2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測專題03 不等式4題型分類-備2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點突破和專題檢測（原卷版）

專題03不等式4題型分類1．不等式的性質(zhì)（1）對稱性：a>b?b<a．（2）傳遞性：a>b，b>c?a>c．（3）可加性：a>b?a＋c>b＋c．（4）可乘性：a>b，c>0?ac>bc；a>b，c<0?ac<bc．（5）同向可加性：a>b，c>d?a＋c>b＋d．（6）同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0?ac>bd．（7）同正可乘方性：a>b>0?an>bn(n∈N，n≥2)．2．兩個實數(shù)比較大小的方法作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?a>b，,a－b＝0?a＝b，,a－b<0?a<b.))(a，b∈R)．3．基本不等式（1）基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)．（2）基本不等式成立的條件：a>0，b>0．（3）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．（4）其中eq\f(a＋b,2)叫做正數(shù)a，b的算術(shù)平均數(shù)，eq\r(ab)叫做正數(shù)a，b的幾何平均數(shù)．4．幾個重要的不等式（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．（2）eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．（3）ab≤(a，b∈R)．（4）eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．5．三個“二次”的關(guān)系判別式ΔΔ>0Δ＝0Δ<0二次函數(shù)的圖象方程的根有兩個不相等的實數(shù)根x1，x2(x1<x2)有兩個相等的實數(shù)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)沒有實數(shù)根不等式的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－eq\f(b,2a)}R6．分式不等式與絕對值不等式（1）eq\f(fx,gx)>0(<0)?f(x)g(x)>0(<0)．（2）eq\f(fx,gx)≥0(≤0)?f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0．（3）|x|>a(a>0)的解集為(－∞,－a)∪(a,＋∞)，|x|<a(a>0)的解集為(－a,a)．（一）不等式的性質(zhì)1．常用結(jié)論（1）若ab>0，且a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b)．（2）若a>b>0，m>0?eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)．（3）若b>a>0，m>0?eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m)．2．判斷不等式的常用方法．（1）利用不等式的性質(zhì)逐個驗證．（2）利用特殊值法排除錯誤選項．（3）作差法．（4）構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性．題型1：不等式的性質(zhì)1-1．（2024高三上·廣東·期末）已知，，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．1-2．（2024·全國）若a>b，則A．ln(a?b)>0 B．3a<3bC．a(chǎn)3?b3>0 D．│a│>│b│1-3．（2024·山東）若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是A． B．C． D．（二）比較大小1．不等式大小比較的常用方法（1）作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果．（2）作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）．（3）分析法．（4）平方法．（5）分子（或分母）有理化．（6）利用函數(shù)的單調(diào)性．（7）尋找中間量或放縮法．（8）圖象法．其中比較法（作差、作商）是最基本的方法．題型2：比較大小2-1．（2024·全國）已知，則（

）A． B． C． D．2-2．（2024高三·全國·課后作業(yè)）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求證：；（2）設(shè)x，，比較與的大小.2-3．（2024高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）（1）試比較與的大?。唬?）已知，，求證：．（三）基本不等式1．基本不等式（1）基本不等式：eq\r(ab)≤eq\f(a＋b,2)(a>0，b>0)．（2）等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時，等號成立．2．幾個重要的不等式（1）a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．（2）eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2(a，b同號)．（3）ab≤(a，b∈R)．（4）eq\f(a2＋b2,2)≥(a，b∈R)．3．基本不等式求最值（1）前提：“一正”“二定”“三相等”．（2）要根據(jù)式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數(shù)的形式，然后再利用基本不等式．（3）條件最值的求解通常有三種方法：一是配湊法；二是將條件靈活變形，利用常數(shù)“1”代換的方法；三是消元法．題型3：基本不等式3-1．（2024高一下·廣西柳州·期末）若，則的最小值為.3-2．（2024高三·河北·學(xué)業(yè)考試）若，，且，則的最大值為．3-3．（2024高三上·湖南婁底·期末）已知a，b為正實數(shù)，且，則的最小值為．3-4．（2024·天津南開·一模）已知實數(shù)，則的最小值為.3-5．（2024高三上·江蘇常州·開學(xué)考試）已知正實數(shù)滿足，則的最小值為.3-6．（2024·上海浦東新·二模）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．3-7．（2024·上海長寧·二模）某小學(xué)開展勞動教育，欲在圍墻邊用柵欄圍城一個2平方米的矩形植物種植園，矩形的一條邊為圍墻，如圖．則至少需要米柵欄．（四）不等式的求解1．含參一元二次不等式的解法（1）根據(jù)二次項系數(shù)為正、負(fù)及零進(jìn)行分類．（2）根據(jù)判別式Δ與0的關(guān)系判斷根的個數(shù)．（3）有兩個根時，有時還需根據(jù)兩根的大小進(jìn)行討論．2．一元二次不等式恒成立問題（1）弄清楚自變量、參數(shù)．一般情況下，求誰的范圍，誰就是參數(shù)．（2）一元二次不等式在R上恒成立，可用判別式Δ；一元二次不等式在給定區(qū)間上恒成立，不能用判別式Δ，一般分離參數(shù)求最值或分類討論．題型4：不等式的求解4-1．（2024·全國）已知集合則（

）A． B．C． D．4-2．（2024高一下·廣東陽江·期末）不等式的解集為（

）A． B．C． D．4-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）解下列關(guān)于的不等式．4-4．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若不等式對任意恒成立，實數(shù)x的取值范圍是.4-5．（2024高二下·吉林·期末）若使關(guān)于的不等式成立，則實數(shù)的取值范圍是．4-6．（2024·廣西·模擬預(yù)測）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是．4-7．（2024高三上·北京·期中）若關(guān)于x的不等式在區(qū)間上有解，則實數(shù)a的取值范圍是.一、單選題1．（2024高一上·吉林延邊·期末）已知，，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．2．（2024·遼寧·二模）數(shù)學(xué)命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設(shè)，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．3．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）已知x，y都是正數(shù)，且，則下列選項不恒成立的是（

）A． B．C． D．4．（2024高二上·寧夏·期中）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設(shè)，求的最小值；解答過程：，當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立，把代入得最小值為4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個5．（2024高三下·重慶渝中·階段練習(xí)）已知正實數(shù)a，b滿足，則的最小值是（）A．2 B． C． D．66．（2024高三下·浙江·期中）設(shè)，，若，則的最大值為（

）A． B． C． D．7．（2024高三上·河北承德·階段練習(xí)）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍（

）A． B． C． D．8．（2024·全國·模擬預(yù)測）若關(guān)于x的不等式的解集中恰有4個整數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B．C． D．9．（2024高一下·浙江湖州·開學(xué)考試）已知關(guān)于的不等式的解集為或，則下列說法正確的是（

）A． B．不等式的解集為C． D．不等式的解集為10．（2024高一上·上海浦東新·期中）已知實數(shù)，關(guān)于的不等式的解集為，則實數(shù)a、b、、從小到大的排列是(

)A． B．C． D．安徽省合肥一六八中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題）關(guān)于的不等式的解集為，則不等式的解集為（

）A． B． C． D．12．（2024·北京海淀·模擬預(yù)測）已知關(guān)于x的不等式的解集是，則下列四個結(jié)論中錯誤的是（

）A．B．C．若關(guān)于x的不等式的解集為，則D．若關(guān)于x的不等式的解集為，且，則13．（2024高三上·江蘇南通·期中）已知關(guān)于x的不等式的解集為，其中，則的最小值為（

）A．－2 B．1 C．2 D．814．（2024·山東）已知二次函數(shù)的圖像如圖所示，則不等式的解集是（

）A． B． C． D．15．（2024·全國）已知集合，則A． B．C． D．16．（2024·四川成都·三模）設(shè)為正項等差數(shù)列的前項和．若，則的最小值為（

）A． B． C． D．17．（2024·北京房山·二模）下列函數(shù)中，是偶函數(shù)且有最小值的是（

）A． B．C． D．18．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）若正實數(shù)，滿足．則的最小值為（

）A．12 B．25 C．27 D．3619．（2024·湖北荊門·模擬預(yù)測）已知實數(shù)滿足，則的最小值是（

）A．5 B．9 C．13 D．1820．（2024·湖南長沙·一模）已知，則m，n不可能滿足的關(guān)系是（

）A． B．C． D．21．（2024·浙江杭州·二模）已知，，且，則ab的最小值為（

）A．4 B．8 C．16 D．3222．（2024·河南安陽·三模）已知，則下列命題錯誤的是（

）A．若，則B．若，則的最小值為4C．若，則的最大值為2D．若，則的最大值為23．（2024·廣東湛江·二模）當(dāng)，時，恒成立，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題24．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知，，則下列關(guān)系式一定成立的是（

）A． B．C． D．25．（2024·山東·二模）已知實數(shù)滿足，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．26．（2024高三上·山東泰安·期末）若，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．27．（2024高三上·江蘇·階段練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足則（

）A．的取值范圍為 B．的取值范圍為C．的取值范圍為 D．的取值范圍為28．（2024高三下·河北衡水·階段練習(xí)）已知，，且滿足，．則的取值可以為（

）A．10 B．11 C．12 D．2029．（2024高三·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．30．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足，則（

）A． B．C． D．的最小值為131．（2024·江蘇·模擬預(yù)測）已知糖水中含有糖()，若再添加糖完全溶解在其中，則糖水變得更甜了(即糖水中含糖濃度變大)，根據(jù)這個事實，下列不等式中一定成立的有（

）A． B．C． D．32．（2024·全國）若x，y滿足，則（

）A． B．C． D．33．（2024·重慶·模擬預(yù)測）若實數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．34．（2024高三下·湖北·階段練習(xí)）已知，且，則（

）A．的最小值為4 B．的最小值為C．的最大值為 D．的最小值為35．（2024·云南紅河·一模）已知，，且，則下列說法正確的是（

）A． B． C． D．36．（2024·山西·一模）設(shè)，，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最大值為 B．的最小值為C．的最小值為9 D．的最小值為37．（2024·山東）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（

）A． B．C． D．38．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知實數(shù)a，b滿足，則下列說法正確的有（

）A． B．C．若，則 D．39．（2024高一上·浙江溫州·期中）已知，且則下列結(jié)論一定正確的有（

）A． B．C．a(chǎn)b有最大值4 D．有最小值940．（2024高一上·江蘇蘇州·階段練習(xí)）下列說法正確的是（

）A．若且，則，至少有一個大于2B．，C．若，，則D．的最小值為241．（2024·云南曲靖·模擬預(yù)測）若實數(shù)滿足，則（

）A．且 B．的最大值為C．的最小值為7 D．三、填空題42．（2024高一·全國·單元測試）若,則將從小到大排列為.43．（2024高二·全國·單元測試）如果a>b，給出下列不等式：①；②a3>b3；③；④2ac2>2bc2；⑤>1；⑥a2＋b2＋1>ab＋a＋b.其中一定成立的不等式的序號是．44．（2024高三上·上海普陀·期中）已知三個實數(shù)a、b、c，當(dāng)時，且，則的取值范圍是．45．（2024·浙江）已知實數(shù)、、滿足，，則的最大值為.46．（2024·山西·一模）我們都知道一杯糖水中再加入一些糖，糖水會更甜．這句話用數(shù)學(xué)符號可表示為：，其中，且a，b，．據(jù)此可以判斷兩個分?jǐn)?shù)的大小關(guān)系，比如（填“＞”“＜”）．47．（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）若克不飽和糖水中含有克糖，則糖的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為，這個質(zhì)量分?jǐn)?shù)決定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加克糖，生活經(jīng)驗告訴我們糖水會變甜，從而可抽象出不等式(，)數(shù)學(xué)中常稱其為糖水不等式.依據(jù)糖水不等式可得出(用“”或“”填空)；并寫出上述結(jié)論所對應(yīng)的一個糖水不等式.48．（2024高三上·天津南開·階段練習(xí)）若，，且，則的最小值是．49．（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知，則的最小值為.50．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若，則的最小值為51．（2024高三下·上海浦東新·階段練習(xí)）若關(guān)于x的不等式的解集為，則的最小值為．52．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）若，，則的最小值為.53．（2024高二下·浙江·期中）已知，，滿足，則的最小值是．54．（2024·天津·一模）若，，，，則的最小值為．55．（2024高三上·浙江寧波·期中）已知，，，則取到最小值為．56．（2024·安徽蚌埠·二模）若直線過點，則的最小值為．57．（2024高三下·河北·階段練習(xí)）已知，則的最小值為.58．（2024高一上·山東煙臺·階段練習(xí)）已知，，且，則的最小值為.59．（2024高三下·浙江·開學(xué)考試）已知正實數(shù)a，b，c，，則的最小值為．60．（2024·天津濱海新·模擬預(yù)測）已知，則的最大值是.61．（2024·上海金山·二模）若實數(shù)滿足不等式，則的取值范圍是.62．（2024高三·全國·課后作業(yè)）不等式的解集為．63．（2024高一下·湖北省直轄縣級單位·期末）函數(shù)的定義域為．64．（2024高三·全國·課后作業(yè)）不等式的解集為．65．（2024高一上·上海松江·階段練習(xí)）不等式的解集為．66．（2024·江西）不等式的的解集是67．（2024·上海崇明·二模）若不等式，則x的取值范圍是．68．（2024·上海浦東新·三模）不等式的解集是．69．（2024高三下·上海楊浦·階段練習(xí)）已知集合，則．70．（2024高一上·全國·專題練習(xí)）方程在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根，的取值范圍為．71．（2024高一·全國·專題練習(xí)）若方程有兩個不相等的實根，則可取的最大整數(shù)值是.72．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知，，則的取值范圍為.73．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若不等式對恒成立，則實數(shù)的取值范圍是．四、解答題74．（2024高三·江蘇·專題練習(xí)）利用基本不等式證明：已知都是正數(shù)，求證：75．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）已知x，y，z為正數(shù)，證明：(1)若，則；(2)若，則．76．（2024·四川綿陽·二模）已知函數(shù)，若的解集為.(1)求實數(shù)，的值；(2)已知，均為正數(shù)，且滿足，求證：.77．（2024高二下·江蘇·期末）首屆世界低碳經(jīng)濟(jì)大會在南昌召開，本屆大會以“節(jié)能減排，綠色生態(tài)”為主題.某單位在國家科研部門的支持下進(jìn)行技術(shù)攻關(guān)，采取了新工藝，把二氧化碳