4.3.1 等比列的概念（基礎知識+基本題型）（含解析）-【一堂好課】2022-2023學年高二數學同步名師重點課堂（人教A版2019選擇性必修第二冊）

倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關注更新免費領取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育4.3.1等比數列的概念（基礎知識+基本題型）知識點一等比數列的概念1．文字語言敘述一般地，如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母表示．2．符號語言敘述在數列中，（其中是常數，），則是等比數列．（其中是常數，），則也是說明一個數列是等比數列的依據．提示從以下幾方面理解等比數列的概念：（1）公比，這是必然的，也就是說，不存在公比的等比數列，還可以理解為在等比數列中，不存在數值為0的項．（2）每一項與它的前一項的比等于同一常數，是具有任意性的，但需注意是“從第二項起”．（3）每一項與它的前一項的比等于同一常數，強調的是“同一常數”．（4）對于公比，要注意它是每一項是前一項的比，次序不能顛倒．（5）常數列是等差數列，但不一定是等比數列，當常數列是各項都為0的數列時，它就不是等比數列；當常數列是各項都不0的數列時，是等比數列．如果一個數列既是等差數列，又是等比數列，那么次數列為非零常數列．知識點二等比中項如果在與之間插一個數,使成等比數列，那么叫做與的等比中項．提示（1）由等比中項的定義，知這表明，只有同號的兩項才有等比中項，并且這兩項的等比中項有兩個．它們互為相反數．（2）在一個等比數列中，從第二項起，每一項（有窮數列的末項除外）都是它的前一項與后一項的等比中項．（3）當“成等比數列”等價于“（均不為0），可以用它來判斷或證明三個數是否成等比數列．知識點三等比數列的通項公式1．遞推公式與通項公式已知等比數列的首項為公比為則有遞推公式通項公式等比數列的通項公式主要應用于以下兩個方面：（1）已知，利用通項公式可求出等比數列中的任一項；（2）由通項公式可知，已知四個量中的任意三個，可以求得另一個．2．等比數列的通項公式的推導方法名稱證明過程迭代法根據等比數列的定義，有歸納法累積法根據等比數列的定義，可以得到，把以上個等式左右兩邊分別相乘，得，即．3．用指數函數觀點看等比數列的通項公式等比數列的通項公式可整理為．當q為不等于1的正數時，是一個指數函數，而是一個不為0的常數與指數函數的積．因此，等比數列中的各項所表示的點離散地分布在第一或第四象限，并且當時，這些點在曲線上．拓展等比數列的單調性：當或時，是遞增數列，反之也成立；當或時，是遞減數列，反之也成立；當時，是常數列；當時，是擺動數列（它所有的奇數項同號，所有的偶數項也同號，但奇數項與偶數項異號）．知識點四等比數列的性質等比數列的常用性質性質1通項公式的推廣：性質2若為等比數列，且，則；若，則性質3若，（項數相同）是等比數列，則，，，，仍是等比數列性質4在等比數列中，距首末兩端等距離的兩項的積相等，即性質5在等比數列中，序號成等差數列的項仍成等比數列拓展利用等比數列的通項公式易證性質1、性質2．性質3的證明如下：設等比數列的公比為，等比數列的公比為．（1）因為，所以．又因為，所以數列是首項為，公比為的等比數列．（2）因為，所以是以為首項，為公比的等比數列．（3）因為，所以，所以數列是首項為，公比為的等比數列．（4）因為，，所以．所以數列是以為首項，為公比的等比數列．（5）因為，，所以．所以數列是以首項為，公比為的等比數列．辨析等差數列與等比數列的對比等差數列等比數列不同點（1）強調每一項與前一項的差；（2）可以為0；（3）任意兩實數的等差中項唯一；（4）當時，（1）強調每一項與前一項的比；（2）均不為0；（3）兩同號實數（不為0）的等比中項有兩個值；（4）當時，相同點（1）都強調每一項與前一項的關系；（2）公差和公比都必須是常數；（3）數列都可以由或唯一確定轉化（1）若為各項都為正數的等比數列，則為等差數列，其中，且；（2）若為等差數列，則為等比數列；（3）非零常數列既是等差數列又是等比數列考點一等比數列的通項公式例1已知等比數列，若，，求．解：方法1：因為，，所以．從而解得，或，．當時，；當時，．故或．方法2：由等比數列的定義，知，．①②代入已知，得即即①②將代入①，得，所以或．由②，得或故或．是等比數列的基本量，只要求出這兩個基本量，其他量便可求出來．方法1是巧用等比數列的性質，先求出，再求出；方法2是運用通項公式及方程思想解方程組求，是常用的方法．考點二等比數列的判定與證明例2已知數列的前n項和，證明是等比數列，并求出通項公式．解：因為，所以，所以，所以．又因為，所以．又由，知，所以，所以是等比數列．因為，所以．判斷一個數列是等比數列的方法：（1）定義法：．（2）等比中項法：．考點三等比數列的性質例3已知為等比數列．（1）若＞，，求（2）若＞，求的值．分析：（1）將帶入條件等式，配方可求得（2）利用帶入求解．解：（1）因為＞，所以＞0．因為所以：（2）根據等比數列的性質，得所以所以對于正數若則等比數列中的關系為若則運用上述性質，有時可以避免一些較復雜的運算．考點四等差數列等比數列的綜合運算例4有四個數，其中前三個數成等差數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和是12，求這四個數．解：方法1：設四個數依次為由條件，得解得，或所以當時，所求四個數為0，4，8，16；所以當時，所求四個數為15，9，3，1．故所求四個數為0，4，8，16或15，9，3，1．方法2：設四個數依次為由條件，得解得，或當時，所求四個數為0，4，8，16；當時，所求四個數為15，9，3，1．故所求四個數為0，4，8，16或15，9，3，1．合理的設出所求數中的三個，根據題意得出另一個是解決這類問題的關鍵，一般地，三個數成等比數列，可設為三個數成等差數列，可設為考點五等比數列的綜合問題例5已知在數列中，是前n項和，且（1）設求數列的通項公式．（2）在（1）的條件下，設求數列的通項公式．（3）在（2）的條件下，求數列的通項公式及其前n項和公式．分析：對（1）（2），需利用已知條件，確定數列與分別為何種數列，從而寫出通項公式．對于（3），需要利用與的關系，寫出數列的通項公式，進而求出其前幾項和公式．解：（1）因為所以兩式相減，得所以變形，得因為所以因為所以所以所以數列是首項為3，公比為2的等比數列，所以（2）因為所以將代入，得．因此數列是公差為首項為的等差數列．所以（3）因為所以，當時，．因為也適應上式，所以數列的前項和公式為．解答與數列有關的題目，需要對等差數列、等比數列的概