天津市第四十一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1天津市第四十一中學(xué)2025屆高三上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：（每小題5分，共45分）1.已知集合，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，故選：C2.已知，“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】解不等式可得或，解得或，解不等式，可得或.或或x>2，因此，“”是“”的充分不必要條件.故選：A3.已知命題：“”，則為（）A. B.C.不存在 D.【答案】B【解析】命題：“”，則為故選:B4.函數(shù)的大致圖象為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由可知是偶函數(shù)，排除A，B；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．故選：D.5.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因，所以，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選：C6.有五名志愿者參加社區(qū)服務(wù)，共服務(wù)星期六、星期天兩天，每天從中任選兩人參加服務(wù)，則恰有1人連續(xù)參加兩天服務(wù)的選擇種數(shù)為（）A.120 B.60 C.40 D.30【答案】B【解析】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，再從剩余的4人抽取2人各參加星期六與星期天的社區(qū)服務(wù)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天社區(qū)服務(wù)的選擇種數(shù)有種.故選：B.7.有50人報(bào)名足球俱樂部，60人報(bào)名乒乓球俱樂部，70人報(bào)名足球或乒乓球俱樂部，若已知某人報(bào)足球俱樂部，則其報(bào)乒乓球俱樂部的概率為（）A.0.8 B.0.4 C.0.2 D.0.1【答案】A【解析】由題意知報(bào)名兩個(gè)俱樂部的人數(shù)為，記“某人報(bào)足球俱樂部”為事件A，記“某人報(bào)乒乓球俱樂部”為事件，則，所以,故選：A8.已知定義在上的偶函數(shù)在區(qū)間-∞,0上遞減.若，，，則，，的大小關(guān)系為（）A B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槎x在R上的偶函數(shù)在區(qū)間-∞,0上遞減，所以在(0,+∞)上遞增，，，，因?yàn)?，?0,+∞)上遞增，所以，即，故選:B.9.已知，函數(shù)，若關(guān)于的不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)殛P(guān)于的不等式恒成立,所以當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立；所以當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)恒成立且當(dāng)時(shí)，恒成立；所以當(dāng)時(shí)，令，函數(shù)g(x)是開口向下的二次函數(shù)，對稱軸為，所以當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故原不等式恒成立等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增，故原不等式恒成立等價(jià)于，解得；當(dāng)時(shí)，令，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以原不等式恒成立等價(jià)于，即.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選：C.二、填空題：（每小題5分，共30分）10.已知是虛數(shù)單位，化簡的結(jié)果為_________．【答案】【解析】由題意可得.11.在的展開式中，的系數(shù)為_________．【答案】【解析】展開式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.12.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，且，則____________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，因此?3.甲乙丙三個(gè)盒子中裝有一定數(shù)量的黑球和白球，其總數(shù)之比為．這三個(gè)盒子中黑球占總數(shù)的比例分別為．現(xiàn)從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的三個(gè)球都是黑球的概率為_________；將三個(gè)盒子混合后任取一個(gè)球，是白球的概率為_________．【答案】【解析】設(shè)甲、乙、丙三個(gè)盒子中的球的個(gè)數(shù)分別為，所以總數(shù)為，所以甲盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；乙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；丙盒中黑球個(gè)數(shù)為，白球個(gè)數(shù)為；記“從三個(gè)盒子中各取一個(gè)球，取到的球都是黑球”為事件A，所以，；記“將三個(gè)盒子混合后取出一個(gè)球，是白球”為事件，黑球總共有個(gè)，白球共有個(gè)，所以，．14.已知，則的最小值為_______.【答案】【解析】因?yàn)?，所?∴,所以=，當(dāng)，即時(shí)取等號，的最小值為.故答案為：.15.下列命題正確的是______．①對于事件，若，且，則②若隨機(jī)變量，則③相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)④在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬表示回歸效果越差【答案】①③④【解析】對于①，對于事件，，即A發(fā)生必定有B發(fā)生，則，①正確；對于②，若隨機(jī)變量，則，②錯(cuò)誤；對于③，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近1，兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，正確；對于④，在做回歸分析時(shí)，殘差圖中殘差點(diǎn)分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬表示回歸效果越差，正確，故答案為：①③④.三、解答題：（本大題共5小題，共75分），16.已知定義域?yàn)镽的單調(diào)函數(shù)是奇函數(shù),當(dāng)時(shí),.（1）求的解析式.（2）若對任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：（1）當(dāng)時(shí),，，又函數(shù)是奇函數(shù)，，，故，又．綜上所述；（2）為R上的單調(diào)函數(shù)，且，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞減．，，函數(shù)是奇函數(shù)，．又在R上單調(diào)遞減，對任意恒成立，對任意恒成立，，解得：．故實(shí)數(shù)的取值范圍為．17.在校運(yùn)動(dòng)會(huì)上，只有甲、乙、丙三名同學(xué)參加鉛球比賽，比賽成績達(dá)到以上（含）的同學(xué)將獲得優(yōu)秀獎(jiǎng).為預(yù)測獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的人數(shù)及冠軍得主，收集了甲、乙、丙以往的比賽成績，并整理得到如下數(shù)據(jù)（單位：m）：甲：；乙：；丙：.假設(shè)用頻率估計(jì)概率，且甲、乙、丙的比賽成績相互獨(dú)立（1）估計(jì)甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率；（2）設(shè)是甲、乙、丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)，估計(jì)的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）設(shè)事件A為“甲在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)”，其概率為；（2）記事件B為：“乙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)”，則，事件C為：“丙在校運(yùn)動(dòng)會(huì)鉛球比賽中獲得優(yōu)秀獎(jiǎng)的概率”，則，依題意可知的可能取值為，則，，，，所以的分布列為期望.18.已知函數(shù)．（1）求的極值；（2）若，求在上的最大值．解：（1）；當(dāng)時(shí)，,在上單調(diào)遞增，無極值；當(dāng)時(shí)，,在上，，單調(diào)遞減，在上，，單調(diào)遞增，有極小值；綜上：當(dāng)時(shí)，無極值；當(dāng)時(shí)，有極小值.（2）由（1）知，時(shí)，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，若，則，Ⅰ：當(dāng)時(shí)，，；Ⅱ：當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，；綜上得：.19.甲、乙兩城之間的長途客車均由A和B兩家公司運(yùn)營，為了解這兩家公司長途客車的運(yùn)行情況，隨機(jī)調(diào)查了甲、乙兩城之間的500個(gè)班次，得到下面列聯(lián)表：準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)A24020B21030（1）根據(jù)上表，分別估計(jì)這兩家公司甲、乙兩城之間的長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率；（2）能否有90%的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān)？附：，0.1000.0500.0102.7063.8416.635解：（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，A共有班次260次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有240次，設(shè)A家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為M，則；B共有班次240次，準(zhǔn)點(diǎn)班次有210次，設(shè)B家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)事件為N，則.A家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為；B家公司長途客車準(zhǔn)點(diǎn)的概率為.（2）列聯(lián)表準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)未準(zhǔn)點(diǎn)班次數(shù)合計(jì)A24020260B21030240合計(jì)45050500=，根據(jù)臨界值表可知，有的把握認(rèn)為甲、乙兩城之間的長途客車是否準(zhǔn)點(diǎn)與客車所屬公司有關(guān).20.已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．（1）解：[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令f'(x)=0,當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）證明：[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,f(x)一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大