上海市2025年普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試仿真模擬數(shù)學(xué)試卷01（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1上海市2025年普通高校春季招生統(tǒng)一文化考試數(shù)學(xué)仿真模擬卷01一、填空題（本大題共12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1．函數(shù)的定義域?yàn)椋敬鸢浮俊窘馕觥亢瘮?shù)，則，解得且．故答案為：．2．直線的傾斜角是．【答案】【解析】因?yàn)橹本€的斜率為：，所以，所以直線的傾斜角為：．3．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則．【答案】【解析】．4．的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字作答）．【答案】135【解析】根據(jù)二項(xiàng)式的展開式，1，，；令時(shí)，解得；故常數(shù)項(xiàng)為．5．在中，，，，的面積為．【答案】【解析】由正弦定理得，解得，因?yàn)?，所以，所以．所以，所以的面積為．6．函數(shù)的最小值為．【答案】【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)．故答案為：．7．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則的取值范圍為．【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，所以，由于，，所以，且，即，則，由得，故，即的取值范圍為．8．已知雙曲線的漸近線與圓相切，則雙曲線的離心率為．【答案】2【解析】圓化為，圓心為，半徑為1，的漸近線方程為，雙曲線的漸近線與圓相切，則，解得：，即，故．9．設(shè)若實(shí)數(shù)滿足：，則的取值范圍是．【答案】，【解析】的大致圖像如圖：設(shè)，則，且，，，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立；故的取值范圍是，．10．三棱錐中，，，兩兩垂直且相等，點(diǎn)，分別是和上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足，，則和所成角余弦值的取值范圍是．【答案】【解析】分別以，，為，，軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則：，0，，，1，，設(shè)，，，，，0，，，，，，設(shè)和所成角為，則，，，即時(shí)，取最小值；，即時(shí)，取最大值，和所成角余弦值的取值范圍是．11．已知圓，圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【答案】【解析】在直線上，設(shè)，圓與軸相切，圓為：，，又圓與圓外切，，解得，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．12．我們稱元有序?qū)崝?shù)組，，，為維向量，為該向量的范數(shù)．已知維向量，其中，0，，，2，，記范數(shù)為奇數(shù)的的個(gè)數(shù)為，則（用含的式子表示，【答案】【解析】當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，范數(shù)為奇數(shù)，則的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即0的個(gè)數(shù)為1，3，5，，，根據(jù)乘法原理和加法原理可得，，，兩式相減可得；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，范數(shù)為奇數(shù)，則的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即0的個(gè)數(shù)為0，2，4，，，根據(jù)乘法原理和加法原理可得，，，兩式相減可得．綜上可得：．二、選擇題（本大題共4題,滿分18分,第13-14題每題4分,第15-16題每題5分)13．已知，，是任意實(shí)數(shù)，且，則下列不等式一定成立的是A． B． C． D．【答案】B【解析】當(dāng)時(shí)，均不成立，，則，，故，故正確；，，，滿足，但，故錯(cuò)誤．故選：．14．設(shè)、是兩條不同的直線，、是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題為A．若，，則 B．若，，則 C．若，，則 D．若，，則【答案】B【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，平行于同一個(gè)平面的兩條直線可以平行、異面或相交，錯(cuò)誤；對(duì)于，垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，正確；對(duì)于，平行于同一直線的兩個(gè)平面可能相交，錯(cuò)誤；對(duì)于，若，，則或，錯(cuò)誤；故選：．15．設(shè)，為兩個(gè)隨機(jī)事件，以下命題正確的為A．若，是對(duì)立事件，則 B．若，是互斥事件，，則 C．若，且，則，是獨(dú)立事件 D．若，是獨(dú)立事件，，則【答案】C【解析】對(duì)于：若，是對(duì)立事件，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于，若，是互斥事件，，，則，故錯(cuò)誤；對(duì)于：若，則，則，是獨(dú)立事件，故，也是獨(dú)立事件，故正確；對(duì)于：若，是獨(dú)立事件，，，則，也是獨(dú)立事件，，，則，故錯(cuò)誤．故選：．16．記，分別為函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)，若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個(gè)“真實(shí)點(diǎn)”．若函數(shù)與有且只有一個(gè)“真實(shí)點(diǎn)”，則實(shí)數(shù)的值為A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意，設(shè)是函數(shù)與的“真實(shí)點(diǎn)”，則，，則有，變形可得，若兩個(gè)函數(shù)有且只有一個(gè)“真實(shí)點(diǎn)”，即方程有且只有一解，則有△，解可得，方程的唯一解，則有，解可得，故選：．三、解答題（本大題共5題，共14+14+14+18+18=78分）17．已知．（1）函數(shù)的最小正周期是，求，并求此時(shí)的解集；（2）已知，，求函數(shù)，的值域．解：（1）依題意，，解得，則，由，得，解得或，即或，所以的解集為或．（2）依題意，，，當(dāng)時(shí)，，則有，，所以函數(shù)，的值域?yàn)椋?8．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求平面與平面的夾角的大?。?）證明：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，依題意得，0，，，1，，，0，，，1，，，所以，，則，所以，由已知，且，，平面，所以平面；（2）解：已知，由（1）可知平面，又平面，所以，故即為平面與平面的夾角，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，則，設(shè)，則有，，，1，，即，，，設(shè)，則有，解得，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，即，又點(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，所以，又為銳角，所以，即平面與平面的夾角大小為．19．某初級(jí)中學(xué)共有學(xué)生2000名，各年級(jí)男、女生人數(shù)如表：初一年級(jí)初二年級(jí)初三年級(jí)女生373男生377370已知在全校學(xué)生中隨機(jī)抽取1名，抽到初二年級(jí)女生的頻率是0.19．（1）求的值；（2）現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，問應(yīng)在初三年級(jí)抽取多少名？（3）在（2）中，若所抽取的初一年級(jí)、初二年級(jí)、初三年級(jí)三個(gè)年級(jí)學(xué)生的體重的平均數(shù)分別是，，，方差分別是1，2，3，估計(jì)該校所有學(xué)生體重的平均數(shù)和方差．解：（1），．（2）初三年級(jí)人數(shù)為，現(xiàn)用分層抽樣的方法在全校抽取48名學(xué)生，應(yīng)在初三年級(jí)抽取的人數(shù)為，（3）初一年級(jí)應(yīng)抽取的學(xué)生的人數(shù)為，初二年級(jí)應(yīng)抽取的學(xué)生的人數(shù)為，該校所有學(xué)生體重的平均數(shù)約為，該校所有學(xué)生體重的方差約為．20．已知橢圓與拋物線在第一象限交于點(diǎn)，，，分別為的左、右頂點(diǎn)．（1）若，且橢圓的焦距為2，求的準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)點(diǎn)是和的一個(gè)共同焦點(diǎn)，過點(diǎn)的一條直線與相交于，兩點(diǎn)，與相交于，兩點(diǎn)，，若直線的斜率為1，求的值；（3）設(shè)直線，直線分別與直線交于，兩點(diǎn)，與的面積分別為，，若的最小值為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．解：（1）因?yàn)闄E圓的焦距為2，所以，解得，則，解得，則橢圓，因?yàn)椋诘谝幌笙?，，所以，所以，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入中，解得，則的準(zhǔn)線方程為；（2）因?yàn)辄c(diǎn)是和的一個(gè)共同焦點(diǎn)，所以，解得，，則，，此時(shí)直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)，，，，由韋達(dá)定理得，，所以，聯(lián)立，消去并整理得，設(shè)，，，，由韋達(dá)定理得，，所以，若方向相同，此時(shí)，若方向相反，此時(shí)，故；（3）因?yàn)?，，，三點(diǎn)共線，所以，解得，同理，由，，，三點(diǎn)共線，可得，此時(shí)，因?yàn)?，所以，所以，又，則，因?yàn)?，令，此時(shí)，所以，其中，因?yàn)?，所以的開口向下，對(duì)稱軸為，其中，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為，則的最小值為，令，解得，負(fù)值舍去，所以，解得，此時(shí)，又，所以，故點(diǎn)的坐標(biāo)為．21．設(shè)函數(shù)在，上有定義，實(shí)數(shù)，滿足．若在區(qū)間，上不存在最小值，則稱在區(qū)間，上具有性質(zhì)．（1）若函數(shù)，且在區(qū)間，上具有性質(zhì)時(shí)，求常數(shù)的取值范圍；（2）已知，且當(dāng)時(shí)，，判別在區(qū)間，上是否具有性質(zhì)，并說明理由；（3）若對(duì)于的任意實(shí)數(shù)和；函數(shù)在區(qū)間，上具有性質(zhì)，且對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，有：，證明：當(dāng)時(shí)，．解：（1）當(dāng)，時(shí)，在，上存在最小值；當(dāng)，即時(shí)，在，上存在最小值（2）；當(dāng)，即時(shí)，在，上單調(diào)遞增，所以不存在最小值，所以的取值范圍為，．（2）因?yàn)闀r(shí)，，所以在區(qū)間，上如果有最小值，則最小值必在區(qū)間，上取到；另一方面，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)在區(qū)間，上不存在最小值，所以在區(qū)間，上具有性質(zhì)．（3）①首先證明對(duì)于任意，．當(dāng)時(shí)，由，可知介于和之間．若，則在區(qū)間，上存在最小值，矛盾．利用歸納法和上面結(jié)論可得：對(duì)于任意，，當(dāng)時(shí)，．②其次證明當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，．任取，設(shè)正整數(shù)滿足，則．若存在使得，則，即．由于當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間，有最小值，矛盾．類似可證，當(dāng)且時(shí)，．③最后證明：當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，（2）（1）成立．當(dāng)時(shí)，由可知，存在