2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷28.2 解直角三角形(一)同步測控優(yōu)化訓練(含答案)

2024-2025學年年七年級數(shù)學人教版下冊專題整合復習卷28.2解直角三角形(一)同步測控優(yōu)化訓練(含答案)28.2解直角三角形（一）一、課前預習(5分鐘訓練)1.在△ABC中，∠C=90°，且已知b和∠B，下列求c的表達式正確的是()A.c=bcosBB.c=bsinBC.c=D.c=2.用計算器計算下列函數(shù)值:（1）sin25°=___________；(2)sin78°41′21″=___________；（3）cos25°=___________；(4)cos78°41′21″=___________；（5）tan28°=___________；(6)tan58°41′21″=___________.3.比較上題中（1）與(2)、（3）與（4）、（5）與（6）的值，你會發(fā)現(xiàn)銳角越大,正弦值______________、余弦值______________、正切值______________.二、課中強化(10分鐘訓練)1.若sinα＜cosα,則銳角α的取值范圍是()A.α＜60°B.45°＜αC.α＜45°D.不能確定2.∠α,∠β為銳角,若∠α＞∠β，則sinα_____sinβ,cosα_____cosβ,tanα____tanβ.(填=、＞或＜＝)3.如圖28-2-1-1，一條鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，根據(jù)圖示數(shù)據(jù)計算路基的下底寬AB＝________________m.圖28-2-1-1圖28-2-1-24.如圖28-2-1-2，在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如果已知∠A和c，寫出求其他的邊和角的式子；（2）如果已知a,b，寫出求其他的邊和角的式子；（3）如果已知b,∠A，寫出求其他的邊和角的式子；（4）如果已知a,∠A，寫出求其他的邊和角的式子.5.如圖28-2-1-3，某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上某船只B并測得其俯角α=8°14′，已知觀察所A的高AC=41.11米，求觀察所A到船只B的水平距離BC.（精確到1米）圖28-2-1-3三、課后鞏固(30分鐘訓練)1.若銳角∠A>45°，cosA的值()A.cosA＜B.cosA＞C.cosA＜D.cosA＞2.若有意義，則銳角α的取值范圍是()A.30°≤α<90°B.0°<α≤30°C.60°≤α<90°D.0°<α≤60°3.如圖28-2-1-4，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連結(jié)BD，若cos∠BDC=，則BC的長是________________.圖28-2-1-44.如果∠A+∠B+∠C=180°,那么cos的值等于______________.5.在△ABC中,∠C=90°,a=,b=,求c，∠A.6.如圖28-2-1-5，工人師傅在加工此墊模時，需計算斜角α的度數(shù)，已知AC＝140mm，BD＝83mm，AE＝124mm，F(xiàn)G＝150mm，試求α的度數(shù).（精確到0.1°）圖28-2-1-57.如圖28-2-1-6，在山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹之間的水平距離）是5.5米.測得坡角是24°，求斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是多少?（精確到0.1米）圖28-2-1-68.如圖28-2-1-7，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬BC為6m，壩高為3.2m，為了提高水壩的攔水能力，需要將水壩加高2m，并保持壩頂寬度不變，但被水坡的坡度由原來的1∶2變成1∶2.5（有關數(shù)據(jù)在圖上已注明）,求加高后的壩底HD的長為多少？圖28-2-1-79.如圖,由D點測得塔基A點和塔頂B點的仰角分別為30°和54°30′,已知塔基高出地平面35米,求塔高AB.(精確到0.1米)圖28-2-1-810.如圖28-2-1-9，在一個坡角為15°的斜坡上有一棵樹，高為AB.當太陽光與水平線成50°時,測得該樹在斜坡上的樹影BE的長為7m,求樹高.(精確到0.1m)圖28-2-1-9參考答案一、課前預習(5分鐘訓練)1.在△ABC中，∠C=90°，且已知b和∠B，下列求c的表達式正確的是()A.c=bcosBB.c=bsinBC.c=D.c=解析：根據(jù)sinB=,可得C正確.答案：C2.用計算器計算下列函數(shù)值:（1）sin25°=___________；(2)sin78°41′21″=___________；（3）cos25°=___________；(4)cos78°41′21″=___________；（5）tan28°=___________；(6)tan58°41′21″=___________.解析：本題練習使用計算，目的是熟悉用計算器求三角函數(shù)值的方法.答案:略.3.比較上題中（1）與(2)、（3）與（4）、（5）與（6）的值，你會發(fā)現(xiàn)銳角越大,正弦值______________、余弦值______________、正切值______________.解析：通過比較sin25°和sin78°41′21″的大小可以知道銳角大小與其正弦值大小的關系；或者根據(jù)已知的特殊角如sin30°與sin60°的大小關系也可得出結(jié)論.sin30°=,sin60°=,可見銳角越大，正弦值越大；同理，銳角越大，余弦值越小，正切值越大.答案：越大越小越大二、課中強化(10分鐘訓練)1.若sinα＜cosα,則銳角α的取值范圍是()A.α＜60°B.45°＜αC.α＜45°D.不能確定解析：當α=45°時，sinα=cosα，而正弦值隨銳角α的增大而增大，余弦值隨銳角α的增大而減小，故C正確.答案：C2.∠α,∠β為銳角,若∠α＞∠β，則sinα______________sinβ,cosα_______cosβ,tanα____tanβ.(填=、＞或＜＝)解析：運用三種函數(shù)值與銳角的變化規(guī)律來解本題.答案：＞＜＞3.如圖28-2-1-1，一條鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，根據(jù)圖示數(shù)據(jù)計算路基的下底寬AB＝m.圖28-2-1-1圖28-2-1-2解析：如圖,作等腰梯形的高DE、CF，把AB分成三段AE、EF、FB，利用坡度可以求得，AE=BF=12.∴AB=34.答案：344.如圖28-2-1-2，在Rt△ABC中，∠C＝90°.（1）如果已知∠A和c，寫出求其他的邊和角的式子；（2）如果已知a,b，寫出求其他的邊和角的式子；（3）如果已知b,∠A，寫出求其他的邊和角的式子；（4）如果已知a,∠A，寫出求其他的邊和角的式子.解：在Rt△ABC中,∠C=90°,(1)∵sinA=,∴a=c·sinA.∵cosA=,∴b=c·cosA.∵∠A+∠B=90°,∴∠B=90°-∠A.(2)∵tanA=,查表求出∠A,∴∠B=90°-∠A.c=(或c=).(3)∵tanA=,∴a=b·tanA.∵cosA=,,∴c=或(c=).∴∠B=90°-∠A.(4)∵sinA=,∴c=.∵tanA=,∴b=a,∠B=90°-∠A.5.如圖28-2-1-3，某海島上的觀察所A發(fā)現(xiàn)海上某船只B并測得其俯角α=8°14′，已知觀察所A的高AC=41.11米，求觀察所A到船只B的水平距離BC.（精確到1米）圖28-2-1-3解：根據(jù)題意,得∠B=α=8°14′,在Rt△ABC中，AC=41.11,∴BC=≈284（米）.答:284米.三、課后鞏固(30分鐘訓練)1.若銳角∠A>45°，cosA的值()A.cosA＜B.cosA＞C.cosA＜D.cosA＞解析：根據(jù)余弦函數(shù)特點，銳角越大,值越小，∴A正確.答案：A2.若有意義，則銳角α的取值范圍是()A.30°≤α<90°B.0°<α≤30°C.60°≤α<90°D.0°<α≤60°解：∵2cosα-1≥0,∴cosα≥.∴選D.答案：D3.如圖28-2-1-4，在△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，AB的垂直平分線MN交AC于D，連結(jié)BD，若cos∠BDC=，則BC的長是________________.圖28-2-1-4解析：由cos∠BDC=知，設CD=3k,BD=5k,又∵BD=AD，∴AD+CD=3k+5k=8k=8k=1.∴CD=3cm.∴BD=5cm.∴BC=4cm.答案：4cm4.如果∠A+∠B+∠C=180°,那么cos的值等于______________.解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠C=180°-(∠A+∠B).∴cos=cos=cos(90°-)=sin.答案：sin5.在△ABC中,∠C=90°,a=,b=,求c，∠A.解：在Rt△ABC中,b=，a=,由勾股定理,得c=;tanA=,∴A=30°.6.如圖28-2-1-5，工人師傅在加工此墊模時，需計算斜角α的度數(shù)，已知AC＝140mm，BD＝83mm，AE＝124mm，F(xiàn)G＝150mm，試求α的度數(shù).（精確到0.1°）圖28-2-1-5解：BC=BD-(FG-AE)=57.在Rt△ABC中，tanα=≈0.4071，∴α≈22.2°.7.如圖28-2-1-6，在山坡上種樹，要求株距（相鄰兩樹之間的水平距離）是5.5米.測得坡角是24°，求斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是多少?（精確到0.1米）圖28-2-1-6解：在Rt△ABC中，∠A=24°，AC=5.5,∴AB=≈6.0（米）答:斜坡上相鄰兩樹間的坡面距離是6.0米.8.如圖28-2-1-7，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，壩頂寬BC為6m，壩高為3.2m，為了提高水壩的攔水能力，需要將水壩加高2m，并保持壩頂寬度不變，但被水坡的坡度由原來的1∶2變成1∶2.5（有關數(shù)據(jù)在圖上已注明）,求加高后的壩底HD的長為多少？圖28-2-1-7解：由題意,得MN=EF=3.2+2=5.2,NF=6.在Rt△HNM與Rt△EFD中，MN∶HN=1∶2.5,EF∶FD=1∶2.∴HN=13,DF=10.4.∴HD=HN+NF+FD=29.4(米).答：加高后的壩底HD的長為29.4米.9.如圖,由D點測得塔基A點和塔頂B點的仰角分別為30°和54°30′,已知塔基高出地平面35米,求塔高AB.(精確到0.1米)圖28-2-1-8解：在Rt△ADC中,AC=35,∠ADC=30°,∴CD=≈60.6(米).在Rt△CDB中,∠BDC=54°30′,∴BC=CD·tan54°30′≈85.0（米）.∴AB=BC-AC=50.0(米).答：塔高AB是50米.10.如圖28-2-1-9，在一個坡角為15°的斜坡上有一棵樹，高為AB.當太陽光與水平線成50°時,測得該樹在斜坡上的樹影BE的長為7m,求樹高.(精確到0.1m)圖28-2-1-9解：過光線與斜坡的交點E，作ED⊥AB,垂足為D點，由題意,得∠BED=15°,∠AED=50°,在Rt△EDB中，BE=7,∴DE=BE·cos∠BED≈6.76(米),BD=BE·sin∠BED≈1.81(米).在Rt△AED中,∠AED=50°,∴AD=DE·tan∠AED≈8.10(米).∴AB=AD-BD≈6.3（米）答：樹高是6.3米.28.2解直角三角形階段性反饋測試一、達標訓練1．在Rt△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C的對邊，下列關系中錯誤的是（）A．b=ccosBB．b=atanBC．a(chǎn)=csinAD．a(chǎn)=bcotB2．在△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=1，則sinB的值是（）A．B．C．D．23．在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4，cosB=，則斜邊c長為（）A．6B．4C．D．4．兩條寬度均為40米的公路相交成α角，則兩條公路相交的公共面積為（）A．C．1600sinαD．800sinα5．某落地鐘鐘擺的擺長為0.5米，來回擺動的最大夾角為60°，已知在鐘擺的擺動過程中，擺錘離地面的最低高度為a米，最大高度為b米，則b-a等于（）A．B．-C．+D．-6．測量底部可以到達的山高AB，可選擇與B點在同側(cè)同一直線上的兩點C，D，測得CD=50米，在C點測得山頂A的仰角為45°，在D點測得山頂A的仰角為30°，則山高AB等于（）A．50（）米B．25（+1）米C．25（-1）米D．50（-1）米7．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，AB=10，那么BC=_______．8．在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏東48°，甲、乙兩地同時開工，若干天后，公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西_______．9．如圖1，修建抽水站時，沿著傾斜角為30°的斜坡鋪設管道，若量得水管AB的長度為80m，那么點B離水面的高度BC的長為______m．圖1圖2圖3圖410．如圖2，小亮在操場上距離旗桿AB的C處用測角儀測得旗桿一頂端A的仰角為30°，已知BC=9m，測角儀的高CD為1.2m，那么旗桿的高為______m．（結(jié)果保留根號）11．學校校園內(nèi)有塊如圖3所示的三角形空地，計劃將這塊空地建成一個花園，以美化環(huán)境，預計花園每平方米造價為30元，學校建這個花園至少需要投資______元．12．如圖4，甲、乙兩樓的樓間距AC為10米，某人在甲樓樓底A處測得乙樓的樓頂B的仰角為60°，在乙樓樓底C處測得甲樓樓頂D的仰角為45°，則甲樓比乙樓矮_____米．（結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）13．如圖，一貨輪自西向東航行，上午8時到一座燈塔P的南偏西60°，距燈塔68海里的M處，12時到達這座燈塔的南偏東60°的N處，求貨輪的航行速度．14．如圖，攔水壩的橫斷面為梯形ABCD，已知上底上CB=5米，迎水面坡度為1：，背水面坡度為1：1，壩高為4米，求：（1）壩底寬AD的長；（2）迎水坡CD的長；（3）坡角α、β．15．在四邊形ABCD中，∠C=120°，∠B=∠D=90°，CD=3，BC=12，試求四邊形ABCD的面積．16．某數(shù)學興趣小組利用樹影測量樹高，已測出樹AB的影長AC=9米，并測出此時太陽光線與地面成30°的夾角．（1）求出樹高AB；（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發(fā)生了變化，假設太陽光線與地面夾角保持不變，試求樹影的最大長度．（計算結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.414，≈1.732）二、中考鏈接17．（2008，湖北襄樊）如圖，張華同學在學校某建筑物的C點處測處旗桿頂部A點的仰角為30°，旗桿底部B點的俯角為45°，若旗桿底部B點到建筑物的水平距離BE=9米，旗桿臺階高1米，則旗桿頂點A離地面的距離為______米．（結(jié)果保留根號）18．（2008，湖北荊門）如圖，山腳下有棵樹AB，小華從點B沿山坡向上走50米，到達點D，用高為1.5米的測角儀CD，測得樹頂?shù)难鼋菫?0°，已知山坡坡角為15°，求樹AB的高．（精確到0.1米）三、拓展思維19．如圖，某貨船以20海里/小時的速度將一批重要物資由A處運往正西方向的目的地B處，經(jīng)16小時的航行到達，到達后必須立即卸貨，接到氣象部門的通知，一臺風中心正以40海里/小時的速度由A向北偏西60°方向移動，距臺風中心200海里的圓形區(qū)域（包括邊界）都會受到影響．（1）B處是否會受到臺風的影響？請說明理由；（2）為避免受到臺風的影響，該船應在多少小時內(nèi)卸完貨物？（結(jié)果保留根號）

答案:一、1．A2．A3．A點撥：cosB==，又∵a=4，∴c=6．4．A點撥：公共部分為菱形，菱形邊長為：5．D點撥如圖所示．∵擺長為0.5米，∴OA=，∴b-a=0.5-，∴b-a=（-）米．6．B點撥：設AB=a，∵∠BCA=45°，∴BC=a，∴tan∠ADB=，∴a=25（+1）米，∴AB=25（+1）米．7．88．48°9．4010．（3+1.2）點撥：過D點作DE⊥AB于點E，∴AE=3m，∴AB=（3+1.2）m11．6750元點撥：先作出三角形的高，并求出高，再根據(jù)高求出面積．12．7.3點撥：利用三角函數(shù)求得AD=10，BC=10，∴BC-AD=10-10≈7.3（米）．13．過P點作PA⊥MN于點A．∵∠MPA=60°，∠NPA=60°，MP=68，利用三角函數(shù)可求得MA=34，NA=34海里，∴MN=68海里，∴速度為68÷4=17（海里/時）．14．（1）過C點作CE⊥AD交AD于點E，過B作BF⊥AD交AD于點F．∴tana=，∴DE=4，同理可得AF=4，∴AD=（9+4）米．（2）8米（3）α=30°，β=45°．15．延長BC，與D的延長線交于點E．∵∠BCD=120°，∴∠DCE=60°，在Rt△CDE中，CD=3，∠DCE=60°，∴∠E=30°，EC=，∴EC=6，∵BC=12，∴BE=12+6=18．在Rt△ABE中，∠E=30°，BE=18，則AB=6，S△ABE=18×6×=54，S△CDE=ED×CD×=3×3×=，S四邊形ABCD=S△ABE-S△CDE=54-=．16．（1）約5.2米（2）當樹身在倒下過程中與太陽光線垂直時，樹影最長，設太陽光與地面交于點F，樹頂為E，樹底為A，∠F=30°，∠AEF=90°，已知樹高3米，影長AF=≈10.4米，所以樹影的最大長度約為10.4米．二、17．10+3點撥：過點C作AB的垂線分別構(gòu)造兩個直角三角形求解．18．延長CD交PB于點F，則DF⊥PB，∴DF=BDsin15°≈50×0.26=13，∴CE=BF=BDcos15°≈50×0.97=48.5，∴AE=CE·tan10°≈48.5×0.18=8.73，∴AB=AE+CD+DF=8.73+1.5+13=23.2（米）．三、19．（1）如圖，過B點作AC的垂線，垂足為點D．AB=20×16=320海里，∠BAC=30°，∴BD=160海里，160<200，所以會受臺風影響．（2）在Rt△ADB中，AB=320，BD=160，則AD=160，要使卸貨不受臺風影響，則必須在點B距臺風中心第一次為200海里前卸完貨，如圖，BE=200，在Rt△BDE中，DE=120海里，則AE=160-120，臺風速度為40海里/小時，則時間t==4-3，所以為避免受到臺風影響，該船應在（4-3）小時內(nèi)卸完貨．28.2解直角三角形綜合訓練（檢測時間：60分鐘滿分：100分）班級_______姓名________得分_______一、選擇題（每題4分，共28分）1．輪船航行到C處測得小島A的方向為北偏西27°，那么從A觀測此時C處的方向為（）A．南偏東27°B．東偏西27°C．南偏東73°D．東偏西73°2．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=a，AC=b，且3a=4b，則∠A的度數(shù)是（）A．53.7°B．53.13°C．53°13′D．53°48′3．如果坡角的余弦值為，那么坡度為（）A．1：B．3：C．1：3D．3：14．若等腰△ABC的底邊BC上高為2，cotB=，則△ABC的周長為（）A．2+B．1+2C．2+2D．4+5．每周一學校都要舉行莊嚴的升國旗儀式，讓我們體會到了國旗的神圣，某同學產(chǎn)生了用所學知識測量旗桿高度的想法，在地面距桿腳5米遠的地方，他用測傾器測得桿頂?shù)难鼋菫棣粒襱anα=3，則桿高（不計測傾器高度）為（）A．10mB．12mC．15mD．20m6．如圖1所示，在銳角△ABC中，BE⊥AC，∠ADE=∠C，記△ADE的面積為S1，△ABC的面積為S2，則=（）A．sin2AB．cos2AC．tan2AD．cot2A(1)(2)(3)7．已知樓房AB高50m，如圖2所示，電視收視塔塔基距樓房房基的水平距離BD為50m，塔高DC為m，則下列結(jié)論正確的是（）A．由樓頂望塔頂仰角為60°B．由樓頂望塔頂俯角為60°C．由樓頂望塔頂仰角為30°D．由樓頂望塔基俯角為30°二、填空題（每題4分，共20分）8．斜皮的坡角是1：，則坡角α=______，如果水平寬度是2米，那么它的鉛直高度是_______．9．如圖3所示是一個外輪廓為矩形的機器零件平面示意圖，根據(jù)圖中標出的尺寸（單位：mm）計算兩圓孔中心A和B的距離為________．10．從位于A處的某海防哨所發(fā)現(xiàn)在它的北偏東60°的方向，相距600m的B處有一艘快艇正在向正南方向航行，經(jīng)過若干時間快艇到達哨所東南方向的C處，則B，C間的距離是______m．11．如圖4所示，一鐵路路基的橫斷面為等腰梯形，根據(jù)圖示數(shù)據(jù)計算路基的下底寬AB=______．(4)(5)12．如圖5所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，斜邊AB在x軸上，點C在y軸的正半軸上，點A的坐標為（2，0），則直角邊BC所在直線的解析式為_________．三、解答題（共52分）13．（6分）已知△ABC中，∠C=90°，cosA=，求cosB，tanA．14．（6分）在△ABC中，∠C=90°，a，b，c分別是∠A，∠B，∠C所對的邊，且2b=a+c（1）求∠A的正弦值．（2）當b=20時，求c值．15．（10分）某學校宏志班的同學們五．一期間去雙塔寺觀賞牡丹，同時對文宣塔的高度進行了測量，如圖，他們先在A處測得塔頂C的仰角為30°，再向塔的方向直行80步到達B處，又測得塔頂C的仰角為60°，請用以上數(shù)據(jù)計算塔高．（學生的身高忽略不計，1步=0.8m，結(jié)果精確到1m）16．（10分）如