現(xiàn)代控制理論ModernControlTheory

ThePrincipleofAutomaticControl

自動控制原理Lecturers：Prof.JiangBinDr.LuNingyunCollegeofAutomationEngineeringNUAA，2008.Autumn1NUAA-ThePrincipleofAutomaticControl

Chapter3Time-domainanalysisofcontrolsystems控制系統(tǒng)時域分析2ReviewofChap2ModelingofcontrolsystemsDifferentialequationmodelHowtoobtaindifferentialequationmodel?LinearizationanonlinearmodelSolvingdifferentialmodelisdifficultLaplaceandinverseLaplacetransformFormulaPropertiesHowtouselaplacetransformtosolvedifferentialmodelTransferfunction3ReviewofChap2TransferfunctionWhatisTransferfunction?Whattypesofsystemcanbecharacterizedbytransferfunctions?Howtofindtransferfunction?polynomialformandzero-pole-gainformRelationshipbetweenpolesandresponsesModelingacomplexcontrolsystembystructurediagramorsignal-flowgraph4Chap3Time-domainanalysisofcontrolsystems3-1Time-domaincriteria(時域指標）ofcontrolsystems3-2Timeresponseofafirst-ordersystem（一階系統(tǒng)）3-3Timeresponseofaprototype2nd-ordersystem（2階原型系統(tǒng)）3-4Analysisofhigher-ordersystem3-5Stabilityoflinearcontrolsystems3-6Steady-stateerror（穩(wěn)態(tài)誤差）53-1Time-domaincriteriaofcontrolsystems6Whatistime-response(時間響應）?Sincetimeisusedasanindependentvariableinmostcontrolsystem,itisusuallyofinteresttoevaluatetheoutputresponsewithrespecttotime,orsimply,thetimeresponse.Typicalinputsignals:單位階躍1(t)單位斜坡t單位加速度0.5t^2單位脈沖δ(t)正弦函數(shù)Asin(wt)為了便于分析和設計；以及各種控制系統(tǒng)的性能比較，需要基本的輸入函數(shù)形式7t01Outputc(t)Timeresponseofacontrolsystemisusuallydividedintotransientprocessandsteady-stateprocess

Steady-stateprocess（穩(wěn)態(tài)過程）thepartofthetimeresponsethatremainsafterthetransienthasdiedout,提供了穩(wěn)態(tài)誤差(steady-stateerror)信息Transientprocess(瞬態(tài)過程）,transitionfrominitialconditiontothefinalcondition由系統(tǒng)特性，瞬態(tài)過程可能衰減(decaying)、發(fā)散(divergence)(或振蕩(oscillation)等形式－－提供系統(tǒng)穩(wěn)定性(stability)的信息瞬態(tài)過程同時提供響應速度(speed)、阻尼(damping)等信息Transientprocessandsteady-stateprocess8Time-domaincriteria穩(wěn)定性(stability)動態(tài)性能指標(transientperformance)響應速度(speedofresponse)Risetime(上升時間)，peaktime(峰值時間)，settlingtime(調節(jié)時間)響應形式(typeofresponse)Damping(阻尼)ratio,overshoot(超調量)，periodofoscillation(振蕩周期）穩(wěn)態(tài)性能指標(steadystateperformance)

穩(wěn)態(tài)誤差，反映系統(tǒng)控制精度或抗擾動能力(disturbanceresistance)9h(t)t時間tr上升峰值時間tpAB超調量σ%=AB100%Atypicalunit-stepresponsecurve調節(jié)時間ts誤差帶穩(wěn)態(tài)誤差10動態(tài)性能指標Risetime

tr（上升時間）isdefinedasthetimerequiredforthestepresponsetorisefromzerotoitsfirststeady-statevalue,ortorisefrom10to90percentofitssteady-statevalue.Delaytimetd

（延遲時間）isdefinedasthetimerequiredforthestepresponsetoreach50percentofitsfinalvalue.Peaktime

tp（峰值時間）

isdefinedasthetimerequiredforthestepresponsetoreachthefirstpeakvalue.Settingtimets（調節(jié)時間）

isdefinedasthetimerequiredforthestepresponsetodecreaseandstaywithinaspecifiedpercentage(5%or2%)ofitsfinalvalue.11Percentmaximumovershootσ%（超調量），響應的最大偏差與終值的查與終值之比的百分數(shù)

Note:Themaximumovershootisoftenusedtomeasuretherelativestabilityofacontrolsystem.Asystemwithalargeovershootisusuallyundesirable.實際應用中，常用的動態(tài)指標： 上升時間，評價系統(tǒng)的響應速度（quickness)

超調量，評價系統(tǒng)的阻尼程度(smoothness)

調節(jié)時間，同時反映響應速度和阻尼程度12穩(wěn)態(tài)性能指標Steady-stateerror（穩(wěn)態(tài)誤差）

Itisdefinedasthediscrepancybetweentheoutputandthereferenceinputwhenthesteadystateisreached.Detailedin3-6

13Followedby…3-2Timeresponseofafirst-ordersystem（一階系統(tǒng)）3-3Transientresponse（瞬態(tài)響應）ofaprototype2nd-ordersystem（2階原型系統(tǒng)）Whyweemphasizethe1-thorderand2-ndordersystems?Higher-ordersystemscanbeconsideredtobesumof

theresponsesoffirst-andsecond-ordersystems143-2Timeresponseofafirst-ordersystem（一階系統(tǒng)）15First-ordersystemTimeconstant(時間常數(shù)）Gain增益ExampleQ：WhatisRCcircuitusedfor?16Timeresponse1.零初始條件下系統(tǒng)的單位階躍響應17Noovershoot,nooscillation18一階系統(tǒng)單位階躍響應的特點：2.可用時間常數(shù)T度量系統(tǒng)輸出量的數(shù)值3.響應曲線斜率初始值為1/T，可用來實驗測定一階系統(tǒng)參數(shù)T4.時間參數(shù)反映了系統(tǒng)的慣性，T越大系統(tǒng)響應越慢，慣性越大。1.響應曲線具有非振蕩特征，故也稱為非周期響應。19Example1.Considerafirst-ordersystem,calculatethesettlingtimetswhenkt=0.1;calculatethevalueofKtthatmakests=0.20Closed-loopTF212.零初始條件下系統(tǒng)的單位斜坡響應22Theunit-rampresponseisshownasfollows：Definitionofsteady-stateerror：Whenttendstoinfinity,thedifferencebetweenactualsteady-statevalueandtheexpectedone：tTTr(t)=tc(t)0一階系統(tǒng)單位斜坡達到穩(wěn)態(tài)時具有和輸入相同的斜率，只要在時間上滯后T,這就存在著ess=T的穩(wěn)態(tài)誤差。23課后復習自學中文教材3－2節(jié)一階系統(tǒng)單位脈沖響應一階系統(tǒng)單位加速度響應243-3Timeresponseofaprototype

2-ordersystem25Second-ordersystemDampingratio阻尼比NatureFrequency自然頻率二階系統(tǒng)響應特性決定于根的位置，即阻尼比ζ和自然頻率ωn這兩個參數(shù)26二階系統(tǒng)單位階躍響應定性分析ζ

＞1j0j00>ζ

<1ζ

＝0過阻尼ζ

=1j0臨界阻尼欠阻尼j0零阻尼27二階系統(tǒng)的阻尼特性1.當0<ζ<1時，一對負實部的共軛復根,系統(tǒng)的單位階躍響應具有衰減振蕩特性，稱為欠阻尼(underdamped)。2.當ζ

=1時，兩個相等的負實根，稱為臨界阻尼(criticallydamped)3.當ζ

>1時，特征方程具有兩個不相等的負實根，稱為過阻尼(overdamped)4.當ζ

=0時，系統(tǒng)有一對共軛純虛根，系統(tǒng)單位階躍響應作等幅振蕩，稱為無阻尼

(undamped)。5.當ζ<0時，此時系統(tǒng)特征方程具有一對正實部的共軛復根或正實根，系統(tǒng)的單位階躍響應具有發(fā)散特性，稱為negativelydamped).28二階系統(tǒng)的單位階躍響應1.ζ

>1過阻尼系統(tǒng)29起始速度小，然后上升速度逐漸加大，到達某一值后又減小，響應曲線不同于一階系統(tǒng)。過阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài)性能指標主要是調節(jié)時間ts，根據(jù)公式求ts的表達式很困難，一般用計算機計算出的曲線確定ts。302.ζ＝1臨界阻尼系統(tǒng)響應曲線的變化率始終為正，t趨于無窮時，變化率趨于0。臨界阻尼系統(tǒng)單位階躍響應是穩(wěn)態(tài)值為1的無超調單調上升過程(monoganly

31大阻尼二階系統(tǒng)可近似等效為一階系統(tǒng)，調節(jié)時間可用3T1來估算。WHY過（臨界）阻尼二階系統(tǒng)調節(jié)時間特性32theeigenvaluesoftheclosed-loopsystemare:3.0<ζ

<1欠阻尼系統(tǒng)ImRe33

Whenr(t)=1(t),thesystemoutputis34Steadyvalue=1，indicatingthatthesteadystateerror=0forunitstepinputsignalTransientpart，dampingsinusoidalterm

Note:欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線是按指數(shù)規(guī)律衰減到穩(wěn)定值的，衰減速度取決于特征值實部-ξwn的大小，而衰減振蕩的頻率，取決于特征根虛部wd的大小。354.

ζ

=0零阻尼系統(tǒng)等幅振蕩曲線，振蕩頻率為wn因此，wn稱為無阻尼振蕩頻率。36EffectsofdampingratiorisetimeOvershootTheoscillationissmallerThespeedoftheresponseisslowerWeareconfrontedwithanecessarycompromisebetweenthespeedofresponseandtheallowableovershoot.(foragiven)37Followedby…Note:Incontrolengineering,exceptthosesystemsthatdonotallowanyoscillation,usuallyacontrolsystemisdesirablewith-moderatedamping(allowingsomeovershoot)-quickresponsespeed-shortsettlingtimeTherefore,asecond-ordercontrolsystemisusuallydesignedasanunderdampedsystem.38underdampedsystem欠阻尼二階系統(tǒng)ImRe39Performanceanalysis1.RiseTimetristhetimeneededfortheresponsetoreachthesteady-statevalueforthefirsttime,son=1.Foragivenwn，ζ↓，tr↓；

Foragivenζ，wn↑，tr

↓.Unit-stepresponse:402.Peaktime=0tp

isthetimeneededfortheresponsetoreachthemaximumvalueforthefirsttime,son=1.Foragivenwn，ζ↓，tp↓；

Foragivenζ，wn↑，tp

↓.413.OvershootImReOvershootisafunctionofdampingratio

ζ

,independentofwn.

42Dampingratioξζ增大，σ%減小，通常為了獲得良好的平穩(wěn)性和快速性，阻尼比ζ取在0.4-0.8之間,相應的超調量25%-2.5%。

43根據(jù)定義：不易求出ts，但可得出wnts與ζ的關系曲線：4調節(jié)時間4445調節(jié)時間不連續(xù)的示意圖ζ值的微小變化可引起調節(jié)時間ts顯著的變化。46當ζ

=0.68（5%誤差帶）或ζ

=0.76（2%誤差帶），調節(jié)時間ts最短。所以通常的控制系統(tǒng)都設計成欠阻尼的。曲線的不連續(xù)性，是由于ζ值的微小變化可引起調節(jié)時間顯著變化而造成的。

Approximatedcalculation:常用阻尼正弦振蕩的包絡線衰減到誤差帶之內(nèi)所需時間來確定ts。

當ζ

<=0.8時,常把這一項去掉。寫成即

47

Note:在設計系統(tǒng)時,

ζ通常由要求的最大超調量決定,而調節(jié)時間則由無阻尼振蕩頻率wn來決定?？山票硎緸椋簝蛇吶?shù),得：

調節(jié)時間與閉環(huán)極點實部數(shù)值成反比，即極點離虛軸越遠，調節(jié)時間越短。48

OscillationtimesNDefinitionofN:在調節(jié)時間內(nèi),響應曲線穿越其穩(wěn)態(tài)值次數(shù)的一半。

Td為阻尼振蕩的周期。5振蕩次數(shù)49標準二階系統(tǒng)的性能指標指標之間有矛盾，響應速度和阻尼程度不能同時達到最好結果如何選取ζ和wn來滿足系統(tǒng)設計要求：(1)當wn一定，要減小tr和tp，必須減少ζ值，要減少ts則應增大ζ

wn值，而且z值有一定范圍，不能過大。

(2)增大wn

，能使tr，tp和ts都減少。

(3)最大超調量σ%只由ζ決定,ζ越小，σ%越大。所以，一般根據(jù)σ%

的要求選擇ζ值，在實際系統(tǒng)中，ζ值一般在0.5～0.8之間.50二階系統(tǒng)工程最佳參數(shù)在某些控制系統(tǒng)中常常采用所謂二階工程最佳參數(shù)作為設計控制系統(tǒng)的依據(jù)。這種系統(tǒng)選擇的參數(shù)使系統(tǒng)單位階躍響應暫態(tài)特性指標為：

最大超調量

上升時間調節(jié)時間

ts（2%）=8.43T（用近似公式求得為8T）

ts（5%）=4.14T（用近似公式求得為6T）51-R(s)C(s)Example1:Considerthefollowingunit-feedbacksystem

Systeminputistheunit-stepfunction,WhentheamplifiergainsareKA=200,KA=1500,KA=13.5respectively,canyoucalculatethetime-domainspecificationsoftheunit-stepresponse?InvestigatetheeffectoftheamplifiergainKAonthesystemresponse52Solution:Theclosed-looptransferfunctionis53

Accordingtotheformulatocalculatetheperformanceindices,itfollowsthat54由此可見,KA越大,ξ越小,wn越大,tp越小,б%越大,而調節(jié)時間ts無多大變化。KA=1500。。。。KA=13.5。。。。過阻尼55系統(tǒng)工作在過阻尼狀態(tài),峰值時間,超調量和振蕩次數(shù)不存在,而調節(jié)時間可將二階系統(tǒng)近似為大時間常數(shù)T的一階系統(tǒng)來估計,即:調節(jié)時間比前兩種KA大得多,雖然響應無超調,但過渡過程緩慢,曲線如下：56KA增大，tp減小，tr減小，可以提高響應的快速性，但超調量也隨之增加，僅靠調節(jié)放大器的增益，即比例調節(jié)，難以兼顧系統(tǒng)的快速性和平穩(wěn)性，為了改善系統(tǒng)的動態(tài)性能，可采用比例－微分控制（PD)或速度反饋控制，即對系統(tǒng)加入校正環(huán)節(jié)。57課后自學中文教材p91，過阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)分析P93，二階系統(tǒng)的單位斜坡響應58Improvethe2ndsystem

二階系統(tǒng)性能的改善RefinputcontrollerManipulatedvar.plantdisturbanceOutputerrorsensor-R(s)C(s)設計控制器，改變閉環(huán)系統(tǒng)的性能回顧59Example2.下圖表示引入了一個比例微分控制的二階系統(tǒng),系統(tǒng)輸出量同時受偏差信號

和偏差信號微分的雙重控制。試分析比例微分校正對系統(tǒng)性能的影響。PICONTROL60Open-loop

transferfunction：Closed-looptransferfunction：

Theequivalentdampingratio：是二階系統(tǒng)；不是二階原型系統(tǒng)開環(huán)增益61比例微分控制使系統(tǒng)增加了一個閉環(huán)零點s=-1/Td,前面給出的計算動態(tài)性能指標的公式不再適用。由于穩(wěn)態(tài)誤差與開環(huán)增益成反比,因此適當選擇開環(huán)增益和微分器的時間常數(shù)Td,即可減小穩(wěn)態(tài)誤差,又可獲得良好的動態(tài)性能。閉環(huán)系統(tǒng)阻尼比↑系統(tǒng)動態(tài)過程的超調量wn↓不變后面研究增加的零點對系統(tǒng)性能的影響62VelocityfeedbackExample3.圖:

采用了速度反饋控制的二階系統(tǒng),試分析速度反饋校正對系統(tǒng)性能的影響。Why叫速度反饋？和PD控制區(qū)別？63Open-looptransferfunction64不引入速度反饋開環(huán)增益Note:k有所減小,增大了穩(wěn)態(tài)誤差,因此降低了系統(tǒng)的精度。為系統(tǒng)的開環(huán)增益。65Closed-looptransferfunction:

Note:顯然，所以速度反饋同樣可以增大系統(tǒng)的阻尼比,而不改變無阻尼振蕩頻率wn,因此,速度反饋可以改善系統(tǒng)的動態(tài)性能。Equivalentdampingratio：66

Summaryfordesign:在應用速度反饋校正時,應適當增大原系統(tǒng)的開環(huán)增益,以補償速度反饋引起的開環(huán)增益減小,同時適當選擇速度反饋系數(shù)kt,使阻尼比ξt增至適當數(shù)值,以減小系統(tǒng)的超調量,提高系統(tǒng)的響應速度,使系統(tǒng)滿足各項性能指標的要求。

On-classexercise:7-13(Englishtextbookpp.311)67Followedby…前面研究了標準二階系統(tǒng)的動態(tài)性能，對于有附加零點的系統(tǒng)，以及附加極點的系統(tǒng)（三階及高階系統(tǒng)），如何在此基礎上研究系統(tǒng)的動態(tài)性能？683-4Analysisofhigher-ordersystem693-ordersystem單位階躍輸入，ζ<170實極點對系統(tǒng)響應的影響j0結論1：增加極點增加了阻尼結論2：增加的極點越靠近原點增加阻尼的作用越明顯超調↓上升時間，峰值時間，調節(jié)時間↑

結論3：實極點比復極點更右時，明顯過阻尼特性（趨向于1階響應）71Higher-ordersystems高階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)可表示為如下普通形式將分子和分母分解成因式，上式可寫成線性定常系統(tǒng)，零極點只可能是實數(shù)或共軛復數(shù)7273一階響應函數(shù)Exponentialcurves二階響應函數(shù)Dampedsinusoidalcurves+如果所有閉環(huán)極點都在左半s平面，隨著t增大，一階指數(shù)及二階衰減正弦分量趨于0，高階系統(tǒng)是穩(wěn)定的，穩(wěn)態(tài)量為A0極點負實部越大（離虛軸遠），響應分量衰減越快，對系統(tǒng)性能影響越小，反之越靠近虛軸，響應分量衰減越慢，對系統(tǒng)響應形式影響越大。74EffectsofAddingPolesandZerostoTransferFunctions75Closed-loopTF：1.Addingapoleattotheopen-loopTFOpen-loopTF：Open-loopTF：Closed-loopTF：EffectsofAddingPoles761.Addingapoleattotheopen-loopTFj0--Increasingthemaximumovershootoftheclosed-loopsystem;Howdoesitaffectclosed-loopsystemstep-responseperformance?--Increasingtherisetimeoftheclosed-loopsystem.77Closed-loopTF：Open-loopTF：Closed-loopTF：2.Addingapoleattotheclosed-loopTFEffectsofAddingPoles782.Addingapoleattotheclosed-loopTFj0--themaximumovershootoftheclosed-loopsystemdecreases;--therisetimeoftheclosed-loopsystemincreases.Asthepoleatismovedtowardtheorigininthes-planeoppositeeffectstothatofaddingapoletoopen-loopTFAddingapoletotheclosed-loopsystemhastheeffectasincreasingthedampingratio;Anoriginallyunderdampedsystemcanbemadeintooverdamped

byaddingaclosed-looppole.79Closed-loopTF：Open-loopTF：1.Addingazeroattotheclosed-loopTFClosed-loopTF：EffectsofAddingZeros801.Addingazeroattotheclosed-loopTFForaunit-stepinput,Thestepresponseoftheclosed-loopsystemClosed-loopTF：811.Addingazeroattotheclosed-loopTFj0--themaximumovershootoftheclosed-loopsystemincreases;--therisetimeoftheclosed-loopsystemdecreases.Asthezeroatismovedtowardtheorigininthes-planea)Itseffectsonanunderdamped()systemTheadditionalzerohastheeffectasreducingthedampingratio821.Addingazeroattotheclosed-loopTFj0b)Itseffectsonanoverdamped

()systemAddingazerotoanoverdampedsystemcanchangeitintoanunderdampedsystembyputtingthezeroataproperposition.83Closed-loopTF：Open-loopTF：1.Addingazeroattotheopen-loopTFOpen-loopTF：Closed-loopTF：EffectsofAddingZerosTheadditionalzerochangesbothnumeratoranddenominator.841.Addingazeroattotheopen-loopTFClosed-loopTF：Theadditionalzerochangesbothnumeratoranddenominator.Theequivalentdampingratio:Anadditionalzerowillincreaseovershoot85DominantPolesofTransferFunctionDominantpoles:thoseposesthathaveadominanteffectonthetransientresponse.Byidentifyingdominantpoles,high-ordersystemscanbeapproximatedbyloweronesasthetransientresponseisconcerned.closetotheimaginaryaxisPositionofPolesintheleft-halfs-planeTheireffectsontransientresponsedecayingrelativelyslowlyfarawayfromtheimaginaryaxisdecayingfaste.g.8687Iftheratioofrealpartsexceed5andnozerosnearby,theclosed-looppolesnearesttheimaginary-axiswilldominateinthetransientresponsebehavior.Thedominantpolescanbearealpole,butapairofcomplexconjugatepolesaremorepreferableincontrolengineering（why?）.Inordertoapplysecond-ordersysteminapproximatingthedynamicperformanceofhigher-ordersystemDominantPolesofTransferFunction873-5Stabilityoflinearsystems(incomplexplane)88Anexamplea,b,c點，哪些是穩(wěn)定(stable)的，哪些是不穩(wěn)定(unstable)的？89若系統(tǒng)在初始偏差作用下,其過渡過程隨時間的推移,逐漸衰減并趨于零,具有恢復平衡狀態(tài)的性能,則稱該系統(tǒng)為Asymptoticstable(漸進穩(wěn)定），反之為unstable。Note1:Forlinearsystems,stabilitymeansasymptoticstability,butitisnottruefornonlinearsystems.Note2:Stabilityoflinearsystemsdependsonlyoninternalstructureofthesystem,independentofexternalactionandinitialcondition.Definition90Sufficientandnecessarycondition（充分必要條件）forstability91

Theinitialconditionofthesystemiszero.Whensysteminputisunitimpulsefunctionδ(t),thesystemoutputisk(t).If,thenthesystemisstable。時域定義：Allpolesshouldlocateintheleftsideofs-plane92ReviewofChapter33-5StabilityoflinearcontrolsystemsSufficientandnecessarycondition（充分必要條件）forstabilityAllpolesshouldlocateintheleftsideofs-plane93Asystemisstableifandonlyifallrootsofthesystemcharacteristicequationhavenegativerealparts,orequivalently,allpolesofclosed-looptransferfunctionsmustlocateinthelefthalfofs-plane.

Note:Theabovecriterionholdswhenthecharacteristicequationhasmultiple-orderroots。Stabilitycriterionincomplexplane94Routh-Hurwitzstabilitycriterion(勞思-赫爾維茨穩(wěn)定判據(jù)）Thecriteriontestswhetheranyoftherootsofthecharacteristicequationlieintherighthalfofthes-plane,withoutactuallysolvingfortheroots.InformationaboutabsolutestabilitycanbeobtaineddirectlyfromthecoefficientsofthecharacteristicequationAllpolesinleftsplaneNopolesinrightsplane＝95

1.Thenecessarycondition:ConsiderthatthecharacteristicequationofaLTIsystemisoftheformThenecessary(butnotsufficient)conditionsforstabilityofthesystemaredescribedasfollows:

(1)Allthecoefficientsoftheequationhavethesamesign.(a0>0,各項系數(shù)為正）

(2)Noneofthecoefficientsvanishes.ProceduresinRouth’sstabilitycriterion96Note1:Theaboveconditionsarebasedonthelawsofalgebra.

Note2:Theseconditionsarenotsufficient.（不是充分條件）如果都是負實根，特征多項式所有系數(shù)均為正，否則必有正根或虛根972Routh’sTabulation（勞斯表）orRouth’sArray（勞斯矩陣）若第1步特征多項式系數(shù)不滿足必要條件（所有系數(shù)不為正），系統(tǒng)一定不穩(wěn)定，否則需要構造勞斯表進一步判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性98

Routhcriterion:ThesystemisstableifandonlyifalltheelementsofthefirstcolumnoftheRouth’stabulationareofthesamesign.(表中第一列系數(shù)均為正數(shù)）

Thenumberofchangesofsignsintheelementsofthefirstcolumnequalsthenumberofrootswithpositiverealpartsorintherighthalfofthes-plane.（符號改變次數(shù)等于右半平面根的個數(shù)）99Example則系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個正實部根,即有2個根在S的右半平面。＋＋100一次方程:

a1,a0同號則系統(tǒng)穩(wěn)定。二次方程:

a1,a2,a0同號則系統(tǒng)穩(wěn)定。三次方程:

a0,a1,a2,a3均大于0,且a1a2>a3a0,則系統(tǒng)穩(wěn)定。1013.SpecialcaseswhenRouth’sTabulationterminatesprematurely

Case1:勞斯表中某一行的第一個元素為0,其它各元素不全為0

用任意小的正數(shù)ε代替某一行第一個為0的元素。然后繼續(xù)勞斯表計算并判斷。當ε很小時,則系統(tǒng)不穩(wěn)定，并有兩個正實部根。102Case2:勞斯表中第k行元素全為0,這說明系統(tǒng)的特征根或存在兩個符號相異,絕對值相同的實根,或存在一對共軛純虛根,或存在實部符號相異,虛部數(shù)值相同的共軛復根，或上述類型的根兼而有之。此時系統(tǒng)必然是不穩(wěn)定的。在這種情況下,可作如下處理。

(1).用k-1行（上一行）元素構成輔助方程

(2).將輔助方程為s求導,其系數(shù)作為全零行的元素,繼續(xù)完成勞斯表。

(3).可通過解輔助方程獲取不穩(wěn)定根的信息

103Example:Thecharacteristicequationofasystemis：Thesigninthefirstcolumnchangesonce,sothesystemisunstable.104輔助方程得：解得符號相異，絕對值相同的兩個實根和一對純虛根其中有一個正實根導致系統(tǒng)不穩(wěn)定。105

On-classexercisesDeterminethestabilityofthefollowingsystems:106

(1).勞斯表不但可判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性,而且能判斷特征根的位置分布情況。

(2).對于帶調節(jié)器的系統(tǒng)，可應用勞斯判據(jù)選擇使系統(tǒng)穩(wěn)定的調節(jié)器參數(shù)或取值區(qū)間。

Example1:ApplicationandextensionofRouthTabulationK2107K2特征方程：108CharacteristicequationNecessarycondition:Sufficientcondition:109Example2:已知系統(tǒng)的特征為:

試判斷使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍,如果要求特征值均位于s=-1垂線之左。問k值應如何調整?110解:特征方程化為:

列勞斯表:111使系統(tǒng)穩(wěn)定的k值范圍是若要求全部特征根在s=-1之左，怎么辦？虛軸向左平移一個單位，令s=s1-1代入原特征方程,得:整理得:112列勞斯表:第一列元素均大于0,則得:1133-6Steady-stateerror114ReviewThreebasicrequirementsofcontrolsystem:StabilityQuicknessAccuracy

Locationsofclosed-looppolesTimeresponsesof1,2andhigherordersystems

1-ordersystem,T2-ordersystem,ζωn

Higherorder,dominantpoles

steady-stateerror115

Inadesignproblem,oneoftheobjectivesistokeeptheactualoutputtrackingthereferenceinputaccurately,thatis,keepthesteady-stateerrortoaminimum,orbelowacertaintolerablevalue,andatthesametimethetransientresponsemustsatisfyacertainsetofspecifications.116Errorandsteady-stateerrorincontrolsystemsRefinputr(t)controllerManipulatedvar.plantdisturbanceOutputc(t)ErrorsensorError:Steady-stateerror:理想輸出cr(t)？117(1)AccordingtoFinal-valueTheorem

Note:WheninputsignalsarewecanuseFinal-valueTheoremtocalculatesteady-stateerror,notforsinusoidinputsignal(refertofinal-valuetheorem).Howtocalculate

steady-stateerror118(2)Accordingtothedefinitiona.求誤差響應傳遞函數(shù)b.誤差響應的象函數(shù)c.誤差響應的原函數(shù)d.求極值即為穩(wěn)態(tài)誤差。R(s)G(s)C(s)E(s)H(s)119Ifthereexistbothcontrolinputsignalanddisturbancesignal,thensteady-stateerrorcanbecalculatedasfollows:：R(s)N(s)E(s)++利用疊加原理：R(s)Gc(s)C(s)E(s)H(s)N(s)Gp(s)－如何求誤差輸入傳函和誤差擾動傳函？120N(s)R(s)Gc(s)C(s)E(s)H(s)Gp(s)－系統(tǒng)在輸入信號和擾動信號作用下的實際輸出為:系統(tǒng)對輸入信號R(s)的理想輸出Cr(s):系統(tǒng)對擾動信號N(s)的理想輸出為0，即不希望系統(tǒng)受到擾動的影響121在輸入信號和擾動信號作用下的誤差E(s)為:122Example:已知系統(tǒng)的結構圖如下,試求系統(tǒng)在輸入信號r(t)=t和擾動信號n(t)=-1(t)同時作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess2n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)1232n(t)=-1(t)r(t)=tE(s)-C(s)124Atfirst,wecheckstabilityofthesystem。(穩(wěn)定性只和系統(tǒng)內(nèi)部結構有關，和外部輸入及擾動無關）Thecharacteristicequationis:125126Underonlyinputsignal,thesystemerroris:

Ifasystemisunityfeedback(單位反饋H(s)=1)Steady-stateerrorofsystemwithinputsignalN(s)R(s)Gc(s)C(s)E(s)H(s)Gp(s)－Ess和系統(tǒng)內(nèi)部結構以及外部輸入密切相關開環(huán)傳遞函數(shù)127ν為開環(huán)系統(tǒng)在s平面原點的極點重數(shù)

Whenν=0,1,2,thesystemiscalledtype0,type1,type2;kiscalledopen-loopgain.系統(tǒng)類型為了進一步分析誤差和系統(tǒng)結構的關系128ν=0,type0system階躍輸入，R(s)=1/s斜坡輸入，R(s)=1/s2加速度輸入，R(s)=1/s3有穩(wěn)態(tài)誤差不穩(wěn)定不穩(wěn)定129ν=1,type1system階躍輸入，R(s)=1/s斜坡輸入，R(s)=1/s2加速度輸入，R(s)=1/s3無穩(wěn)態(tài)誤差有穩(wěn)態(tài)誤差不穩(wěn)定Type-1systemcantrackstepsignalaccurately.130ν=2,type2system階躍輸入，R(s)=1/s斜坡輸入，R(s)=1/s2加速度輸入，R(s)=1/s3無穩(wěn)態(tài)誤差有穩(wěn)態(tài)誤差無穩(wěn)態(tài)誤差Type-2systemcantrackstepandrampsignalsaccurately.131Definekp,kv,kaassteady-stateerrorconstants:Understep-functioninput

-positionerror constant(位置誤差系數(shù))Underramp-functioninput

-Velocityerror constant(速度誤差系數(shù))Underparabolic-functioninput-Accerlationerror constant(加速度誤差系數(shù))132TypeofSystemErrorconstantsSteady-stateerrorj0ⅠⅡ

Summaryofsteady-stateerroranderrorconstants

forunit-feedbacksystems(H(s)=1)133應用誤差常數(shù)(kp,kv,ka)計算穩(wěn)態(tài)誤差的幾點說明1.閉環(huán)系統(tǒng)一定是穩(wěn)定的，否則沒有意義。2.上表中總結的結果僅針對單位反饋系統(tǒng)有效。3.kp,kv,ka等誤差常數(shù)是分別針對階躍、斜坡、拋物線形式的輸入定義的，當輸入是這三種信號組合時，可應用疊加原理計算ess1344.以開環(huán)系統(tǒng)在s平面原點上極點重數(shù)定義系統(tǒng)類別的優(yōu)點：可以根據(jù)輸入信號形式，迅速判斷系統(tǒng)是否存在穩(wěn)態(tài)誤差以及穩(wěn)態(tài)誤差的大小5.影響穩(wěn)態(tài)誤差的主要因素：系統(tǒng)結構（系統(tǒng)類別，開環(huán)增益等）輸入信號

Note1:提高系統(tǒng)的型別,增大系統(tǒng)的開環(huán)增益,都會提高系統(tǒng)的精度,但這樣又會降低穩(wěn)定性,必須綜合考慮。135Example1:

已知單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為G(s)，輸入為r(t)，試求穩(wěn)態(tài)誤差ess。s2(0.1s+1)8(0.5s+1)G3(s)=s(s+4)(s2+2s+2)7(s+3)G2(s)=(0.1s+1)(0.5s+1)10G1(s)=r1(t)=1(t)r2(t)=tr3(t)=t2解：0型Ⅰ型Ⅱ型k=10k=21/8k=8ess=1/11ess=8/21ess=1/8√××系統(tǒng)2不穩(wěn)定，系統(tǒng)3的A=2，∴ess→∞∴ess=1/4136On-classExercise:Considertheunityfeedbacksystemwiththefollowing