獨(dú)立性檢驗(yàn)課件（2）高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)（2）復(fù)習(xí)引入XY合計(jì)Y＝0Y＝1X＝0aba＋bX＝1cdc＋d合計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d例題例1：某兒童醫(yī)院用甲、乙兩種療法治療小兒消化不良.采用有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法對(duì)治療情況進(jìn)行檢查，得到了如下數(shù)據(jù):抽到接受甲種療法的患兒67名，其中未治愈15名，治愈52名;抽到接受乙種療法的患兒69名，其中未治愈6名，治愈63名.試根據(jù)小概率值α=0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：零假設(shè)為H0:療法與療效獨(dú)立，即兩種療法效果沒(méi)有差異.將所給數(shù)據(jù)進(jìn)行整理，得到兩種療法治療數(shù)據(jù)的列聯(lián)表.課本132頁(yè)療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值α=0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即認(rèn)為兩種療法效果沒(méi)有差異.為了研究每周累計(jì)戶外暴露時(shí)間是否足夠(單位：小時(shí))與近視發(fā)病率的關(guān)系，對(duì)某中學(xué)一年級(jí)100名學(xué)生進(jìn)行不記名問(wèn)卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)：

近視不近視足夠的戶外暴露時(shí)間2035不足夠的戶外暴露時(shí)間3015α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(1)用樣本估計(jì)總體思想估計(jì)該中學(xué)一年級(jí)學(xué)生的近視率；解：由題可知該中學(xué)一年級(jí)學(xué)生近視的人數(shù)為50，總數(shù)為100，利用樣本估計(jì)總體思想可知50該中學(xué)一年級(jí)學(xué)生的近視率為練習(xí)

近視不近視足夠的戶外暴露時(shí)間2035不足夠的戶外暴露時(shí)間3015α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828(2)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.001的前提下認(rèn)為不足夠的戶外暴露時(shí)間與近視有關(guān)系？解：零假設(shè)為H0:不足夠的戶外暴露時(shí)間與近視相互獨(dú)立.由卡方計(jì)算公式，可得沒(méi)有充分證據(jù)推斷H0不成立，因此可以認(rèn)為H0成立，即不足夠的戶外暴露時(shí)間與近視沒(méi)有關(guān)系.(3)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下認(rèn)為不足夠的戶外暴露時(shí)間與近視有關(guān)系？在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.01的前提下可以推斷H0不成立，即認(rèn)為不足夠的戶外暴露時(shí)間與近視有關(guān)系.

近視不近視足夠的戶外暴露時(shí)間2035不足夠的戶外暴露時(shí)間3015α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：零假設(shè)為H0:不足夠的戶外暴露時(shí)間與近視相互獨(dú)立.反思?xì)w納

對(duì)犯錯(cuò)誤概率的解釋在零假設(shè)H0成立的前提下，隨著小概率值α的逐漸減小，χ2統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的臨界值xα逐漸增大，則事件{χ2≥xα}越來(lái)越不容易發(fā)生，零假設(shè)越來(lái)越不容易被拒絕；隨著小概率值α的逐漸增大，χ2統(tǒng)計(jì)量對(duì)應(yīng)的臨界值xα逐漸減小，則事件{χ2≥xα}越來(lái)越容易發(fā)生，零假設(shè)越來(lái)越容易被拒絕.例如，對(duì)于例1中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得χ2≈4.881.(1)當(dāng)小概率值α=0.005時(shí)，x0.005=7.879，此時(shí)χ2≈4.881<7.879，則沒(méi)有充分理由拒絕零假設(shè).因此可以接受H0，即認(rèn)為兩種療法的效果沒(méi)有差異.(2)當(dāng)小概率值α=0.05時(shí)，x0.05=3.841，此時(shí)χ2≈4.881>3.841，則拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為兩種療法的效果有差異，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.(3)當(dāng)小概率值α=0.1時(shí)，x0.05=2.706，此時(shí)χ2≈4.881>2.706，則拒絕零假設(shè)，即認(rèn)為兩種療法的效果有差異，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1.觀察：在例1的2×2列聯(lián)表中，若對(duì)調(diào)兩種療法的位置或?qū)φ{(diào)兩種療效的位置，則卡方計(jì)算公式中a,b,c,d的賦值都會(huì)相應(yīng)地改變.這樣做會(huì)影響χ2取值的計(jì)算結(jié)果嗎?療法療效合計(jì)未治愈治愈甲155267乙66369合計(jì)21115136這說(shuō)明，對(duì)調(diào)兩種療法的位置，不會(huì)影響χ2取值的計(jì)算結(jié)果，同理對(duì)調(diào)兩種療效的位置也不會(huì)影響結(jié)果.對(duì)調(diào)前療法療效合計(jì)未治愈治愈乙66369甲155267合計(jì)21115136對(duì)調(diào)后解：零假設(shè)為H0:吸煙與患肺癌之間無(wú)關(guān)聯(lián).例2：為研究吸煙是否與肺癌有關(guān)，某腫瘤研究所采取有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，調(diào)查了9965人，得到成對(duì)樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)的分類統(tǒng)計(jì)結(jié)果，如下表所示.依據(jù)小概率值α=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn).吸煙肺癌合計(jì)非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計(jì)9874919965α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828例題根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到課本133頁(yè)吸煙肺癌合計(jì)非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計(jì)9874919965α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值α=0.001的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為吸煙與患肺癌有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.001.根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算，不吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率

分別為吸煙者中不患肺癌和患肺癌的頻率分別為可見(jiàn)，在被調(diào)查者中，吸煙者患肺癌的頻率是不吸煙者患肺癌的頻率的4倍以上，于是，根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以認(rèn)為吸煙者患肺癌的概率明顯大于不吸煙者患肺癌的概率，即吸煙更容易引發(fā)肺癌.吸煙肺癌合計(jì)非肺癌患者肺癌患者非吸煙者7775427817吸煙者2099492148合計(jì)9874919965應(yīng)用獨(dú)立性檢驗(yàn)解決實(shí)際問(wèn)題大致應(yīng)包括以下幾個(gè)主要環(huán)節(jié):(1)提出零假設(shè)H0:X和Y相互獨(dú)立，并給出在問(wèn)題中的解釋.

(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2×2列聯(lián)表，計(jì)算χ2的值，并與臨界值xα比較.

(3)根據(jù)檢驗(yàn)規(guī)則得出推斷結(jié)論.

(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過(guò)比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.注意，上述幾個(gè)環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進(jìn)行調(diào)整.例如，在有些時(shí)候，分類變量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問(wèn)題中給定的.反思?xì)w納思考：獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想類似于我們常用的反證法，你能指出二者之間的相同和不同之處嗎?簡(jiǎn)單地說(shuō)，反證法是在某種假設(shè)H0之下，推出一個(gè)矛盾結(jié)論，從而證明H0不成立；而獨(dú)立性檢驗(yàn)是在零假設(shè)H0之下，如果出現(xiàn)一個(gè)與H0相矛盾的小概率事件，就推斷H0不成立，且該推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于這個(gè)小概率.另外，在全部邏輯推理正確的情況下，反證法不會(huì)犯錯(cuò)誤，但獨(dú)立性檢驗(yàn)會(huì)犯隨機(jī)性錯(cuò)誤.獨(dú)立性檢驗(yàn)的本質(zhì)是比較觀測(cè)值與期望值之間的差異，由χ2所代表的這種差異的大小是通過(guò)確定適當(dāng)?shù)男「怕手颠M(jìn)行判斷的.這是一種非常重要的推斷方法，不僅有相當(dāng)廣泛的應(yīng)用，也開(kāi)啟了人類認(rèn)識(shí)世界的一種新的思維方式.課本134頁(yè)1.對(duì)于例1中的抽樣數(shù)據(jù)，采用小概率值α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析乙種療法的效果是否比甲種療法好.解：根據(jù)題意，可得α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828根據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷H0不成立，即認(rèn)為兩種療法的效果有差異，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.甲種療法未治愈和治愈的頻率分別是乙種療法未治愈和治愈的頻率分別是因此可以推斷乙種療法的效果比甲種療法好.練習(xí)課本134頁(yè)2.從某學(xué)校獲取了容量為400的有放回簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，將所得數(shù)學(xué)和語(yǔ)文期末考試成績(jī)的樣本觀測(cè)數(shù)據(jù)整理如下:

依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)?數(shù)學(xué)成績(jī)語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀21261273優(yōu)秀5473127合計(jì)266134400α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828解：零假設(shè)為H0:數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)獨(dú)立，即數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)沒(méi)有關(guān)聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，經(jīng)計(jì)算得到根據(jù)小概率值α=0.05的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以推斷H0不成立，即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05.數(shù)學(xué)成績(jī)語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀21261273優(yōu)秀5473127合計(jì)266134400α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀的人中語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀和優(yōu)秀的頻率分別為數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人中語(yǔ)文成績(jī)不優(yōu)秀和優(yōu)秀的頻率分別為由此可以看出，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的頻率明顯高于數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀的人中語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的頻率.根據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷，數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的人其語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率較大.數(shù)學(xué)成績(jī)語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀21261273優(yōu)秀5473127合計(jì)2661344001.某校為了研究“學(xué)生的性別”和“對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度”是否有關(guān)，運(yùn)用2×2列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算χ2＝7.069，則認(rèn)為“學(xué)生性別與支持某項(xiàng)活動(dòng)有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)(

)A.0.1%B.1% C.99%D.99.9%解析：∵χ2＝7.069>6.635＝x0.01，∴認(rèn)為“學(xué)生性別與支持某項(xiàng)活動(dòng)有關(guān)系”的犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)1%.隨堂檢測(cè)2.在兩個(gè)學(xué)習(xí)基礎(chǔ)相當(dāng)?shù)陌嗉?jí)實(shí)行某種教學(xué)措施的實(shí)驗(yàn)，測(cè)試結(jié)果見(jiàn)下表，則___在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.005的前提下推斷實(shí)驗(yàn)效果與教學(xué)措施有關(guān)(填“能”“不能”).班級(jí)成績(jī)合計(jì)優(yōu)、良、中差實(shí)驗(yàn)班48250對(duì)比班381250合計(jì)8614100能3.世界杯期間，某一電視臺(tái)對(duì)年齡高于40歲和不高于40歲的人是否喜歡西班牙隊(duì)進(jìn)行調(diào)查，對(duì)高于40歲的調(diào)查了50人，不高于40歲的調(diào)查了50人，所得數(shù)據(jù)制成如下列聯(lián)表：

不喜歡西班牙隊(duì)喜歡西班牙隊(duì)合計(jì)高于40歲pq50不高于40歲153550合計(jì)ab100若工作人員從所有統(tǒng)計(jì)結(jié)果中任取一個(gè)，取到喜歡西班牙隊(duì)的人的概率為

，則在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)______的前提下認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜歡程度有關(guān).5%α0.150.100.050.0250.0100.0050.001xα2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：設(shè)“從所有人中任意抽取一個(gè)，取到喜歡西班牙隊(duì)的人”為事件A，所以q＝25，p＝25，a＝40，b＝60.依據(jù)小概率值α＝0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為年齡與西班牙隊(duì)的被喜歡程度有關(guān)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)5%.4.某校對(duì)學(xué)生課外活動(dòng)進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表，根據(jù)小概率值α＝0.005的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？性別課外活動(dòng)合計(jì)喜歡體育喜歡文娛男212344女62935合計(jì)275279解：零假設(shè)為H0：喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒(méi)有關(guān)系.∵a＝21，b＝23，c＝6，d＝29，n＝79，根據(jù)小概率值α＝0.005的χ2獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷H0不成立，即認(rèn)為喜歡體育還是喜歡文娛與性別有關(guān)系，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.005.5.某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人.為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層隨機(jī)抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間(單位：時(shí))的樣本數(shù)據(jù).(1)應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？(2)根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖(如圖)，其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為[0，2]，(2，4]，(4，6]，(6，8]，(8，10]，(10，12].估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)