線性系統(tǒng)理論多年考題和答案

2008級綜合大題1能否通過狀態(tài)反饋設計將系統(tǒng)特征值配置到平面任意位置？2控規(guī)范分解求上述方程的不可簡約形式？3求方程的傳遞函數(shù)；4驗證系統(tǒng)是否漸近穩(wěn)定、BIBO穩(wěn)定、李氏穩(wěn)定；（各種穩(wěn)定之間的關系和判定方法！）5可能通過狀態(tài)反饋將不可簡約方程特征值配置到-2，-3？若能，確定K，若不能，請說明理由；6能否為系統(tǒng)不可簡約方程設計全階狀態(tài)觀測器，使其特征值為-4，-5；7畫出不可簡約方程帶有狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)結構圖。參考解答：1.判斷能控性：能控矩陣系統(tǒng)不完全可控，不能任意配置極點。2按可控規(guī)范型分解取的前兩列，并加1與其線性無關列構成，求得進行變換所以系統(tǒng)不可簡約實現(xiàn)為3.4.，系統(tǒng)有一極點4，位于復平面的右部，故不是漸近穩(wěn)定。，極點為4，-2，存在位于右半平面的極點，故系統(tǒng)不是BIBO穩(wěn)定。系統(tǒng)發(fā)散，不是李氏穩(wěn)定。5.可以。令則特征方程期望特征方程比較上兩式求得：6.可以。設，則特征方程期望特征方程比較得：則：觀測器方程為：7.框圖2007級線性系統(tǒng)理論試題及答案一、簡述：1．線性性質(zhì)：一個系統(tǒng)對任何輸入和及任何實數(shù)和，均有，稱其為線性的。2．松弛性：時刻松弛:輸出唯一地由所激勵時，稱系統(tǒng)在時刻松弛。3．時不變：一個系統(tǒng)的特性不隨時間而變化。4．串聯(lián)系統(tǒng)：系統(tǒng)只有1個輸入，第一個子系統(tǒng)輸出作為第二個子系統(tǒng)的輸入，第二個子系統(tǒng)的輸出作為總的輸出。5．狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣：令是的任一基本矩陣，對中的，稱是的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。二、

1．驗證能控、能觀；2．是否穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定，分別為什么；3．假設初始狀態(tài)未知，能否找到一個使；4．，求的單位階躍響應，；5．能否配置狀態(tài)反饋使是新的極點？若能，找出K，若不能，說明理由；6．設計全維觀測器，使極點為，畫出結構圖。解：1．，可控，,可觀；2．系統(tǒng)為線性時不變的，故穩(wěn)定性與漸近穩(wěn)定性等價。令，即，所以特征值為、，不穩(wěn)定，亦不漸近穩(wěn)定；3．令，由于，未知，無解，找不到；4．由3得：5．設，令解得：，，因此6．設,令解得：，，因此.（結構圖略）三、確定參數(shù)、的范圍，使系統(tǒng)能控能觀：1．

2．

3．使李氏穩(wěn)定，解：1．，令，得,，無解，所以找不到合適的的范圍使系統(tǒng)能控能觀；2．，令，得，令，得且所以，當，且時，系統(tǒng)可控可觀；3．

要讓根小于0，有兩種做法：①根據(jù)經(jīng)驗：無解②勞斯判據(jù)：令第一列元素均大于零，無解，因此肯定有一個正根所以，該系統(tǒng)找不到合適的使系統(tǒng)李氏穩(wěn)定。四、1．，實現(xiàn)若當標準型；解：注：①A為若當標準型，B為，C為每個對應的按從高到低冪數(shù)排列，E為直接傳遞部分（常數(shù)）；②以上僅對單輸入正確，多輸入需分解N為（滿秩分解）。2．按行展開，實現(xiàn)不可簡約實現(xiàn)，大家看作業(yè)吧，這個題目看不清楚；3．，實現(xiàn)可控標準型。（可控標準型當然必然可控了，我擦）解：，，重排得求得取的第三行（u1=3）為的第四行為計算、、、，得因此得

所以,，則可控標準型為：五、，，1．敘述并證明分離性原理；2．要用狀態(tài)反饋將系統(tǒng)特征值配置到，并用降維觀測器實現(xiàn)所需要的反饋。解：1．組合系統(tǒng)：即作等價變換

新的動態(tài)方程為：此系統(tǒng)閉環(huán)特征多項式與原系統(tǒng)相同，均為上式表明，狀態(tài)反饋設計與估計器設計互不影響，分開進行；2．⑴設

令解得（特解），，即⑵取,則所以,,所以,,,,,,令，需觀測的狀態(tài)數(shù)為一階，，因為狀態(tài)反饋極點為，令估計器極點為-4，取，估計器方程：六、對下列連續(xù)時間非線性時不變系統(tǒng)，判斷原點平衡狀態(tài)是否為大范圍漸進穩(wěn)定。解：取李亞普諾夫函數(shù)所以，系統(tǒng)在原點是李氏穩(wěn)定的若，則可求得方程只有零解所以，沿非零解，不恒為0。（=0時只有零解）又由當時，所以，系統(tǒng)在原點是大范圍漸近穩(wěn)定的。北京理工大學2006-2007學年第一學期2006級碩士研究生《線性系統(tǒng)理論》期末考試試卷一、判斷下列論述是否正確，并簡述理由（每題4分，共40分）：1若系統(tǒng)的輸入-輸出描述是線性的，則狀態(tài)空間描述也一定是線性的；2兩個時不變子系統(tǒng)的傳遞函數(shù)正則，則它們的反饋連接一定是良定的，且閉環(huán)系統(tǒng)適定；3線性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是特殊形式的基解矩陣；4線性離散時間系統(tǒng)的通達性與能控性、能觀性與能重構性完全等價；5常值輸出反饋不改變系統(tǒng)的能控性，但改變系統(tǒng)的能觀性；6脈沖響應矩陣的能控能觀線性時變系統(tǒng)實現(xiàn)不一定是最小階的；7狀態(tài)反饋不改變線性時不變系統(tǒng)的能控性和能控性指標集，但可能改變其能觀性；8可以使用使用串聯(lián)補償?shù)姆椒ㄦ?zhèn)定對象；9設線性時不變系統(tǒng)的所有不可簡約描述具有相同的傳遞函數(shù)，則它們嚴格系統(tǒng)等價；10如果多變量線性系統(tǒng)具有相同的零點和極點，則必然不能控，或不能觀，或同時不能控和不能觀。二、試證系統(tǒng)的嚴格正則右矩陣分式描述的控制器形實現(xiàn)能觀的充分必要條件為和右互質(zhì)（10分）。三、考慮如下線性時不變系統(tǒng)：1將系統(tǒng)化為控制器形，并誦讀合適的線性狀態(tài)反饋律，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點為（8分）；2若狀態(tài)不能直接測量，設計特征值為的動態(tài)觀測器（2分）。四、的零狀態(tài)漸近穩(wěn)定，當且僅當對任意給定的半正定對稱陣，其中，能觀，Lyapunov矩陣方程：有唯一的正定對稱解，且（10分）。五、系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣為1確定系統(tǒng)的極點、傳輸零點及McMillan階數(shù)（5分）；2確定系統(tǒng)的輸入解耦、輸出解耦及輸入-輸出解耦零點（5分）；3試求傳遞函數(shù)矩陣的觀測器形實現(xiàn)（5分）。六、設子系統(tǒng)和均不可簡約，將兩個子系統(tǒng)串聯(lián)連接，位于之前。試求1串聯(lián)系統(tǒng)的多項式矩陣描述（5分）；2在什么條件下，串聯(lián)系統(tǒng)能控（5分）；3在什么條件下，串聯(lián)系統(tǒng)能觀（5分）。北京理工大學《線性系統(tǒng)理論》２００４期末試題1（15---分）考慮系統(tǒng)=Ax+Bu其中Ａ=

Ｂ=(1)判斷系統(tǒng)是否完全可控，并給出該系統(tǒng)的控制器型。(2)確定反饋矩陣Ｆ，使得Ａ＋ＢＦ的特征值為和。2（20====分）考慮系統(tǒng)=Ax+Buｙ＝Ｃｕ，其中Ａ＝

Ｂ＝

Ｃ＝（1）確定適當?shù)木€性反饋控制律ｕ＝Ｆｘ＋ｇｕ，使得閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)等于期望傳遞函數(shù)

這是模型匹配的一個例子，即補償給定系統(tǒng)，使得它能與期望模型的輸入－輸出行為匹配。（2）補償后的系統(tǒng)是否能控？能觀？請說明理由。（3）設計特征值為－１０，－１０，－１０的狀態(tài)觀測器，在狀態(tài)不能直接獲取的情形下，重復（１）和（２）。3（15分）證明（Ａ，Ｃ）能觀當且僅當（Ａ，）能觀，其中A和C分別為nn和pn的常值矩陣，是Ｃ的轉(zhuǎn)置。4（15分）給定如下標量微分方程

對任意，方程唯一解為

確定方程的平衡點，判斷系統(tǒng)是否一致穩(wěn)定？大范圍漸進穩(wěn)定？一致漸進穩(wěn)定？并闡明理由。5（15分）考慮下列傳遞函數(shù)（1）給出H(s)的Smith-McMillan標準型（2）確定H(s)的極點多項式和最小多項式以及它的極點和傳輸零點（3）給出其觀測器形的最小實現(xiàn)6（20分）設三個子系統(tǒng)，i=1,2,3如同1所示連接，其中各個子系統(tǒng)有合適的輸入輸出維數(shù)能進行圖示的連接。（1）寫出整個系統(tǒng)的多項式矩陣描述{}（2）討論整個系統(tǒng)的內(nèi)部和外部穩(wěn)定性與各個子系統(tǒng)的內(nèi)部和外部穩(wěn)定性