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文檔簡介
青海省海東市2025屆高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,則的值為()A. B. C. D.2.如圖,在矩形中的曲線分別是,的一部分,,,在矩形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),若此點(diǎn)取自陰影部分的概率為,取自非陰影部分的概率為,則()A. B. C. D.大小關(guān)系不能確定3.已知是函數(shù)圖象上的一點(diǎn),過作圓的兩條切線,切點(diǎn)分別為,則的最小值為()A. B. C.0 D.4.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.5.函數(shù)的最小正周期是,則其圖象向左平移個(gè)單位長度后得到的函數(shù)的一條對稱軸是()A. B. C. D.6.關(guān)于函數(shù),有下列三個(gè)結(jié)論:①是的一個(gè)周期;②在上單調(diào)遞增;③的值域?yàn)?則上述結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)為()A. B. C. D.7.已知拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,是上一點(diǎn),是直線與拋物線的一個(gè)交點(diǎn),若,則()A. B.3 C. D.28.2019年末,武漢出現(xiàn)新型冠狀病毒肺炎()疫情,并快速席卷我國其他地區(qū),傳播速度很快.因這種病毒是以前從未在人體中發(fā)現(xiàn)的冠狀病毒新毒株,所以目前沒有特異治療方法,防控難度很大.武漢市出現(xiàn)疫情最早,感染人員最多,防控壓力最大,武漢市從2月7日起舉全市之力入戶上門排查確診的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、無法明確排除新冠肺炎的發(fā)熱患者和與確診患者的密切接觸者等“四類”人員,強(qiáng)化網(wǎng)格化管理,不落一戶、不漏一人.在排查期間,一戶6口之家被確認(rèn)為“與確診患者的密切接觸者”,這種情況下醫(yī)護(hù)人員要對其家庭成員隨機(jī)地逐一進(jìn)行“核糖核酸”檢測,若出現(xiàn)陽性,則該家庭為“感染高危戶”.設(shè)該家庭每個(gè)成員檢測呈陽性的概率均為()且相互獨(dú)立,該家庭至少檢測了5個(gè)人才能確定為“感染高危戶”的概率為,當(dāng)時(shí),最大,則()A. B. C. D.9.已知,若則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.10.函數(shù)()的圖像可以是()A. B.C. D.11.如圖,圓的半徑為,,是圓上的定點(diǎn),,是圓上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為,角的始邊為射線,終邊為射線,將表示為的函數(shù),則在上的圖像大致為()A. B. C. D.12.已知拋物線經(jīng)過點(diǎn),焦點(diǎn)為,則直線的斜率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在中,,點(diǎn)是邊的中點(diǎn),則__________,________.14.已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,則=_______.15.命題“”的否定是______.16.已知雙曲線-=1(a>0,b>0)與拋物線y2=8x有一個(gè)共同的焦點(diǎn)F,兩曲線的一個(gè)交點(diǎn)為P,若|FP|=5,則點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)某早餐店對一款新口味的酸奶進(jìn)行了一段時(shí)間試銷,定價(jià)為元/瓶.酸奶在試銷售期間足量供應(yīng),每天的銷售數(shù)據(jù)按照,,,分組,得到如下頻率分布直方圖,以不同銷量的頻率估計(jì)概率.從試銷售期間任選三天,求其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶的概率;試銷結(jié)束后,這款酸奶正式上市,廠家只提供整箱批發(fā):大箱每箱瓶,批發(fā)成本元;小箱每箱瓶,批發(fā)成本元.由于酸奶保質(zhì)期短,當(dāng)天未賣出的只能作廢.該早餐店以試銷售期間的銷量作為參考,決定每天僅批發(fā)一箱(計(jì)算時(shí)每個(gè)分組取中間值作為代表,比如銷量為時(shí)看作銷量為瓶).①設(shè)早餐店批發(fā)一大箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機(jī)變量,批發(fā)一小箱時(shí),當(dāng)天這款酸奶的利潤為隨機(jī)變量,求和的分布列和數(shù)學(xué)期望;②以利潤作為決策依據(jù),該早餐店應(yīng)每天批發(fā)一大箱還是一小箱?注:銷售額=銷量×定價(jià);利潤=銷售額-批發(fā)成本.18.(12分)已知,(其中).(1)求;(2)求證:當(dāng)時(shí),.19.(12分)如圖,在四棱錐中,平面平面,.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若銳二面角的余弦值為,求直線與平面所成的角.20.(12分)古人云:“腹有詩書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀,建設(shè)書香中國,校園讀書活動(dòng)的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計(jì)學(xué)生一周課外讀書的時(shí)間,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)査,統(tǒng)計(jì)了他們一周課外讀書時(shí)間(單位:)的數(shù)據(jù)如下:一周課外讀書時(shí)間/合計(jì)頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù),求,,的值并估算一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù).(2)如果讀書時(shí)間按,,分組,用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù);②若從,中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人,求這2人不在同一層的概率.21.(12分)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.22.(10分)在三角形ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若,角為鈍角,(1)求的值;(2)求邊的長.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
求得等比數(shù)列的公比,然后利用等比數(shù)列的求和公式可求得的值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為,,,,因此,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用,解答的關(guān)鍵就是求出等比數(shù)列的公比,考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
先用定積分求得陰影部分一半的面積,再根據(jù)幾何概型概率公式可求得.【詳解】根據(jù)題意,陰影部分的面積的一半為:,于是此點(diǎn)取自陰影部分的概率為.又,故.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概型,定積分的計(jì)算以及幾何意義,屬于中檔題.3、C【解析】
先畫出函數(shù)圖像和圓,可知,若設(shè),則,所以,而要求的最小值,只要取得最大值,若設(shè)圓的圓心為,則,所以只要取得最小值,若設(shè),則,然后構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求其最小值即可.【詳解】記圓的圓心為,設(shè),則,設(shè),記,則,令,因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,且,所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,則在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,即,所以(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立).故選:C【點(diǎn)睛】此題考查的是兩個(gè)向量的數(shù)量積的最小值,利用了導(dǎo)數(shù)求解,考查了轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力,屬于難題.4、A【解析】
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意得圓心為,的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,,又,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,化簡整理得,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,建立方程組,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
由三角函數(shù)的周期可得,由函數(shù)圖像的變換可得,平移后得到函數(shù)解析式為,再求其對稱軸方程即可.【詳解】解:函數(shù)的最小正周期是,則函數(shù),經(jīng)過平移后得到函數(shù)解析式為,由,得,當(dāng)時(shí),.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦函數(shù)圖像的性質(zhì)及函數(shù)圖像的平移變換,屬基礎(chǔ)題.6、B【解析】
利用三角函數(shù)的性質(zhì),逐個(gè)判斷即可求出.【詳解】①因?yàn)?,所以是的一個(gè)周期,①正確;②因?yàn)?,,所以在上不單調(diào)遞增,②錯(cuò)誤;③因?yàn)椋允桥己瘮?shù),又是的一個(gè)周期,所以可以只考慮時(shí),的值域.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,所以,的值域?yàn)椋坼e(cuò)誤;綜上,正確的個(gè)數(shù)只有一個(gè),故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用.7、D【解析】
根據(jù)拋物線的定義求得,由此求得的長.【詳解】過作,垂足為,設(shè)與軸的交點(diǎn)為.根據(jù)拋物線的定義可知.由于,所以,所以,所以,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)題意分別求出事件A:檢測5個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率和事件B:檢測6個(gè)人確定為“感染高危戶”發(fā)生的概率,即可得出的表達(dá)式,再根據(jù)基本不等式即可求出.【詳解】設(shè)事件A:檢測5個(gè)人確定為“感染高危戶”,事件B:檢測6個(gè)人確定為“感染高危戶”,∴,.即設(shè),則∴當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取等號(hào),即.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查概率的計(jì)算,涉及相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式的應(yīng)用,互斥事件概率加法公式的應(yīng)用,以及基本不等式的應(yīng)用,解題關(guān)鍵是對題意的理解和事件的分解,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)建模能力,屬于較難題.9、C【解析】
根據(jù),得到有解,則,得,,得到,再根據(jù),有,即,可化為,根據(jù),則的解集包含求解,【詳解】因?yàn)?,所以有解,即有解,所以,得,,所以,又因?yàn)?,所以,即,可化為,因?yàn)?,所以的解集包含,所以或,解得,故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法及集合的關(guān)系的應(yīng)用,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,10、B【解析】
根據(jù),可排除,然后采用導(dǎo)數(shù),判斷原函數(shù)的單調(diào)性,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:,所以當(dāng)時(shí),,又,令,則令,則所以函數(shù)在單調(diào)遞減在單調(diào)遞增,故選:B【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖像,可從以下指標(biāo)進(jìn)行觀察:(1)定義域;(2)奇偶性;(3)特殊值;(4)單調(diào)性;(5)值域,屬基礎(chǔ)題.11、B【解析】
根據(jù)圖象分析變化過程中在關(guān)鍵位置及部分區(qū)域,即可排除錯(cuò)誤選項(xiàng),得到函數(shù)圖象,即可求解.【詳解】由題意,當(dāng)時(shí),P與A重合,則與B重合,所以,故排除C,D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,由圖象可知選B.故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),正確表示函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵,屬于中檔題.12、A【解析】
先求出,再求焦點(diǎn)坐標(biāo),最后求的斜率【詳解】解:拋物線經(jīng)過點(diǎn),,,,故選:A【點(diǎn)睛】考查拋物線的基礎(chǔ)知識(shí)及斜率的運(yùn)算公式,基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2【解析】
根據(jù)正弦定理直接求出,利用三角形的邊表示向量,然后利用向量的數(shù)量積求解即可.【詳解】中,,,可得因?yàn)辄c(diǎn)是邊的中點(diǎn),所以故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的解法,向量的數(shù)量積的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】
利用求出公差,結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求.【詳解】設(shè)公差為,因?yàn)?,所以,?所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求解,利用等差數(shù)列的基本量是求解這類問題的通性通法,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15、,【解析】
根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題得到結(jié)果即可.【詳解】解:因?yàn)樘胤Q命題的否定是全稱命題,所以,命題,則該命題的否定是:,故答案為:,.【點(diǎn)睛】本題考查全稱命題與特稱命題的否定關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
設(shè)點(diǎn)為,由拋物線定義知,,求出點(diǎn)P坐標(biāo)代入雙曲線方程得到的關(guān)系式,求出雙曲線的漸近線方程,利用點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【詳解】由題意得F(2,0),因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線y2=8x上,|FP|=5,設(shè)點(diǎn)為,由拋物線定義知,,解得,不妨取P(3,2),代入雙曲線-=1,得-=1,又因?yàn)閍2+b2=4,解得a=1,b=,因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,所以雙曲線的漸近線為y=±x,由點(diǎn)到直線的距離公式可得,點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線和拋物線方程及其幾何性質(zhì);考查運(yùn)算求解能力和知識(shí)遷移能力;靈活運(yùn)用雙曲線和拋物線的性質(zhì)是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、??碱}型.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、;①詳見解析;②應(yīng)該批發(fā)一大箱.【解析】
酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為,設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.利用對立事件概率公式求解即可.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況,分別求出相應(yīng)概率,列出分布列,求出的數(shù)學(xué)期望,若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況,分別求出相應(yīng)概率,由此求出的分布列和數(shù)學(xué)期望;②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果,,從而早餐應(yīng)該批發(fā)一大箱.【詳解】解:根據(jù)圖中數(shù)據(jù),酸奶每天銷量大于瓶的概率為,不大于瓶的概率為.設(shè)“試銷售期間任選三天,其中至少有一天的酸奶銷量大于瓶”為事件,則表示“這三天酸奶的銷量都不大于瓶”.所以.①若早餐店批發(fā)一大箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,,,四種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元.隨機(jī)變量的分布列為所以(元)若早餐店批發(fā)一小箱,批發(fā)成本為元,依題意,銷量有,兩種情況.當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元;當(dāng)銷量為瓶時(shí),利潤為元.隨機(jī)變量的分布列為所以(元).②根據(jù)①中的計(jì)算結(jié)果,,所以早餐店應(yīng)該批發(fā)一大箱.【點(diǎn)睛】本題考查概率,離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法,考查古典概型、對立事件概率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí),屬于中檔題.18、(1)(2)見解析【解析】
(1)取,則;取,則,∴;(2)要證,只需證,當(dāng)時(shí),;假設(shè)當(dāng)時(shí),結(jié)論成立,即,兩邊同乘以3得:而∴,即時(shí)結(jié)論也成立,∴當(dāng)時(shí),成立.綜上原不等式獲證.19、(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由余弦定理解得,即可得到,由面面垂直的性質(zhì)可得平面,即可得到,從而得證;(Ⅱ)在平面中,過點(diǎn)作于點(diǎn),則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,利用空間向量法得到二面角的余弦,即可得到的關(guān)系,從而得解;【詳解】解:(Ⅰ)證明:在中,,解得,則,從而因?yàn)槠矫嫫矫?,平面平面所以平面,又因?yàn)槠矫?,所以,因?yàn)?,,平面,平面,所以平面;(Ⅱ)解:在平面中,過點(diǎn)作于點(diǎn),則平面,如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),其中,則設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則又平面的一個(gè)法向量,則從而,故則直線與平面所成的角為,大小為.【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的判定,面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,利用空間向量法解決立體幾何問題,屬于中檔題.20、(1),,,中位數(shù);(2)①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13;②【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì),即可求得,得到,,再結(jié)合中位數(shù)的計(jì)算方法,即可求解.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,根據(jù)抽樣比,求得在三層中抽取的人數(shù);②由①知,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,利用列舉法得到基本事件的總數(shù),利用古典概型的概率計(jì)算公式,即可求解.【詳解】(1)由題意,可得,所以,.設(shè)一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)為小時(shí),則,解得,即一周課外讀書時(shí)間的中位數(shù)約為小時(shí).(2)①由題意知用分層抽樣的方法從
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