浙江省溫州市普通高中2025屆高三第一次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省溫州市普通高中2025屆高三第一次適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】將集合用列舉法寫(xiě)出得：，對(duì)于集合，由可知：，所以.故選：C.2.若，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第（）象限A.一 B.二 C.三 D.四【答案】D【解析】，化簡(jiǎn)，即,即.根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義知道，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第四象限.故選：D.3.已知平面向量，滿足，，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由題意知，，，所以.故選：D.4.若方向向量為的直線與圓相切，則直線的方程可以是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由直線的方向向量為知，直線的斜率，設(shè)直線方程為，則由直線與圓相切知，圓心到直線的距離，解得或，所以直線的方程為或，即或，故選：B.5.已知，，則（）A. B.5 C. D.【答案】B【解析】,,兩式相減得,兩式相加得,所以,即,故選：B.6.已知函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，注意到，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，的最大值為，且注意到趨于負(fù)無(wú)窮時(shí)，也會(huì)趨于負(fù)無(wú)窮，若函數(shù)的值域?yàn)?，則當(dāng)且僅當(dāng)，解得.故選：A.7.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，在其相鄰兩項(xiàng)，之間插入個(gè)，得到新的數(shù)列，記的前項(xiàng)和為，則使成立的的最小值為（）A.28 B.29 C.30 D.31【答案】B【解析】由題意，數(shù)列元素依次為，，在到之間3的個(gè)數(shù)為，故到處共有35個(gè)元素，所以前30項(xiàng)中含，，及26個(gè)3，故，而，故成立的最小的為29.故選：B.8.飛行棋是一種家喻戶曉的競(jìng)技游戲，玩家根據(jù)骰子（骰子為均勻的正六面體）正面朝上的點(diǎn)數(shù)確定飛機(jī)往前走的步數(shù)，剛好走到終點(diǎn)處算“到達(dá)”，如果玩家投擲的骰子點(diǎn)數(shù)超出到達(dá)終點(diǎn)所需的步數(shù)，則飛機(jī)須往回走超出點(diǎn)數(shù)對(duì)應(yīng)的步數(shù).在一次游戲中，飛機(jī)距終點(diǎn)只剩3步（如圖所示），設(shè)該玩家到達(dá)終點(diǎn)時(shí)投擲骰子的次數(shù)為，則（）A.3 B.4 C.5 D.6【答案】D【解析】玩家投擲1次即可到達(dá)終點(diǎn)的方法是擲出3點(diǎn)，故.玩家投擲2次即可到達(dá)終點(diǎn)的方法是擲出，，，，，故.玩家投擲3次即可到達(dá)終點(diǎn)的方法是擲出，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，故.設(shè)玩家投擲次即可到達(dá)終點(diǎn)，那么第次擲得的點(diǎn)數(shù)可以為，分別記作，，，，，則玩家投擲次的基本事件是投擲次的倍，能到達(dá)終點(diǎn)的擲法：之前的對(duì)應(yīng)，，，，；對(duì)應(yīng)，，，，；對(duì)應(yīng)，，，，；對(duì)應(yīng)，，，，；對(duì)應(yīng)，，，，.是投擲次即可到達(dá)終點(diǎn)的倍.所以是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列.所以.所以即兩邊同乘以得：兩式相減得：.故選：D.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，微信公眾號(hào)：浙江省高中數(shù)學(xué)部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.觀察下列散點(diǎn)圖的分布規(guī)律和特點(diǎn)，其中兩個(gè)變量存在相關(guān)關(guān)系的有（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】相關(guān)關(guān)系對(duì)應(yīng)的圖形是散點(diǎn)圖，ABC都能反映兩個(gè)變量的變化規(guī)律，它們都具有相關(guān)關(guān)系；D中的點(diǎn)散亂地分布在坐標(biāo)平面內(nèi)，不能反映兩個(gè)變量的變化規(guī)律，不具有相關(guān)關(guān)系．故選：ABC.10.已知，，，，其中，點(diǎn)為平面內(nèi)一點(diǎn)，記點(diǎn)到，的距離分別為，，則下列條件中能使點(diǎn)的軌跡為橢圓的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】對(duì)A：根據(jù)橢圓的定義，，所以點(diǎn)軌跡為橢圓，故A正確；對(duì)B：設(shè)Px,y，則由，所以點(diǎn)軌跡圓，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由，分情況去掉絕對(duì)值符號(hào)，可知點(diǎn)的軌跡為4條線段，不是橢圓，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由，因?yàn)?，所以點(diǎn)軌跡為橢圓，故D正確.故選：AD.11.已知函數(shù)，則（）A. B.當(dāng)時(shí)，C.當(dāng)時(shí)， D.當(dāng)時(shí)，【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，由和差化積公式:得：,其中，故sin2>0,sin3>0,即A正確；對(duì)于B，對(duì)求導(dǎo),，在上，令f'x<0得令f'所以在和單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故在區(qū)間上的最大值為f4π3=32-2×-3對(duì)于C，當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,故上單調(diào)遞增,而當(dāng)時(shí),，且,故正確；對(duì)于D，，由和差化積公式:得，因?yàn)?，所以，所以，所以，?,由積化和差得，,其中,上述不等式顯然成立，故D正確,故選：ACD.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在題中的橫線上.12.已知橢圓和雙曲線的焦點(diǎn)相同，則______.【答案】【解析】對(duì)于雙曲線，可知其半焦距，且焦點(diǎn)在x軸上，對(duì)于橢圓可得，且，解得.故答案為：.13.如圖所示的五面體為《九章算術(shù)》中記載的羨除，它指的是墓道或隧道.其中，四邊形，，均為等腰梯形，平面平面，，，，和間的距離為2，和間的距離為4，則該羨除的體積為_(kāi)_____.【答案】12【解析】如圖：連接、則，，所以該羨除的體積為：.14.已知正項(xiàng)數(shù)列滿足，且，則______.【答案】6069【解析】因?yàn)闉檎?xiàng)數(shù)列且，①所以，②得，即，所以是以為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，令可得，又，，所以，解得，.故答案為：6069.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若為中點(diǎn)，，，求的周長(zhǎng).解：（1）解法1：由題意，得，則，所以，因?yàn)樵谥?，，所?解法2：由題意，得，所以，因此，因?yàn)?，所?解法3：由題意，得，所以由射影定理，得，因?yàn)?，所?（2）解法1：由已知條件，得.在利用余弦定理，得.所以，由余弦定理，得，所以.因此，所以周長(zhǎng)為.解法2：因?yàn)?，所?因此，所以，又由余弦定理，得，所以，因此，，所以的周長(zhǎng)為.解法3：以的邊，為鄰邊將補(bǔ)成平行四邊形，利用平行四邊形長(zhǎng)度關(guān)系可得，，所以.又由余弦定理，得，所以，因此，，所以的周長(zhǎng)為.解法4：利用向量關(guān)系，可得CD=因此，又由余弦定理，得，所以，因此，，所以的周長(zhǎng)為.解法5：在和分別利用余弦定理，可得.所以，又由余弦定理，得，所以，因此，所以的周長(zhǎng)為.16.點(diǎn)在拋物線上，且到拋物線的焦點(diǎn)的距離為.（1）求拋物線方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，且，求直線的方程.解：（1）根據(jù)焦半徑公式可得，所以，又，所以，解得或（舍去），故所求拋物線方程為.（2）法1：，，設(shè)，，，，所以，，（舍去），所以即.法2：設(shè)，，，，所以，，所以過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)檫^(guò)，所以；法3：，，設(shè)，，，，.，，所以.法4：設(shè)，，不妨設(shè)，，，，同理，，，，又因?yàn)檫^(guò)，所以.法5：設(shè)，，，，，，，.又因過(guò)，所以，解得，，所以.17.如圖，在三棱柱中，平面平面，平面.（1）求證：；（2）若二面角的正弦值為，且，求.（1）證明：過(guò)作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以面，因?yàn)槊嫠?，又因?yàn)槠矫妫?，而面，所以面，因?yàn)槊嫠裕?）解：如圖，以為原點(diǎn)，，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，二面角的平面角與二面角的平面角互補(bǔ)，記為，設(shè)，有A2,0,0，，，，設(shè)面的法向量為，有，即，令，得，又面的法向量為，所以，解得，所以.18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求的最小值；（2）若與在原點(diǎn)處的切線重合，且函數(shù)有且僅有三個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí)，，，令得：，當(dāng)時(shí)，f'x<0，時(shí)，f所以在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增所以時(shí)，.（2），，由得：，所以，問(wèn)題即：有且僅有三個(gè)變號(hào)零點(diǎn)當(dāng)時(shí)，，故Fx在單調(diào)遞減，又，所以故此時(shí)Fx在有且僅有一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)0，不合題意；當(dāng)時(shí)，所以在有唯一零點(diǎn).Fx在遞增，遞減，故此時(shí)Fx在至多有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，，，所以在有兩個(gè)零點(diǎn)：，且時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，所以Fx在遞減，遞增，遞減，又，故，，又時(shí)，，因?yàn)榈脑鲩L(zhǎng)速度大于的增長(zhǎng)速度，故，，于是，又，，所以，令，則，因?yàn)榈脑鲩L(zhǎng)速度大于的增長(zhǎng)速度，故，，于是，所以Fx在，各有一個(gè)零點(diǎn)，，故此時(shí)Fx有三個(gè)零點(diǎn)：，0，，合題意：所以.19.已知集合.（1）集合，且中的任意三個(gè)不同的元素，，都有.（i）當(dāng)時(shí)，寫(xiě)出一個(gè)滿足條件的恰有四個(gè)元素的集合；（ii）對(duì)于任意給定的，求集合中的元素個(gè)數(shù)的最大值.（2）已知集合，，且同時(shí)滿足以下條件：①，，都有（其中，，）；②，，使得（其中）.求集合中的元素個(gè)數(shù).解：（1）（i）由，所以，可得：四元素的集合可以是：或或或或或；（ii）對(duì)于任意給定的，集合中的元素個(gè)數(shù)的最大值為，其證明過(guò)程如下：記集合，設(shè)滿足條件的集合，其中，，，，，，，，且，，則集合中的元素個(gè)數(shù)等于，根據(jù)條件對(duì)任意的，，都有（否則，就有，不合題意）又因?yàn)?，，其中，，即，，，，，，，是中的不同的元素，所以，即集合中的元素個(gè)