高考物理(熱點+題型全突破)專題4.6-豎直面內(nèi)的圓周運動問題(含解析)

PAGEPAGE1專題4.6豎直面內(nèi)的圓周運動問題1.輕繩模型繩或光滑圓軌道的內(nèi)側(cè)，如圖所示，它的特點是：在運動到最高點時均沒有物體支撐著小球。下面討論小球(質(zhì)量為m)在豎直平面內(nèi)做圓周運動(半徑為R)通過最高點時的情況：(1)臨界條件小球到達最高點時受到繩子的拉力恰好等于零，這時小球做圓周運動所需要的向心力僅由小球的重力來提供。根據(jù)牛頓第二定律得，mg＝meq\f(v\o\al(2,臨界),R)，即v臨界＝eq\r(Rg).這個速度可理解為小球恰好通過最高點或恰好通不過最高點時的速度，也可認為是小球通過最高點時的最小速度，通常叫臨界速度。(2)小球能通過最高點的條件：當v>eq\r(Rg)時，小球能通過最高點，這時繩子對球有作用力，為拉力。當v＝eq\r(Rg)時，小球剛好能通過最高點，此時繩子對球不產(chǎn)生作用力。(3)小球不能通過最高點的條件：當v<eq\r(Rg)時，小球不能通過最高點，實際上小球還沒有到達最高點就已經(jīng)脫離了軌道。（如圖）2.輕桿模型桿和光滑管道，如圖所示，它的特點是：在運動到最高點時有物體支撐著小球。下面討論小球(質(zhì)量為m)在豎直平面內(nèi)做圓周運動(半徑為R)通過最高點時的情況：(1)臨界條件由于硬桿的支撐作用，小球恰能到達最高點的臨界速度是：v臨界＝0。此時，硬桿對物體的支持力恰等于小球的重力mg。(2)如上圖所示的小球通過最高點時，硬桿對小球的彈力情況為：當v＝0時，硬桿對小球有豎直向上的支持力FN，其大小等于小球的重力，即FN＝mg.當0<v<eq\r(Rg)時，桿對小球的支持力豎直向上，大小隨速度的增加而減小，其取值范圍為0<FN<mg.當v＝eq\r(Rg)時，F(xiàn)N＝0.這時小球的重力恰好提供小球做圓周運動的向心力。當v>eq\r(Rg)時，硬桿對小球有指向圓心(即方向向下)的拉力，其大小隨速度的增大而增大。3.兩種模型分析比較如下：輕繩模型輕桿模型常見類型均是沒有支撐的小球均是有支撐的小球過最高點的臨界條件由mg＝meq\f(v2,r)得v臨＝eq\r(gr)由小球恰能做圓周運動即得v臨＝0討論分析(1)過最高點時，v≥eq\r(gr)，F(xiàn)N＋mg＝meq\f(v2,r)，繩、軌道對球產(chǎn)生彈力FN(2)不能過最高點v＜eq\r(gr)，在到達最高點前小球已經(jīng)脫離了圓軌道(1)當v＝0時，F(xiàn)N＝mg，F(xiàn)N為支持力，沿半徑背離圓心(2)當0＜v＜eq\r(gr)時，－FN＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N背離圓心，隨v的增大而減小(3)當v＝eq\r(gr)時，F(xiàn)N＝0(4)當v＞eq\r(gr)時，F(xiàn)N＋mg＝meq\f(v2,r)，F(xiàn)N指向圓心并隨v的增大而增大4.分析物體在豎直平面內(nèi)做圓周運動時的易錯易混點（1）繩模型和桿模型過最高點的臨界條件不同，其原因是繩不能有支撐力，而桿可有支撐力。（2）對桿模型，在最高點有時不知是支撐力或拉力，此時可用假設(shè)法，然后根據(jù)結(jié)果的正負再確定。（3）解答豎直平面內(nèi)的圓周運動時，首先要搞清楚是什么模型，對不同模型的臨界條件分析受力，找到向心力的來源。5.豎直面內(nèi)圓周運動的求解思路【典例探究】1.輕繩模型【典例1】如圖所示，有一長為L的細線，細線的一端固定在O點，另一端拴一質(zhì)量為m的小球?，F(xiàn)使小球恰好能在豎直面內(nèi)做完整的圓周運動。已知水平地面上的C點位于O點正下方，且到O點的距離為1.9L(1)求小球通過最高點A時的速度vA；(2)若小球通過最低點B時，細線對小球的拉力FT恰好為小球重力的6倍，且小球經(jīng)過B點的瞬間細線斷裂，求小球的落地點到C點的距離?！敬鸢浮浚?1)eq\r(gL)(2)3L【解析】：(1)若小球恰好能做完整的圓周運動，則小球通過A點時細線的拉力剛好為零，根據(jù)向心力公式有mg＝meq\f(v\o\al(2,A),L)解得vA＝eq\r(gL)?！镜淅?】為了研究過山車的原理，某物理小組提出了下列的設(shè)想：取一個與水平方向夾角為θ＝60°，長為L1＝2eq\r(3)m的傾斜軌道AB，通過微小圓弧與長為L2＝eq\f(\r(3),2)m的水平軌道BC相連，然后在C處設(shè)計一個豎直完整的光滑圓軌道，出口為水平軌道D，如圖所示?，F(xiàn)將一個小球從距A點高為h＝0.9m的水平臺面上以一定的初速度v0水平彈出，到A點時速度方向恰沿AB方向，并沿傾斜軌道滑下。已知小球與AB和BC間的動摩擦因數(shù)均為μ＝eq\f(\r(3),3)。g取10m/s2，求：(1)小球初速度v0的大小；(2)小球滑過C點時的速率vC；(3)要使小球不離開軌道，則豎直圓弧軌道的半徑R應(yīng)該滿足什么條件?！敬鸢浮?1)eq\r(6)m/s(2)3eq\r(6)m/s(3)0＜R≤1.08m【解析】(1)小球做平拋運動到達A點，由平拋運動規(guī)律知豎直方向有：veq\o\al(2,y)＝2gh，即：vy＝3eq\r(2)m/s因為在A點的速度恰好沿AB方向，所以小球初速度：v0＝vytan30°＝eq\r(6)m/s(2)從水平拋出到C點的過程中，由動能定理得：mg(h＋L1sinθ)－μmgL1cosθ－μmgL2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,0)解得：vC＝3eq\r(3)小球剛好能通過最高點時，由牛頓第二定律有：mg＝meq\f(v2,R1)小球做圓周運動過程中，由動能定理有：－2mgR1＝eq\f(1,2)mv2－eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)解得：R1＝eq\f(veq\o\al(2,C),5g)＝1.08m當小球剛好能到達與圓心等高時有：mgR2＝eq\f(1,2)mveq\o\al(2,C)解得：R2＝eq\f(veq\o\al(2,C),2g)＝2.7m當圓軌道與AB相切時：R3＝L2tan60°＝1.5m，即圓軌道的半徑不能超過1.5m綜上所述，要使小球不離開軌道，R應(yīng)該滿足的條件是：0＜R≤1.08m。2.輕桿模型【典例3】如圖甲所示，輕桿一端固定在O點，另一端固定一小球，現(xiàn)讓小球在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運動。小球運動到最高點時，桿與小球間彈力大小為F，小球在最高點的速度大小為v，其F－v2圖象如圖乙所示，則()A．小球的質(zhì)量為eq\f(aR,b)B．當?shù)氐闹亓铀俣却笮閑q\f(R,b)C．v2＝c時，小球?qū)U的彈力方向向上D．v2＝2b時，小球受到的彈力與重力大小相等【答案】：ACD【典例4】如圖所示，小球在豎直放置的光滑圓形管道內(nèi)做圓周運動，內(nèi)側(cè)壁半徑為R，小球半徑為r，則下列說法正確的是()A.小球通過最高點時的最小速度vmin＝eq\r(g（R＋r）)B.小球通過最高點時的最小速度vmin＝0C.小球在水平線ab以下的管道中運動時，內(nèi)側(cè)管壁對小球一定無作用力D.小球在水平線ab以上的管道中運動時，外側(cè)管壁對小球一定有作用力【答案】BC【針對訓練】1.如圖所示，質(zhì)量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑．某同學拿著該盒子在豎直平面內(nèi)做半徑為R的勻速圓周運動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計，要使在最高點時盒子與小球之間恰好無作用力，則()A．在最高點小球的速度水平，小球既不超重也不失重B．小球經(jīng)過與圓心等高的位置時，處于超重狀態(tài)C．盒子在最低點時對小球彈力大小等于2mg，方向向上D．該盒子做勻速圓周運動的周期一定等于2πeq\r(\f(R,g))【答案】CD【解析】在最高點小球的加速度為g，處于完全失重狀態(tài)，A錯誤；小球經(jīng)過與圓心等高的位置時，豎直加速度為零，既不超重也不失重，B錯誤；在最高點有mg＝mv2r解得該盒子做勻速圓周運動的速度v＝eq\r(gR)該盒子做勻速圓周運動的周期為T＝eq\f(2πR,v)＝2πeq\r(\f(R,g))選項D正確；在最低點時，盒子與小球之間的作用力和小球重力的合力提供小球運動的向心力，由F－mg＝mv2r，解得F＝2mg，選項C正確。2.(多選)如圖所示，豎直放置的光滑圓軌道被固定在水平地面上，半徑r＝0.4m，最低點處有一小球(半徑比r小很多)，現(xiàn)給小球一水平向右的初速度v0，則要使小球不脫離圓軌道運動，v0應(yīng)當滿足(g＝10m/s2)()A.2m/sB.4m/sC.6m/sD.8m/s【答案】ACD3.(多選)如圖所示，長為l的細繩一端固定在O點，另一端拴住一個小球，在O點的正下方與O點相距eq\f(l,2)的地方有一枚與豎直平面垂直的釘子；把小球拉起使細繩在水平方向伸直，由靜止開始釋放，當細繩碰到釘子的瞬間，下列說法正確的是()A．小球的線速度不發(fā)生突變B．小球的角速度不發(fā)生突變C．小球的向心加速度突然增大到原來的2倍D．繩子對小球的拉力突然增大到原來的2倍【答案】AC4.在質(zhì)量為M的電動機飛輪上，固定著一個質(zhì)量為m的重物，重物到轉(zhuǎn)軸的距離為r，如圖所示。為了使電動機不從地面上跳起，電動機飛輪的轉(zhuǎn)動角速度不能超過()A.eq\f(M＋m,mr)gB.eq\r(\f(M＋m,mr)g)C.eq\r(\f(M－m,mr)g)D.eq\r(\f(Mg,mr))【答案】B【解析】當重物轉(zhuǎn)動到最高點時，對電動機的向上的拉力最大，要使電動機不從地面上跳起，電動機對重物的拉力的最大值為FT＝Mg；對重物來說，隨飛輪一起做圓周運動，它的向心力是重力和飛輪對重物的拉力FT′的合力，F(xiàn)T′和FT是一對作用力和反作用力。由牛頓第二定律，得FT′＋mg＝mω2r，代入數(shù)值，解得ω＝eq\r(\f(M＋m,mr)g).5.用長L＝0.6m的繩系著裝有m＝0.5kg水的小桶，在豎直平面內(nèi)做圓周運動，成為“水流星”。G＝10m/s2。求：(1)最高點水不流出