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高中數(shù)學(xué)精編資源2/2專題40圓的方程9題型分類1.圓的定義和圓的方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)圓心C(a,b)半徑為r一般x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(D,2),-\f(E,2)))半徑r=eq\f(1,2)eq\r(D2+E2-4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0,y0)與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2之間存在著下列關(guān)系:(1)|MC|>r?M在圓外,即(x0-a)2+(y0-b)2>r2?M在圓外;(2)|MC|=r?M在圓上,即(x0-a)2+(y0-b)2=r2?M在圓上;(3)|MC|<r?M在圓內(nèi),即(x0-a)2+(y0-b)2<r2?M在圓內(nèi).常用結(jié)論1.以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.2.圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上.3.圓心在任一弦的垂直平分線上.(一)1.求圓的方程的常用方法(1)直接法:直接求出圓心坐標(biāo)和半徑,寫出方程.(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a,b)和半徑r有關(guān),則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,求出a,b,r的值;②選擇圓的一般方程,依據(jù)已知條件列出關(guān)于D,E,F(xiàn)的方程組,進(jìn)而求出D,E,F(xiàn)的值.2.方程表示圓的充要條件是,故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問題時,必須注意這一隱含條件.在圓的一般方程中,圓心為,半徑3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:①點(diǎn)P在圓外;②點(diǎn)P在圓上;③點(diǎn)P在圓內(nèi).(2)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:①點(diǎn)P在圓外;②點(diǎn)P在圓上;③點(diǎn)P在圓內(nèi).4.(1)圓的軸對稱性:圓關(guān)于直徑所在的直線對稱(2)圓關(guān)于點(diǎn)對稱:①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對稱的圓的方程,只需確定所求圓的圓心,即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某點(diǎn)對稱,則此點(diǎn)為兩圓圓心連線的中點(diǎn)(3)圓關(guān)于直線對稱:①求已知圓關(guān)于某條直線對稱的圓的方程,只需確定所求圓的圓心,即可寫出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某條直線對稱,則此直線為兩圓圓心連線的垂直平分線題型1:求圓的方程1-1.(2024高一上·江蘇連云港·期末)求過兩點(diǎn),且圓心在直線上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(
)A. B.C. D.1-2.(2024高三下·陜西西安·階段練習(xí))過點(diǎn)作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,則的外接圓方程是(
)A. B.C. D.1-3.(2024·福建福州·模擬預(yù)測)已知,則外接圓的方程為(
)A. B. C. D.題型2:用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件2-1.(2024高二上·甘肅金昌·期中)若方程表示圓,則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C.或 D.或2-2.(2024高三·全國·課后作業(yè))關(guān)于x、y的方程表示一個圓的充要條件是(
).A.,且B.,且C.,且,D.,且,2-3.(2024高三下·河南·階段練習(xí))“”是“方程表示圓”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件題型3:點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷3-1.(2024·遼寧·二模)已知圓,直線l:,若l與圓O相交,則(
).A.點(diǎn)在l上 B.點(diǎn)在圓O上C.點(diǎn)在圓O內(nèi) D.點(diǎn)在圓O外3-2.(2024高二上·全國·課后作業(yè))若點(diǎn)在圓的內(nèi)部,則a的取值范圍是().A. B. C. D.3-3.(2024高二上·全國·課后作業(yè))點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是(
)A.點(diǎn)在圓上 B.點(diǎn)在圓內(nèi) C.點(diǎn)在圓外 D.不確定3-4.(2024·甘肅定西·模擬預(yù)測)若點(diǎn)在圓的外部,則a的取值范圍是(
)A. B. C. D.題型4:與圓有關(guān)的對稱問題4-1.(2024·西藏日喀則·一模)已知圓關(guān)于直線對稱,圓交于、兩點(diǎn),則4-2.(2024高三上·江西南昌·階段練習(xí))已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,則的最小值是.4-3.(2024高二上·上海浦東新·階段練習(xí))已知圓C與圓D:關(guān)于直線對稱,則圓C的方程為.(二)求與圓有關(guān)的軌跡問題的常用方法(1)直接法:直接根據(jù)題目提供的條件列出方程.(2)定義法:根據(jù)圓、直線等定義列方程.(3)相關(guān)點(diǎn)代入法:找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系,代入已知點(diǎn)滿足的關(guān)系式.題型5:與圓有關(guān)的軌跡問題5-1.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知圓,平面上一動點(diǎn)滿足:且,.求動點(diǎn)的軌跡方程;5-2.(2024·福建)動點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離的比等于2,求動點(diǎn)P的軌跡方程,并說明這軌跡是什么圖形.5-3.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)是圓上兩動點(diǎn),且滿足,求矩形頂點(diǎn)Q的軌跡方程.5-4.(2024高二下·廣東深圳·期中)點(diǎn),點(diǎn)是圓上的一個動點(diǎn),則線段的中點(diǎn)的軌跡方程是(
)A. B.C. D.(三)與圓有關(guān)的最值問題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值:形如μ=eq\f(y-b,x-a),t=ax+by,(x-a)2+(y-b)2形式的最值問題.(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值:列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式,然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值.(3)求解形如|PM|+|PN|(其中M,N均為動點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線段的最值問題的基本思路:①“動化定”,把與圓上動點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離;②“曲化直”,即將折線段之和轉(zhuǎn)化為同一直線上的兩線段之和,一般要通過對稱性解決.題型6:利用幾何性質(zhì)求最值6-1.(2024·河北·一模)直線與圓相切,則的最大值為(
)A.16 B.25 C.49 D.816-2.(2024·吉林白山·一模)已知圓與直線,P,Q分別是圓C和直線l上的點(diǎn)且直線PQ與圓C恰有1個公共點(diǎn),則的最小值是(
)A. B. C. D.6-3.(2024·重慶)設(shè)P是圓(x-3)2+(y+1)2=4上的動點(diǎn),Q是直線x=-3上的動點(diǎn),則|PQ|的最小值為()A.6 B.4 C.3 D.2題型7:利用函數(shù)求最值7-1.(2024高三·全國·對口高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,以點(diǎn),曲線上的動點(diǎn)B,第一象限內(nèi)的點(diǎn)C,構(gòu)成等腰直角三角形ABC,且,則線段OC長的最大值是.7-2.(2024·浙江·模擬預(yù)測)已知圓和點(diǎn),由圓外一點(diǎn)向圓引切線,切點(diǎn)分別為,若,則的最小值是(
)A. B. C. D.(四)求過兩直線交點(diǎn)(兩圓交點(diǎn)或直線與圓交點(diǎn))的直線方程(圓系方程)一般不需求其交點(diǎn),而是利用它們的直線系方程(圓系方程).(1)直線系方程:若直線與直線相交于點(diǎn)P,則過點(diǎn)P的直線系方程為:簡記為:當(dāng)時,簡記為:(不含)(2)圓系方程:若圓與圓相交于A,B兩點(diǎn),則過A,B兩點(diǎn)的圓系方程為:簡記為:,不含當(dāng)時,該圓系退化為公共弦所在直線(根軸)注意:與圓C共根軸l的圓系題型8:圓系方程8-1.(2024高二上·安徽銅陵·期中)經(jīng)過直線與圓的交點(diǎn),且過點(diǎn)的圓的方程為.8-2.(2024高三下·江蘇鹽城·階段練習(xí))曲線與的四個交點(diǎn)所在圓的方程是.8-3.(2024高二·遼寧·學(xué)業(yè)考試)過圓與的交點(diǎn),且圓心在直線上的圓的方程是.(五)圓過定點(diǎn)問題,想辦法求出含有參數(shù)的圓的方程,然后按參數(shù)整理后得,只要讓此關(guān)于的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)(包括常數(shù)項(xiàng))均為0,就可解得定點(diǎn).題型9:圓過定點(diǎn)問題9-1.(2024高二下·上海徐匯·期中)對任意實(shí)數(shù),圓恒過定點(diǎn),則定點(diǎn)坐標(biāo)為.9-2.(2024高三·浙江溫州·階段練習(xí))已知動圓圓心在拋物線上,且動圓恒與直線相切,則此動圓必過定點(diǎn)9-3.(2024高三下·上海閔行·期中)若拋物線與坐標(biāo)軸分別交于三個不同的點(diǎn)、、,則的外接圓恒過的定點(diǎn)坐標(biāo)為一、單選題1.(2024高三下·廣西·階段練習(xí))若直線是圓的一條對稱軸,則(
)A. B. C. D.2.(2024高二·全國·課后作業(yè))若方程x2+y2+2λx+2λy+2λ2―λ+1=0表示圓,則λ的取值范圍是(
)A.(1,+∞) B.C.(1,+∞)∪ D.R3.(2024高二上·海南海口·期中)已知方程表示圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(
)A. B. C. D.4.(2024·浙江·模擬預(yù)測)圓C:關(guān)于直線對稱的圓的方程是(
)A. B.C. D.5.(2024高二上·青海西寧·期末)已知圓心為的圓與直線相切,則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(
)A. B.C. D.6.(2024·廣東佛山·模擬預(yù)測)已知圓C:,過點(diǎn)的兩條直線,互相垂直,圓心C到直線,的距離分別為,,則的最大值為(
)A. B.1 C. D.47.(2024·北京)若直線是圓的一條對稱軸,則(
)A. B. C.1 D.8.(2024高二·全國·課后作業(yè))若圓:過坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)的值為(
)A.2或1 B.-2或-1 C.2 D.-19.(2024·湖南郴州·模擬預(yù)測)已知A,B是:上的兩個動點(diǎn),P是線段的中點(diǎn),若,則點(diǎn)P的軌跡方程為(
)A. B.C. D.10.(2024高三下·重慶·階段練習(xí))德國數(shù)學(xué)家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”(也稱“米勒定理”):若點(diǎn)是的邊上的兩個定點(diǎn),C是邊上的一個動點(diǎn),當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)C時,最大.在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,點(diǎn)F是y軸負(fù)半軸的一個動點(diǎn),當(dāng)最大時,的外接圓的方程是(
).A. B.C. D.11.(2024高二·全國·課后作業(yè))已知直線恒過定點(diǎn)P,則與圓C:有公共的圓心且過點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A. B.C. D.12.(2024高二上·甘肅慶陽·期末)已知圓與直線相切,則圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為(
)A. B.C. D.13.(2024高一上·廣東廣州·期末)已知圓的圓心為,其一條直徑的兩個端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上,則這個圓的方程是(
)A. B.C. D.14.(2024·全國)在平面內(nèi),A,B是兩個定點(diǎn),C是動點(diǎn),若,則點(diǎn)C的軌跡為(
)A.圓 B.橢圓 C.拋物線 D.直線15.(2024·北京)已知半徑為1的圓經(jīng)過點(diǎn),則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為(
).A.4 B.5 C.6 D.716.(2024高二上·江蘇鹽城·期中)若直線與曲線有兩個交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.17.(2024高二上·廣東清遠(yuǎn)·期末)若過點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線有且只有一個交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的值不可能是(
)A. B. C. D.218.(2024高一下·四川自貢·期中)點(diǎn)P在單位圓⊙O上(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),點(diǎn),,則的最大值為(
)A. B. C.2 D.319.(2024高三·全國·專題練習(xí))已知點(diǎn)在圓C:的外部,則的取值范圍是(
)A. B. C. D.20.(2024高三下·河南開封·階段練習(xí))已知點(diǎn),點(diǎn)為圓上一動點(diǎn),則的最大值是(
)A. B. C. D.21.(2024高三上·福建龍巖·期中)“方程表示的圖形是圓”是“”的(
)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件22.(2024·福建泉州·模擬預(yù)測)已知圓關(guān)于直線對稱,與交于,兩點(diǎn),設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為,則的最大值等于(
)A.2 B.4 C.8 D.1623.(2024高三上·河南焦作·開學(xué)考試)已知圓經(jīng)過點(diǎn),,,則該圓的半徑為(
)A.4 B.5 C.8 D.1024.(2024·北京平谷·一模)點(diǎn)M、N在圓上,且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,則圓C的半徑(
)A.最大值為 B.最小值為 C.最小值為 D.最大值為25.(2024高二·全國·課后作業(yè))若,使曲線是圓,則(
)A. B. C.或 D.26.(2024高三上·上海奉賢·階段練習(xí))已知:圓的方程為,點(diǎn)不在圓上,也不在圓的圓心上,方程,則下面判斷正確的是(
)A.方程表示的曲線不存在B.方程表示與同心且半徑不同的圓C.方程表示與相交的圓D.當(dāng)點(diǎn)在圓外時,方程表示與相離的圓27.(2024高二·全國·專題練習(xí))圓心在直線x-y-4=0上,且經(jīng)過兩圓x2+y2+6x-4=0和x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn)的圓的方程為(
)A.x2+y2-x+7y-32=0 B.x2+y2-x+7y-16=0C.x2+y2-4x+4y+9=0 D.x2+y2-4x+4y-8=028.(2024高三上·山東東營·階段練習(xí))過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),分別過A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線,垂足分別為兩點(diǎn),以線段為直徑的圓C過點(diǎn),則圓C的方程為(
)A. B.C. D.29.(2024·貴州貴陽·模擬預(yù)測)過、兩點(diǎn),且與直線相切的圓的方程可以是(
)A. B.C. D.30.(2024·全國)已知實(shí)數(shù)滿足,則的最大值是(
)A. B.4 C. D.731.(2024高三·全國·專題練習(xí))廣為人知的太極圖,其形狀如陰陽兩魚互糾在一起,因而被習(xí)稱為“陰陽魚太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個圖形是一個圓形區(qū)域.其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個半圓.已知符號函數(shù),則當(dāng)時,下列不等式能表示圖中陰影部分的是(
)A. B.C. D.32.(2024·安徽·三模)已知是定義在上的奇函數(shù),其圖象關(guān)于點(diǎn)對稱,當(dāng)時,,若方程的所有根的和為6,則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(
)A. B.C. D.33.(2024高二下·四川南充·階段練習(xí))曲線,要使直線與曲線有四個不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.34.(2024·安徽亳州·模擬預(yù)測)若兩條直線:,:與圓的四個交點(diǎn)能構(gòu)成矩形,則(
)A.0 B.1 C.2 D.335.(2024高二上·浙江嘉興·期末)直線與曲線的交點(diǎn)個數(shù)為(
)A.1個 B.2個 C.3個 D.4個36.(2024高二下·山西晉城·開學(xué)考試)直線與曲線有兩個不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B.C. D.37.(2024高二上·遼寧營口·階段練習(xí))已知曲線與直線有兩個不同的交點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是(
)A. B. C. D.38.(河南省鄭州市第四高級中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題)若直線與曲線有兩個交點(diǎn),則實(shí)數(shù)k的取值范圍是(
)A. B. C. D.二、填空題39.(2024高三·全國·對口高考)經(jīng)過三點(diǎn)的圓的方程為.40.(2024·全國)過四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個圓的方程為.41.(2024高三下·江西南昌·階段練習(xí))圓心在直線上,與軸相切,且被直線截得的弦長為的圓的方程為.42.(2024·全國)設(shè)點(diǎn)M在直線上,點(diǎn)和均在上,則的方程為.43.(2024高一下·江西九江·期中)經(jīng)過兩圓和的交點(diǎn),且圓心在直線上的圓的方程為44.(2024高一·全國·單元測試)過兩圓與的交點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程是.45.(2024高二下·上?!ら_學(xué)考試)對任意實(shí)數(shù),圓恒過定點(diǎn),則其坐標(biāo)為.46.(2024高三上·北京·階段練習(xí))若圓關(guān)于直線和直線都對稱,則D+E的值為.47.(2024高二下·四川成都·開學(xué)考試)圓關(guān)于直線對稱,則.48.(2024高二上·安徽蕪湖·期中)已知關(guān)于x,y的二元二次方程,當(dāng)t為時,方程表示的圓的半徑最大.49.(2024·河南·模擬預(yù)測)已知圓經(jīng)過拋物線與軸的交點(diǎn),且過點(diǎn),則圓的方程為.50.(2024高二·全國·課后作業(yè))M是拋物線上一點(diǎn),N是圓C:關(guān)于直線x-y+1=0的對稱圓上的一點(diǎn),則的最小值是.51.(2024高三上·湖北武漢·階段練習(xí))圓心在直線上且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是.52.(2024·廣東揭陽·模擬預(yù)測)寫出一個經(jīng)過原點(diǎn),截軸所得弦長是截軸所得弦長2倍的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.53.(2024高二上·浙江紹興·期中)已知圓過直線和圓的交點(diǎn),且原點(diǎn)在圓上.則圓的方程為.54.(2024·天津·一模)已知一個圓經(jīng)過直線與圓的兩個交點(diǎn),并且有最小面積,則此圓的方程為.55.(2024·重慶)動圓的圓心在拋物線y2=8x上,且動圓恒與直線x+2=0相切,則動圓必過點(diǎn).56.(2024高三上·上海徐匯·期末)已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個不同的交點(diǎn),經(jīng)過這三個交點(diǎn)的圓記為,則圓經(jīng)過定點(diǎn)的坐標(biāo)為(其坐標(biāo)與無關(guān))57.(2024高三·全國·階段練習(xí))已知直線與曲線交于兩點(diǎn),且這兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,.58.(2024高二·全國·課后作業(yè))已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是,圓關(guān)于直線對稱,則圓與圓的位置關(guān)系為.59.(2024高二上·廣東廣州·期中)已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,則的最小值是.60.(2024高二上·遼寧大連·競賽)設(shè)有一組圓:.下列四個命題其中真命題的序號是①存在一條定直線與所有的圓均相切;②存在一條定直線與所有的圓均相交;③存在一條定直線與所有的圓均不相交;④所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn).61.(2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測)已知函數(shù)的圖像上有且僅有兩個不同的點(diǎn)關(guān)
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