒第二定律】（2024·江蘇揚州模擬）如圖所示，哈雷彗星在近日點與太陽中心的距離為r1，線速度大小為v1，加速度大小為a1；在遠日點與太陽中心的距離為r2，線速度大小為v2，加速度大小為a2，則（）A.v1v2＝r2rC.a1a2＝v12解析：A由于哈雷彗星做的不是圓周運動，在近日點做離心運動，在遠日點做近心運動，因此不能通過萬有引力充當向心力計算其在近日點和遠日點的線速度之比，需通過開普勒第二定律求解，設在極短時間Δt內，在近日點和遠日點哈雷彗星與太陽中心的連線掃過的面積相等，即有12v1Δt·r1＝12v2Δt·r2，可得v1∶v2＝r2∶r1，故A正確，B錯誤；在近日點，根據(jù)牛頓第二定律有Gm太mr12＝ma1，在遠日點，根據(jù)牛頓第二定律有Gm太mr22＝ma2，聯(lián)立解得a1∶考點二萬有引力定律的理解和應用1.內容自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的方向在它們的連線上，引力的大小與物體的質量m1和m2的乘積成正比、與它們之間距離r的二次方成反比。2.表達式F＝Gm1m2r2，G為引力常量，通常取G＝6.67×10－11N·m2/kg3.適用條件（1）公式適用于質點間的相互作用，當兩個物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質點。（2）質量分布均勻的球體可視為質點，r是兩球心間的距離。?判斷小題1.只有天體之間才存在萬有引力。（×）2.只要知道兩個物體的質量和兩個物體之間的距離，就可以由F＝Gm1m2r2計算這兩個物體間的萬有引力。3.地面上的物體所受地球的萬有引力方向一定指向地心。（√）4.兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大。（×）萬有引力與重力的關系地球對物體的萬有引力F表現(xiàn)為兩個效果：一是重力mg，二是提供物體隨地球自轉需要的向心力F向，如圖所示。（1）在赤道上：Gm地mR2＝mg1＋m（2）在兩極上：Gm地mR2【例1】將地球看成一個半徑為R的圓球，在北極用彈簧測力計將一個物體豎直懸掛，物體靜止時，彈簧測力計彈力大小為F1；在赤道，用彈簧測力計將同一物體豎直懸掛，物體靜止時，彈簧測力計彈力大小為F2。已知地球自轉周期為T，則該物體的質量為（）A.F1T2C.（F1－答案：C解析：設地球質量為M，物體質量為m，在北極萬有引力等于重力，即等于彈簧測力計的示數(shù)，有F1＝GMmR2，在赤道處，萬有引力與重力的差值提供向心力，所以有GMmR2－mg＝m·2πT2·R，mg＝F2，聯(lián)立解得天體不同位置重力加速度1.在地球表面附近的重力加速度g（不考慮地球自轉）：由Gm地mR2＝mg，得2.在地球上空距離地心r＝R＋h處的重力加速度g'：由Gm地m（R＋?）2＝mg'，得【例2】某實驗小組設計了用單擺測量海底深度的實驗。在靜止于海底的蛟龍?zhí)柪?，測得擺長為l的單擺，完成N次全振動用時為t。設地球為均質球體，半徑為R，地球表面的重力加速度大小為g。已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零。則下列說法正確的是（）A.此海底處的重力加速度大于地球表面的重力加速度B.此海底處的重力加速度為無窮大C.此海底處的深度為h＝4πD.此海底處的重力加速度大小為4答案：D解析：根據(jù)萬有引力提供重力，則在地球表面，有Gm地mR2＝mg，解得g＝Gm地R2＝Gρ43πR3R2＝4πRρG3，已知質量分布均勻的球殼對殼內物體的引力為零，所以此海底處有GM'mR'2＝mg'，得g'＝4πR'ρG3，因為R'＜R，所以g'＜g，故A、B錯誤；根據(jù)單擺周期公式T＝2πl(wèi)g，則此海底處的重力加速度大小為g'＝4π2lT2＝4π2l·N考點三天體質量和密度的估算1.“自力更生”法（g－R）利用天體表面的重力加速度g和天體半徑R。（1）由GMmR2＝mg，得天體質量M＝（2）天體密度ρ＝MV＝M43（3）GM＝gR2稱為黃金代換公式。2.“借助外援”法（T－r）測出衛(wèi)星繞天體做勻速圓周運動的周期T和半徑r。（1）由GMmr2＝m4π2T2r（2）若已知天體的半徑R，則天體的密度ρ＝MV＝M43（3）若衛(wèi)星繞天體表面運行時，可認為軌道半徑r等于天體半徑R，則天體密度ρ＝3πGT2，可見，【例3】（2023·遼寧高考7題）在地球上觀察，月球和太陽的角直徑（直徑對應的張角）近似相等，如圖所示。若月球繞地球運動的周期為T1，地球繞太陽運動的周期為T2，地球半徑是月球半徑的k倍，則地球與太陽的平均密度之比約為（）A.k3T1T22 C.1k3T答案：D解析：設月球繞地球運動的軌道半徑為r1，地球繞太陽運動的軌道半徑為r2，根據(jù)Gm中mr2＝m4π2T2r可得，Gm地m月r12＝m月4π2T12r1，Gm地m日r22＝m地4π2【例4】（2024·河北保定模擬）“古有司南，今有北斗”，如圖甲所示的北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)入選“2022全球十大工程成就”。組成北斗系統(tǒng)的衛(wèi)星運行軌道半徑r越大，線速度v越小。衛(wèi)星運行狀態(tài)視為勻速圓周運動，其v2－r圖像如圖乙所示，圖中R為地球半徑，r0為北斗星座GEO衛(wèi)星的運行軌道半徑，圖中物理量的單位均為國際單位，引力常量為G，忽略地球自轉，則（）A.地球的質量為bB.地球的密度為3C.GEO衛(wèi)星的加速度為bRD.地球表面的重力加速度為b答案：C解析：根據(jù)GMmR2＝mbR，得地球的質量M＝bRG，A錯誤；地球的密度ρ＝MV＝3b4GπR2，B錯誤；根據(jù)GMmr02＝ma，GM＝bR，解得GEO衛(wèi)星的加速度a＝bRr0跟蹤訓練·鞏固提升1.“高分六號”光學遙感衛(wèi)星在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功發(fā)射，這是我國第一顆實現(xiàn)精準農業(yè)觀測的高分衛(wèi)星，其運行軌道為如圖所示的橢圓軌道，地球位于橢圓的一個焦點上。軌道上標記了“高分六號”經過相等時間間隔Δt＝T14，T為軌道周期的有關位置，則下列說法正確的是（）A.面積S1＞S2B.衛(wèi)星在軌道A點的速率小于在B點的速率C.T2＝Ca3，其中C為常量，a為橢圓軌道半長軸D.T2＝C'b3，其中C'為常量，b為橢圓軌道半短軸解析：C根據(jù)開普勒第二定律可知，衛(wèi)星與地球的連線在相等時間內掃過的面積相等，故面積S1＝S2，選項A錯誤；根據(jù)開普勒第二定律可知，衛(wèi)星在軌道A點的速率大于在B點的速率，選項B錯誤；根據(jù)開普勒第三定律可知a3T2＝k，可得T2＝1ka3＝Ca3，其中C為常量，a為橢圓軌道半長軸，選項C2.如圖，海王星繞太陽沿橢圓軌道運動，P為近日點，Q為遠日點，M、N為軌道短軸的兩個端點，運行的周期為T0。若只考慮海王星和太陽之間的相互作用，則海王星在從P經M、Q到N的運動過程中（）A.從P到M所用的時間等于TB.從Q到N階段，機械能逐漸變大C.從P到Q階段，速率逐漸變大D.從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功解析：D海王星從P到Q用時T02，PM段的速度大小大于MQ段的速度大小，則PM段所用的時間小于MQ段所用的時間，所以P到M所用的時間小于T04，故A錯誤；海王星從Q到N的過程中，由于只有萬有引力做功，機械能守恒，故B錯誤；海王星從P到Q階段，萬有引力對它做負功，速率減小，故C錯誤；根據(jù)萬有引力方向與速度方向的關系知，海王星從M到N階段，萬有引力對它先做負功后做正功3.（多選）宇航員在地球表面以一定初速度豎直上拋一小球，經過時間t小球落回原處。若他在某星球表面以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經過時間5t小球落回原處。已知該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度為g，設該星球表面附近的重力加速度大小為g'，空氣阻力不計，忽略地球和星球自轉的影響。則（）A.g'∶g＝1∶5 B.g'∶g＝5∶2C.M星∶M地＝1∶20 D.M星∶M地＝1∶80解析：AD設拋球的初速度為v0，由對稱性可知豎直上拋的小球在地球上上拋至落回原處所用的時間t＝2v0g，得g＝2v0t，同理，可得g'＝2v05t，因此得g'g＝t5t＝15，選項A正確，B錯誤；由GM地mR地2＝mg得M地＝gR地2G，4.（2024·廣東深圳模擬）二十四節(jié)氣是中華民族的文化遺產。地球沿橢圓形軌道繞太陽運動，所處四個位置分別對應北半球的四個節(jié)氣，如圖所示。下列關于地球繞太陽公轉的說法正確的是（）A.冬至時線速度最大B.夏至和冬至時的角速度相同C.夏至時所受太陽的引力最大D.可根據(jù)地球的公轉周期求出地球的質量解析：A由開普勒第二定律可知地球在近日點運行速度最大，在遠日點速度最小，冬至時地球在近日點位置，所以運行速度最大，A正確；由開普勒第二定律可知相同時間內地球與太陽連線掃過的面積相同，因此相同時間轉過的角度不同，角速度不同，B錯誤；夏至時距離太陽最遠，所受太陽的引力最小，C錯誤；根據(jù)地球的公轉周期能計算的是中心天體太陽的質量，D錯誤。5.（2024·四川成都模擬）中國空間站天和核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，已知其軌道距地面的高度為h，運行周期為T，地球半徑為R，萬有引力常量為G，由此可得到地球的平均密度為（）A.3πGTC.3π（R解析：C中國空間站天和核心艙繞地球的運行可視為勻速圓周運動，根據(jù)萬有引力提供向心力，有GMm（R＋?）2＝m2πT2（R＋h），可求得地球的質量M＝4π2（R＋?6.（2024·河南鄭州模擬）運行在星際間的流星體（通常包括宇宙塵粒和固體塊等空間物質），在接近地球時由于受到地球引力的攝動而被地球吸引，從而進入大氣層，并與大氣摩擦燃燒產生光跡。若某流星距離地面高度為一個地球半徑，地球北極的重力加速度為g，則流星的加速度為（）A.g2 B.C.g3 D.解析：B設地球的質量為M，引力常量為G，由于地球北極的重力加速度為g，所以GMmR2＝mg，解得GM＝gR2，若流星的質量為m0，則流星受到的萬有引力F＝GMm04R2，由牛頓第二定律得F＝m0a，聯(lián)立解得流星的加速度7.（2024·河北邢臺模擬）宇宙飛船繞地球做勻速圓周運動，它的軌道距地心的距離等于地球半徑的k倍，它的運動周期為T，引力常量為G，則地球的平均密度ρ的表達式為（）A.ρ＝3πk3GC.ρ＝3π（k+1解析：A根據(jù)萬有引力提供向心力可得GMmr2＝mr4π2T2，解得地球的質量為M＝4π2r3GT2，其中r＝kR，根據(jù)密度的計算公式ρ＝MV，其中V＝43πR3，8.卡文迪什在1798年17卷《哲學學報》中發(fā)表他關于引力常量的測量時，曾提到他的實驗是為了確定地球的密度。已知引力常量為G，要想估測地球的密度，只需測得（）A.地球的質量 B.地球的半徑C.近地衛(wèi)星的運行周期 D.地球表面的重力加速度解析：C根據(jù)萬有引力與重力的關系有Gm地mR2＝mg，解得m地＝gR2G，則ρ＝m地V＝m地43πR3＝3g4GπR，可知只測得地球的質量、或地球的半徑、或地球表面的重力加速度，均不能估測地球的密度，故A、B、D錯誤；對于質量為m的近地衛(wèi)星，設其運行周期為T，根據(jù)萬有引力提供向心力得Gm地mR2＝9.（2024·九省聯(lián)考河南）若兩顆人造衛(wèi)星M、N繞地球做勻速圓周運動，M、N到地心的距離之比為k，忽略衛(wèi)星之間的相互作用。在時間t內，衛(wèi)星M與地心連線掃過的面積為SM，衛(wèi)星N與地心連線掃過的面積為SN，則SM與SN的比值為（）A.1B.k C.1k2解析：D根據(jù)GMmr2＝mv2r，可知v＝GMr，則衛(wèi)星在時間t內與地心的連線掃過的面積為S＝12vtr＝12tGMr，則SM10.（2024·青海西寧模擬）人類通過不斷的探索，發(fā)現(xiàn)了適宜人類居住的星球，該宜居星球的密度與地球密度相同，半徑為地球半徑的4倍，假設地球表面重力加速度為10m/s2，則該宜居星球表面重力加速度為（）A.0.25m/s2 B.40m/s2C.20m/s2 D.10m/s2解析：B設地球的密度為ρ、質量為M地、半徑為R地、重力加速度為g地，假設地球表面有一物體的質量為m，則由萬有引力等于重力可得GM地mR地2＝mg地，其中M地＝ρV＝43πR地3ρ，可得g地＝4πR地Gρ3，由題意知，該宜居星球的密度與地球密度相同，半徑為地球半徑的4倍，設該宜居星球的重力加速度為g星，則同理可知g星11.科幻電影中提到的“洛希極限”是指當一個天體自身的引力與第二個天體造成的潮汐力相等時的距離，已知行星與衛(wèi)星的洛希極限計算式為d＝kRρ1ρ213，其中k為常數(shù)，R為行星半徑，ρ1、ρ2分別為行星和衛(wèi)星的密度，若行星半徑R，衛(wèi)星半徑為R27，且它們表面的重力加速度之比為8∶1，則其“A.23kR B.3C.6kR D.16解析：A根據(jù)星球表面處物體的重力等于萬有引力，有GMmR2＝mg，解得M＝gR2G，星球的密度為ρ＝MV＝3g4GRπ，則ρ1ρ2＝827，則其“12.（2024·四川宜賓模擬）太陽系的幾乎所有天體包括小行星都自轉，由于自轉導致星球上的物體所受的重力與萬有引力的大小之間存在差異，有的兩者的差異可以忽略，有的兩者卻不能忽略，若有一個這樣的星球，半徑為R，繞過兩極且與赤