高二數(shù)學空間向量試題答案及解析-

高二數(shù)學空間向量試題答案及解析1.如圖，將邊長為2，有一個銳角為60°的菱形，沿著較短的對角線對折，使得

，為的中點.

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求三棱錐的體積；

（Ⅲ）求二面角的余弦值.

【答案】（1）見解析；（2）1；（3）

【解析】（1）利用線面垂直的判斷定理證明線面垂直，條件齊全.（2）利用棱錐的體積公式求體積.（3）證明線面垂直的方法：一是線面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性質定理；三是平行線法（若兩條平行線中的一條垂直于這個平面，則另一條也垂直于這個平面.解題時，注意線線、線面與面面關系的相互轉化.（4）在求三棱柱體積時，選擇適當?shù)牡鬃鳛榈酌?，這樣體積容易計算.（5）空間向量將空間位置關系轉化為向量運算，應用的核心是要充分認識形體特征，建立恰當?shù)淖鴺讼担瑢嵤缀螁栴}代數(shù)化.同時注意兩點：一是正確寫出點、向量的坐標，準確運算；二是空間位置關系中判定定理與性質定理條件要完備.

試題解析：（Ⅰ）連接，由已知得和是等邊三角形，為的中點，

又邊長為2，

由于，在中，

，

（Ⅱ）,

（Ⅲ）解法一：過，連接AE，

，

即二面角的余弦值為.

解法二：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則

顯然，平面的法向量為

設：平面的法向量，

由,，

∴二面角的余弦值為.

【考點】（1）空間中線面垂直的判定；（2）三棱錐的體積公式；（3）利用空間向量證明線線垂直和求夾角.

2.如圖，在三棱柱中，平面，，為棱上的動點，.

⑴當為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；

⑵當?shù)闹禐槎嗌贂r，二面角的大小是45.

【答案】（1），（2）.

【解析】（1）此小題考查用空間向量解決線面角問題，只需找到面的法向量與線的方向向量，注意用好如下公式：，且線面角的范圍為：；（2）此小題考查的是用空間向量解決面面角問題，只需找到兩個面的法向量，但由于點坐標未知，可先設出，利用二面角的大小是45，求出點坐標，從而可得到的長度，則易求出其比值.

試題解析：

如圖，以點為原點建立空間直角坐標系，依題意得，⑴因為為中點，則，

設是平面的一個法向量，則，得，取，則，設直線與平面的法向量的夾角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為；

⑵設，設是平面的一個法向量，則，取，則，是平面的一個法向量，，得，即，所以當時，二面角的大小是.

【考點】運用空間向量解決線面角與面面角問題，要掌握線面角與面面角的公式，要注意合理建系.

3.在空間直角坐標系中，若兩點間的距離為10，則__________．

【答案】.

【解析】直接利用空間兩點間的距離公式可得，解之得，即為所求.

【考點】空間兩點間的距離公式．

4.A(5，-5，-6)、B(10，8，5)兩點的距離等于

.

【答案】.

【解析】∵，，由空間中兩點之間距離公式可得：.

【考點】空間坐標系中兩點之間距離計算.

5.如圖，邊長為1的正三角形所在平面與直角梯形所在平面垂直，且，，，，、分別是線段、的中點．

（1）求證：平面平面；

（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）詳見解析；（2）．

【解析】（1）由已知中F為CD的中點，易判斷四邊形ABCD為平行四邊形，進而AF∥BC，同時EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中點O，連接SO，以O為原點，建立如圖所示的空間坐標系，分別求出平面SAC與平面ACF的法向量，代入向量夾角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．

（1）分別是的中點，．又，所以．，……2分

四邊形是平行四邊形．．是的中點，．……3分

又，，平面平面……5分

（2）取的中點，連接，則在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分

于是可建立如圖所示的空間直角坐標系．

則有，，，，

，．…7分

設平面的法向量為，由．

取，得．……9分平面的法向量為．10分

…11分而二面角的大小為鈍角，

二面角的余弦值為．

【考點】1．用空間向量求平面間的夾角；2．平面與平面平行的判定．

6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為棱AA1和BB1的中點，則sin〈，〉的值為()．A．B．C．D．【答案】B

【解析】設正方體棱長為2，以D為坐標原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸建立空間直角坐標系，

則C（0，2，0），M（2，0，1），D1（0，0，2），N（2，2，1），可知=（2，-2，1），=（2，2，-1），∴?＝2×2?2×2?1×1＝?1，||

＝

3，

|

|＝3;∴cos＜,＞＝，所以sin＜,＞=．故選B.

【考點】用空間向量求平面間的夾角.

7.已知在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、BC的中點．

(1)證明：PF⊥FD；

(2)判斷并說明PA上是否存在點G，使得EG∥平面PFD；

(3)若PB與平面ABCD所成的角為45°，求二面角A－PD－F的余弦值．

【答案】(1)詳見解析；(2)詳見解析；(3).

【解析】解法一（向量法）

（I）建立如圖所示的空間直角坐標系A-xyz，分別求出直線PF與FD的平行向量，然后根據(jù)兩個向量的數(shù)量積為0，得到PF⊥FD；

（2）求出平面PFD的法向量（含參數(shù)t），及EG的方向向量，進而根據(jù)線面平行，則兩個垂直數(shù)量積為0，構造方程求出t值，得到G點位置；

（3）由是平面PAD的法向量，根據(jù)PB與平面ABCD所成的角為45°，求出平面PFD的法向量，代入向量夾角公式，可得答案．

解法二（幾何法）

（I）連接AF，由勾股定理可得DF⊥AF，由PA⊥平面ABCD，由線面垂直性質定理可得DF⊥PA，再由線面垂直的判定定理得到DF⊥平面PAF，再由線面垂直的性質定理得到PF⊥FD；

（2）過點E作EH∥FD交AD于點H，則EH∥平面PFD，且有AH＝AD，再過點H作HG∥DP交PA于點G，則HG∥平面PFD且AG＝AP，由面面平行的判定定理可得平面GEH∥平面PFD，進而由面面平行的性質得到EG∥平面PFD．從而確定G點位置；

（Ⅲ）由PA⊥平面ABCD，可得∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，即∠PBA=45°，取AD的中點M，則FM⊥AD，F(xiàn)M⊥平面PAD，在平面PAD中，過M作MN⊥PD于N，連接FN，則PD⊥平面FMN，則∠MNF即為二面角A-PD-F的平面角，解三角形MNF可得答案．.

試題解析：(1)證明：∵PA⊥平面ABCD，∠BAD＝90°，AB＝1，AD＝2，建立如圖所示的空間直角坐標系A－xyz，則

A(0,0,0)，B(1,0,0)，F(xiàn)(1,1,0)，D(0,2,0)．

不妨令P(0,0，t)，∵＝(1,1，－t)，＝(1，－1,0)，

∴＝1×1＋1×(－1)＋(－t)×0＝0，

即PF⊥FD.

(2)解：設平面PFD的法向量為n=(x，y，z)，

由得

令z=1，解得：x=y=.

∴n=.

設G點坐標為(0,0，m)，E，則，

要使EG∥平面PFD，只需·n=0，即，得m=，從而滿足AG=AP的點G即為所求．

(3)解：∵AB⊥平面PAD，∴是平面PAD的法向量，易得=(1,0,0)，又∵PA⊥平面ABCD，∴∠PBA是PB與平面ABCD所成的角，得∠PBA=45°，PA=1，平面PFD的法向量為n=.

∴.

故所求二面角A－PD－F的余弦值為.

【考點】1.用空間向量求平面間的夾角；2.空間中直線與直線之間的位置關系；3.直線與平面平行的判定．

8.已知三棱柱，平面，，，四邊形為正方形，分別為中點．

（1）求證：∥面；

（2）求二面角——的余弦值．

【答案】（1）見解析（2）

【解析】（1）只要證出∥，由直線與平面平行的判定定理即可得證

（2）建立空間直角坐標系，利用求二面角的公式求解

試題解析：（1）在中、分別是、的中點

∴∥

又∵平面，平面

∴∥平面

（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，

則，，，

，，

∴，

平面的一個法向量

設平面的一個法向量為

則即

取.

∴

∴二面角的余弦值是.

【考點】直線與平面平行的判定定理，在空間直角坐標系中求二面角

9.如圖，直三棱柱(側棱垂直于底面的棱柱),底面中，棱，分別為的中點.

（1）求>的值；

（2）求證：

【答案】（1）>的值為；（2）證明過程詳見試題解析.

【解析】（1）先以C為原點建立空間坐標系，由已知易求出，進而可求>的值；

（2）由（1）所建立的空間坐標系可寫出、、的坐標表示，即可知，從而得證.

試題解析：以C為原點，CA、CB、CC1所在的直線分別為軸、軸、軸，建立坐標系

（1）依題意得,∴

∴

,

∴>=

6分

(2)依題意得

∴,

∴,,

∴

,

∴

,

∴

∴

12分

【考點】空間坐標系、線面垂直的判定方法.

10.如右圖，正方體的棱長為1．應用空間向量方法求：

⑴求和的夾角

⑵．

【答案】（1）

（2）對于線線垂直的證明可以運用幾何性質法也可以運用向量法來證明向量的垂直即可。

【解析】解：建立空間直角坐標系，則

-1分

⑴所以

，，-2分

，

所以

-4分

所以

5分

⑵因為

，，7分

-9分

所以

．

10分

【考點】空間向量的運用

點評：主要是考查了向量法來求解異面直線所成的角和線線垂直的證明，屬于基礎題。

11.若點，，當取最小值時，的值等于（

）．A．B．C．D．【答案】C

【解析】∵，，∴，∴當x=時，取最小值，故選C

【考點】本題考查了空間向量的坐標運算

點評：熟練掌握空間向量的坐標運算及模的坐標公式是解決此類問題的關鍵，屬基礎題

12.⊿ABC的三個頂點分別是，，，則AC邊上的高BD長為（

）

A．B．4C．5D．【答案】Ｃ

【解析】由已知=（0,4，-3），=（4，－5，0），所以=，|BD|===5，故選C。

【考點】本題主要考查空間向量的夾角，空間兩點間的距離。

點評：簡單題，空間兩點間的距離，如果點的坐標知道，可直接運用公式，本題中給出了三角形頂點坐標，因此，通過計算向量及向量的夾角，利用直角三角形中的邊角關系，得解。

13.與A(-1，2，3)，B(0，0，5)兩點距離相等的點P(x，y，z)的坐標滿足的條件為__________．

【答案】2x-4y+4z=11

【解析】由代入坐標得整理化簡得

【考點】兩點間距離公式

點評：則

14.已知A（1，0，2），B（1，1），點M在軸上且到A、B兩點的距離相等，則M點坐標為

A．（，0，0）

B．（0，，0）

C．（0，0，）

D．（0，0，3）

【答案】C.

【解析】設M的坐標為(0,0,z),因為M在軸上且到A、B兩點的距離相等,

所以,所以z=-3,所以點M的坐標為(0,0,-3).

【考點】空間兩點間的距離公式.

點評：在M在z軸上其橫坐標，縱坐標都為零，設M的坐標為(0,0,z),因而再根據(jù)空間兩點間的距離公式建立關于z的方程求出z的值得到點M的坐標.

15.點A(x,2，3)與點B(-1，y，z)關于坐標平面yOz對稱，則x=_____,y=______,z=______.

【答案】x=1，y=2,z=3

【解析】點

點關于坐標平面yOz，所以y,z坐標不變，x坐標互為相反數(shù)

【考點】空間點的對稱

點評：掌握對稱點的坐標關系

關于平面xOy的對稱點為

關于平面xOz的對稱點為

關于平面yOz的對稱點為

16.設a=(x,4,3)，b=(3,2,z),且a∥b，則等于（

）A．9B．-4C．D．-9【答案】A

【解析】因為,所以所以.所以.

【考點】空間向量平行的坐標表示.

點評：設,如果,那么.

17.如圖，在直三棱柱中，AB=1，，.

(Ⅰ)證明：；

（Ⅱ）求二面角A——B的余弦值。

【答案】（1）證：三棱柱為直三棱柱，

…1分

在中，,由正弦定理,…………3分

,又

……5分

（2）解如圖，作交于點D點，連結BD，

由線面垂直的性質定理知

…………7分

為二面角的平面角。

……8分

在

…………9分

【解析】略

18.如圖，在三棱錐P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC.

（Ⅰ）求證：PC⊥AB；

（Ⅱ）求直線BC與平面APB所成角的正弦值

（Ⅲ）求點C到平面APB的距離.

【答案】（I）

取AB中點D，連結PD，CD.

∵AP=BP，

∴PD⊥AB.

……………1

∵AC=BC,

∴CD⊥AB.

……………2

∵PD∩CD=D,

∴AB⊥平面PCD.

……………3

∵PC∩平面PCD.

∴PC⊥AB.

……………4

（Ⅱ）∵AC=BC，AP＝BP，

∴△APC≌△BPC.

又PC⊥BC.

∴PC⊥BC.

又∠ACB=90°,即AC⊥BC.

且AC∩PC＝C,

∴BC⊥平面PAC.

取AP中點E，連結BE，CE.

∵AB＝BP，

∴BE⊥AP.

∵EC是BE在平面PAC內的射影.

∴CE⊥AP.

∴∠EBC是直線BC與平面APB所成的角

……………6

在△BCE中，∠BCE＝90°，BC＝2，BE＝AB＝，

sin∠EBC==

……………8

(Ⅲ)由（Ⅰ）知AB⊥平面PCD，

∴平面APB⊥平面PCD.

過C作CH⊥PD，垂足為H.

∵平面APB∩平面PCD＝PD，

∴CH⊥平面APB.

∴CH的長即為點C到平面APB的距離，

……………10

由（Ⅰ）知PC⊥AB，又PC⊥AC，

且AB∩AC＝A.

∴PC⊥平面ABC.

CD平面ABC.

∴PC⊥CD.

在Rt△PCD中，CD＝

∴PC＝

∴CH=

∴點C到平面APB的距離為

【解析】略

19.如圖，在中，為邊上的高，，沿將翻折，使得得幾何體

（1）求證：；

（2）求二面角的余弦值。

【答案】因為，所以平面。

又因為平面所以

①………1分

在中，，由余弦定理，

得

因為，所以，即。②

………3分

由①，②及，可得平面

………4分

（2）在中，過作于，則，所以平面

在中，過作于，連，則平面，

所以為二面角的平面角

………6分

在中，求得，

在中，求得，

所以所以。

因此，所求二面角的余弦值為。

【解析】略

20.如圖四棱錐中，，，是的中點，是底面正方形的中心，。

（Ⅰ）求證：面；

（Ⅱ）求直線與平面所成的角。

【答案】（Ⅰ）證明：

；

3分

（Ⅱ）解：

所以是與面所成角。

3分

在中，所以，

又，所以EO與平面所成的角為。

【解析】略

21.已知四棱錐的底面為直角梯形，，,底面，且，是的中點.

（1）求證：直線平面；

（2）若直線與平面所成的角為，求二面角的大小.

【答案】

【解析】略

22.直三棱柱中，若ab

c

A．a+b-cB．a–b+cC．-a+b+c．D．-a+b-c【答案】D

【解析】要表示向量

，只需要用給出的基底

表示出來即可，要充分利用圖形的直觀性，熟練利用向量加法的三角形法則進行運算．

解答：解：=

=-

故選D．

23.若向量=(1，x，2)，=(2，1，2)，且，則x=_____▲_____．

【答案】

-26

【解析】本題考查向量的垂直的判斷

若向量，則

設，則

由且得

則

24.如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1與B1C交于點O，向量，則=

▲

．（試用表示）

【答案】

【解析】利用向量的運算法則

,所以

25.已知、、，點在平面內，則的值為（

）A．B．1C．10D．11【答案】D

【解析】略

26.已知、，則線段AB的中點P的坐標為

（

）A．B．C．D．【答案】B

【解析】略

27.在空間直角坐標系中，點關于軸的對稱點的坐標是（

）A．B．C．D．【答案】B

【解析】根據(jù)點的對稱性，得點關于軸的對稱點的坐標是，故選B.

【考點】空間點的對稱性.

28.（本小題滿分13分）已知是邊長為1的正方體，求：

（Ⅰ）直線與平面所成角的正切值；

（Ⅱ）二面角的大?。?/p>

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）60°

【解析】（Ⅰ）先根據(jù)其為正方體得到∠C1AB1就是AC1與平面AA1B1B所成的角；然后在RT△C1AB1中求其正切即可；

（Ⅱ）先過B1作B1E⊥BC1于E，過E作EF⊥AC1于F，連接B1F；根據(jù)AB⊥平面B1C1CB推得B1E?AC1；進而得到∠B1FE是二面角B﹣AC1﹣B1的平面角；然后通過求三角形的邊長得到二面角B﹣AC1﹣B1的大小即可．

試題解析：（Ⅰ）連接AB1，∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體

∴B1C1⊥平面ABB1A1，AB1是AC1在平面AA1B1B上的射影

∴∠C1AB1就是AC1與平面AA1B1B所成的角

在RT△C1AB1中，tan∠C1AB1=

∴直線AC1與平面AA1B1B所成的角的正切值為.

（Ⅱ）過B1作B1E⊥BC1于E，過E作EF⊥AC1于F，連接B1F；

∵AB⊥平面B1C1CB，?AB⊥B1E?B1E?平面ABC1?B1E?AC1

∴∠B1FE是二面角B﹣AC1﹣B1的平面角

在RT△BB1C1中，B1E=C1E=BC1=，

在RT△ABC1中，sin∠BC1A=

∴EF=C1E?sin∠BC1A=，

∴tan∠B1FE=

∴∠B1FE=60°，即二面角B﹣