知識講解二項式定理(理)(基礎(chǔ))

可編輯可編輯精品精品可編輯精品二項式定理【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1．理解并掌握二項式定理，了解用計數(shù)原理證明二項式定理的方法．2．會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題．【要點梳理】要點一：二項式定理1.定義一般地,對于任意正整數(shù),都有：()，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式。式中的做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，2．二項式(a+b)n的展開式的特點：(1)項數(shù)：共有n+1項，比二項式的次數(shù)大1；(2)二項式系數(shù)：第r+1項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；(3)次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項中，a，b次數(shù)和均為n；3.兩個常用的二項展開式：①()②要點二、二項展開式的通項公式二項展開式的通項：（）公式特點：①它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是；②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③a與b的次數(shù)之和為n。要點詮釋：（1）二項式(a+b)n的二項展開式的第r+1項和(b+a)n的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換位置的．（2）通項是針對在(a+b)n這個標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(a－b)n的二項展開式的通項是（只需把－b看成b代入二項式定理）。要點三：二項式系數(shù)及其性質(zhì)1.楊輝三角和二項展開式的推導(dǎo)?？删庉嬁删庉嬀肪房删庉嬀吩谖覈纤?，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》如下表，可直觀地看出二項式系數(shù)。展開式中的二項式系數(shù),當(dāng)依次取1,2,3,…時,如下表所示:………11……121…………………1331………………14641……………15101051…………1615201561………………上表叫做二項式系數(shù)的表,也稱楊輝三角(在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角),反映了二項式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中的系數(shù)的意義：為了得到(a+b)n展開式中的系數(shù)，可以考慮在這n個括號中取r個b，則這種取法種數(shù)為，即為的系數(shù)．2.的展開式中各項的二項式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即；②增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當(dāng)n為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且最大.③各二項式系數(shù)之和為，即；④二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即。要點詮釋：二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別：二項展開式中，第r+1項的二項式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項式的系數(shù)，二者不一定相等。如(a－b)n的二項展開式的通項是，在這里對應(yīng)項的二項式系數(shù)都是，但項的系數(shù)是，可以看出，二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念．3.展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：展開式中含的系數(shù)為要點詮釋：三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結(jié)合為一項，利用二項式定理解決?？删庉嬁删庉嬀肪房删庉嬀芬c四：二項式定理的應(yīng)用1.求展開式中的指定的項或特定項（或其系數(shù)）.2.利用賦值法進行求有關(guān)系數(shù)和。二項式定理表示一個恒等式，對于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過對a、b取不同的特殊值）可解決與二項式系數(shù)有關(guān)的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況。設(shè)令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=－1，則(4)(5)3.利用二項式定理證明整除問題及余數(shù)的求法：如：求證：能被64整除（）4.證明有關(guān)的不等式問題：有些不等式，可應(yīng)用二項式定理，結(jié)合放縮法證明，即把二項展開式中的某些正項適當(dāng)刪去(縮小)，或把某些負(fù)項刪去(放大)，使等式轉(zhuǎn)化為不等式，然后再根據(jù)不等式的傳遞性進行證明。①；②；（）如：求證：【典型例題】類型一、求二項展開式的特定項或特定項的系數(shù)例1.求的二項式的展開式．【思路點撥】按照二項式的展開式或按通項依次寫出每一項，但要注意符號．【解析】解一：．解二：．【總結(jié)升華】記準(zhǔn)、記熟二項式(a+b)n的展開式，是解答好與二項式定理有關(guān)問題的前提條件，對較復(fù)雜的二項式，有時先化簡再展開會更簡捷．舉一反三：【變式】求二項式的展開式．【答案】（1）解法一：可編輯可編輯精品精品可編輯精品解法二：。例2．（1）求的展開式的第四項的系數(shù)；

（2）求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù)【思路點撥】先根據(jù)已知條件求出二項式的指數(shù)n，然后再求展開式中含x的項．因為題中條件和求解部分都涉及指定項問題，故選用通項公式．【解析】（1）的展開式的第四項是，

∴的展開式的第四項的系數(shù)是．（2）∵的展開式的通項是，∴，，∴的系數(shù)，的二項式系數(shù)．【總結(jié)升華】1.利用通項公式求給定項時避免出錯的關(guān)鍵是弄清共有多少項,所求的是第幾項,相應(yīng)的是多少；2.注意系數(shù)與二項式系數(shù)的區(qū)別；3.在求解過程中要注意冪的運算公式的準(zhǔn)確應(yīng)用。舉一反三：【變式1】求的展開式的第3項的二項式系數(shù)和系數(shù)；【答案】10，80；可編輯可編輯精品精品可編輯精品【變式2】求(x3－)5的展開式中x5的系數(shù)；【答案】（1）Tr＋1＝依題意15－5r＝5，解得r＝2故(－2)2＝40為所求x5的系數(shù)例3.（1）(2x2－)6的展開式中的常數(shù)項；（2）求的展開式中的有理項.【思路點撥】常數(shù)項就是項的冪指數(shù)為0的項，有理項，就是通項中x的指數(shù)為正整數(shù)的項，可以根據(jù)二項式定理的通項公式求?！窘馕觥浚?）Tr＋1＝(2x2)6-r＝(－1)r·26-r·依題意12－3r＝0，解得r＝4故·22＝60為所求的常數(shù)項．（2）通項∵為有理項，∴,即是6的倍數(shù),又因為,所以=0,6,12故展開式中的有理項為,,.【總結(jié)升華】使二項展開式的某一項為常數(shù)項，就是使這一項不含“變元”，一般采用令變元的指數(shù)為零的方法解答這類問題。求有理項是對x的指數(shù)是整數(shù)情況的討論，要考慮到一些指數(shù)或組合數(shù)的序號的要求．舉一反三：【變式】求二項式的展開式中的常數(shù)項及有理項．設(shè)二項式的通項為，令，得r=8．∴?？删庉嬁删庉嬀肪房删庉嬀妨?，即r=0，2，4，6，8時，。∴，，，，?！喽検降恼归_式中的常數(shù)項是第9項：；有理項是第1項：x20，第3項：，第5項：，第7項：，第9項：．類型二、二項式之積及三項式展開問題例4．求的展開式中的系數(shù).【思路點撥】將變形為，要使兩個因式的乘積中出現(xiàn)，根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)可以分類討論：當(dāng)前一個因式為1時，后面的應(yīng)該為；當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為；當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為；也可以利用通項公式化簡解答?！窘馕觥拷夥ㄒ唬?，的通項公式（），分三類討論：（1）當(dāng)前一個因式為1時，后面的應(yīng)該為，即；（2）當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為，即；（3）當(dāng)前一個因式為時，后面的應(yīng)該為，即；故展開式中的系數(shù)為。可編輯可編輯精品精品可編輯精品解法二：的通項公式（），的通項公式,（），令,則或或，從而的系數(shù)為?！究偨Y(jié)升華】當(dāng)多個不同的二項式相加或相乘時，可以依據(jù)題意進行恰當(dāng)?shù)姆诸惢蚍植接嬎?，也可以直接利用通項公式化簡后求解。舉一反三：【變式】求(x＋2)10(x2－1)的展開式中x10的系數(shù)；【答案】∵(x＋2)10＝x10＋20x9＋180x8＋…∴(x＋2)10(x2－1)的展開式中x10的系數(shù)是－1＋180＝179例5．求的展開式中的系數(shù)【思路點撥】要把上式展開，必須先把三項中的某兩項結(jié)合起來，看成一項，才可以用二項式定理展開，然后再用一次二項式定理，，也可以先把三項式分解成兩個二項式的積，再用二項式定理展開【解析】（法一），顯然，上式中只有第四項中含的項，∴展開式中含的項的系數(shù)是（法二）：∴展開式中含的項的系數(shù)是．【總結(jié)升華】有些題中，常出現(xiàn)三項式展開或兩個二項式乘積的展開問題，所用解法一般為二項式定理展開，或?qū)⑷検睫D(zhuǎn)化為二項式．舉一反三：【變式1】的展開式中含項的系數(shù)是；【答案】【變式2】在(x2+3x+2)5的展開式中，求x的系數(shù)【答案】∵可編輯可編輯精品精品可編輯精品∴在(x+1)5展開式中，常數(shù)項為1，含x的項為，在(2+x)5展開式中，常數(shù)項為25=32，含x的項為∴展開式中含x的項為，∴此展開式中x的系數(shù)為240類型三、有關(guān)二項式系數(shù)的性質(zhì)及計算的問題例6．已知（1）求展開式中二項式系數(shù)最大的項；（2）求展開式中系數(shù)最大的項?！舅悸伏c撥】利用展開式的通項，得到系數(shù)的表達式，進而求出其最大值?！窘馕觥浚?）展開式的通項：，故展開式中二項式系數(shù)最大的項為：（2）設(shè)第項的系數(shù)最大，則，化簡得，解得:，∴，故所求展開式中系數(shù)最大的項為：【總結(jié)升華】求展開式中系數(shù)最大的項，一般是解一個不等式組。 舉一反三：【變式】求展開式中系數(shù)最大的項?！敬鸢浮俊咴讲皇堑臉?biāo)準(zhǔn)二項式，∴不一定是中間項系數(shù)最大。設(shè)項系數(shù)最大，有?？删庉嬁删庉嬀肪房删庉嬀贰?，解得。∵k是非負(fù)整數(shù)，∴k=8。∴第8項系數(shù)最大，即。類型四、利用賦值法進行求有關(guān)系數(shù)和。例7.若，則_________．（用數(shù)字作答）【思路點撥】求展開式的各項系數(shù)之和常用賦值法【解析】令，則，，即．【總結(jié)升華】賦值法是解決二項展開式的系數(shù)和的有效方法，通過對二項展開式中的字母或代數(shù)式賦予允許值，以達到解題目的．舉一反三：【變式1】若，則,【答案】0；令,得答案0.【變式2】已知，則等于（）A．63B．64C【答案】逆用二項式定理得：，所以n=6，所以。故選A。類型四、二項式定理的綜合運用例8.求證：對任何非負(fù)整數(shù)n，33n－26n－1可被676整除。【思路點撥】注意到262=676，33n=27n=(26+1)n，用二項展開式去證明．【解析】當(dāng)n=0時，原式=0，可被676整除．當(dāng)n=1時，原式=0，也可被676整除．當(dāng)n≥2時，原式．可編輯可編輯精品精品可編輯精品每一項都含262這個因數(shù)，故可被262=676整除綜上所述，對一切非負(fù)整數(shù)n，33n－26n－1可被676整除．【總結(jié)升華】此類整除問題（或余數(shù)問題）可以用二項式定理證明，證明的關(guān)鍵在于將被除式進行恰當(dāng)?shù)淖冃?，使其能寫成二項式的形式，展開后的每一項中都會有除式這個因式，就可證得整除或求出余數(shù)．舉一反三：【變式】除以的余數(shù)是.【答案】；∵故除以的余數(shù)