河南省林州一中2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析

河南省林州一中2025屆高考數(shù)學(xué)四模試卷請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知向量，，若，則（）A． B． C．-8 D．82．已知圓錐的高為3，底面半徑為，若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積與圓錐的體積的比值為()A． B． C． D．3．若與互為共軛復(fù)數(shù)，則（）A．0 B．3 C．－1 D．44．已知復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則（）A． B． C．2 D．5．已知函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，，當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的解析式為（）A． B．C． D．6．已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為()A．3 B．2 C．1 D．07．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，則（）A．25 B．32 C．35 D．408．已知雙曲線（，）的左、右頂點(diǎn)分別為，，虛軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為，，若四邊形的內(nèi)切圓面積為，則雙曲線焦距的最小值為（）A．8 B．16 C． D．9．若復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)a為（）A． B．2 C． D．10．如果直線與圓相交，則點(diǎn)與圓C的位置關(guān)系是（）A．點(diǎn)M在圓C上 B．點(diǎn)M在圓C外C．點(diǎn)M在圓C內(nèi) D．上述三種情況都有可能11．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．12．港珠澳大橋于2018年10月2刻日正式通車，它是中國(guó)境內(nèi)一座連接香港、珠海和澳門的橋隧工程，橋隧全長(zhǎng)55千米．橋面為雙向六車道高速公路，大橋通行限速100km/h，現(xiàn)對(duì)大橋某路段上1000輛汽車的行駛速度進(jìn)行抽樣調(diào)查．畫出頻率分布直方圖（如圖），根據(jù)直方圖估計(jì)在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間[85，90）的車輛數(shù)和行駛速度超過(guò)90km/h的頻率分別為（）A．300， B．300， C．60， D．60，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分別是，，，，則該四面體的外接球的體積為__________．14．如圖，已知圓內(nèi)接四邊形ABCD，其中，，，，則__________．15．已知拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點(diǎn)，PQ垂直l于點(diǎn)Q，M，N分別為PQ，PF的中點(diǎn)，MN與x軸相交于點(diǎn)R，若∠NRF=60°，則|FR|等于_____.16．已知函數(shù)函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）在三角形中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若.（Ⅰ）求角；（Ⅱ）若，，求.18．（12分）在直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)為3的線段的兩端點(diǎn)分別在軸、軸上滑動(dòng)，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，且滿足.記點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若點(diǎn)為曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記，判斷是否存在常數(shù)使得點(diǎn)到直線的距離為定值？若存在，求出常數(shù)的值和這個(gè)定值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.19．（12分）已知矩陣的一個(gè)特征值為4，求矩陣A的逆矩陣.20．（12分）已知函數(shù).（1）若，求不等式的解集；（2）已知，若對(duì)于任意恒成立，求的取值范圍.21．（12分）在中，角，，所對(duì)的邊分別是，，，且.(1)求的值；(2)若，求的取值范圍.22．（10分）如圖，在直三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，且平面．（1）求證：；（2）求平面與平面所成二面角的正弦值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

先求出向量,的坐標(biāo)，然后由可求出參數(shù)的值.【詳解】由向量，，則，，又，則，解得.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算和模長(zhǎng)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

計(jì)算求半徑為，再計(jì)算球體積和圓錐體積，計(jì)算得到答案.【詳解】如圖所示：設(shè)球半徑為，則，解得.故求體積為：，圓錐的體積：，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐，球體積，圓錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象能力.3、C【解析】

計(jì)算，由共軛復(fù)數(shù)的概念解得即可.【詳解】，又由共軛復(fù)數(shù)概念得：，.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)的概念.4、D【解析】

把已知等式變形，然后利用數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算得答案.【詳解】解：，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了復(fù)數(shù)模的求法，是基礎(chǔ)題.5、A【解析】

先求出平移后的函數(shù)解析式，結(jié)合圖像的對(duì)稱性和得到A和.【詳解】因?yàn)殛P(guān)于軸對(duì)稱，所以，所以，的最小值是.，則，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像變換及性質(zhì).平移圖像時(shí)需注意x的系數(shù)和平移量之間的關(guān)系.6、C【解析】

集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立方程組求得方程組解的個(gè)數(shù)，即為交集中元素的個(gè)數(shù).【詳解】由題可知：集合表示半圓上的點(diǎn)，集合表示直線上的點(diǎn)，聯(lián)立與，可得，整理得，即，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意；故方程組有唯一的解.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查集合交集的求解，涉及圓和直線的位置關(guān)系的判斷，屬基礎(chǔ)題.7、C【解析】

設(shè)出等差數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可根據(jù)題意列出兩個(gè)方程，求出通項(xiàng)公式，從而求得．【詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則，解得，∴，即有．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和應(yīng)用，涉及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于容易題．8、D【解析】

根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系，由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑，結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系，再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍，即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意，畫出幾何關(guān)系如下圖所示：設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為，雙曲線半焦距為，則所以，四邊形的內(nèi)切圓面積為，則，解得，則，即故由基本不等式可得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故焦距的最小值為.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用，圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用，屬于中檔題.9、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)，再由實(shí)部為求得值．【詳解】解：在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，，即．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，是基礎(chǔ)題．10、B【解析】

根據(jù)圓心到直線的距離小于半徑可得滿足的條件，利用與圓心的距離判斷即可.【詳解】直線與圓相交，圓心到直線的距離，即．也就是點(diǎn)到圓的圓心的距離大于半徑．即點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是點(diǎn)在圓外．故選：【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與圓相交的性質(zhì)，考查點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．11、D【解析】

根據(jù)三視圖判斷出幾何體是由一個(gè)三棱錐和一個(gè)三棱柱構(gòu)成，利用錐體和柱體的體積公式計(jì)算出體積并相加求得幾何體的體積.【詳解】由三視圖可知該幾何體的直觀圖是由一個(gè)三棱錐和三棱柱構(gòu)成，該多面體體積為.故選D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三視圖還原為原圖，考查柱體和錐體的體積公式，屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】

由頻率分布直方圖求出在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率即可得到車輛數(shù)，同時(shí)利用頻率分布直方圖能求行駛速度超過(guò)的頻率．【詳解】由頻率分布直方圖得：在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的頻率為，∴在此路段上汽車行駛速度在區(qū)間的車輛數(shù)為：，行駛速度超過(guò)的頻率為：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查頻數(shù)、頻率的求法，考查頻率分布直方圖的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

將四面體補(bǔ)充為長(zhǎng)寬高分別為的長(zhǎng)方體，體對(duì)角線即為外接球的直徑，從而得解.【詳解】采用補(bǔ)體法，由空間點(diǎn)坐標(biāo)可知，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)長(zhǎng)方體上，該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為，長(zhǎng)方體的外接球即為該四面體的外接球，外接球的直徑即為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以球半徑為，體積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了四面體外接球的常用求法：補(bǔ)體法，通過(guò)補(bǔ)體得到長(zhǎng)方體的外接球從而得解，屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

由題意可知，，在和中，利用余弦定理建立方程求，同理求，求，代入求值.【詳解】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得,．連接BD，在中，有．在中，．所以,則，所以．連接AC，同理可得,所以．所以．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理解三角形，同角三角函數(shù)基本關(guān)系，意在考查方程思想，計(jì)算能力，屬于中檔題型，本題的關(guān)鍵是熟悉圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，對(duì)角互補(bǔ).15、2【解析】

由題意知：，，，.由∠NRF=60°，可得為等邊三角形，MF⊥PQ，可得F為HR的中點(diǎn)，即求.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)P在第一象限，如圖所示，連接MF，QF.∵拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為C上一點(diǎn)∴，.∵M(jìn)，N分別為PQ，PF的中點(diǎn)，∴，∵PQ垂直l于點(diǎn)Q，∴PQ//OR，∵，∠NRF=60°，∴為等邊三角形，∴MF⊥PQ，易知四邊形和四邊形都是平行四邊形，∴F為HR的中點(diǎn)，∴，故答案為：2.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】∵，∴，∵函數(shù)y=f(x)?g(x)恰好有四個(gè)零點(diǎn)，∴方程f(x)?g(x)=0有四個(gè)解，即f(x)+f(2?x)?b=0有四個(gè)解，即函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象有四個(gè)交點(diǎn)，，作函數(shù)y=f(x)+f(2?x)與y=b的圖象如下，，結(jié)合圖象可知，<b<2，故答案為.點(diǎn)睛：(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)f(f(a))的形式時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．(2)當(dāng)給出函數(shù)值求自變量的值時(shí)，先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(yàn)，看所求的自變量的值是否滿足相應(yīng)段自變量的取值范圍．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）8【解析】

（Ⅰ）由余弦定理可得，即可求出A,（Ⅱ）根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和兩角和的正弦公式和正弦定理即可求出.【詳解】（Ⅰ）由余弦定理，所以，所以，即，因?yàn)?，所以；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，因?yàn)?，，由正弦定理得，所?【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理與余弦定理解三角形，屬于簡(jiǎn)單題.18、（1）（2）存在；常數(shù)，定值【解析】

（1）設(shè)出的坐標(biāo)，利用以及，求得曲線的方程.（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線的方程，求得到直線的距離.聯(lián)立直線的方程和曲線的方程，寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合以及為定值，求得的值.當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，驗(yàn)證.由此得到存在常數(shù)，且定值.【詳解】（1）解析：（1）設(shè)，，由題可得，解得又，即，消去得：（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為設(shè)，由可得：由點(diǎn)到的距離為定值可得（為常數(shù)）即得：即，又為定值時(shí)，，此時(shí)，且符合當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)直線方程為由題可得，時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，符合條件綜上可知，存在常數(shù)，且定值【點(diǎn)睛】本小題主要考查軌跡方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，考查橢圓中的定值問題，屬于難題.19、.【解析】

根據(jù)特征多項(xiàng)式可得，可得，進(jìn)而可得矩陣A的逆矩陣.【詳解】因?yàn)榫仃嚨奶卣鞫囗?xiàng)式，所以，所以.因?yàn)?，且，所?【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的特征多項(xiàng)式以及逆矩陣的求解，是基礎(chǔ)題.20、（1）或；（2）.【解析】

（1）時(shí)，分類討論，去掉絕對(duì)值，分類討論解不等式.（2）時(shí)，分類討論去絕對(duì)值，得到解析式，由函數(shù)的單調(diào)性可得的最小值，通過(guò)恒成立問題，得到關(guān)于的不等式，得到的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以不等式等價(jià)于或或，解得或.所以不等式的解集為或.（2）因?yàn)椋?，根?jù)函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)的最小值為，因?yàn)楹愠闪?，所以，解?所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查分類討論去絕對(duì)值，分段函數(shù)求最值，不等式恒成立問題，屬于中檔題.21、(1)；(2)【解析】

（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和差正弦公式可整理求得，進(jìn)而求得和，代入求得結(jié)果；（2）利用正弦定理可將表示為，利用兩角和差正弦公式、輔助角公式將其整理為，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求解方法，結(jié)合的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得：即（2）由（1）知：，，即的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查解三角形知識(shí)的相關(guān)應(yīng)用，涉及到正弦定理邊化角的應(yīng)用、兩角和差正弦公式和輔助角公式的應(yīng)用、與三角函數(shù)值域有關(guān)的取值范圍的求解問題；求解取值范圍的關(guān)鍵是能夠利用正弦定理將邊長(zhǎng)的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，進(jìn)而利用