四川省宜賓市屏山縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1四川省宜賓市屏山縣2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設(shè)直線的傾斜角為，，直線可化為，所以直線的斜率，，故選：D．2.拋擲一個(gè)骰子，將得到的點(diǎn)數(shù)記為，則，4，5能夠構(gòu)成三角形的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意可知，拋擲一個(gè)骰子，得到的點(diǎn)數(shù)可能為1，2，3，4，5，6，基本事件的總數(shù)為6，根據(jù)三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，可知，故，4，5能夠構(gòu)成三角形的取值可以為2，3，4，5，6共5種可能，根據(jù)古典概型概率公式，所以，4，5能夠構(gòu)成三角形的概率是為.故選：A3.雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B.C D.【答案】C【解析】由雙曲線的一個(gè)頂點(diǎn)為，可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為：，則，則漸近線方程為，即，由于，則焦點(diǎn)到漸近線的距離為：，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.4.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，且，，成等差數(shù)列，則（）A.7 B.12 C.15 D.31【答案】C【解析】設(shè)公比為，因?yàn)?，，成等差?shù)列，所以，則，解得：或0（舍去）.因?yàn)?，所以，?故選：C5.設(shè)，則“”是“直線與直線平行”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)橹本€與直線平行的充要條件是且，解得或．所以由充分必要條件的概念判斷可知：“”是“直線與直線平行”的充分不必要條件，故選：A6.2023年10月17～18日，第三屆“一帶一路”高峰論壇在北京舉行，有150個(gè)國(guó)家、92個(gè)國(guó)際組織的外賓參與論壇．從2013年到2022年，中國(guó)與共建“一帶一路”國(guó)家的進(jìn)出口累計(jì)總額年均增長(zhǎng)率為．現(xiàn)已知2013年進(jìn)出口累計(jì)總額為10.9萬(wàn)億美元，則2022年進(jìn)出口累計(jì)總額（保留1位小數(shù)）約為（）．參考數(shù)據(jù)：A.17.9萬(wàn)億 B.19.1萬(wàn)億 C.20.3萬(wàn)億 D.21.6萬(wàn)億【答案】B【解析】依題意，從2013年到2022年的每年進(jìn)出口累計(jì)總額依次排成一列構(gòu)成等比數(shù)列，其中，公比，所以2022年進(jìn)出口累計(jì)總額為（萬(wàn)億）.故選：B7.如圖，在四面體OABC中，，，.點(diǎn)M在OA上，且，為BC中點(diǎn)，則等于（

）A. B.C. D.【答案】B【解析】連接，是的中點(diǎn)，，，.故選：B8.已知為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，若等于的最小值的3倍，則C的離心率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】為橢圓C：的右焦點(diǎn)，P為C上的動(dòng)點(diǎn)，由橢圓的性質(zhì)，可得.過(guò)F且垂直于x軸的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，.等于的最小值的3倍，.橢圓中，，即，則.，，解得或（舍）.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知曲線，，則（）A.的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4 B.的漸近線方程為C.與的焦點(diǎn)坐標(biāo)相同 D.與的離心率互為倒數(shù)【答案】BD【解析】由，即為：，故焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故A錯(cuò)誤；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為，對(duì)，漸近線方程為，故B正確；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，與的焦點(diǎn)坐標(biāo)不相同，故C錯(cuò)誤；離心率為，與的離心率互為倒數(shù)，故D正確.故選：BD.10.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.數(shù)列是遞增數(shù)列 B.C.當(dāng)取得最大值時(shí)， D.【答案】ABC【解析】等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，所以，，所以，所以且，所以等差數(shù)列是遞減數(shù)列，且當(dāng)時(shí)，取得最大值．故D正確，ABC錯(cuò)誤．故選：ABC．11.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別為，AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)B到直線的距離為B.直線CF到平面的距離為C.直線與平面所成角的余弦值為D.直線與直線所成角的余弦值為【答案】ABD【解析】在棱長(zhǎng)為2的正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，,2,，,0,，,2,，,2,，,2,，則點(diǎn)到直線的距離為：，故A正確；,0,，,1,，,1,，,2,，,,，,1,，,2,，,1,，設(shè)平面的法向量,,，則，取，得,2,，由于分別為的中點(diǎn)，所以且，因此四邊形為平行四邊形，故,又平面,平面,所以平面，直線到平面的距離為，故B正確；設(shè)直線與平面所成角為，則，故C錯(cuò)誤；,2,，,,，設(shè)直線與直線所成角為，則，故D正確．故選：ABD．12.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳析九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“三角垛”最上層有個(gè)球，第二層有個(gè)球，第三層有個(gè)球，…設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C.， D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，，A正確；對(duì)于B，由每層球數(shù)變化規(guī)律可知：，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，滿足，；，C正確；對(duì)于D，，，D正確.故選：ACD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知數(shù)列、是等差數(shù)列，其中且，那么______．【答案】【解析】由數(shù)列、是等差數(shù)列可得：，.因?yàn)椋?，，所?故答案為：14.已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，則__________.【答案】4【解析】設(shè)圓心到直線的距離為，因?yàn)?，所?故答案為：4.15.如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對(duì)稱軸，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米．當(dāng)水位下降，水面寬為6米時(shí)，拱頂?shù)剿娴木嚯x為_(kāi)_____米．【答案】4.5【解析】如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線方程為，將代入，得，所以．設(shè)，代入，得．所以拱橋到水面的距離為．故答案為：4.5.16.從橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過(guò)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)；從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)過(guò)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．如圖①，一個(gè)光學(xué)裝置由有公共焦點(diǎn)，的橢圓C與雙曲線S構(gòu)成，現(xiàn)一光線從左焦點(diǎn)發(fā)出，依次經(jīng)S與C反射，又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒；若將裝置中的S去掉，如圖②，此光線從點(diǎn)發(fā)出，經(jīng)C兩次反射后又回到了點(diǎn)，歷時(shí)秒．若CS的離心率之比為，則______．【答案】6【解析】在圖①中，由橢圓的定義得：，由雙曲線的定義得，兩式相減得，所以的周長(zhǎng)為，在圖②中，的周長(zhǎng)為，因?yàn)楣馑傧嗤驗(yàn)镃與S的離心率之比為，即，所以.故答案為：6.四、解答題：本題共6小題，共70分．第17題10分，其他每題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，，.（1）求邊上的高的長(zhǎng).（2）求的面積.解：（1）由題意，直線的方程為：，即.故點(diǎn)到直線的距離即為邊上的高的長(zhǎng)，所以（2）因?yàn)?，所以的面積為：.18.等差數(shù)列前項(xiàng)和為.已知且.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由,則，解得則；（2）由（1）得則19.數(shù)字人民幣在數(shù)字經(jīng)濟(jì)時(shí)代中體現(xiàn)的價(jià)值、交易媒介和支付手段職能，為各地?cái)?shù)字經(jīng)濟(jì)建設(shè)提供了安全、便捷的支付方式，同時(shí)也為金融監(jiān)管、金融產(chǎn)品設(shè)計(jì)提供更多選擇性和可能性．蘇州作為全國(guó)首批數(shù)字人民幣試點(diǎn)城市之一，提出了2023年交易金額達(dá)2萬(wàn)億元的目標(biāo)．現(xiàn)從使用數(shù)字人民幣的市民中隨機(jī)選出200人，并將他們按年齡（單位：歲）進(jìn)行分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中的值和第25百分位數(shù)；（2）在這200位市民中用分層隨機(jī)抽樣的方法從年齡在和內(nèi)抽取6位市民做問(wèn)卷調(diào)查，并從中隨機(jī)抽取兩名幸運(yùn)市民，求兩名幸運(yùn)市民年齡都在內(nèi)的概率．解：（1）,因?yàn)榈谝唤M的頻率為，，第二組的頻率為，，所以第25百分位數(shù)在第二組，設(shè)為，則，所以第25百分位數(shù)為30.（2）年齡在的市民人數(shù)為，年齡在的市民人數(shù)為，用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取年齡在的人數(shù)為人，年齡在的人數(shù)為人，設(shè)年齡在的4人為，，，，年齡在的2人為，，從這6為市民中抽取兩名的樣本事件為，共15種，其中2名年齡都在內(nèi)的樣本事件有種，所以兩名幸運(yùn)市民年齡都在內(nèi)的概率為．20.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和．（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項(xiàng)公式；（2）在和之間插入n個(gè)數(shù)，使這個(gè)數(shù)組成一個(gè)公差為等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，又，解得，所以是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故（2）因?yàn)?，所以，，，，所以，所?1.如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是直角梯形，，，點(diǎn)在棱上.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求二面角余弦值.解：（1）因?yàn)榈酌妫矫?，所?四邊形是直角梯形，，，因?yàn)椋?所以，所以.又因?yàn)?，平面，所以平?又平面，所以平面平面.（2）解法一：以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，所?所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，則，得.又因?yàn)槠矫?，所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以，二面角的余弦值為.解法二：取的中點(diǎn)，連接，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則.設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，所?所以.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則.取，則，則.又因?yàn)槠矫妫云矫娴囊粋€(gè)法向量為.設(shè)平面與平面的夾角為，則.所以二面角的余弦值為22.已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，該拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離不大于3.（1）求拋物線的方