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浙江教育綠色評價聯(lián)盟2025屆高考壓軸卷數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.2.如圖1,《九章算術(shù)》中記載了一個“折竹抵地”問題:今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問折者高幾何?意思是:有一根竹子,原高一丈(1丈=10尺),現(xiàn)被風(fēng)折斷,尖端落在地上,竹尖與竹根的距離三尺,問折斷處離地面的高為()尺.A. B. C. D.3.不等式的解集記為,有下面四個命題:;;;.其中的真命題是()A. B. C. D.4.已知、分別為雙曲線:(,)的左、右焦點,過的直線交于、兩點,為坐標(biāo)原點,若,,則的離心率為()A.2 B. C. D.5.某工廠利用隨機數(shù)表示對生產(chǎn)的600個零件進行抽樣測試,先將600個零件進行編號,編號分別為001,002,……,599,600.從中抽取60個樣本,下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行:若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),則得到的第6個樣本編號是()A.324 B.522 C.535 D.5786.已知復(fù)數(shù)滿足(是虛數(shù)單位),則=()A. B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)滿足,則()A. B. C. D.8.已知集合A={x|x<1},B={x|},則A. B.C. D.9.已知是雙曲線的左右焦點,過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點(A在右支,B在左支)若為等邊三角形,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.10.為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng),對課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進行指標(biāo)測驗(指標(biāo)值滿分為5分,分值高者為優(yōu)),根據(jù)測驗情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖,則下面敘述正確的是()A.乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B.乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C.甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D.甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差11.已知復(fù)數(shù),則的虛部為()A.-1 B. C.1 D.12.已知為等比數(shù)列,,,則()A.9 B.-9 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的定義域是____________.(寫成區(qū)間的形式)14.某校為了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況,采用分層抽樣的方法從高一人、高二人、高三人中,抽取人進行問卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為,那么高三被抽取的人數(shù)為_______.15.平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點,己知A(3,1),B(-1,3),若點C滿足,其中α,β∈R,且α+β=1,則點C的軌跡方程為16.已知集合,則_______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)將棱長為的正方體截去三棱錐后得到如圖所示幾何體,為的中點.(1)求證:平面;(2)求二面角的正弦值.18.(12分)選修4-5:不等式選講已知函數(shù).(1)設(shè),求不等式的解集;(2)已知,且的最小值等于,求實數(shù)的值.19.(12分)正項數(shù)列的前n項和Sn滿足:(1)求數(shù)列的通項公式;(2)令,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,證明:對于任意的n∈N*,都有Tn<.20.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時,解關(guān)于x的不等式;(2)當(dāng)時,若對任意實數(shù),都成立,求實數(shù)的取值范圍.21.(12分)設(shè)橢圓,直線經(jīng)過點,直線經(jīng)過點,直線直線,且直線分別與橢圓相交于兩點和兩點.(Ⅰ)若分別為橢圓的左、右焦點,且直線軸,求四邊形的面積;(Ⅱ)若直線的斜率存在且不為0,四邊形為平行四邊形,求證:;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,判斷四邊形能否為矩形,說明理由.22.(10分)已知,.(1)解不等式;(2)若方程有三個解,求實數(shù)的取值范圍.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由的近似值即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,所以是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點成中心對稱,排除選項C.又排除選項D;,排除選項A,故選B.【點睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性,縮小考察范圍,通過計算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本題較易,注重了基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查.2、B【解析】如圖,已知,,
∴,解得
,∴,解得
.∴折斷后的竹干高為4.55尺故選B.3、A【解析】
作出不等式組表示的可行域,然后對四個選項一一分析可得結(jié)果.【詳解】作出可行域如圖所示,當(dāng)時,,即的取值范圍為,所以為真命題;為真命題;為假命題.故選:A【點睛】此題考查命題的真假判斷與應(yīng)用,著重考查作圖能力,熟練作圖,正確分析是關(guān)鍵,屬于中檔題.4、D【解析】
作出圖象,取AB中點E,連接EF2,設(shè)F1A=x,根據(jù)雙曲線定義可得x=2a,再由勾股定理可得到c2=7a2,進而得到e的值【詳解】解:取AB中點E,連接EF2,則由已知可得BF1⊥EF2,F(xiàn)1A=AE=EB,設(shè)F1A=x,則由雙曲線定義可得AF2=2a+x,BF1﹣BF2=3x﹣2a﹣x=2a,所以x=2a,則EF2=2a,由勾股定理可得(4a)2+(2a)2=(2c)2,所以c2=7a2,則e故選:D.【點睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用,考查離心率的求法,數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.對于圓錐曲線中求離心率的問題,關(guān)鍵是列出含有中兩個量的方程,有時還要結(jié)合橢圓、雙曲線的定義對方程進行整理,從而求出離心率.5、D【解析】
因為要對600個零件進行編號,所以編號必須是三位數(shù),因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),大于600的,重復(fù)出現(xiàn)的舍去,直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù),編號內(nèi)的數(shù)據(jù)依次為:,因為535重復(fù)出現(xiàn),所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為,故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應(yīng)用,正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關(guān)鍵.6、A【解析】
把已知等式變形,再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算化簡得答案.【詳解】解:由,得,.故選.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算,考查復(fù)數(shù)的基本概念,是基礎(chǔ)題.7、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的運算法則,可得,然后利用復(fù)數(shù)模的概念,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:由,所以所以故選:A【點睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運算,考驗計算,屬基礎(chǔ)題.8、A【解析】∵集合∴∵集合∴,故選A9、D【解析】
根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為,然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式,從而求得離心率.【詳解】由題意,,又,∴,∴,在中,即,∴.故選:D.【點睛】本題考查求雙曲線的離心率,解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示,然后用余弦定理建立關(guān)系式.10、C【解析】
根據(jù)題目所給圖像,填寫好表格,由表格數(shù)據(jù)選出正確選項.【詳解】根據(jù)雷達(dá)圖得到如下數(shù)據(jù):數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【點睛】本題考查統(tǒng)計問題,考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識.11、A【解析】
分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】,故的虛部為.故選:A.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運算,考查學(xué)生運算能力,是一道容易題.12、C【解析】
根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)可求出,便可得出等比數(shù)列的公比,再根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)即可求出.【詳解】∵,∴,又,可解得或設(shè)等比數(shù)列的公比為,則當(dāng)時,,∴;當(dāng)時,,∴.故選:C.【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用,意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
要使函數(shù)有意義,需滿足,即,解得,故函數(shù)的定義域是.14、【解析】由分層抽樣的知識可得,即,所以高三被抽取的人數(shù)為,應(yīng)填答案.15、【解析】
根據(jù)向量共線定理得A,B,C三點共線,再根據(jù)點斜式得結(jié)果【詳解】因為,且α+β=1,所以A,B,C三點共線,因此點C的軌跡為直線AB:【點睛】本題考查向量共線定理以及直線點斜式方程,考查基本分析求解能力,屬中檔題.16、【解析】
由可得集合是奇數(shù)集,由此可以得出結(jié)果.【詳解】解:因為所以集合中的元素為奇數(shù),所以.【點睛】本題考查了集合的交集,解析出集合B中元素的性質(zhì)是本題解題的關(guān)鍵.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2).【解析】
(1)取的中點,連接、,連接,證明出四邊形為平行四邊形,可得出,然后利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論;(2)以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系,利用空間向量法可求得二面角的余弦值,進而可求得其正弦值.【詳解】(1)取中點,連接、、,且,四邊形為平行四邊形,且,、分別為、中點,且,則四邊形為平行四邊形,且,且,且,所以,四邊形為平行四邊形,且,四邊形為平行四邊形,,平面,平面,平面;(2)以點為坐標(biāo)原點,、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則、、、,,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,取,則,,,設(shè)平面的法向量為,由,得,取,則,,,,,因此,二面角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明,同時也考查了利用空間向量法求解二面角,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.18、(1)(2)【解析】
(1)把f(x)去絕對值寫成分段函數(shù)的形式,分類討論,分別求得解集,綜合可得結(jié)論.(2)把f(x)去絕對值寫成分段函數(shù),畫出f(x)的圖像,找出利用條件求得a的值.【詳解】(1)時,.當(dāng)時,即為,解得.當(dāng)時,,解得.當(dāng)時,,解得.綜上,的解集為.(2).,由的圖象知,,.【點睛】本題主要考查含絕對值不等式的解法及含絕對值的函數(shù)的最值問題,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想,屬于中檔題19、(1)(2)見解析【解析】
(1)因為數(shù)列的前項和滿足:,所以當(dāng)時,,即解得或,因為數(shù)列都是正項,所以,因為,所以,解得或,因為數(shù)列都是正項,所以,當(dāng)時,有,所以,解得,當(dāng)時,,符合所以數(shù)列的通項公式,;(2)因為,所以,所以數(shù)列的前項和為:,當(dāng)時,有,所以,所以對于任意,數(shù)列的前項和.20、(1)(2)【解析】
(1)當(dāng)時,利用含有一個絕對值不等式的解法,求得不等式的解集.(2)對分成和兩類,利用零點分段法去絕對值,將表示為分段函數(shù)的形式,求得的最小值,進而求得的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,由得由得解:,得∴當(dāng)時,關(guān)于的不等式的解集為(2)①當(dāng)時,,所以在上是減函數(shù),在是增函數(shù),所以,由題設(shè)得,解得.②當(dāng)時,同理求得.綜上所述,的取值范圍為.【點睛】本小題主要考查含有一個絕對值不等式的求法,考查利用零點分段法解含有兩個絕對值的不等式,屬于中檔題.21、(Ⅰ);(Ⅱ)證明見解析;(Ⅲ)不能,證明見解析【解析】
(Ⅰ)計算得到故,,,,計算得到面積.(Ⅱ)設(shè)為,聯(lián)立方程得到,計算,同理,根據(jù)得到,得到證明.(Ⅲ)設(shè)中點為,根據(jù)點差法得到,同理,故,得到結(jié)論.【詳解】(Ⅰ),,故,,,.故四邊形的面積為.(Ⅱ)設(shè)為,則,故,設(shè),,故,,同理可得,,故,即,,故.(Ⅲ)設(shè)中點為,則,,相減得到,即,同理可得:的中點,滿足,故,故四邊形不能為矩形.【點睛】本題考查了橢圓內(nèi)四邊形的面積,形狀,根據(jù)四邊形形狀求參數(shù),意在考查學(xué)生的計算能力和綜合應(yīng)用能力.22、(1);(2).【解析】
(1)對分三種情況討論,分別去掉絕對值符號,然后求解不等式組,再求并集即可得結(jié)果;(2).作出函數(shù)的圖象
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