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文檔簡(jiǎn)介
2025屆河北省唐山開(kāi)灤一中高三下學(xué)期聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2.回答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑,如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?;卮鸱沁x擇題時(shí),將答案寫(xiě)在答題卡上,寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知正方體的體積為,點(diǎn),分別在棱,上,滿足最小,則四面體的體積為A. B. C. D.2.已知集合,,則()A. B. C. D.3.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限4.一個(gè)幾何體的三視圖及尺寸如下圖所示,其中正視圖是直角三角形,側(cè)視圖是半圓,俯視圖是等腰三角形,該幾何體的表面積是()A.B.C.D.5.已知命題,;命題若,則,下列命題為真命題的是()A. B. C. D.6.已知函數(shù)()的部分圖象如圖所示.則()A. B.C. D.7.執(zhí)行如下的程序框圖,則輸出的是()A. B.C. D.8.若不相等的非零實(shí)數(shù),,成等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,則()A. B. C.2 D.9.已知集合,則集合()A. B. C. D.10.在平行四邊形中,若則()A. B. C. D.11.已知復(fù)數(shù)z,則復(fù)數(shù)z的虛部為()A. B. C.i D.i12.已知集合,則()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則的值為_(kāi)_________.14.已知等邊三角形的邊長(zhǎng)為1.,點(diǎn)、分別為線段、上的動(dòng)點(diǎn),則取值的集合為_(kāi)_________.15.已知,圓,直線PM,PN分別與圓O相切,切點(diǎn)為M,N,若,則的最小值為_(kāi)_______.16.已知,滿足約束條件,則的最大值為_(kāi)_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)中,內(nèi)角的對(duì)邊分別為,.(1)求的大??;(2)若,且為的重心,且,求的面積.18.(12分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,求的面積.19.(12分)已知函數(shù).(1)時(shí),求不等式解集;(2)若的解集包含于,求a的取值范圍.20.(12分)如圖,在直三棱柱中,,,為的中點(diǎn),點(diǎn)在線段上,且平面.(1)求證:;(2)求平面與平面所成二面角的正弦值.21.(12分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點(diǎn).(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.22.(10分)4月23日是“世界讀書(shū)日”,某中學(xué)開(kāi)展了一系列的讀書(shū)教育活動(dòng).學(xué)校為了解高三學(xué)生課外閱讀情況,采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個(gè)讀書(shū)小組(每名學(xué)生只能參加一個(gè)讀書(shū)小組)學(xué)生抽取12名學(xué)生參加問(wèn)卷調(diào)查.各組人數(shù)統(tǒng)計(jì)如下:小組甲乙丙丁人數(shù)12969(1)從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,求這2人來(lái)自同一個(gè)小組的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,用表示抽得甲組學(xué)生的人數(shù),求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】
由題意畫(huà)出圖形,將所在的面延它們的交線展開(kāi)到與所在的面共面,可得當(dāng)時(shí)最小,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,得,進(jìn)一步求出四面體的體積即可.【詳解】解:如圖,
∵點(diǎn)M,N分別在棱上,要最小,將所在的面延它們的交線展開(kāi)到與所在的面共面,三線共線時(shí),最小,
∴
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為,則,∴.
取,連接,則共面,在中,設(shè)到的距離為,
設(shè)到平面的距離為,
.
故選D.【點(diǎn)睛】本題考查多面體體積的求法,考查了多面體表面上的最短距離問(wèn)題,考查計(jì)算能力,是中檔題.2、D【解析】
先求出集合B,再與集合A求交集即可.【詳解】由已知,,故,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算,考查學(xué)生的基本運(yùn)算能力,是一道容易題.3、D【解析】
將復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.4、D【解析】
由三視圖可知該幾何體的直觀圖是軸截面在水平面上的半個(gè)圓錐,表面積為,故選D.5、B【解析】解:命題p:?x>0,ln(x+1)>0,則命題p為真命題,則¬p為假命題;取a=﹣1,b=﹣2,a>b,但a2<b2,則命題q是假命題,則¬q是真命題.∴p∧q是假命題,p∧¬q是真命題,¬p∧q是假命題,¬p∧¬q是假命題.故選B.6、C【解析】
由圖象可知,可解得,利用三角恒等變換化簡(jiǎn)解析式可得,令,即可求得.【詳解】依題意,,即,解得;因?yàn)樗裕?dāng)時(shí),.故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解析式和已知函數(shù)值求自變量,考查三角恒等變換在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用,難度一般.7、A【解析】
列出每一步算法循環(huán),可得出輸出結(jié)果的值.【詳解】滿足,執(zhí)行第一次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第二次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第三次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第四次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第五次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第六次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第七次循環(huán),,;成立,執(zhí)行第八次循環(huán),,;不成立,跳出循環(huán)體,輸出的值為,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖的計(jì)算,解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步,考查分析問(wèn)題和計(jì)算能力,屬于中等題.8、A【解析】
由題意,可得,,消去得,可得,繼而得到,代入即得解【詳解】由,,成等差數(shù)列,所以,又,,成等比數(shù)列,所以,消去得,所以,解得或,因?yàn)?,,是不相等的非零?shí)數(shù),所以,此時(shí),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.9、D【解析】
弄清集合B的含義,它的元素x來(lái)自于集合A,且也是集合A的元素.【詳解】因,所以,故,又,,則,故集合.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查集合的定義,涉及到解絕對(duì)值不等式,是一道基礎(chǔ)題.10、C【解析】
由,,利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算,先求得利用平行四邊形的性質(zhì)可得結(jié)果.【詳解】如圖所示,
平行四邊形中,,
,,,
因?yàn)?
所以
,
,所以,故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的幾何運(yùn)算以及平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則,屬于中檔題.向量的運(yùn)算有兩種方法:(1)平行四邊形法則(平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差);(2)三角形法則(兩箭頭間向量是差,箭頭與箭尾間向量是和).11、B【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義即可得出【詳解】,則復(fù)數(shù)z的虛部為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
考慮既屬于又屬于的集合,即得.【詳解】.故選:【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、56【解析】
根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.14、【解析】
根據(jù)題意建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)三角形各點(diǎn)的坐標(biāo),依題意求出,,,的表達(dá)式,再進(jìn)行數(shù)量積的運(yùn)算,最后求和即可得出結(jié)果.【詳解】解:以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),所在直線為軸,線段的垂直平分線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,如圖所示,則,,,,則,,,設(shè),,,即點(diǎn)的坐標(biāo)為,則,,,所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)表示和線性運(yùn)算,以及平面向量基本定理和數(shù)量積的運(yùn)算,是中檔題.15、【解析】
由可知R為中點(diǎn),設(shè),由過(guò)切點(diǎn)的切線方程即可求得,,代入,,則在直線上,即可得方程為,將,代入化簡(jiǎn)可得,則直線過(guò)定點(diǎn),由則點(diǎn)在以為直徑的圓上,則.即可求得.【詳解】如圖,由可知R為MN的中點(diǎn),所以,,設(shè),則切線PM的方程為,即,同理可得,因?yàn)镻M,PN都過(guò),所以,,所以在直線上,從而直線MN方程為,因?yàn)?,所以,即直線MN方程為,所以直線MN過(guò)定點(diǎn),所以R在以O(shè)Q為直徑的圓上,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查直線和圓的位置關(guān)系,考查圓的切線方程,定點(diǎn)和圓上動(dòng)點(diǎn)距離的最值問(wèn)題,考查學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力和計(jì)算能力,難度較難.16、【解析】
根據(jù)題意,畫(huà)出可行域,將目標(biāo)函數(shù)看成可行域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方,利用圖象即可求解.【詳解】可行域如圖所示,易知當(dāng),時(shí),的最大值為.故答案為:9.【點(diǎn)睛】本題考查了利用幾何法解決非線性規(guī)劃問(wèn)題,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理,轉(zhuǎn)化為,分析運(yùn)算即得解;(2)由為的重心,得到,平方可得解c,由面積公式即得解.【詳解】(1)由,由正弦定理得C,即∴∵∴,又∵∴(2)由于為的重心故,∴解得或舍∴的面積為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.18、(1);(2)或【解析】
(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得,利用正弦函數(shù)的周期性即可求解;(2)由(1)可求,結(jié)合范圍,可求的值,由余弦定理可求的值,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)∴最小正周期.(2)由(1)知,∴∴,又∴或.解得或當(dāng)時(shí),由余弦定理得即,解得.此時(shí).當(dāng)時(shí),由余弦定理得.即,解得.此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦函數(shù)的周期性,考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和分類(lèi)討論思想,屬于基礎(chǔ)題.19、(1)(2)【解析】
(1)代入可得對(duì)分類(lèi)討論即可得不等式的解集;(2)根據(jù)不等式在上恒成立去絕對(duì)值化簡(jiǎn)可得再去絕對(duì)值即可得關(guān)于的不等式組解不等式組即可求得的取值范圍【詳解】(1)當(dāng)時(shí),不等式可化為,①當(dāng)時(shí),不等式為,解得;②當(dāng)時(shí),不等式為,無(wú)解;③當(dāng)時(shí),不等式為,解得,綜上,原不等式的解集為.(2)因?yàn)榈慕饧冢瑒t不等式可化為,即.解得,由題意知,解得,所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法分類(lèi)討論解絕對(duì)值不等式的應(yīng)用,含參數(shù)不等式的解法.難度一般.20、見(jiàn)解析【解析】
(1)如圖,連接,交于點(diǎn),連接,,則為的中點(diǎn),因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn),所以,又,所以,從而,,,四點(diǎn)共面.因?yàn)槠矫?,平面,平面平面,所以.又,所以四邊形為平行四邊形,所以,所以?)因?yàn)?,為的中點(diǎn),所以,又三棱柱是直三棱柱,,所以,,互相垂直,分別以,,的方向?yàn)檩S、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,因?yàn)?,,所以,,,,所以,,.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個(gè)法向量為.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,可得,,所以平面的一個(gè)法向量為,所以,所以平面與平面所成二面角的正弦值為.21、(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)要證明線面平行,需先證明線線平行,所以連接,交于點(diǎn)M,連接ME,證明;(Ⅱ)由題意可知點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離,根據(jù)體積公式剩余部分的體積是.【詳解】(Ⅰ)如圖,連接,交于點(diǎn)M,連接ME,則.因?yàn)槠矫妫矫?,所以平面.(Ⅱ)因?yàn)槠矫鍭BC,所以點(diǎn)到平面ABC的距離等于點(diǎn)到平面ABC的距離.如圖,設(shè)O是AC的中點(diǎn),連接,OB.因?yàn)闉檎切?,所以,又平面平面,平面平面,所以平面ABC.所以點(diǎn)到平面ABC的距離,故三棱錐的體積為.而斜三棱柱的體積為.所以剩余部分的體積為.【點(diǎn)睛】本題考查證明線面平行,計(jì)算體積,意在考查推理證明,空間想象能力,計(jì)算能力,屬于中檔題型,一般證明線面平行的方法1.證明線線平行,則線面平行,2.證明面面平行,則線面平行,關(guān)鍵是證明線線平行,一般構(gòu)造平行四邊形,則對(duì)邊平行,或是構(gòu)造三角形中位線.22、(1)(2)見(jiàn)解析,【解析】
(1)采用分層抽樣的方法甲組抽取4人,乙組抽取3人,丙組抽取2人,丁組抽取3人,從參加問(wèn)卷調(diào)查的12名學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,基本事件總數(shù)為,這兩人來(lái)自同一小組取法共有,由此可求出所求的概率;(2)從已抽取的甲、丙兩個(gè)小組的學(xué)生中隨機(jī)抽取2人,而甲、丙兩個(gè)小組學(xué)生分別有4人和2人,所以抽取的兩人中是甲組的學(xué)生的人數(shù)的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解
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