上海市2025年普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試仿真模擬數(shù)學(xué)試卷01（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市2025年普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)仿真模擬卷01一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】函數(shù)，則，解得且．故答案為：．2．直線的傾斜角是．【答案】【解析】因為直線的斜率為：，所以，所以直線的傾斜角為：．3．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則．【答案】【解析】．4．的展開式中的常數(shù)項為.（用數(shù)字作答）．【答案】135【解析】根據(jù)二項式的展開式，1，，；令時，解得；故常數(shù)項為．5．在中，，，，的面積為．【答案】【解析】由正弦定理得，解得，因為，所以，所以．所以，所以的面積為．6．函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．故答案為：．7．已知等差數(shù)列的前項和為，，，則的取值范圍為．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，由于，，所以，且，即，則，由得，故，即的取值范圍為．8．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為．【答案】2【解析】圓化為，圓心為，半徑為1，的漸近線方程為，雙曲線的漸近線與圓相切，則，解得：，即，故．9．設(shè)若實數(shù)滿足：，則的取值范圍是．【答案】，【解析】的大致圖像如圖：設(shè)，則，且，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立；故的取值范圍是，．10．三棱錐中，，，兩兩垂直且相等，點，分別是和上的動點，且滿足，，則和所成角余弦值的取值范圍是．【答案】【解析】分別以，，為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則：，0，，，1，，設(shè)，，，，，0，，，，，，設(shè)和所成角為，則，，，即時，取最小值；，即時，取最大值，和所成角余弦值的取值范圍是．11．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】在直線上，設(shè)，圓與軸相切，圓為：，，又圓與圓外切，，解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．12．我們稱元有序?qū)崝?shù)組，，，為維向量，為該向量的范數(shù)．已知維向量，其中，0，，，2，，記范數(shù)為奇數(shù)的的個數(shù)為，則（用含的式子表示，【答案】【解析】當(dāng)為偶數(shù)時，范數(shù)為奇數(shù)，則的個數(shù)為奇數(shù)，即0的個數(shù)為1，3，5，，，根據(jù)乘法原理和加法原理可得，，，兩式相減可得；當(dāng)為奇數(shù)時，范數(shù)為奇數(shù)，則的個數(shù)為偶數(shù)，即0的個數(shù)為0，2，4，，，根據(jù)乘法原理和加法原理可得，，，兩式相減可得．綜上可得：．二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13．已知，，是任意實數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時，均不成立，，則，，故，故正確；，，，滿足，但，故錯誤．故選：．14．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個不同的平面，則下列命題中的真命題為A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則【答案】B【解析】根據(jù)題意，依次分析選項：對于，平行于同一個平面的兩條直線可以平行、異面或相交，錯誤；對于，垂直于同一個平面的兩條直線平行，正確；對于，平行于同一直線的兩個平面可能相交，錯誤；對于，若，，則或，錯誤；故選：．15．設(shè)，為兩個隨機事件，以下命題正確的為A．若，是對立事件，則 B．若，是互斥事件，，則 C．若，且，則，是獨立事件 D．若，是獨立事件，，則【答案】C【解析】對于：若，是對立事件，則，故錯誤；對于，若，是互斥事件，，，則，故錯誤；對于：若，則，則，是獨立事件，故，也是獨立事件，故正確；對于：若，是獨立事件，，，則，也是獨立事件，，，則，故錯誤．故選：．16．記，分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“真實點”．若函數(shù)與有且只有一個“真實點”，則實數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)是函數(shù)與的“真實點”，則，，則有，變形可得，若兩個函數(shù)有且只有一個“真實點”，即方程有且只有一解，則有△，解可得，方程的唯一解，則有，解可得，故選：．三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．已知．（1）函數(shù)的最小正周期是，求，并求此時的解集；（2）已知，，求函數(shù)，的值域．解：（1）依題意，，解得，則，由，得，解得或，即或，所以的解集為或．（2）依題意，，，當(dāng)時，，則有，，所以函數(shù)，的值域為．18．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點，作交于點．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大小．（1）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依題意得，0，，，1，，，0，，，1，，，所以，，則，所以，由已知，且，，平面，所以平面；（2）解：已知，由（1）可知平面，又平面，所以，故即為平面與平面的夾角，設(shè)點的坐標(biāo)為，，，則，設(shè)，則有，，，1，，即，，，設(shè)，則有，解得，則點的坐標(biāo)為，即，又點的坐標(biāo)為，所以，所以，又為銳角，所以，即平面與平面的夾角大小為．19．某初級中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級男、女生人數(shù)如表：初一年級初二年級初三年級女生373男生377370已知在全校學(xué)生中隨機抽取1名，抽到初二年級女生的頻率是0.19．（1）求的值；（2）現(xiàn)用分層隨機抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級抽取多少名？（3）在（2）中，若所抽取的初一年級、初二年級、初三年級三個年級學(xué)生的體重的平均數(shù)分別是，，，方差分別是1，2，3，估計該校所有學(xué)生體重的平均數(shù)和方差．解：（1），．（2）初三年級人數(shù)為，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級抽取的人數(shù)為，（3）初一年級應(yīng)抽取的學(xué)生的人數(shù)為，初二年級應(yīng)抽取的學(xué)生的人數(shù)為，該校所有學(xué)生體重的平均數(shù)約為，該校所有學(xué)生體重的方差約為．20．已知橢圓與拋物線在第一象限交于點，，，分別為的左、右頂點．（1）若，且橢圓的焦距為2，求的準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)點是和的一個共同焦點，過點的一條直線與相交于，兩點，與相交于，兩點，，若直線的斜率為1，求的值；（3）設(shè)直線，直線分別與直線交于，兩點，與的面積分別為，，若的最小值為，求點的坐標(biāo)．解：（1）因為橢圓的焦距為2，所以，解得，則，解得，則橢圓，因為，在第一象限，，所以，所以，將點的坐標(biāo)代入中，解得，則的準(zhǔn)線方程為；（2）因為點是和的一個共同焦點，所以，解得，，則，，此時直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)，，，，由韋達定理得，，所以，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)，，，，由韋達定理得，，所以，若方向相同，此時，若方向相反，此時，故；（3）因為，，，三點共線，所以，解得，同理，由，，，三點共線，可得，此時，因為，所以，所以，又，則，因為，令，此時，所以，其中，因為，所以的開口向下，對稱軸為，其中，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為，則的最小值為，令，解得，負值舍去，所以，解得，此時，又，所以，故點的坐標(biāo)為．21．設(shè)函數(shù)在，上有定義，實數(shù)，滿足．若在區(qū)間，上不存在最小值，則稱在區(qū)間，上具有性質(zhì)．（1）若函數(shù)，且在區(qū)間，上具有性質(zhì)時，求常數(shù)的取值范圍；（2）已知，且當(dāng)時，，判別在區(qū)間，上是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）若對于的任意實數(shù)和；函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)，且對于任意，當(dāng)時，有：，證明：當(dāng)時，．解：（1）當(dāng)，時，在，上存在最小值；當(dāng)，即時，在，上存在最小值（2）；當(dāng)，即時，在，上單調(diào)遞增，所以不存在最小值，所以的取值范圍為，．（2）因為時，，所以在區(qū)間，上如果有最小值，則最小值必在區(qū)間，上取到；另一方面，當(dāng)時，；當(dāng)時，，此時在區(qū)間，上不存在最小值，所以在區(qū)間，上具有性質(zhì)．（3）①首先證明對于任意，．當(dāng)時，由，可知介于和之間．若，則在區(qū)間，上存在最小值，矛盾．利用歸納法和上面結(jié)論可得：對于任意，，當(dāng)時，．②其次證明當(dāng)且時，；當(dāng)且時，．任取，設(shè)正整數(shù)滿足，則．若存在使得，則，即．由于當(dāng)時，，所以在區(qū)間，有最小值，矛盾．類似可證，當(dāng)且時，．③最后證明：當(dāng)時，．當(dāng)時，（2）（1）成立．當(dāng)時，由可知，存在