考前終極刷題02（高頻解答專練）（解析版）-25學年高一數學上學期期末考點大串講（人教A版必修一）

考前終極刷題02（高頻解答專練）1．（20-21高一上·山東濟寧·期末）在①；②“”是“”的充分不必要條件；③，這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并解答.問題：已知集合，.(1)當時，求；(2)若______，求實數的取值范圍.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.【答案】(1)；(2)答案見解析.【知識點】根據充分不必要條件求參數、并集的概念及運算、根據集合的包含關系求參數【分析】（1）求出后利用并集的定義可求.（2）若選擇①②，則根據條件得到兩個集合的包含關系，從而可求參數的取值范圍；若選擇③，則就是否為空集分類討論后可求參數的取值范圍.【詳解】（1）當時，集合，，所以.（2）若選擇①，則是的子集，因為，所以，又，所以解得，所以實數的取值范圍是.若選擇②“”是“”的充分不必要條件，則是真子集，因為，所以，又，所以（等號不同時成立），解得，所以實數的取值范圍是．若選擇③，，因為，，所以或，解得或.2．（23-24高一上·天津·期末）已知全集，集合，.(1)當時，求，；(2)若，求實數的取值范圍.【答案】(1)；(2)或【知識點】交并補混合運算、根據集合的包含關系求參數【分析】（1）利用集合交集，并集，補集定義計算即可求；（2）由，分和兩種情況討論即可.【詳解】（1）當時，，又因為，所以，或，所以.（2）若時，成立，即，解得，若時，則或，解得或，綜上，或.3．（23-24高一上·遼寧葫蘆島·期末）已知集合，集合，集合，且．(1)求實數a的值組成的集合；(2)若，是的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】根據充分不必要條件求參數、根據并集結果求集合或參數、根據集合的包含關系求參數【分析】（1）先求出集合，然后根據得到，由此分析集合并求解出的值，則結果可知；（2）先求解出，然后將問題轉化為“是C的真子集”，由此列出關于的不等式，則結果可求.【詳解】（1）因為，由，知，則或或，當時，所以，當時，所以，當時，所以，所以的取值集合為．（2）由題意得，，故，又是的充分不必要條件，所以是的真子集，于是，解得：，經檢驗符合條件，綜上，實數m的取值范圍是．4．（23-24高一上·福建福州·期末）在①，②，③這三個條件中任選一個，補充到下面的問題中，并求解下列問題：已知集合，，若________，求實數的取值范圍．注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．【答案】答案見解析【知識點】交并補混合運算、根據交集結果求集合或參數、根據集合的包含關系求參數【分析】若選擇①，，則當，構造不等式，解得的范圍；若選擇②，，得到是的子集，構造不等式，解得的范圍；若選擇③，．可得，構造不等式，解得的范圍.【詳解】若選擇①，，則當，滿足，即，解得，滿足題意；當時，應滿足或解得．綜上，實數的取值范圍是．若選擇②，，則是的子集，.當，即時，，滿足題意；當時，滿足或解得.綜上，實數的取值范圍是．若選擇③，．則，當，即時，，滿足題意；當時，應滿足解得.綜上，實數的取值范圍是．5．（23-24高一上·甘肅金昌·期中）已知集合．(1)若，求實數的取值范圍；(2)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)；(2)．【知識點】根據交集結果求集合或參數、根據集合的包含關系求參數【分析】（1）利用，找到不等式組，求出實數的取值范圍即可；（2）在滿足的前提下，對分空集和不是空集分類討論即可.【詳解】（1）因為，所以解得，即實數的取值范圍是．（2）若，即，此時，滿足；若，即，因為，所以，或，解得．綜上，實數的取值范圍是．6．（22-23高一上·湖南長沙·期中）設全集集合，．(1)當時，求，；(2)若，求實數的取值范圍．【答案】(1)或x>1，或(2)【知識點】根據集合的包含關系求參數、并集的概念及運算、補集的概念及運算【分析】（1）先求解出，然后根據并集和補集運算求解出和；（2）分類討論：，由此列出不等式求解出的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，解得，所以，又因為，所以或x>1，或；（2）當時，，因為，所以，解得；當時，，此時成立；當時，，因為，所以，解得，綜上所述，的取值范圍是.7．（23-24高一上·安徽六安·期中）設集合，，.(1)，求；(2)若“”是“”的充分不必要條件，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識點】根據充分不必要條件求參數、并集的概念及運算【分析】（1）根據集合的并集運算求解即可.（2）根據命題間的充分不必要關系轉化為集合間的包含關系，進而求出參數取值范圍.【詳解】（1）當時，，因為，所以（2）由題意“”是“”的充分不必要條件得①若，則，解得；②若，則，解得；，或，綜合①②得：的取值范圍是.8．（20-21高一上·山東煙臺·期中）科技創(chuàng)新是企業(yè)發(fā)展的源動力，是一個企業(yè)能夠實現(xiàn)健康持續(xù)發(fā)展的重要基礎．某科技企業(yè)最新研發(fā)了一款大型電子設備，并投入生產應用．經調研，該企業(yè)生產此設備獲得的月利潤（單位：萬元）與投入的月研發(fā)經費（，單位：萬元）有關：當投入的月研發(fā)經費不高于36萬元時，；當投入月研發(fā)經費高于36萬元時，．對于企業(yè)而言，研發(fā)利潤率，是優(yōu)化企業(yè)管理的重要依據之一，越大，研發(fā)利潤率越高，反之越?。?1)求該企業(yè)生產此設備的研發(fā)利潤率的最大值以及相應月研發(fā)經費的值；(2)若該企業(yè)生產此設備的研發(fā)利潤率不低于190%，求月研發(fā)經費的取值范圍．【答案】(1)200%，30(2)【知識點】解不含參數的一元二次不等式、基本不等式求積的最大值【分析】（1）根據題意，利用基本不等式和函數的單調性，分別求得來年兩段上最大值，比較即可得到結論；（2）由（1）得到，結合一元二次不等式的解法，即可求得的范圍，得到答案.【詳解】（1）解：由題意知，當時，，當且僅當，即時取等號；當時，，在上單調遞減，.又，∴當月研發(fā)經費為30萬元時，研發(fā)利潤率取得最大值200%.（2）由（1）可知，此時月研發(fā)經費，于是，令，整理得，解得：．因此，當研發(fā)利潤率不小于190%時，月研發(fā)經費的取值范圍是．9．（21-22高一下·遼寧營口·期末）已知關于x的不等式，(1)若的解集為，求實數a，b的值；(2)求關于x的不等式的解集．【答案】(1)，(2)答案見詳解【知識點】由一元二次不等式的解確定參數、解含有參數的一元二次不等式【分析】（1）由不等式的解集可知是方程的一個根，從而可求出.（2）對分情況討論，由方程根的分布情況即可求解集.【詳解】（1）若的解集為，則是方程的一個根，即，解得，所以不等式為，解得：，所以.即，.（2）因為，即，①當時，即，解得：，不等式的解集為：；②當時，令，解得，若時，不等式解集為：；若時，不等式解集為：；若時，不等式解集為：；若時，不等式解集為：；綜上所述：當時，不等式解集為：；當時，不等式的解集為：；當時，不等式解集為：；當時，不等式解集為：；當時，不等式解集為：.10．（23-24高一上·山東濰坊·期末）已知函數.(1)解關于x的不等式；(2)若關于x的不等式的解集為.（i）求的值；（ii）求的最小值.【答案】(1)當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.(2)（i）；（ii）9【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、由一元二次不等式的解確定參數、解含有參數的一元二次不等式【分析】（1）根據和分類討論解不等式即可.（2）（i）由題意m，n分別是方程的兩根，利用韋達定理即可得解；（ii）結合（i）中結論，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】（1）不等式，整理得，當時，原不等式可化為，此時不等式的解為或；當時，原不等式可化為，此時不等式的解為；綜上，當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為.（2）（i）若的解集為，則m，n分別是方程的兩根，且，由韋達定理可知，所以.（ii）由（i）知，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以的最小值為9.11．（23-24高一上·河南·期末）已知二次函數滿足.(1)求函數的解析式；(2)若，求的最小值.【答案】(1)(2)【知識點】求二次函數的值域或最值、求二次函數的解析式【分析】（1）設，根據條件建立方程組，即可求解；（2）由（1）可得，對分類討論，利用二次函數的性質，即可求解.【詳解】（1）設，因為，所以，解得，所以.（2），當時，在上單調遞增，，當時，，當時，在上單調遞減，.綜上，.12．（23-24高一上·天津·期末）已知，分別為定義在R上的偶函數和奇函數，且.(1)求和的解析式；(2)利用函數單調性的定義證明在區(qū)間上是增函數；(3)已知，其中是大于1的實數，當時，，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)證明見解析(3)【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、由奇偶性求函數解析式、函數不等式恒成立問題【分析】（1）由函數奇偶性，構造方程組即可求解；（2）利用增函數的定義，結合指數函數單調性推理即得；（3）換元并求出新元的范圍，轉化為二次函數在閉區(qū)間上的最小值求解即可.【詳解】（1），分別為定義在R上的偶函數和奇函數所以f?x=f①，②，由①②可知，，（2）取，因為，所以，，，所以，即，得證；（3）由已知由(2)得在上單調遞增，，設，令，，而函數，在上遞減，在遞增①當時，，，顯然成立即②當時，，，即綜上所述，實數的取值范圍是.13．（23-24高二下·吉林長春·期末）已知函數．(1)若存在，對任意的都成立；求m的取值范圍；(2)設，若不等式在上有解，求實數k的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】函數不等式恒成立問題、函數不等式能成立（有解）問題【分析】（1）題目可轉化為：對任意的都成立，再利用變換主元的方法，把看作自變量，看作參數，即可求解；（2）由函數解析式,令，再分離參數k，即可求解.【詳解】（1），當時，又∵存在，對任意的都成立，∴對任意的都成立即對任意的都成立，其中看作自變量，看作參數，即，解得：（2）令則,因為不等式在區(qū)間上有解，又而,即實數的取值范圍是14．（23-24高一下·廣東湛江·期末）已知函數是定義在區(qū)間上的函數(1)判斷函數的奇偶性；(2)用定義證明函數在區(qū)間上是增函數；(3)解不等式.【答案】(1)奇函數(2)證明見詳解(3)【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、函數奇偶性的定義與判斷、根據函數的單調性解不等式【分析】（1）根據奇函數的定義分析證明；（2）根據函數單調性的定義分析證明；（3）根據函數單調性結合函數定義域分析求解.【詳解】（1）因為函數的定義域為，且，所以函數為奇函數.（2）任取，令，則，因為，則，可得，即，所以函數在區(qū)間上是增函數.（3）因為，且函數在區(qū)間上是增函數，則，解得，所以不等式的解集為.15．（23-24高二下·黑龍江綏化·期末）已知a，b，c為實數，函數（）．(1)若函數為冪函數，求a，b，c的值；(2)若，，且函數在區(qū)間上單調遞減，求ab的最大值．【答案】(1)，，或，，；(2)．【知識點】根據函數是冪函數求參數值、基本不等式求積的最大值、已知二次函數單調區(qū)間求參數值或范圍【分析】（1）由冪函數的定義，即可列式求解；（2）當時，函數是一次函數，由一次函數的單調性確定參數的取值范圍，當時，由二次函數確定參數的取值范圍，再結合基本不等式，即可求解.【詳解】（1）由函數的定義域為知，當為冪函數時，應滿足，或，解得，，或，，．（2）當時，（），由題意知，，所以；當時，函數圖象的對稱軸為，依題意得，即，所以，得．當且僅當，時取等號．綜上可得，ab的最大值為．16．（23-24高一上·北京·期末）已知定義域為的函數是奇函數．(1)求實數的值；(2)判斷的單調性，并用單調性的定義證明；(3)當時，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)在上單調遞增，證明見解析(3)【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、基本不等式求和的最小值、根據函數的單調性解不等式、由奇偶性求參數【分析】（1）根據奇函數定義即可求得;（2）利用單調性定義按步驟進行證明即可；（3）利用函數奇偶性和單調性將問題轉化為不等式在時恒成立問題，再由基本不等式即可得出實數的取值范圍．【詳解】（1）因為定義域為的函數是奇函數，所以，即，所以，經檢驗符合題意，故；（2）在上單調遞增，證明如下：因為，任取，所以，則，所以，所以在上單調遞增；（3）由（2）得在上單調遞增，又時，恒成立，所以，所以，則在時恒成立，由基本不等式可知，當且僅當時等號成立，所以，故的范圍為．17．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數.(1)若，求不等式的解集；(2)若，對，使得成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2).【知識點】利用函數單調性求最值或值域、求二次函數的值域或最值、解含有參數的一元二次不等式【分析】（1）利用分類討論的思想求解含有參數的不等式的解集.（2）利用函數的思想構造函數分類討論求函數的值域，然后根據根據條件即得.【詳解】（1）令，解得或，①當時，，不等式的解集為，②當時，，不等式的解集為，③當時，，不等式的解集為.綜上所述：時，不等式的解集為時，不等式的解集為；時，不等式的解集為；（2）由，代入整理得，令，①當，即時，對任意.所以此時不等式組無解.②當，即時，對任意.所以解得；③當，即時，對任意.所以，此時不等式組無解.④當，即時，對任意.所以此時不等式組無解.綜上，實數的取值范圍是.18．（23-24高一下·西藏拉薩·期末）定義在上的函數滿足對任意的，都有，且當時，．(1)證明：函數是奇函數；(2)證明：在上是增函數；(3)若，對任意，恒成立，求實數的取值范圍．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、利用函數單調性求最值或值域、函數奇偶性的定義與判斷、函數不等式恒成立問題【分析】（1）令可得，再令，結合奇函數定義，即可證明；（2）設任意且，作差，結合條件賦值法可證明，再結合奇函數性質，即可得證；（3）可轉化為即，結合性質所證明性質求出，再主元變換解決關于的函數恒成立問題，列出不等式組求解即可.【詳解】（1）令，得，，，令，，，所以函數是奇函數；（2）設任意且，由題意，，又由（1）是奇函數，得，，，已知當時，，從而有，故，即，在上單調遞增，根據奇函數的性質可知在上也單調遞增，故在上是增函數；（3）對任意恒成立，即，由（2）得，在上是增函數，所以當時，，又（1）可知，函數是奇函數，則，即.所以對任意恒成立，設，，要使恒成立，則，即，解得或，所以實數的取值范圍是．19．（23-24高二下·遼寧沈陽·期末）定義在上的函數滿足，，且時，.(1)求；(2)判斷在上的單調性并證明；(3)若，求的取值范圍.【答案】(1)(2)在0,+∞上單調遞增，證明見解析(3)【知識點】根據函數的單調性解不等式、定義法判斷或證明函數的單調性、求函數值【分析】（1）根據條件，通過賦值，即可求出結果；（2）根據條件，利用證明函數單調性的定義法，再結合條件，即可求出結果；（3）利用（2）中結果，根據條件得到，即可求出結果.【詳解】（1）因為，令，得到，所以f1=0.（2）在0,+∞上單調遞增，證明如下，任取，且，則，又時，，且，所以，得到，所以在0,+∞上單調遞增.（3）因為，由（2）知，解得，又由，得到，所以的取值范圍為.20．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）已知函數(1)若a=2，當時，求函數的值域；(2)若關于的方程在區(qū)間上有兩個不相等的實根，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求二次函數的值域或最值、判斷指數函數的單調性、根據二次函數零點的分布求參數的范圍【分析】（1）利用換元法，把問題轉化成二次函數在給定區(qū)間上的值域問題求解.（2）換元，轉化成二次函數零點分布問題求解.【詳解】（1）當時，.設，因為，所以.則，.因為該函數在上單調遞減，在上單調遞增.且，，所以，所求函數的值域為：（2）設，因為，所以.問題轉化為：方程在1,4上有兩個不等實根.所以.所以，實數的取值范圍是：21．（23-24高一上·江蘇鹽城·期末）近來，哈爾濱花式寵愛南方游客成為新晉頂流，“南方小土豆”“廣西小砂糖橘”等對游客的愛稱也成為網絡熱梗.哈爾濱的旅游熱潮在一定程度上提升了該區(qū)域的經濟發(fā)展活力.當地某滑雪場的一位滑雪護具售賣者，通過對每天銷售情況的調查發(fā)現(xiàn)：某品牌滑雪護具在過去的一個月內(以天計)，每件的銷售價格(單位：元)與時間(單位：天)的函數關系近似滿足(為常數，且)，日銷售量(單位：件)與時間(單位：天)的部分數據如下表所示10152025305060706050已知第10天的日銷售收入為元.(1)請你根據上表中的數據，求出日銷售量與時間的函數解析式；(2)設該工藝品的日銷售收入為(單位：元)，試求當為何值時，達到最小值，并求出最小值.【答案】(1)，；(2)當時，取得最小值元.【知識點】利用函數單調性求最值或值域、分段函數模型的應用、分式型函數模型的應用、基本不等式求和的最小值【分析】（1）利用表格提供數據求得，由此求得.（2）先求得的解析式，然后根據基本不等式和函數的單調性求得的最小值.【詳解】（1）由表格數據知，，，解得，所以，.（2）由（1）知，，由，解得，因此，，當時，，當且僅當，即時等號成立，當時，函數在上單調遞減，，而，所以當時，取得最小值元.22．（22-23高一下·甘肅·期末）函數，其中．(1)若，求的零點；(2)若函數有兩個零點，求的取值范圍．【答案】(1)16(2)【知識點】求函數的零點、基本不等式求和的最小值【分析】（1）將代入，令，求得的值即可得出答案；（2）將兩個零點用表示，結合基本不等式即可得解．【詳解】（1）當時，，令，可得，解得，即函數的零點為16；（2）顯然此時，令，可得或，則或，則，當且僅當，即時等號成立，故的取值范圍為．23．（23-24高一上·四川成都·期中）在經濟學中，函數的邊際函數，某公司每月最多生產10臺光刻機的某種設備，生產x臺（）這種設備的收入函數為（單位千萬元），其成本函數為（單位千萬元）．（以下問題請注意定義域）(1)求收入函數的最小值；(2)求成本函數的邊際函數的最大值；(3)求生產x臺光刻機的這種設備的的利潤的最小值．【答案】(1)48（千萬元）(2)(3)7（千萬元）【知識點】利用函數單調性求最值或值域、求二次函數的值域或最值、利用給定函數模型解決實際問題、基本不等式求和的最小值【分析】（1）利用基本不等式求函數的最小值即得；（2）求出邊際函數的解析式，然后利用函數的單調性求解最值；（3）求出利潤函數的解析式，換元后運用二次函數的圖象性質求解最值．【詳解】（1）∵，．∴，當且僅當即時等號成立．∴當時，（千萬元）；（2），，，由函數單調性知，在時單調遞增，故當時，；（3）由，則，．記，則該函數在上遞減，在上遞增，且，故，于是當時，取得最小值.由，解得或，故當或時，（千萬元）．24．（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）已知函數.若當點在函數圖象上運動時，對應的點在函數圖象上運動，則稱函數是函數的“伴隨”函數.(1)解關于x的不等式；(2)若對任意的，的圖象總在其“伴隨”函數圖象的下方，求a的取值范圍；(3)設函數，.當時，求的最大值.【答案】(1)(2)(3)【知識點】對數型復合函數的單調性、由基本不等式證明不等關系、由對數（型）的單調性求參數、對數不等式【分析】（1）由求解；（2）由題意得的相關函數為，根據題意得到時，恒成立求解；（3）易得，設，利用復合函數的單調性求解.【詳解】（1）依題意得，則，所以，所以原不等式的解集為（2）由題意得，所以，所以的“伴隨”函數為.依題意，對任意的，的圖象總在其“伴隨”函數圖象的下方，即當時，恒成立①由，對任意的總成立，結合題設條件有，在此條件下，①等價于當時，恒成立，即，即.設，要使當時，hx<0恒成立只需，即成立，解得，即，且，即a的取值范圍是.（3）由（2）可得當時，在區(qū)間0,2上，，即設，則，令，則所以，因為（當且僅當時，等號成立），可得，當時，等號成立，滿足，則t的最大值為，所以的最大值是25．（23-24高一上·遼寧沈陽·期末）已知函數為冪函數，且在上單調遞增.(1)求m的值，并寫出的解析式；(2)解關于x的不等式，其中.(3)已知，，且.求.【答案】(1)，(2)答案見解析(3)【知識點】求冪函數的解析式、解含有參數的一元二次不等式、根據函數的單調性解不等式、由對數函數的單調性解不等式【分析】（1）根據冪函數的概念及性質即可求解；（2）根據函數的奇偶性和單調性即可求解；（3）根據奇函數的性質，結合指對運算可得，構造函數，根據函數的單調性即可求解.【詳解】（1）因為為冪函數，且在0,+∞上單調遞增，則，解得，所以；（2）函數為奇函數且在0,+∞上單調遞增，則在R上遞增，由，則，故，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為，當時，不等式解集為；（3）且，則，即，則考察函數，由于函數均在1,+∞單調遞增，且值為正，故在在1,+∞單調遞增，故，則，，則.【點睛】關鍵點點睛：根據指對運算由得，利用函數的單調性得.26．（23-24高一上·天津·期末）已知函數是奇函數，且一個零點為1.(1)求，的值及解析式；(2)已知函數在單調遞減，在滿足，當時，，若不等式恒成立，求實數的取值范圍；(3)已知函數的一個零點為2，求函數的其余零點.【答案】(1)，，(2)(3)0，4.【知識點】根據函數的單調性求參數值、由奇偶性求函數解析式、根據零點求函數解析式中的參數、函數不等式恒成立問題【分析】（1）根據零點和奇函數的定義，聯(lián)立方程組，解得的值，得到解析式，驗證的奇偶性，即可得解；（2）依題意利用偶函數和單調性可得滿足的條件，進而可求解的取值范圍；（3）求出的解析式，依題意求出，進而可得hx的其他零點.【詳解】（1）因為函數的一個零點是1，所以，是奇函數，所以，所以，，解得，，定義域為.，都有，所以，是奇函數，滿足題意，故，，（2）函數滿足，所以是偶函數且在單調遞減因為不等式恒成立所以，所以（3），因為函數hx的一個零點為2，所以，解得.所以，令，得或，解得.所以函數的其余零點為0，4.27．（23-24高二下·山東聊城·期末）已知函數的定義域為.(1)求的取值范圍；(2)當時，判斷的奇偶性，并解關于的不等式.【答案】(1)(2)【知識點】函數不等式恒成立問題、根據函數的單調性解不等式、函數奇偶性的定義與判斷【分析】（1）由題意知恒成立，利用換元法將不等式轉化為一元二次函數恒成立問題進行求解；（2）求出函數的定義域，根據即可判斷函數的奇偶性，換元法求出函數在上的單調性，再根據函數的奇偶性可得函數在定義域上的單調性，從而根據單調性判斷與的關系.【詳解】（1）因為函數的定義域為，所以恒成立，令，則，所以在上恒成立，即當時，恒成立，函數在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以.（2）當時，，易知的定義域為，因為，所以為偶函數.當時，，令，因為函數在上單調遞增，且在定義域上為增函數，所以函數在上單調遞增，又因為函數在定義域上為偶函數，所以函數在上單調遞減，在上單調遞增，因為，所以，即，解得.28．（23-24高二下·湖北孝感·期末）已知函數．(1)若在上的最小值為，求的值；(2)若函數恰有3個零點，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】根據函數零點的個數求參數范圍、指數函數圖像應用【分析】（1）對a分類討論及利用基本不等式求解；（2）令，則方程化為，結合函數的圖象進行求解．【詳解】（1）當時，在上單調遞增，所以不存在最小值；當時，，所以，解得（舍去）或，故；（2）令，即，．令，則方程化為，畫出的圖象如圖所示，因為恰有3個零點，所以有兩個根，，且，記，則，解得，綜上，的取值范圍是．29．（23-24高二下·廣西北?！て谀┮阎瘮?1)證明：的定義域與值域相同；(2)若恒成立，求m的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)【知識點】求對數型復合函數的定義域、求對數型復合函數的值域、根據對數函數的最值求參數或范圍、函數不等式恒成立問題【分析】（1）由，求得的定義域，由在1,+∞上單調遞增，求得的值域，即可證得；（2）先求得當時，再利用二次函數求得的最小值，則由可得m的取值范圍.【詳解】（1）由，得，所以的定義域為1,+∞，，因為在1,+∞上單調遞增，所以，所以的值域為1,+∞，所以的定義域與值域相同.（2）由（1）知，在上單調遞增，所以當時，，設，當，即時，取得最小值，且最小值為，因為，所以，即m的取值范圍為.30．（23-24高二下·福建福州·期末）已知函數．(1)我們知道要研究一個函數的性質，通常會從函數的定義域、值域（最值）、奇偶性（對稱性）、單調性（極值）、周期性、特殊的點與線（如漸近線）等方面著手．據此，請回答以下問題：（?。┰囂骄亢瘮档男再|并說明理由；（ⅱ）根據（?。┲薪Y論作出的草圖；(2)若，都有，求實數的取值范圍．【答案】(1)（?。┐鸢敢娊馕觯唬áⅲ┳鲌D見解析(2)【知識點】畫出具體函數圖象、函數奇偶性的定義與判斷、利用函數單調性求最值或值域、定義法判斷或證明函數的單調性【分析】（1）利用定義法來研究函數的各個性質，最后可作出草圖；（2）利用復合函數思想由內到外研究函數值域，最后化歸到含參二次不等式恒成立，即可求解.【詳解】（1）①定義域：的定義域為R．②值域：因為，，，所以，故的值域為．③奇偶性：，，，所以為奇函數．④單調性：，且，則，所以，即，所以為增函數．⑤當時，，；當時，，．所以直線為圖象的漸近線．綜合上述討論，可作出的草圖如下：

（2）當時，，

由（1）知，為增函數，所以，

由（1）知的值域為，故的取值范圍為

所以，都有，等價于對于都成立，

記，則或

解得，綜上，的取值范圍是．31．（23-24高二下·重慶·期末）已知函數(1)當時，證明:為奇函數;(2)當時，函數在上的值域為求a的取值范圍：(3)當時，證明:為中心對稱函數.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【知識點】指數冪的化簡、求值、判斷或證明函數的對稱性、函數奇偶性的定義與判斷、根據函數的最值求參數【分析】（1）利用函數奇偶性的定義證明；（2）先應用單調性得出相等關系，在結合值域的求法得出參數范圍；（3）應用函數對稱中心定義證明函數中心對稱.【詳解】（1）因為，所以，由，得函數的定義域為，又，所以函數為定義域上的奇函數.（2）當時，，是單調增函數，在上的值域為，所以則是的兩個解，可得，設，在和單調遞減，單調遞增，其中，在上值域，在上值域且取該區(qū)間最大值，綜上，數形結合易得.（3）當時，，.所以fx關于中心對稱.【點睛】方法點睛：應用函數對稱中心定義證明函數中心對稱，根據奇函數定義證明函數是奇函數.32．（23-24高一下·河南·期末）已知函數，（，，）的部分圖象如圖所示：(1)求的解析式；(2)求的單調遞增區(qū)間；(3)若函數在上至少有2個零點，求的最小值.【答案】(1)(2)，.(3)【知識點】根據函數零點的個數求參數范圍、由圖象確定正（余）弦型函數解析式、求sinx型三角函數的單調性【分析】（1）根據正弦型函數的特點，結合正弦型函數中各參數的意義進行求解即可；（2）根據正弦型函數的單調性進行求解即可；（3）由題意可知，函數在上至少有兩個零點，由，可得，只需要滿足，計算求解即可.【詳解】（1）由圖象可知，解得，又由于，所以，由，得，又，所以，所以.（2）由（1）知，，令，，得，，所以的單調遞增區(qū)間為，.（3）函數在上至少有2個零點，即函數在上至少有兩個零點，因為時，，所以，解得，所以的最小值為.33．（23-24高一下·河北張家口·期末）已知函數的最小正周期．(1)求函數的單調遞增區(qū)間；(2)當時，討論方程根的個數．【答案】(1)；(2)答案見解析.【知識點】求含cosx的函數的單調性、求cosx(型)函數的值域、三角恒等變換的化簡問題、求函數零點或方程根的個數【分析】（1）利用二倍角公式及輔助角公式化簡函數，求出，進而求出單調遞增區(qū)間.（2）探討函數在上的性質，分離參數，利用數形結合法求出直線與函數在上的圖象交點情況即可.【詳解】（1）依題意，，由，，得，，由，解得，所以函數的單調遞增區(qū)間為.（2）當時，，余弦函數在上單調遞減，在上單調遞增，則函數在上單調遞減，函數值從1減小到；在上單調遞增，函數值從增大到0，方程，因此方程的根即直線與函數在上的圖象交點的橫坐標，在同一坐標系內作出直線與函數在上的圖象，觀察圖象知，當或，即或時，直線與函數在上的圖象無交點；當或，即或時，直線與函數在上的圖象有1個交點；當，即時，直線與函數在上的圖象有2個交點，所以當或時，方程根的個數為0；當或時，方程根的個數為1；當時，方程根的個數為2.34．（23-24高一上·天津·期末）已知函數.(1)求函數的最小正周期及單調遞減區(qū)間；(2)求函數在上的最值；(3)若，求的值.【答案】(1)，單調減區(qū)間為.(2)，(3)【知識點】求含sinx(型)函數的值域和最值、輔助角公式、三角恒等變換的化簡問題、求sinx型三角函數的單調性【分析】（1）化簡函數為，結合三角函數的圖象與性質，即可求解；（2）由(1)得出函數的單調遞增區(qū)間，結合，和的值，即可求解；（3）根據題意，求得，結合，即可求解.【詳解】（1）解：由函數，所以的最小正周期為，令，可得，所以的單調減區(qū)間為.（2）解：由(1)知，函數的單調遞增區(qū)間為，因為，所以在上單調遞增，在上單調遞減，且，，，所以，.（3）解：由函數，可得，因為，所以.35．（23-24高一上·安徽·期末）已知，角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點．(1)求(2)設函數，求的最小正周期．【答案】(1)(2)π【知識點】已知正（余）弦求余（正）弦、求正弦（型）函數的最小正周期、用和、差角的余弦公式化簡、求值、用和、差角的正弦公式化簡、求值【分析】（1）根據題意求出和的值，再根據兩角和與差的正弦公式計算即可；（2）化簡，然后根據周期公式求出的最小正周期.【詳解】（1）,,的終邊經過點,由三角函數的定義可知，.（2），又由(1)可知,所以，.所以的最小正周期為π.36．（24-25高一下·全國·期末）設．(1)當時，求的最大值和最小值；(2)已知，且當時，求的值．【答案】(1)最大值為，最小值為(2)【知識點】求含sinx(型)函數的值域和最值、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）利用二倍角公式結合輔助角公式化簡三角函數，再利用性質求解最值即可.（2）利用二倍角公式結合三角恒等變換求解即可.【詳解】（1）．當時，，所以當，即時，取得最大值，為，當，即時，取得最小值，為．（2）因為，所以，化簡可得，兩邊平方得，所以．又，所以，，．又，所以，，所以．37．（23-24高一下·廣東湛江·期末）已知函數fx=Asinωx+φ（，，

(1)求函數的解析式；(2)寫出函數的單調遞增區(qū)間；(3)將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），再將所得的函數圖象上所有點向左平移個單位，得到函數的圖象，求在區(qū)間上的值域．【答案】(1)(2)(3)【知識點】求含sinx(型)函數的值域和最值、由圖象確定正（余）弦型函數解析式、求圖象變化前（后）的解析式、求sinx型三角函數的單調性【分析】（1）由三角函數的圖象，利用五點法求得函數的解析式；（2）由（1）可得：，結合三角函數的性質，即可求解.（3）由三角函數的圖象變換，可得，結合正弦函數的有界性即可求解.【詳解】（1）由圖象可知：，最小正周期，且，可得，所以，由圖可求出最低點的坐標為，可得，則，解得，且，可得，所以.（2）由（1）可得：，令，解得，所以函數的單調遞增區(qū)間為.（3）將函數圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的（縱坐標不變），得到；再將所得的函數圖象上所有點向左平移個單位，得到，因為，則，可得，即，所以在區(qū)間上的值域為.38．（23-24高一下·遼寧沈陽·期末）已知fx=2sinx+φφ∈(1)求的值：(2)若當時方程fx+m=0有唯一實根，求的范圍.(3)已知gx=2sinx+φ2，若對任意【答案】(1)(2)m∈(3)a<43【知識點】根據函數零點的個數求參數范圍、由正弦（型）函數的值域（最值）求參數、利用正弦函數的對稱性求參數、求sinx型三角函數的單調性【分析】（1）由已知條件可得的圖象關于直線對稱，則π6+φ=π2+k（2）令，則t∈π3,4π3，由的單調性，將問題轉化為與的圖象有一個交點，結合圖象從而可求出的范圍；（3）由g(?x)=?2sin(x?π6)，[f(x)]2=4?4sin2(x?π【詳解】（1）對任意x∈R都有f(π3?x)=f(x)，則函數的圖象關于直線所以π6+φ=π2+kπ,k∈（2）f(x)=2sin(x+π3)在t∈π3,π所以方程fx等價于與的圖象有一個交點，由圖象可知?3<?m≤3所以?3≤m<3所以的范圍是m∈?3

（3）由（1）知，g(x)=2sin(x+πf(x)=2sin(x+π當x∈[π6,π]時，x?π顯然g(?x)=?2t,[f(x)]不等式ag(?x)?f依題意，?t∈[0,1]，不等式a<顯然t+1∈[1,2]，2≥22(t+1)?6t+1?4=43則a<43?4，所以實數的取值范圍是a<439．（23-24高一下·貴州安順·期末）如圖，圓的圓心在坐標原點，半徑為，動點從處開始在圓上按逆時針方向以的角速度作勻速圓周運動，則秒之后，點的縱坐標可以表示為．

(1)寫出和的值；(2)若函數在上恰有兩個零點，求的取值范圍；(3)若函數的最小正周期為，求在上的值域．【答案】(1)，；(2)；(3).【知識點】根據函數零點的個數求參數范圍、已知三角函數值求角、求含sinx(型)函數的值域和最值、輔助角公式【分析】（1）根據給定條件，求出A，進而求出值.（2）利用正弦函數的性質，結合零點個數列出不等式求解即得.（3）求出函數，利用三角恒等變換，結合正弦函數性質求出值域.【詳解】（1）依題意，，由，得，即，而，所以.（2）由（1）知，，當時，，由函數在上恰有兩個零點，得，解得，所以的取值范圍是.（3）由（1）知，，即，，當時，，則，所以的取值范圍是.40．（23-24高一下·內蒙古赤峰·期末）如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點，是扇形的內接矩形.記.(1)用分別表示的長度：(2)當為何值時，矩形的面積最大？并求出這個最大面積.【答案】(1)，；(2)時，.【知識點】三角函數定義的其他應用、求含sinx(型)函數的值域和最值、幾何中的三角函數模型、三角恒等變換的化簡問題【分析】（1）分別在中，根據三角函數定義可得；（2）根據（1）中結論表示出面積，利用三角恒等變換公式化簡，然后由正弦函數性質可得.【詳解】（1）在直角三角形中，，，在直角三角形中，，所以，所以（2）設矩形的面積為，所以，因為，所以所以當，即時，41．（23-24高一下·安徽蚌埠·期末）已知函數．(1)求函數的單調區(qū)間；(2)關于x的方程在區(qū)間有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍；(3)不等式對恒成立，求實數x的取值范圍．【答案】(1)的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，．(2)(3)【知識點】求含sinx(型)函數的值域和最值、三角恒等變換的化簡問題、一元二次不等式在實數集上恒成立問題、求sinx型三角函數的單調性【分析】（1）先化簡，再根據正弦函數的單調性求解；（2）根據函數兩個不相等的實數根，結合正弦單調性及值域求參；（3）把恒成立問題轉化為解三角不等式即可.【詳解】（1）令，解得，令，解得，故函數的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為，．（2）由（1）知函數在區(qū)間單調遞增，在區(qū)間單調遞減，又，，，結合圖象可知a的取值范圍是．（3）即不等式對恒成立，有，所以或解得，或故x的取值范圍是．42．（23-24高一下·遼寧錦州·期末）已知函數，且.(1)求函數的解析式；(2)求函數的最小正周期和單調遞增區(qū)間；(3)若函數在區(qū)間上恰有3個零點，求a的取值范圍和的值.【答案】(1)(2)，(3)【知識點】求sinx型三角函數的單調性、三角恒等變換的化簡問題、由正（余）弦函數的性質確定圖象（解析式）、根據函數零點的個數求參數范圍【分析】（1）利用三角恒等變換化簡求得，由已知可得的圖像關于點對稱得出，即得函數解析式；（2）由公式可求得的最小正周期，利用正弦函數的單調性，列出不等式求解，即可得出單調遞增區(qū)間；（3）在區(qū)間上恰有3個零點轉化為與在的圖像上恰有3個交點求參數即可，再數形結合根據函數的對稱軸即可計算求值.【詳解】（1）由知，的圖像關于點對稱，所以，，得，.因為，所以，即函數.（2）因為，所以由，得，所以函數的單調遞增區(qū)間是，.（3），當時，.函數在區(qū)間上恰有3個零點，令，則在上有3個不相等的根.即與在的圖像上恰有3個交點，作出與的圖像，如圖所示，由圖可知，，且，所以.故a的取值范圍為，的值為.43．（24-25高一上·浙江溫州·期中）對于給定的非空集合M，定義集合，，當時，則稱具有“對稱性”，而，稱為的對稱集合．(1)試判斷集合，是否具有“對稱性”，如果有，求出其對稱集合；如果沒有，請說明理由(2)若集合，且集合具有"對稱性"，求的最小值．(3)已知，且，記，若集合B具有“對稱性”，求m的最小值．【答案】(1)有，，；(2)；(3)．【知識點】根據集合的包含關系求參數、交集的概念及運算、根據交集結果求集合或參數、集合新定義【分析】（1）利用集合的“對稱性”定義判斷集合的對稱性，有對稱性的，可求得對稱集合；（2）先根據集合的“對稱性”定義求出中的元素，比較元素大小，即得的范圍，繼而求得的最小值；（3）先根據集合的“對稱性”定義求出中的元素，比較元素大小，即得的范圍，繼而求得的最小值.【詳解】（1）對于集合，，，，所以具有“對稱”性質，且對稱集合為，；對于集合，，，，所以不具有對稱性．（2）因，故或，于是2、3、4、、、，0、1、、，因為，所以，，又，．（3），因為，所以，解得，又，故．【點睛】方法點睛：本題考查學生的創(chuàng)新能力，理解新定義并運用是解題關鍵，本題實質就是根據新定義求出兩個集合和，然后由它們的交集是否為空集確定結論．44．（24-25高一上·安徽·期中）對于非空的有限整數集，定義，．(1)若集合，求和．(2)已知，為非空的有限整數集，且．（?。┤簦蠹?；（ⅱ）證明：．【答案】(1)；.(2)（?。┗?；（ⅱ）證明見解析.【知識點】集合新定義【分析】（1）根據題意，由集合新定義代入計算，即可得到結果；（2）（ⅰ）根據題意，由集合新定義可得，從而可得，即可得到結果；（ⅱ）結合新定義可得，則，然后分別考慮屬于時的情況，再考慮，時，由是有限集即可舍去，從而證明.【詳解】（1）由題意可得，.（2）（?。┰O，則，因為，所以，所以，即，因此，因為，所以，所以，由此可知中至少有和兩個元素，所以，故或.（ⅱ）設，因為，所以，又因為，所以，即，若，則，故可以是；若，則，故可以是，；若，則，故可以是，；若，則，像這樣可以得到無限個中的元素，不符合是有限集；若，則，同樣不符合是有限集；同理可得，當或時，也不符合是有限集；綜上，可以是，，，，，均滿足.【點睛】關鍵點睛：本題主要考查了集合新定義問題，難度較大，解答本題的關鍵在于從新情境中獲取信息，搭建相關的集合知識網絡，將其運用到新情境中，從而求解.45．（24-25高一上·河北石家莊·階段練習）設數集A由實數構成，且滿足：若且，則.(1)若，試證明A中還有另外兩個元素；(2)集合A是否為只含有兩個元素的集合，并說明理由；(3)若A中元素個數不超過8個，所有元素的和為，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，求集合A.（提示：）【答案】(1)證明見解析；(2)不是，理由見解析；(3)【知識點】判斷元素與集合的關系、根據集合中元素的個數求參數、利用集合中元素的性質求集合元素個數、集合新定義【分析】（1）根據集合的性質代入3計算可得集合中還含有兩個元素；（2）根據集合中元素的互異性，易證明集合中至少含有三個元素；（3）利用（2）中的結論可知集合中的元素個數需為3的倍數，再由元素個數不超過8個以及所有元素的積可確定A中的元素個數必為6個，再由所有元素的和為即可得出結論.【詳解】（1）證明：根據題意若，則，若，則，若，則，因此可得集合，即可知集合中除了含有3之外，還含有兩個元素.（2）由且，可得，由可得，由可得，且，易知方程均無解；所以；即可得集合中至少含有3個元素，所以集合A不可能為只含有兩個元素的集合.（3）由（2）可知，若，則，易知集合中的元素個數需為3的倍數，若A中元素個數不超過8個，且A中有一個元素的平方等于所有元素的積，由可知集合A中不可能只有3個元素，則集合A中的元素個數必為6個；因此6個元素的積必為1，不妨取，解得或(舍)；可知，又所有元素的和為，不妨設，根據提供解析式可解得或或,所以.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據集合A中的元素性質，證明得出集合A中的元素個數必是3的倍數，再由元素個數以及所有元素的和及其積的性質計算即可得出集合A.46．（24-25高一上·江蘇南通·期中）已知二次函數滿足：有兩個實數根.(1)若，求實數的取值范圍;(2)若，記在時的最小值為，求的表達式;(3)若與都是整數且，求的值.【答案】(1)或；(2)；(3)時，，，時，，．【知識點】利用函數單調性求最值或值域、求二次函數的值域或最值、一元二次不等式與二次函數、一元二次方程的關系【分析】（1）由判別式大于0可得；（2）由已知求得，先分，然后考察對稱軸與區(qū)間端點的遠近，從而得最小值；（3）求出方程的解，然后根據解是整數，得出或，代入求得．【詳解】（1）由已知有兩個不等實根，所以，解得或；（2）由，可知，又，故，顯然，所以，當時，的圖象是開口向上的拋物線，當時，，，當時，，當時，的圖象是開口向下的拋物線，時，，，時，，，所以；（3）由題意，，由得，又方程的解都是整數，則或2，，即時，，，，即時，，．綜上，時，，，時，，．【點睛】結論點睛：二次函數在區(qū)間的最值，（1）時，，；（2），時，，；（3），時，，；（4）時，，，類似討論可得．47．（24-25高一上·陜西咸陽·期中）設函數的定義域為，如果，都有，滿足，那么函數的圖象稱為關于點的中心對稱圖形，點就是其對稱中心．如果，且，使得，滿足，那么函數的圖象稱為關于點的弱中心對稱圖形，點就是其弱對稱中心．(1)若函數的圖象是關于點的中心對稱圖形，求實數的值；(2)判斷函數的圖象是否為關于原點的弱中心對稱圖形，并說明理由；(3)若函數的圖象是弱中心對稱圖形，且弱對稱中心為，求實數的取值范圍．【答案】(1)(2)函數的圖象不是關于原點的弱中心對稱圖形，理由見解析(3)【知識點】判斷或證明函數的對稱性、函數對稱性的應用、函數新定義【分析】（1）根據題意“中心對稱圖形”的定義分析判斷即可；（2）根據反證法，以及“弱對稱中心圖形”定義即可證明；（3）根據“弱對稱中心圖形”定義，代入解出表達式，討論取值范圍，再利用換元法即可求解.【詳解】（1）由，解得．當時，，對于任意的，都有，所以函數的圖象是關于點的中心對稱圖形，故．（2）函數的圖象不是關于原點的弱中心對稱圖形．理由如下：假設，使得，解得，與矛盾，所以函數的圖象不是關于原點的弱中心對稱圖形；（3）由題意可知，存在，且，使得，當時，，則，所以，又知對勾函數在上單調遞增，所以，所以；當時，，則不成立；當時，，則，，令，則在上單調遞增，所以，所以．綜上可知，實數的取值范圍為．48．（24-25高一上·山東泰安·期中）定義在上的函數，如果滿足：存在常數，對任意，都有成立，則稱是上的有界函數，其中稱為函數的上界．(1)已知函數．①若函數為奇函數，求實數的值；②若，函數在區(qū)間上是否存在上界，若存在，求出的取值范圍，若不存在請說明理由．(2)已知函數，若函數在上是以4為上界的有界函數，求實數的取值范圍．【答案】(1)①；②存在，(2)【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、利用函數單調性求最值或值域、由奇偶性求參數、函數新定義【分析】（1）①由為奇函數，得f?x=?fx，化簡變形后可求出的值；②先對變形，然后根據其單調性結合有界函數的定義分析判斷；（2）由在上恒成立，可得在上恒成立，則，然后構造函數利用函數的單調性可求得結果.【詳解】（1）①由f?x=?f所以，化簡得，所以，即．②，∵，∴在上遞增，∴，∴，∴，∵，∴，所以，∴存在上界，的范圍是．（2）由題意可知在上恒成立，，即，∴在上恒成立，∴．設，由，得．∵和在上遞減，∴在上單調遞減，任取，且，則，∵，且，∴，∴，∴在上是單調遞增，∴在上，．所以實數的取值范圍是．【點睛】思路點睛：關于新定義題的思路有：（1）找出新定義有幾個要素，找出要素分別代表什么意思；（2）由已知條件，看所求的是什么問題，進行分析，轉換成數學語言；（3）將已知條件代入新定義的要素中；（4）結合數學知識進行解答.49．（24-25高一上·福建漳州·期中）我們知道，函數的圖象關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數，有同學發(fā)現(xiàn)可以將其推廣為：函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.給定函數.(1)寫出函數圖象的對稱中心（只寫出結論即可，不需證明）;(2)當時，①判斷函數在區(qū)間上的單調性，并用定義證明;②已知函數是奇函數，且當時，，若對任意，總存在，使得，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)①函數在區(qū)間上單調遞增，證明見解析；②[0，1].【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、利用函數單調性求最值或值域、函數對稱性的應用、函數不等式能成立（有解）問題【分析】（1）由函數成中心對稱的充要條件可得為奇函數，可得對稱中心；（2）①根據單調性定義按照步驟即可證明函數在區(qū)間上單調遞增；②依題意并根據二次函數性質得出兩函數的值域之間的包含關系，限定出最值之間的不等關系，解不等式即可求得結果.【詳解】（1）根據題意可知，函數是由函數向左平移個單位，向上平移1個單位得到的；所以為奇函數，可得函數圖象的對稱中心是.（2）當時，.①函數在區(qū)間上單調遞增；證明如下:，且，，因為，所以，所以，所以，即.所以在單調遞增，②因為是奇函數，所以關于點對稱，設在上的值域為在上的值域為B.因為對任意，總存在，使得，所以，由①可知在上單調遞增，又，所以，又，當時，在上單調遞增，又關于點對稱，所以函數在也單調遞增，故在上單調遞增，又因為，故，因為，所以，得，又，所以此時不存在.當時，在單調遞減，在單調遞增，又的對稱中心為，所以在單調遞增，在單調遞減，所以，要使，只需，且，解得，又所以，當時，在單調遞減，所以在單調遞減，所以在單調遞減，所以，所以，所以，又，所以此時不存在，綜上：，即的范圍是.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于根據二次函數性質得出兩函數的值域之間的包含關系，限定出最值之間的不等關系，解不等式即可求得結果.50．（24-25高一上·上?！て谥校┰O是定義在上的函數，若存在，使得在區(qū)間上是嚴格增函數，且在區(qū)間上是嚴格減函數，則稱為“含峰函數”，稱為峰點，稱為含峰區(qū)間．(1)試判斷是否為上的“含峰函數”？若是，指出峰點；若不是，請說明理由；(2)若（，、、）是定義在上峰點為的“含峰函數”，且值域為，求的取值范圍；(3)若是上的“含峰函數”，求的取值范圍．【答案】(1)是，峰點為(2)(3)【知識點】根據函數的單調性求參數值、利用函數單調性求最值或值域、函數新定義【分析】（1）以一元二次函數的單調性進行判斷即可解決；（2）先滿足單調性要求，再滿足值域的要求，逐步遞進即可解決；（3）在按參數t分類討論時要注意不重不漏的原則，逐步求得t的取值范圍.【詳解】（1）函數的圖像是開口向下，對稱軸為的拋物線，則在區(qū)間0,2上是嚴格增函數，在區(qū)間2,4上是嚴格減函數，故y=fx是0,4上的“含峰函數”，峰點為.（2）記函數，，，則在區(qū)間[m，2]上是嚴格增函數，在區(qū)間上是嚴格減函數，則，且有，得到，則，當時，y=fx的最小值為，則，又，故，當時，y=fx的最小值為，解得，綜上，實數的取值范圍是.（3）記，設任意，且，則當時，由，且，可知，，則，即，則為上嚴格減函數，不符合題目要求；當時，由，且，可知，，則，即則為上嚴格增函數，不符合題目要求；當時，設任意，且，此時，，則，即，為上嚴格增函數；設任意，且，此時，則，即，為上嚴格減函數；故是上峰點為的“含峰函數”.綜上，t的取值范圍為.【點睛】思路點睛：“新定義”主要是指即時定義新概念、新公式、新定理、新法則、新運算五種，然后根據此新定義去解決問題，有時還需要用類比的方法去理解新的定義，這樣有助于對新定義的透徹理解.但是，透過現(xiàn)象看本質，它們考查的還是基礎數學知識，所以說“新題”不一定是“難題”，掌握好三基，以不變應萬變才是制勝法寶.51．（24-25高二上·浙江溫州·期中）定義：對函數和，，若對任意，且，均有，則稱“函數與具有類性質”.(1)判斷與是否具有類性質，并說明理由；(2)已知，①若與具有類性質，求的取值范圍；②若與具有類性質，且，證明：對任意，.【答案】(1)與具有2類性質，理由見解析(2)①；②證明見解析【知識點】函數新定義【分析】（1）利用定義證明函數具有2類性質；（2）①根據1類性質定義，將問題轉化成證明，，化簡為，由函數單調性及基本不等式可求出的范圍；②由題意，在上恒成立，結合單調性及即可證明.【詳解】（1）與具有2類性質，理由如下：要證明與具有2類性質，即驗證不等式：，化簡，得：，兩側同時除以，得：，由于，所以，故不等式成立，所以函數與具有2類性質.（2）①與具有1類性質，故，化簡，得：，兩側同時除以，得：，解得：，因為與在上單調遞減，所以（時取等號，故無法取等）又，等號成立條件無法取得，故（時取等號，故無法取等）故.②因為與具有2類性質，所以對，，當時，則，當時，由于在單調遞增，不妨設，因為，故，綜上所述，，.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵是理解函數的類性質，將問題轉化成不等式證明.52．（24-25高一上·四川瀘州·期中）函數的圖象關于點成中心對稱圖形的充要條件是函數為奇函數.已知函數.(1)用定義證明函數在上是增函數；(2)證明函數的圖象關于點對稱；(3)已知函數的圖象關于點對稱，且當時，.若對任意，總存在，使得成立，求負數的取值范圍.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、判斷或證明函數的對稱性、根據指數函數的最值求參數【分析】（1）任取、且，作差，變形后判斷的符號，結合函數單調性的定義可證得結論成立；（2）令，利用函數奇偶性的定義證明出函數hx為奇函數即可；（3）由題意可知函數的值域是值域的子集，由（2）易得的值域，分析函數在0,1上的單調性，并其值域，根據集合的包含關系可得出關于的不等式組，解之即可.【詳解】（1）因為，任取、且，則，所以，，即，故函數在R上是增函數.（2）令，該函數的定義域為R，，故函數為奇函數，所以，函數的圖象關于點12,1對稱.（3）由題意可知，函數在上的值域為函數在上的值域的子集，因為函數在上單調遞增，則，，所以，函數在上的值域為，于是原問題轉化為函數在上的值域包含，因為，則，函數在0,1上單調遞增，則當時，，，則，因為函數的圖象關于點0,2對稱，所以，，由題意可得，解得.所以，負實數的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用定義證明函數單調性的方法：（1）取值：設、是所給區(qū)間上的任意兩個值，且；（2）作差變形：即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結論：判斷，根據定義得出結論.即取值作差變形定號下結論.53．（24-25高一上·河南南陽·期中）已知函數.(1)若，求在區(qū)間上的值域；(2)若方程有實根，求實數m的取值范圍；(3)設函數，若對任意的，總存在，使得，求實數m的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點】求二次函數的值域或最值、判斷指數型復合函數的單調性、一元二次方程根的分布問題、根據二次函數的最值或值域求參數【分析】（1）利用換元法令，，再結合二次函數的性質即可求解；（2）由（1）知利用換元法可得，，方程有實根即等價于即有實數根且大于零，從而可得，即可求解；（3）若對任意的，總存在，使得，可得,由復合函數知識可得函數在時單調遞減，時單調遞增，從而求出，則只需令在上恒成立即可，分離參數可求解.【詳解】（1）當時，，令，因為，所以，所以可得一個二次函數，所以當，函數單調遞增，當時，有最小值，當時，有最大值，所以.所以時，在區(qū)間上的值域為.（2）由（1）知當令，，，則，即有實數根，此時實數根大于零，所以可得，解得：.所以方程有實根，實數m的取值范圍為.（3）由題意得，若對任意的，總存在，使得，可得,由函數可得當時單調遞減，當時單調遞增，函數為增函數，所以由復合函數定義可得函數在時單調遞減，時單調遞增，所以當時，有最小值，由（2）知當令，，，所以在上恒成立，即在上恒成立，因為函數在時均單調遞增，所以函數在時單調遞增，所以，所以，.【點睛】關鍵點點睛：（1）主要利用換元后轉化為一般的二次函數在具體區(qū)間求最值問題；（2）中轉化為二次函數根的分布問題來求出相應的不等式組，即可求解；（3）中由題可得,再結合指數型復合函數求出，從而可轉化為含參二次函數在定區(qū)間求解最值問題.54．（24-25高一上·河南·期中）已知函數.(1)當時，求的值域.(2)若在上單調遞增，求實數的取值范圍.(3)若在函數的定義域內存在，使得成立，則稱為局部對稱函數，其中為的圖象的局部對稱點.若是的圖象的局部對稱點，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點】利用函數單調性求最值或值域、求指數型復合函數的值域、由指數（型）的單調性求參數、函數新定義【分析】（1）根據題意，由換元法結合二次函數值域，即可得到結果；（2）根據題意，分，，討論，結合條件，代入計算，即可得到結果；（3）根據題意，由局部對稱點的定義，結合函數的單調性，代入計算，即可得到結果.【詳解】（1）當時，，令，則，，所以的值域為；（2）令，，則，，因為在上單調遞增，所以要使在上單調遞增，只需在上單調遞增，①當時，在上單調遞減，不符合題意；②當時，的圖象開口向下，不符合題意；③當時，則需，解得，所以實數的取值范圍是；（3）由是的圖象的局部對稱點，可得，，代入整理得，①令，則，，代入①式得，，當時，函數和均單調遞增，所以在上單調遞增，所以，所以，所以實數的取值范圍為.【點睛】關鍵點點睛：形如二次函數、指數函數結合的問題，無論是單調性還是值域（最值），都可以考慮利用換元法，再結合二次函數的性質來進行求解；研究含參數的二次函數的性質，關鍵點是對參數進行分類討論，結合二次函數的開口方向、單調性、值域等知識可將問題解決.55．（24-25高一上·浙江溫州·期中）設，對一般的函數，定義集合所含元素個數為的“等值點數”，記為.現(xiàn)已知函數，，常數.(1)求的最大值；(2)對函數，當時，，求的取值范圍；(3)設函數，若的最大值為3，求的取值范圍.【答案】(1)3(2)(3)【知識點】根據函數零點的個數求參數范圍、求函數零點或方程根的個數【分析】（1）通過和兩類情況討論，借助一元二次方程根的分布即可求解；（2）參變分離結合對勾函數圖像即可求解；（3）通過，，，，五種情況討論即可.【詳解】（1）當時，單調遞增，此時；當時，，設，則，在時，單調遞減，在時，單調遞增，故當時，單調遞增，，當時，單調遞減，，因此關于的根的分布如下：①當時，恰有一個根；②當，恰有兩根，，；③當，恰有3個根，，，④當時，恰有2個根；⑤當時，恰有1個根.故當時，取到最大值3.（2）即當時，有1個解，參變分離得：，由函數的圖像，

可得：（3）設，則，其中的根的分布同（1），接下來解方程注意，①當時，在上單調遞增，且，故，不符合題意；②當時，在上單調遞減，且，故，不符合題意；③當時，，在上單調遞減，上單調遞增，，故，不符合題意；④當時，在時單調遞減，在上單調遞增，且，，此時取，則的三個根恰一一對應的三個根，且沒有其他根，故此時，而對的其它取值，，故的最大值為3；⑤當時，在上單調遞增，，，故只需保證當時，的三個根落在的值域中，即，解得：，符合題意；綜上所述，當且僅當時，的最大值為3.【點睛】思路點睛：涉及函數新定義問題，理解新定義，找出數量關系，聯(lián)想與題意有關的數學知識和方法，再轉化、抽象為相應的數學問題求解.56．（24-25高一上·重慶·期中）固定項鏈的兩端，在重力的作用下項鏈所形成的曲線是懸鏈線.年，萊布尼茲等得出了“懸鏈線”的一般方程，最特別的懸鏈線是雙曲余弦函數.類似的有雙曲正弦函數，也可以定義雙曲正切函數.已知函數和具有如下性質：①定義域為，且在上是增函數；②是奇函數，是偶函數；③.（常數是自然對數的底數，）(1)求雙曲正弦函數和雙曲余弦函數的解析式；(2)試判斷在上的單調性，并用單調性的定義證明；(3)關于的不等式對任意恒成立，求實數的取值范圍.【答案】(1)，(2)增函數，證明見解析(3)【知識點】定義法判斷或證明函數的單調性、由奇偶性求函數解析式、指數函數最值與不等式的綜合問題、根據函數的單調性解不等式【分析】（1）由函數奇偶性的定義可得出，與聯(lián)立方程組，即可解出、的解析式；（2）判斷出函數在上為增函數，然后任取、且，作差，因式分解后判斷的符號，結合函數單調性的定義可證得結論成立；（3）分析函數的單調性與奇偶性，可將所求不等式變形為，令，可得出對任意的恒成立，令，其中，對實數的取值進行分類討論，根據可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）因為函數為上的奇函數，為上的偶函數，且，所以，即，解得，，因為函數，均為上的增函數，故函數為上的增函數，合乎題意.（2）函數在上為增函數，證明如下：任取、且，則，，所以，，即，所以，函數在上為增函數.（3）因為，該函數的定義域為，，故函數為奇函數，又因為，因為內層函數在上為增函數，且，外層函數在上為增函數，所以函數在上為增函數，由，所以，即，即，因為函數在上是增函數，令，則函數在上是增函數，當時，，且，則，于是有，即對任意的恒成立，令，其中，當時，即當時，函數在上單調遞增，則，解得，此時，；當時，即當時，只需，解得，此時，；當時，即當時，函數在上單調遞減，則，解得，此時，.綜上所述，實數的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用定義證明函數單調性的方法：（1）取值：設、是所給區(qū)間上的任意兩個值，且；（2）作差變形：即作差，并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷符號的方向變形；（3）定號：確定差的符號；（4）下結論：判斷，根據定義得出結論.即取值作差變形定號下結論.57．（24-25高一上·上海松江·期中）已知函數(1)當時，解不等式：；(2)當時，不等式在上恒成立，求實數的取值范圍；(3)是否存在實數，使得函數在上的最大值為，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)不存在，使得結論成立，理由見解析【知識點】根據對數函數的最值求參數或范圍、基本不等式求和的最小值、由對數函數的單調性解不等式、函數不等式恒成立問題【分析】（1）變形得到，利用對數函數的單調性、定義域求解出不等式解集；（2）利用換元法，可化為在0,+∞上恒成立，參變分離，結合基本不等式求解；（3）先由定義域得到，研究在上的單調性，得到在上的最大值必在端點處產生，從而得到不等式組，無解，故不存在，使得結論成立．【詳解】（1）由已知得，即，因為是增函數，所以，解得，所以原不等式的解集為；（2）由題意令，因為，所以，所以不等式在上恒成立，可化為在0,+∞上恒成立，分離參數得，因為，當且僅當時取等號，則要使原式恒成立，只需即可，即實數的取值范圍為；（3）首先要使函數在上有意義，需，所以，易知函數在上的最大值必在端點處產生，故只需，或，由①得或4，由②得，故無解，舍去；由④得或，由③得，故無解，舍去；綜上可知，不存在a使結論成立．【點睛】方法點睛：分離參數法基本步驟為：第一步：首先對待含參的不等式問題在能夠判斷出參數的系數正負的情況下，可以根據不等式的性質將參數分離出來，得到一個一端是參數，另一端是變量表達式的不等式，第二步：先求出含變量一邊的式子的最值，通常使用函數單調性或基本不等式進行求解.第三步：由此推出參數的取值范圍即可得到結論.58．（24-25高一上·上?！て谥校┰O常數，，.(1)已知y=fx的圖象過點求實數的值；(2)當時，對任意，都有恒成立，求實數的取值范圍；(3)若方程有兩個實數根，，且，求實數的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【知識點】求對數函數的解析式、利用不等式求值或取值范圍、一元二次不等式在某區(qū)間上的恒成立問題【分析】（1）把點的坐標代入解析式，求出值即可；（2）將，代入解析式，得，利用換元法結合二次函數的單調性求出函數的最小值，根據已知條件有，即可求解；（3）利用換底公式化方程為，利用換元法及韋達定理得，根據解出的范圍即可.【詳解】（1）因為圖象過點，所以，所以，解得.（2）當時，，因為，所以，令，則有，，函數的對稱軸為，所以，，所以，因為對任意，都有恒成立，所以，所以，即實數的取值范圍為：.（3）因為，則，化為，整理有：，因為，所以，所以原式可化為：，令，則有，，所以方程有兩個根，設為、，且，，所以，，，又因為，所以，因為，所以，所以，即，，，，，，又因為，所以.【點睛】關鍵點點睛：本題關鍵在于利用換底公式以及換元法得到：，然后利用解出的范圍.59．（24-25高一上·浙江·期中）當一個函數有如下性質：若在區(qū)間上有意義且該區(qū)間為的單調區(qū)間，并且此時的值域為，當時，我們就稱函數為區(qū)間上的“神奇函數”．請回答下列問題：(1)當時，是否是區(qū)間上的“神奇函數”？若是，請證明；若不是，請說明原因；(2)當函數為區(qū)間上的“神奇函數”，求的最小值和的最大值；(3)當時，存在區(qū)間，使得函數為區(qū)間上的“神奇函數”，求的取值范圍．【答案】(1)是，理由見解析(2)的最小值為，的最大值為(3)【知識點】求已知指數型函數的最值、函數新定義【分析】（1）分析函數在區(qū)間上的單調性，并求出該函數的值域，結合“神奇函數”的定義判斷即可；（2）分、兩種情況討論，分析函數在區(qū)間的單調性，并求出其值域，根據“神奇函數”的定義可得出關于、所滿足的等式，進而可求得結果；（3）分兩種情況討論，函數在區(qū)間上為增函數、減函數，求出函數在區(qū)間上的最大值和最小值，結合“神奇函數”的定義可得出關于、的等式，即可求得實數的取值范圍.【詳解】（1）因為函數在區(qū)間上為增函數，則，，所以，函數在區(qū)間上的值域為，因為，所以，函數是區(qū)間上的“神奇函數”.（2）因為函數的增區(qū)間為，減區(qū)間為，因為函數為區(qū)間上的“神奇函數”，則或，先考慮的最大值，則，當時，函數在上為增函數，則，，所以，函數在上的值域為，根據“神奇函數”的定義可得，即，因為，所以，，因為，則，所以，的最大值為；接下來考慮的最小值，則，當時，，則函數在上為減函數，則，，所以，函數在上的值域為，根據“神奇函數”的定義可得，即，因為，則，可得，所以，的最小值為.綜上所述，當函數為區(qū)間上的“神奇函數”，的最小值為，的最大值為.（3）因為二次函數的圖象開口向上，對稱軸為直線，因為存在區(qū)間，使得函數為區(qū)間上的“神奇函數”，分以下兩種情況討論：當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞增，則，，根據“神奇函數”的定義可得，即，因為，則，則，因為，則；當時，即當時，函數在區(qū)間上單調遞減，則，，根據“神奇函數”的定義可得，即，則，可得，因為，則，此時，.綜上所述，實數的取值范圍是.【點睛】關鍵點點睛：解本題第（3）問的關鍵就是對函數在區(qū)間的單調性進行分類討論，結合“神奇函數”的定義構建等式求解.60．（24-25高一上·湖南·期中）給定區(qū)間，若對任意的，恒有函數或恒有函數，則稱為上的“函數”．(1)判斷是否為區(qū)間上的“函數”；(2)若是區(qū)間上的“函數”，求的取值范圍；(3)若的定義域為，且在上單調遞減，且圖象是連續(xù)不斷的曲線，求證：存在區(qū)間，使得是區(qū)間上的“函數”．【答案】(1)不是(2)(3)證明見解析【知識點】根據集合的包含關系求參數、根據交集結果求集合或參數、利用函數單調性求最值或值域、函數新定義【分析】（1）求函數在區(qū)間的值域，根據區(qū)間與值域的關系判斷可得；（2）利用換元法將復合函數的值域轉化為二次函數的值域，再根據定義得到包含關系或交集為空集，由此建立不等式求