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2025屆廣東省深圳市南山區(qū)南頭中學(xué)高考考前提分?jǐn)?shù)學(xué)仿真卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫(xiě)上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,,則()A. B. C.3 D.42.圓心為且和軸相切的圓的方程是()A. B.C. D.3.如圖是來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形,此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成,三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊.已知以直角邊為直徑的半圓的面積之比為,記,則()A. B. C. D.4.若集合,,則下列結(jié)論正確的是()A. B. C. D.5.若復(fù)數(shù)z滿足,則()A. B. C. D.6.已知函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.7.若函數(shù)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)的圖像可能是()A. B. C. D.8.甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(jī)(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù);②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高;③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低;④甲同學(xué)成績(jī)的方差小于乙同學(xué)成績(jī)的方差.以上說(shuō)法正確的是()A.③④ B.①② C.②④ D.①③④9.已知的面積是,,,則()A.5 B.或1 C.5或1 D.10.設(shè),滿足,則的取值范圍是()A. B. C. D.11.設(shè)復(fù)數(shù)滿足,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,則()A. B. C. D.12.已知函數(shù),,若存在實(shí)數(shù),使成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,向量(4,﹣n),(Sn,n+3).若⊥,則數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為_(kāi)____14.如圖所示,在△ABC中,AB=AC=2,,,AE的延長(zhǎng)線交BC邊于點(diǎn)F,若,則____.15.如圖,在三棱錐A﹣BCD中,點(diǎn)E在BD上,EA=EB=EC=ED,BDCD,△ACD為正三角形,點(diǎn)M,N分別在AE,CD上運(yùn)動(dòng)(不含端點(diǎn)),且AM=CN,則當(dāng)四面體C﹣EMN的體積取得最大值時(shí),三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積為_(kāi)____.16.某市公租房源位于、、三個(gè)小區(qū),每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房子,申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的,則該市的任意位申請(qǐng)人中,恰好有人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率是______.(用數(shù)字作答)三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知在中,角,,的對(duì)邊分別為,,,的面積為.(1)求證:;(2)若,求的值.18.(12分)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足,證明:.19.(12分)為踐行“綠水青山就是金山銀山”的發(fā)展理念和提高生態(tài)環(huán)境的保護(hù)意識(shí),高二年級(jí)準(zhǔn)備成立一個(gè)環(huán)境保護(hù)興趣小組.該年級(jí)理科班有男生400人,女生200人;文科班有男生100人,女生300人.現(xiàn)按男、女用分層抽樣從理科生中抽取6人,按男、女分層抽樣從文科生中抽取4人,組成環(huán)境保護(hù)興趣小組,再?gòu)倪@10人的興趣小組中抽出4人參加學(xué)校的環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽.(1)設(shè)事件為“選出的這4個(gè)人中要求有兩個(gè)男生兩個(gè)女生,而且這兩個(gè)男生必須文、理科生都有”,求事件發(fā)生的概率;(2)用表示抽取的4人中文科女生的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.(12分)已知函數(shù),.(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為,求,;(2)當(dāng)時(shí),,求實(shí)數(shù)的取值范圍.21.(12分)已知A是拋物線E:y2=2px(p>0)上的一點(diǎn),以點(diǎn)A和點(diǎn)B(2,0)為直徑兩端點(diǎn)的圓C交直線x=1于M,N兩點(diǎn).(1)若|MN|=2,求拋物線E的方程;(2)若0<p<1,拋物線E與圓(x﹣5)2+y2=9在x軸上方的交點(diǎn)為P,Q,點(diǎn)G為PQ的中點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),求直線OG斜率的取值范圍.22.(10分)已知函數(shù).(1)求不等式的解集;(2)若正數(shù)、滿足,求證:.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)相等的特征,求出和,再利用復(fù)數(shù)的模公式,即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋裕獾脛t.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查相等復(fù)數(shù)的特征和復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題.2、A【解析】
求出所求圓的半徑,可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為,因此,所求圓的方程為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查圓的方程的求解,一般求出圓的圓心和半徑,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、D【解析】
由半圓面積之比,可求出兩個(gè)直角邊的長(zhǎng)度之比,從而可知,結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,即可求出,由二倍角公式即可求出.【詳解】解:由題意知,以為直徑的半圓面積,以為直徑的半圓面積,則,即.由,得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,考查了二倍角公式.本題的關(guān)鍵是由面積比求出角的正切值.4、D【解析】
由題意,分析即得解【詳解】由題意,故,故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了元素和集合,集合和集合之間的關(guān)系,考查了學(xué)生概念理解,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
先化簡(jiǎn)得再求得解.【詳解】所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和模的計(jì)算,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.6、B【解析】
可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以.【詳解】在上單調(diào)遞增,且,所以.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定,指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),利用單調(diào)性比大小等知識(shí),考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.7、B【解析】因?yàn)閷?duì)A不符合定義域當(dāng)中的每一個(gè)元素都有象,即可排除;對(duì)B滿足函數(shù)定義,故符合;對(duì)C出現(xiàn)了定義域當(dāng)中的一個(gè)元素對(duì)應(yīng)值域當(dāng)中的兩個(gè)元素的情況,不符合函數(shù)的定義,從而可以否定;對(duì)D因?yàn)橹涤虍?dāng)中有的元素沒(méi)有原象,故可否定.故選B.8、A【解析】
由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為,故①錯(cuò)誤;,,則,故②錯(cuò)誤,③正確;顯然甲同學(xué)的成績(jī)更集中,即波動(dòng)性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).9、B【解析】∵,,∴①若為鈍角,則,由余弦定理得,解得;②若為銳角,則,同理得.故選B.10、C【解析】
首先繪制出可行域,再繪制出目標(biāo)函數(shù),根據(jù)可行域范圍求出目標(biāo)函數(shù)中的取值范圍.【詳解】由題知,滿足,可行域如下圖所示,可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)處取得最小值,故目標(biāo)函數(shù)的最小值為,故的取值范圍是.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了線性規(guī)劃中目標(biāo)函數(shù)的取值范圍的問(wèn)題,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】
設(shè),根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到、的關(guān)系式,即可得解;【詳解】解:設(shè)∵,∴,解得.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.12、A【解析】
根據(jù)實(shí)數(shù)滿足的等量關(guān)系,代入后將方程變形,構(gòu)造函數(shù),并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,結(jié)合存在性問(wèn)題的求法,即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù),,由題意得,即,令,∴,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,而,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問(wèn)題的解法,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由已知可得?4Sn﹣n(n+3)=0,可得Sn,n=1時(shí),a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1.可得:2().利用裂項(xiàng)求和方法即可得出.【詳解】∵⊥,∴?4Sn﹣n(n+3)=0,∴Sn,n=1時(shí),a1=S1=1.當(dāng)n≥2時(shí),an=Sn﹣Sn﹣1.,滿足上式,.∴2().∴數(shù)列{}前2020項(xiàng)和為2(1)=2(1).故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系、數(shù)列遞推關(guān)系、裂項(xiàng)求和方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】
過(guò)點(diǎn)做,可得,,由可得,可得,代入可得答案.【詳解】解:如圖,過(guò)點(diǎn)做,易得:,,,故,可得:,同理:,,可得,,由,可得,可得:,可得:,,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算和平面向量的數(shù)量積,由題意作出是解題的關(guān)鍵.15、32π【解析】
設(shè)ED=a,根據(jù)勾股定理的逆定理可以通過(guò)計(jì)算可以證明出CE⊥ED.AM=x,根據(jù)三棱錐的體積公式,運(yùn)用基本不等式,可以求出AM的長(zhǎng)度,最后根據(jù)球的表面積公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)ED=a,則CDa.可得CE2+DE2=CD2,∴CE⊥ED.當(dāng)平面ABD⊥平面BCD時(shí),當(dāng)四面體C﹣EMN的體積才有可能取得最大值,設(shè)AM=x.則四面體C﹣EMN的體積(a﹣x)a×xax(a﹣x),當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號(hào).解得a=2.此時(shí)三棱錐A﹣BCD的外接球的表面積=4πa2=32π.故答案為:32π【點(diǎn)睛】本題考查了基本不等式的應(yīng)用,考查了球的表面積公式,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和空間想象能力.16、【解析】
基本事件總數(shù),恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源包含的基本事件個(gè)數(shù),由此能求出該市的任意5位申請(qǐng)人中,恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率.【詳解】解:某市公租房源位于、、三個(gè)小區(qū),每位申請(qǐng)人只能申請(qǐng)其中一個(gè)小區(qū)的房子,申請(qǐng)其中任意一個(gè)小區(qū)的房子是等可能的,該市的任意5位申請(qǐng)人中,基本事件總數(shù),該市的任意5位申請(qǐng)人中,恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源包含的基本事件個(gè)數(shù):,該市的任意5位申請(qǐng)人中,恰好有2人申請(qǐng)小區(qū)房源的概率是.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】
(1)利用,利用正弦定理,化簡(jiǎn)即可證明(2)利用(1),得到當(dāng)時(shí),,得出,得出,然后可得【詳解】證明:(1)據(jù)題意,得,∴,∴.又∵,∴,∴.解:(2)由(1)求解知,.∴當(dāng)時(shí),.又,∴,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查正弦與余弦定理的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題18、見(jiàn)解析【解析】
已知條件,需要證明的是,要想利用柯西不等式,需要的值,發(fā)現(xiàn),則可以用柯西不等式.【詳解】,.由柯西不等式得,...【點(diǎn)睛】本題考查柯西不等式的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1);(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)按分層抽樣得抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人,再利用古典概型求解即可(2)由超幾何分布求解即可【詳解】(1)因?yàn)閷W(xué)生總數(shù)為1000人,該年級(jí)分文、理科按男女用分層抽樣抽取10人,則抽取了理科男生4人,女生2人,文科男生1人,女生3人.所以.(2)的可能取值為0,1,2,3,,,,,的分布列為0123.【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣,考查超幾何分布及期望,考查運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題20、(1);(2)【解析】
(1)對(duì)函數(shù)求導(dǎo),運(yùn)用可求得的值,再由在直線上,可求得的值;(2)由已知可得恒成立,構(gòu)造函數(shù),對(duì)函數(shù)求導(dǎo),討論和0的大小關(guān)系,結(jié)合單調(diào)性求出最大值即可求得的范圍.【詳解】(1)由題得,因?yàn)樵邳c(diǎn)與相切所以,∴(2)由得,令,只需,設(shè)(),當(dāng)時(shí),,在時(shí)為增函數(shù),所以,舍;當(dāng)時(shí),開(kāi)口向上,對(duì)稱軸為,,所以在時(shí)為增函數(shù),所以,舍;當(dāng)時(shí),二次函數(shù)開(kāi)口向下,且,所以在時(shí)有一個(gè)零點(diǎn),在時(shí),在時(shí),①當(dāng)即時(shí),在小于零,所以在時(shí)為減函數(shù),所以,符合題意;②當(dāng)即時(shí),在大于零,所以在時(shí)為增函數(shù),所以,舍.綜上所述:實(shí)數(shù)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及函數(shù)的最小值,屬于中檔題.處理函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題時(shí),注意利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),特別是已知單調(diào)性問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為函數(shù)導(dǎo)數(shù)恒不小于零,或恒小于零,再分離參數(shù)求解,求函數(shù)最值時(shí)分析好單調(diào)性再求極值,從而求出函數(shù)最值.21、(1).(2)【解析】
(1)設(shè)A的坐標(biāo)為A(x0,y0),由題意可得圓心C的坐標(biāo),求出C到直線x=1的距離.由半個(gè)弦長(zhǎng),圓心到直線的距離及半徑構(gòu)成直角三角形可得p的值,進(jìn)而求出拋物線的方程;(2)將拋物線的方程與圓的方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理,進(jìn)而求出中點(diǎn)G的坐標(biāo),再求出直線OG的斜率的表達(dá)式,換元可得斜率的取值范圍.【詳解】(1)設(shè)A(x0,y0)且y02=2px0,則圓心C(),圓C的直徑|AB|,圓心C到直線x=1的距離d=|1|=||,因?yàn)閨MN|=2,所以()2+d2=()2,即1,y02=2px0,整理可得(2p﹣4)x0=0,所以p=2,所以拋物線的方程為:y2=4x;(2)聯(lián)立拋物線與圓的方程整理可得x2﹣2(5﹣p)x+16=0,△>0,設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),則x1+x2=2(5﹣p),x1x2=16,所以中點(diǎn)G的橫坐標(biāo)xG=5﹣p,yG(),所以kOG
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