云南省玉溪市江川縣2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

云南省玉溪市江川縣2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.若集合,,則A. B. C. D.2.三國時代吳國數(shù)學(xué)家趙爽所注《周髀算經(jīng)》中給出了勾股定理的絕妙證明.下面是趙爽的弦圖及注文,弦圖是一個以勾股形之弦為邊的正方形,其面積稱為弦實.圖中包含四個全等的勾股形及一個小正方形,分別涂成紅(朱)色及黃色,其面積稱為朱實、黃實,利用,化簡,得.設(shè)勾股形中勾股比為,若向弦圖內(nèi)隨機(jī)拋擲顆圖釘(大小忽略不計),則落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為()A. B. C. D.3.金庸先生的武俠小說《射雕英雄傳》第12回中有這樣一段情節(jié),“……洪七公道:肉只五種,但豬羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有幾般變化,我可算不出了”.現(xiàn)有五種不同的肉,任何兩種(含兩種)以上的肉混合后的滋味都不一樣,則混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為()A.20 B.24 C.25 D.264.“角谷猜想”的內(nèi)容是:對于任意一個大于1的整數(shù),如果為偶數(shù)就除以2,如果是奇數(shù),就將其乘3再加1,執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸入,則輸出的()A.6 B.7 C.8 D.95.已知命題p:“”是“”的充要條件;,,則()A.為真命題 B.為真命題C.為真命題 D.為假命題6.展開項中的常數(shù)項為A.1 B.11 C.-19 D.517.復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位),則等于()A.3 B.C.2 D.8.過雙曲線的右焦點F作雙曲線C的一條弦AB,且,若以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點,則雙曲線C的離心率為()A. B. C.2 D.9.設(shè)為的兩個零點,且的最小值為1,則()A. B. C. D.10.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為()A. B.C. D.11.已知正三棱錐的所有頂點都在球的球面上,其底面邊長為4,、、分別為側(cè)棱,,的中點.若在三棱錐內(nèi),且三棱錐的體積是三棱錐體積的4倍,則此外接球的體積與三棱錐體積的比值為()A. B. C. D.12.已知α,β是兩平面,l,m,n是三條不同的直線,則不正確命題是()A.若m⊥α,n//α,則m⊥n B.若m//α,n//α,則m//nC.若l⊥α,l//β,則α⊥β D.若α//β,lβ,且l//α,則l//β二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,則S10=_____.14.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),滿足,.,若是等比數(shù)列,數(shù)列的通項公式_______.15.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),則?_____,△ABC的面積為_____.16.已知(且)有最小值,且最小值不小于1,則的取值范圍為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知奇函數(shù)的定義域為,且當(dāng)時,.(1)求函數(shù)的解析式;(2)記函數(shù),若函數(shù)有3個零點,求實數(shù)的取值范圍.18.(12分)已知數(shù)列是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,其前項和為,滿足,且成等差數(shù)列.(1)求的通項公式;(2)若數(shù)列滿足,求的值.19.(12分)已知橢圓的左右焦點分別為,焦距為4,且橢圓過點,過點且不平行于坐標(biāo)軸的直線交橢圓與兩點,點關(guān)于軸的對稱點為,直線交軸于點.(1)求的周長;(2)求面積的最大值.20.(12分)已知函數(shù),.(1)求證:在區(qū)間上有且僅有一個零點,且;(2)若當(dāng)時,不等式恒成立,求證:.21.(12分)記拋物線的焦點為,點在拋物線上,且直線的斜率為1,當(dāng)直線過點時,.(1)求拋物線的方程;(2)若,直線與交于點,,求直線的斜率.22.(10分)已知數(shù)列是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,,且,,成等差數(shù)列.(Ⅰ)求數(shù)列的通項公式;(Ⅱ)設(shè),為數(shù)列的前項和,記,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

解一元次二次不等式得或,利用集合的交集運算求得.【詳解】因為或,,所以,故選C.【點睛】本題考查集合的交運算,屬于容易題.2、A【解析】分析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,利用幾何概型得出圖釘落在小正方形內(nèi)的概率即可得出結(jié)論.解析:設(shè)三角形的直角邊分別為1,,則弦為2,故而大正方形的面積為4,小正方形的面積為.圖釘落在黃色圖形內(nèi)的概率為.落在黃色圖形內(nèi)的圖釘數(shù)大約為.故選:A.點睛:應(yīng)用幾何概型求概率的方法建立相應(yīng)的幾何概型,將試驗構(gòu)成的總區(qū)域和所求事件構(gòu)成的區(qū)域轉(zhuǎn)化為幾何圖形,并加以度量.(1)一般地,一個連續(xù)變量可建立與長度有關(guān)的幾何概型,只需把這個變量放在數(shù)軸上即可;(2)若一個隨機(jī)事件需要用兩個變量來描述,則可用這兩個變量的有序?qū)崝?shù)對來表示它的基本事件,然后利用平面直角坐標(biāo)系就能順利地建立與面積有關(guān)的幾何概型;(3)若一個隨機(jī)事件需要用三個連續(xù)變量來描述,則可用這三個變量組成的有序數(shù)組來表示基本事件,利用空間直角坐標(biāo)系即可建立與體積有關(guān)的幾何概型.3、D【解析】

利用組合的意義可得混合后所有不同的滋味種數(shù)為,再利用組合數(shù)的計算公式可得所求的種數(shù).【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數(shù)為(種),故選:D.【點睛】本題考查組合的應(yīng)用,此類問題注意實際問題的合理轉(zhuǎn)化,本題屬于容易題.4、B【解析】

模擬程序運行,觀察變量值可得結(jié)論.【詳解】循環(huán)前,循環(huán)時:,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,不滿足條件;,滿足條件,退出循環(huán),輸出.故選:B.【點睛】本題考查程序框圖,考查循環(huán)結(jié)構(gòu),解題時可模擬程序運行,觀察變量值,從而得出結(jié)論.5、B【解析】

由的單調(diào)性,可判斷p是真命題;分類討論打開絕對值,可得q是假命題,依次分析即得解【詳解】由函數(shù)是R上的增函數(shù),知命題p是真命題.對于命題q,當(dāng),即時,;當(dāng),即時,,由,得,無解,因此命題q是假命題.所以為假命題,A錯誤;為真命題,B正確;為假命題,C錯誤;為真命題,D錯誤.故選:B【點睛】本題考查了命題的邏輯連接詞,考查了學(xué)生邏輯推理,分類討論,數(shù)學(xué)運算的能力,屬于中檔題.6、B【解析】

展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數(shù)項,有3種情況:(1)5個括號都出1,即;(2)兩個括號出,兩個括號出,一個括號出1,即;(3)一個括號出,一個括號出,三個括號出1,即;所以展開項中的常數(shù)項為,故選B.【點睛】本題考查二項式定理知識的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.7、D【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡,從而求得,然后直接利用復(fù)數(shù)模的公式求解.【詳解】,所以,,故選:D.【點睛】該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)的問題,涉及到的知識點有復(fù)數(shù)的乘除運算,復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)的模,屬于基礎(chǔ)題目.8、C【解析】

由得F是弦AB的中點.進(jìn)而得AB垂直于x軸,得,再結(jié)合關(guān)系求解即可【詳解】因為,所以F是弦AB的中點.且AB垂直于x軸.因為以AB為直徑的圓經(jīng)過雙曲線C的左頂點,所以,即,則,故.故選:C【點睛】本題是對雙曲線的漸近線以及離心率的綜合考查,是考查基本知識,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】

先化簡已知得,再根據(jù)題意得出f(x)的最小值正周期T為1×2,再求出ω的值.【詳解】由題得,設(shè)x1,x2為f(x)=2sin(ωx﹣)(ω>0)的兩個零點,且的最小值為1,∴=1,解得T=2;∴=2,解得ω=π.故選A.【點睛】本題考查了三角恒等變換和三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題.10、A【解析】

根據(jù)題意,可得幾何體,利用體積計算即可.【詳解】由題意,該幾何體如圖所示:該幾何體的體積.故選:A.【點睛】本題考查了常見幾何體的三視圖和體積計算,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面,計算,由勾股定理解得,此外接球的體積為,三棱錐體積為,得到答案.【詳解】如圖,平面截球所得截面的圖形為圓面.正三棱錐中,過作底面的垂線,垂足為,與平面交點記為,連接、.依題意,所以,設(shè)球的半徑為,在中,,,,由勾股定理:,解得,此外接球的體積為,由于平面平面,所以平面,球心到平面的距離為,則,所以三棱錐體積為,所以此外接球的體積與三棱錐體積比值為.故選:D.【點睛】本題考查了三棱錐的外接球問題,三棱錐體積,球體積,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.12、B【解析】

根據(jù)線面平行、線面垂直和空間角的知識,判斷A選項的正確性.由線面平行有關(guān)知識判斷B選項的正確性.根據(jù)面面垂直的判定定理,判斷C選項的正確性.根據(jù)面面平行的性質(zhì)判斷D選項的正確性.【詳解】A.若,則在中存在一條直線,使得,則,又,那么,故正確;B.若,則或相交或異面,故不正確;C.若,則存在,使,又,則,故正確.D.若,且,則或,又由,故正確.故選:B【點睛】本小題主要考查空間線線、線面和面面有關(guān)命題真假性的判斷,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、55【解析】

由求出.由,可得,兩式相減,可得數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,即求.【詳解】由題意,當(dāng)n=1時,,當(dāng)時,由,可得,兩式相減,可得,整理得,,即,∴數(shù)列是以1為首項,1為公差的等差數(shù)列,.故答案為:55.【點睛】本題考查求數(shù)列的前項和,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

利用遞推關(guān)系,等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為,所以,因為是等比數(shù)列,所以數(shù)列的公比為1.又,所以當(dāng)時,有.這說明在已知條件下,可以得到唯一的等比數(shù)列,所以,故答案為:.【點睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題,涉及到的知識點有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項公式,屬于簡單題目.15、【解析】

①根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示結(jié)合兩角差的正弦公式的逆用即可得解;②結(jié)合①求出,根據(jù)面積公式即可得解.【詳解】①2(sin32°?cos77°﹣cos32°?sin77°),②,,∴,∴.故答案為:.【點睛】此題考查平面向量與三角函數(shù)解三角形綜合應(yīng)用,涉及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示,三角恒等變換,根據(jù)三角形面積公式求解三角形面積,綜合性強(qiáng).16、【解析】

真數(shù)有最小值,根據(jù)已知可得的范圍,求出函數(shù)的最小值,建立關(guān)于的不等量關(guān)系,求解即可.【詳解】,且(且)有最小值,,的取值范圍為.故答案為:.【點睛】本題考查對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)奇函數(shù)定義,可知;令則,結(jié)合奇函數(shù)定義即可求得時的解析式,進(jìn)而得函數(shù)的解析式;(2)根據(jù)零點定義,可得,由函數(shù)圖像分析可知曲線與直線在第三象限必1個交點,因而需在第一象限有2個交點,將與聯(lián)立,由判別式及兩根之和大于0,即可求得的取值范圍.【詳解】(1)因為函數(shù)為奇函數(shù),且,故;當(dāng)時,,,則;故.(2)令,解得,畫出函數(shù)關(guān)系如下圖所示,要使曲線與直線有3個交點,則2個交點在第一象限,1個交點在第三象限,聯(lián)立,化簡可得,令,即,解得,所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)奇偶性求解析式,分段函數(shù)圖像畫法,由函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍應(yīng)用,數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】

(1)由公比表示出,由成等差數(shù)列可求得,從而數(shù)列的通項公式;(2)求(1)得,然后對和式兩兩并項后利用等差數(shù)列的前項和公式可求解.【詳解】(1)∵是等比數(shù)列,且成等差數(shù)列∴,即∴,解得:或∵,∴∵∴(2)∵∴【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式,考查并項求和法及等差數(shù)列的項和公式.本題求數(shù)列通項公式所用方法為基本量法,求和是用并項求和法.?dāng)?shù)列的求和除公式法外,還有錯位相關(guān)法、裂項相消法、分組(并項)求和法等等.19、(1)12(2)【解析】

(1)根據(jù)焦距得焦點坐標(biāo),結(jié)合橢圓上的點的坐標(biāo),根據(jù)定義;(2)求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,設(shè),聯(lián)立直線和橢圓,結(jié)合韋達(dá)定理表示出面積,即可求解最大值.【詳解】(1)設(shè)橢園的焦距為,則,故.則橢圓過點,由橢圓定義知:,故,因此,的周長;(2)由(1)知:,橢圓方程為:設(shè),則,,,,,當(dāng)且僅當(dāng)在短軸頂點處取等,故面積的最大值為.【點睛】此題考查根據(jù)橢圓的焦點和橢圓上的點的坐標(biāo)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,根據(jù)直線與橢圓的交點關(guān)系求三角形面積的最值,涉及韋達(dá)定理的使用,綜合性強(qiáng),計算量大.20、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】

(1)利用求導(dǎo)數(shù),判斷在區(qū)間上的單調(diào)性,然后再證異號,即可證明結(jié)論;(2)當(dāng)時,不等式恒成立,分離參數(shù)只需時,恒成立,設(shè)(),需,根據(jù)(1)中的結(jié)論先求出,再構(gòu)造函數(shù)結(jié)合導(dǎo)數(shù)法,證明即可.【詳解】(1),令,則,所以在區(qū)間上是增函數(shù),則,所以在區(qū)間上是增函數(shù).又因為,,所以在區(qū)間上有且僅有一個零點,且.(2)由題意,在區(qū)間上恒成立,即在區(qū)間上恒成立,當(dāng)時,;當(dāng)時,恒成立,設(shè)(),所以.由(1)可知,,使,所以,當(dāng)時,,當(dāng)時,,由此在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以.又因為,所以,從而,所以.令,,則,所以

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