專(zhuān)題40 圓的方程-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)突破(原卷)

高中數(shù)學(xué)精編資源2/2專(zhuān)題40圓的方程9題型分類(lèi)1．圓的定義和圓的方程定義平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓方程標(biāo)準(zhǔn)(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圓心C(a，b)半徑為r一般x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系平面上的一點(diǎn)M(x0，y0)與圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之間存在著下列關(guān)系：(1)|MC|>r?M在圓外，即(x0－a)2＋(y0－b)2>r2?M在圓外；(2)|MC|＝r?M在圓上，即(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?M在圓上；(3)|MC|<r?M在圓內(nèi)，即(x0－a)2＋(y0－b)2<r2?M在圓內(nèi)．常用結(jié)論1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.2．圓心在過(guò)切點(diǎn)且與切線(xiàn)垂直的直線(xiàn)上．3．圓心在任一弦的垂直平分線(xiàn)上．（一）1.求圓的方程的常用方法(1)直接法：直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，寫(xiě)出方程．(2)待定系數(shù)法①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出a，b，r的值；②選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．2.方程表示圓的充要條件是，故在解決圓的一般式方程的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，必須注意這一隱含條件．在圓的一般方程中，圓心為，半徑3.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（1）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．（2）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系：①點(diǎn)P在圓外；②點(diǎn)P在圓上；③點(diǎn)P在圓內(nèi)．4.（1）圓的軸對(duì)稱(chēng)性：圓關(guān)于直徑所在的直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)（2）圓關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)：①求已知圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則此點(diǎn)為兩圓圓心連線(xiàn)的中點(diǎn)（3）圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)：①求已知圓關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程，只需確定所求圓的圓心，即可寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)方程②兩圓關(guān)于某條直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則此直線(xiàn)為兩圓圓心連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)題型1：求圓的方程1-1．（2024高一上·江蘇連云港·期末）求過(guò)兩點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．1-2．（2024高三下·陜西西安·階段練習(xí)）過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為A，B，則的外接圓方程是（

）A． B．C． D．1-3．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知，則外接圓的方程為（

）A． B． C． D．題型2：用二元二次方程表示圓的一般方程的充要條件2-1．（2024高二上·甘肅金昌·期中）若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C．或 D．或2-2．（2024高三·全國(guó)·課后作業(yè)）關(guān)于x、y的方程表示一個(gè)圓的充要條件是（

）.A．，且B．，且C．，且，D．，且，2-3．（2024高三下·河南·階段練習(xí)）“”是“方程表示圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件題型3：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷3-1．（2024·遼寧·二模）已知圓，直線(xiàn)l：，若l與圓O相交，則（

）．A．點(diǎn)在l上 B．點(diǎn)在圓O上C．點(diǎn)在圓O內(nèi) D．點(diǎn)在圓O外3-2．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）若點(diǎn)在圓的內(nèi)部，則a的取值范圍是（）.A． B． C． D．3-3．（2024高二上·全國(guó)·課后作業(yè)）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（

）A．點(diǎn)在圓上 B．點(diǎn)在圓內(nèi) C．點(diǎn)在圓外 D．不確定3-4．（2024·甘肅定西·模擬預(yù)測(cè)）若點(diǎn)在圓的外部，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．題型4：與圓有關(guān)的對(duì)稱(chēng)問(wèn)題4-1．（2024·西藏日喀則·一模）已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，圓交于、兩點(diǎn)，則4-2．（2024高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值是．4-3．（2024高二上·上海浦東新·階段練習(xí)）已知圓C與圓D：關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則圓C的方程為．（二）求與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題的常用方法(1)直接法：直接根據(jù)題目提供的條件列出方程．(2)定義法：根據(jù)圓、直線(xiàn)等定義列方程．(3)相關(guān)點(diǎn)代入法：找到要求點(diǎn)與已知點(diǎn)的關(guān)系，代入已知點(diǎn)滿(mǎn)足的關(guān)系式．題型5：與圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題5-1．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知圓，平面上一動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：且，．求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；5-2．（2024·福建）動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)和的距離的比等于2，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程，并說(shuō)明這軌跡是什么圖形．5-3．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知是圓內(nèi)的一點(diǎn)是圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求矩形頂點(diǎn)Q的軌跡方程．5-4．（2024高二下·廣東深圳·期中）點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線(xiàn)段的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．（三）與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的求解方法(1)借助幾何性質(zhì)求最值：形如μ＝eq\f(y－b,x－a)，t＝ax＋by，(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問(wèn)題．(2)建立函數(shù)關(guān)系式求最值：列出關(guān)于所求目標(biāo)式子的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)關(guān)系式的特征選用配方法、判別式法、基本不等式法等求最值．(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均為動(dòng)點(diǎn))且與圓C有關(guān)的折線(xiàn)段的最值問(wèn)題的基本思路：①“動(dòng)化定”，把與圓上動(dòng)點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為與圓心的距離；②“曲化直”，即將折線(xiàn)段之和轉(zhuǎn)化為同一直線(xiàn)上的兩線(xiàn)段之和，一般要通過(guò)對(duì)稱(chēng)性解決．題型6：利用幾何性質(zhì)求最值6-1．（2024·河北·一模）直線(xiàn)與圓相切，則的最大值為（

）A．16 B．25 C．49 D．816-2．（2024·吉林白山·一模）已知圓與直線(xiàn)，P，Q分別是圓C和直線(xiàn)l上的點(diǎn)且直線(xiàn)PQ與圓C恰有1個(gè)公共點(diǎn)，則的最小值是（

）A． B． C． D．6-3．（2024·重慶）設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動(dòng)點(diǎn)，Q是直線(xiàn)x＝－3上的動(dòng)點(diǎn)，則|PQ|的最小值為()A．6 B．4 C．3 D．2題型7：利用函數(shù)求最值7-1．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)，曲線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)B，第一象限內(nèi)的點(diǎn)C，構(gòu)成等腰直角三角形ABC，且，則線(xiàn)段OC長(zhǎng)的最大值是．7-2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知圓和點(diǎn)，由圓外一點(diǎn)向圓引切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，若，則的最小值是（

）A． B． C． D．（四）求過(guò)兩直線(xiàn)交點(diǎn)（兩圓交點(diǎn)或直線(xiàn)與圓交點(diǎn)）的直線(xiàn)方程（圓系方程）一般不需求其交點(diǎn)，而是利用它們的直線(xiàn)系方程（圓系方程）．（1）直線(xiàn)系方程：若直線(xiàn)與直線(xiàn)相交于點(diǎn)P，則過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)系方程為：簡(jiǎn)記為：當(dāng)時(shí)，簡(jiǎn)記為：（不含）（2）圓系方程：若圓與圓相交于A，B兩點(diǎn)，則過(guò)A，B兩點(diǎn)的圓系方程為：簡(jiǎn)記為：，不含當(dāng)時(shí)，該圓系退化為公共弦所在直線(xiàn)（根軸）注意：與圓C共根軸l的圓系題型8：圓系方程8-1．（2024高二上·安徽銅陵·期中）經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與圓的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程為.8-2．（2024高三下·江蘇鹽城·階段練習(xí)）曲線(xiàn)與的四個(gè)交點(diǎn)所在圓的方程是．8-3．（2024高二·遼寧·學(xué)業(yè)考試）過(guò)圓與的交點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上的圓的方程是．（五）圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，想辦法求出含有參數(shù)的圓的方程，然后按參數(shù)整理后得，只要讓此關(guān)于的多項(xiàng)式中各項(xiàng)系數(shù)（包括常數(shù)項(xiàng)）均為0，就可解得定點(diǎn)．題型9：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題9-1．（2024高二下·上海徐匯·期中）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)坐標(biāo)為．9-2．（2024高三·浙江溫州·階段練習(xí)）已知?jiǎng)訄A圓心在拋物線(xiàn)上，且動(dòng)圓恒與直線(xiàn)相切，則此動(dòng)圓必過(guò)定點(diǎn)9-3．（2024高三下·上海閔行·期中）若拋物線(xiàn)與坐標(biāo)軸分別交于三個(gè)不同的點(diǎn)、、，則的外接圓恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)為一、單選題1．（2024高三下·廣西·階段練習(xí)）若直線(xiàn)是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，則（

）A． B． C． D．2．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若方程x2＋y2＋2λx＋2λy＋2λ2―λ＋1＝0表示圓，則λ的取值范圍是（

）A．(1，＋∞) B．C．(1，＋∞)∪ D．R3．（2024高二上·海南海口·期中）已知方程表示圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．4．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）圓C：關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程是（

）A． B．C． D．5．（2024高二上·青海西寧·期末）已知圓心為的圓與直線(xiàn)相切，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．6．（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C：，過(guò)點(diǎn)的兩條直線(xiàn)，互相垂直，圓心C到直線(xiàn)，的距離分別為，，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．47．（2024·北京）若直線(xiàn)是圓的一條對(duì)稱(chēng)軸，則（

）A． B． C．1 D．8．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若圓：過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A．2或1 B．-2或-1 C．2 D．-19．（2024·湖南郴州·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是：上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，P是線(xiàn)段的中點(diǎn)，若，則點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．10．（2024高三下·重慶·階段練習(xí)）德國(guó)數(shù)學(xué)家米勒曾提出過(guò)如下的“最大視角定理”（也稱(chēng)“米勒定理”）：若點(diǎn)是的邊上的兩個(gè)定點(diǎn)，C是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)耐饨訄A與邊相切于點(diǎn)C時(shí)，最大．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，，點(diǎn)F是y軸負(fù)半軸的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)最大時(shí)，的外接圓的方程是（

）．A． B．C． D．11．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)P，則與圓C：有公共的圓心且過(guò)點(diǎn)P的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．C． D．12．（2024高二上·甘肅慶陽(yáng)·期末）已知圓與直線(xiàn)相切，則圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)的圓的方程為（

）A． B．C． D．13．（2024高一上·廣東廣州·期末）已知圓的圓心為，其一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)恰好在兩坐標(biāo)軸上，則這個(gè)圓的方程是（

）A． B．C． D．14．（2024·全國(guó)）在平面內(nèi)，A，B是兩個(gè)定點(diǎn)，C是動(dòng)點(diǎn)，若，則點(diǎn)C的軌跡為（

）A．圓 B．橢圓 C．拋物線(xiàn) D．直線(xiàn)15．（2024·北京）已知半徑為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（

）．A．4 B．5 C．6 D．716．（2024高二上·江蘇鹽城·期中）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．17．（2024高二上·廣東清遠(yuǎn)·期末）若過(guò)點(diǎn)且斜率為k的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值不可能是(

)A． B． C． D．218．（2024高一下·四川自貢·期中）點(diǎn)P在單位圓⊙O上（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），點(diǎn)，，則的最大值為（

）A． B． C．2 D．319．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知點(diǎn)在圓C：的外部，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．20．（2024高三下·河南開(kāi)封·階段練習(xí)）已知點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．21．（2024高三上·福建龍巖·期中）“方程表示的圖形是圓”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件22．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測(cè)）已知圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，與交于，兩點(diǎn)，設(shè)坐標(biāo)原點(diǎn)為，則的最大值等于（

）A．2 B．4 C．8 D．1623．（2024高三上·河南焦作·開(kāi)學(xué)考試）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，則該圓的半徑為（

）A．4 B．5 C．8 D．1024．（2024·北京平谷·一模）點(diǎn)M、N在圓上，且M、N兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則圓C的半徑（

）A．最大值為 B．最小值為 C．最小值為 D．最大值為25．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）若，使曲線(xiàn)是圓，則（

）A． B． C．或 D．26．（2024高三上·上海奉賢·階段練習(xí)）已知：圓的方程為，點(diǎn)不在圓上，也不在圓的圓心上，方程，則下面判斷正確的是（

）A．方程表示的曲線(xiàn)不存在B．方程表示與同心且半徑不同的圓C．方程表示與相交的圓D．當(dāng)點(diǎn)在圓外時(shí)，方程表示與相離的圓27．（2024高二·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）圓心在直線(xiàn)x-y-4＝0上，且經(jīng)過(guò)兩圓x2+y2+6x-4＝0和x2+y2+6y-28＝0的交點(diǎn)的圓的方程為（

）A．x2+y2-x+7y-32＝0 B．x2+y2-x+7y-16＝0C．x2+y2-4x+4y+9＝0 D．x2+y2-4x+4y-8＝028．（2024高三上·山東東營(yíng)·階段練習(xí)）過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于A、B兩點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足分別為兩點(diǎn)，以線(xiàn)段為直徑的圓C過(guò)點(diǎn)，則圓C的方程為（

）A． B．C． D．29．（2024·貴州貴陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)、兩點(diǎn)，且與直線(xiàn)相切的圓的方程可以是（

）A． B．C． D．30．（2024·全國(guó)）已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最大值是（

）A． B．4 C． D．731．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）廣為人知的太極圖，其形狀如陰陽(yáng)兩魚(yú)互糾在一起，因而被習(xí)稱(chēng)為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”如圖是放在平面直角坐標(biāo)系中的“太極圖”整個(gè)圖形是一個(gè)圓形區(qū)域．其中黑色陰影區(qū)域在y軸左側(cè)部分的邊界為一個(gè)半圓．已知符號(hào)函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，下列不等式能表示圖中陰影部分的是（

）A． B．C． D．32．（2024·安徽·三模）已知是定義在上的奇函數(shù)，其圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，當(dāng)時(shí)，，若方程的所有根的和為6，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B．C． D．33．（2024高二下·四川南充·階段練習(xí)）曲線(xiàn)，要使直線(xiàn)與曲線(xiàn)有四個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．34．（2024·安徽亳州·模擬預(yù)測(cè)）若兩條直線(xiàn)：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（

）A．0 B．1 C．2 D．335．（2024高二上·浙江嘉興·期末）直線(xiàn)與曲線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)36．（2024高二下·山西晉城·開(kāi)學(xué)考試）直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．37．（2024高二上·遼寧營(yíng)口·階段練習(xí)）已知曲線(xiàn)與直線(xiàn)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．38．（河南省鄭州市第四高級(jí)中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題）若直線(xiàn)與曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題39．（2024高三·全國(guó)·對(duì)口高考）經(jīng)過(guò)三點(diǎn)的圓的方程為．40．（2024·全國(guó)）過(guò)四點(diǎn)中的三點(diǎn)的一個(gè)圓的方程為．41．（2024高三下·江西南昌·階段練習(xí)）圓心在直線(xiàn)上，與軸相切，且被直線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為的圓的方程為.42．（2024·全國(guó)）設(shè)點(diǎn)M在直線(xiàn)上，點(diǎn)和均在上，則的方程為．43．（2024高一下·江西九江·期中）經(jīng)過(guò)兩圓和的交點(diǎn)，且圓心在直線(xiàn)上的圓的方程為44．（2024高一·全國(guó)·單元測(cè)試）過(guò)兩圓與的交點(diǎn)和點(diǎn)的圓的方程是.45．（2024高二下·上?！ら_(kāi)學(xué)考試）對(duì)任意實(shí)數(shù)，圓恒過(guò)定點(diǎn)，則其坐標(biāo)為.46．（2024高三上·北京·階段練習(xí)）若圓關(guān)于直線(xiàn)和直線(xiàn)都對(duì)稱(chēng)，則D＋E的值為．47．（2024高二下·四川成都·開(kāi)學(xué)考試）圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則．48．（2024高二上·安徽蕪湖·期中）已知關(guān)于x，y的二元二次方程，當(dāng)t為時(shí)，方程表示的圓的半徑最大．49．（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）已知圓經(jīng)過(guò)拋物線(xiàn)與軸的交點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)，則圓的方程為.50．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）M是拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，N是圓C：關(guān)于直線(xiàn)x－y＋1＝0的對(duì)稱(chēng)圓上的一點(diǎn)，則的最小值是．51．（2024高三上·湖北武漢·階段練習(xí)）圓心在直線(xiàn)上且與直線(xiàn)相切于點(diǎn)的圓的方程是．52．（2024·廣東揭陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）寫(xiě)出一個(gè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，截軸所得弦長(zhǎng)是截軸所得弦長(zhǎng)2倍的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.53．（2024高二上·浙江紹興·期中）已知圓過(guò)直線(xiàn)和圓的交點(diǎn)，且原點(diǎn)在圓上．則圓的方程為．54．（2024·天津·一模）已知一個(gè)圓經(jīng)過(guò)直線(xiàn)與圓的兩個(gè)交點(diǎn)，并且有最小面積，則此圓的方程為.55．（2024·重慶）動(dòng)圓的圓心在拋物線(xiàn)y2=8x上，且動(dòng)圓恒與直線(xiàn)x+2=0相切，則動(dòng)圓必過(guò)點(diǎn)．56．（2024高三上·上海徐匯·期末）已知二次函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)過(guò)這三個(gè)交點(diǎn)的圓記為，則圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（其坐標(biāo)與無(wú)關(guān)）57．（2024高三·全國(guó)·階段練習(xí)）已知直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且這兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，.58．（2024高二·全國(guó)·課后作業(yè)）已知圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是，圓關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則圓與圓的位置關(guān)系為．59．（2024高二上·廣東廣州·期中）已知圓上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則的最小值是．60．（2024高二上·遼寧大連·競(jìng)賽）設(shè)有一組圓：．下列四個(gè)命題其中真命題的序號(hào)是①存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相切；②存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均相交；③存在一條定直線(xiàn)與所有的圓均不相交；④所有的圓均不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)．61．（2024·江蘇淮安·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖像上有且僅有兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)