2025屆福建省漳州市東山第二中學高三第二次調(diào)研數(shù)學試卷含解析_第1頁
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2025屆福建省漳州市東山第二中學高三第二次調(diào)研數(shù)學試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,則,,的大小關系為()A. B.C. D.2.已知雙曲線的左、右頂點分別為,點是雙曲線上與不重合的動點,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C.4 D.23.集合的子集的個數(shù)是()A.2 B.3 C.4 D.84.已知函數(shù),,其中為自然對數(shù)的底數(shù),若存在實數(shù),使成立,則實數(shù)的值為()A. B. C. D.5.已知不同直線、與不同平面、,且,,則下列說法中正確的是()A.若,則 B.若,則C.若,則 D.若,則6.某個命題與自然數(shù)有關,且已證得“假設時該命題成立,則時該命題也成立”.現(xiàn)已知當時,該命題不成立,那么()A.當時,該命題不成立 B.當時,該命題成立C.當時,該命題不成立 D.當時,該命題成立7.如圖,在平面四邊形中,滿足,且,沿著把折起,使點到達點的位置,且使,則三棱錐體積的最大值為()A.12 B. C. D.8.已知,則()A. B. C. D.9.國務院發(fā)布《關于進一步調(diào)整優(yōu)化結構、提高教育經(jīng)費使用效益的意見》中提出,要優(yōu)先落實教育投入.某研究機構統(tǒng)計了年至年國家財政性教育經(jīng)費投入情況及其在中的占比數(shù)據(jù),并將其繪制成下表,由下表可知下列敘述錯誤的是()A.隨著文化教育重視程度的不斷提高,國在財政性教育經(jīng)費的支出持續(xù)增長B.年以來,國家財政性教育經(jīng)費的支出占比例持續(xù)年保持在以上C.從年至年,中國的總值最少增加萬億D.從年到年,國家財政性教育經(jīng)費的支出增長最多的年份是年10.函數(shù)的一個零點在區(qū)間內(nèi),則實數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知函數(shù)有兩個不同的極值點,,若不等式有解,則的取值范圍是()A. B.C. D.12.設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,下列命題中正確的是()A.若,,則 B.若,,則C.若,,則 D.若,,則二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),曲線與直線相交,若存在相鄰兩個交點間的距離為,則可取到的最大值為__________.14.在平面直角坐標系中,雙曲線的右準線與漸近線的交點在拋物線上,則實數(shù)的值為________.15.在中,內(nèi)角的對邊長分別為,已知,且,則_________.16.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中,,且,成等差數(shù)列,則___________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知是各項都為正數(shù)的數(shù)列,其前項和為,且為與的等差中項.(1)求證:數(shù)列為等差數(shù)列;(2)設,求的前100項和.18.(12分)在世界讀書日期間,某地區(qū)調(diào)查組對居民閱讀情況進行了調(diào)查,獲得了一個容量為200的樣本,其中城鎮(zhèn)居民140人,農(nóng)村居民60人.在這些居民中,經(jīng)常閱讀的城鎮(zhèn)居民有100人,農(nóng)村居民有30人.(1)填寫下面列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關?城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030不經(jīng)常閱讀合計200(2)從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中,隨機抽取5位居民參加一次閱讀交流活動,記這5位居民中經(jīng)常閱讀的人數(shù)為,若用樣本的頻率作為概率,求隨機變量的期望.附:,其中.0.100.050.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.82819.(12分)設,,其中.(1)當時,求的值;(2)對,證明:恒為定值.20.(12分)已知函數(shù),它的導函數(shù)為.(1)當時,求的零點;(2)當時,證明:.21.(12分)已知,分別是橢圓:的左,右焦點,點在橢圓上,且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點.(1)求,的值:(2)過點作不與軸重合的直線,設與圓相交于A,B兩點,且與橢圓相交于C,D兩點,當時,求△的面積.22.(10分)已知橢圓:,不與坐標軸垂直的直線與橢圓交于,兩點.(Ⅰ)若線段的中點坐標為,求直線的方程;(Ⅱ)若直線過點,點滿足(,分別為直線,的斜率),求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

根據(jù)題意,得,,則為減函數(shù),從而得出函數(shù)的單調(diào)性,可比較和,而,比較,即可比較.【詳解】因為,且的圖象經(jīng)過第一、二、四象限,所以,,所以函數(shù)為減函數(shù),函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,又因為,所以,又,,則|,即,所以.故選:C.【點睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小,還考查化簡能力和轉(zhuǎn)化思想.2、D【解析】

設,,,根據(jù)可得①,再根據(jù)又②,由①②可得,化簡可得,即可求出離心率.【詳解】解:設,,,∵,∴,即,①又,②,由①②可得,∵,∴,∴,∴,即,故選:D.【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質(zhì),考查了斜率的計算,離心率的求法,屬于基礎題和易錯題.3、D【解析】

先確定集合中元素的個數(shù),再得子集個數(shù).【詳解】由題意,有三個元素,其子集有8個.故選:D.【點睛】本題考查子集的個數(shù)問題,含有個元素的集合其子集有個,其中真子集有個.4、A【解析】令f(x)﹣g(x)=x+ex﹣a﹣1n(x+1)+4ea﹣x,令y=x﹣ln(x+1),y′=1﹣=,故y=x﹣ln(x+1)在(﹣1,﹣1)上是減函數(shù),(﹣1,+∞)上是增函數(shù),故當x=﹣1時,y有最小值﹣1﹣0=﹣1,而ex﹣a+4ea﹣x≥4,(當且僅當ex﹣a=4ea﹣x,即x=a+ln1時,等號成立);故f(x)﹣g(x)≥3(當且僅當?shù)忍柾瑫r成立時,等號成立);故x=a+ln1=﹣1,即a=﹣1﹣ln1.故選:A.5、C【解析】

根據(jù)空間中平行關系、垂直關系的相關判定和性質(zhì)可依次判斷各個選項得到結果.【詳解】對于,若,則可能為平行或異面直線,錯誤;對于,若,則可能為平行、相交或異面直線,錯誤;對于,若,且,由面面垂直的判定定理可知,正確;對于,若,只有當垂直于的交線時才有,錯誤.故選:.【點睛】本題考查空間中線面關系、面面關系相關命題的辨析,關鍵是熟練掌握空間中的平行關系與垂直關系的相關命題.6、C【解析】

寫出命題“假設時該命題成立,則時該命題也成立”的逆否命題,結合原命題與逆否命題的真假性一致進行判斷.【詳解】由逆否命題可知,命題“假設時該命題成立,則時該命題也成立”的逆否命題為“假設當時該命題不成立,則當時該命題也不成立”,由于當時,該命題不成立,則當時,該命題也不成立,故選:C.【點睛】本題考查逆否命題與原命題等價性的應用,解題時要寫出原命題的逆否命題,結合逆否命題的等價性進行判斷,考查邏輯推理能力,屬于中等題.7、C【解析】

過作于,連接,易知,,從而可證平面,進而可知,當最大時,取得最大值,取的中點,可得,再由,求出的最大值即可.【詳解】在和中,,所以,則,過作于,連接,顯然,則,且,又因為,所以平面,所以,當最大時,取得最大值,取的中點,則,所以,因為,所以點在以為焦點的橢圓上(不在左右頂點),其中長軸長為10,焦距長為8,所以的最大值為橢圓的短軸長的一半,故最大值為,所以最大值為,故的最大值為.故選:C.【點睛】本題考查三棱錐體積的最大值,考查學生的空間想象能力與計算求解能力,屬于中檔題.8、D【解析】

根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,即當?shù)讛?shù)大于1時單調(diào)遞增,當?shù)讛?shù)大于零小于1時單調(diào)遞減,對選項逐一驗證即可得到正確答案.【詳解】因為,所以,所以是減函數(shù),又因為,所以,,所以,,所以A,B兩項均錯;又,所以,所以C錯;對于D,,所以,故選D.【點睛】這個題目考查的是應用不等式的性質(zhì)和指對函數(shù)的單調(diào)性比較大小,兩個式子比較大小的常用方法有:做差和0比,作商和1比,或者直接利用不等式的性質(zhì)得到大小關系,有時可以代入一些特殊的數(shù)據(jù)得到具體值,進而得到大小關系.9、C【解析】

觀察圖表,判斷四個選項是否正確.【詳解】由表易知、、項均正確,年中國為萬億元,年中國為萬億元,則從年至年,中國的總值大約增加萬億,故C項錯誤.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表,正確認識圖表是解題基礎.10、C【解析】

顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),由的一個零點在區(qū)間內(nèi),則,即可求解.【詳解】由題,顯然函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù),因為的一個零點在區(qū)間內(nèi),所以,即,解得,故選:C【點睛】本題考查零點存在性定理的應用,屬于基礎題.11、C【解析】

先求導得(),由于函數(shù)有兩個不同的極值點,,轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實數(shù)根,根據(jù),,,求出的取值范圍,而有解,通過分裂參數(shù)法和構造新函數(shù),通過利用導數(shù)研究單調(diào)性、最值,即可得出的取值范圍.【詳解】由題可得:(),因為函數(shù)有兩個不同的極值點,,所以方程有兩個不相等的正實數(shù)根,于是有解得.若不等式有解,所以因為.設,,故在上單調(diào)遞增,故,所以,所以的取值范圍是.故選:C.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最值來求參數(shù)取值范圍,以及運用分離參數(shù)法和構造函數(shù)法,還考查分析和計算能力,有一定的難度.12、C【解析】

在A中,與相交或平行;在B中,或;在C中,由線面垂直的判定定理得;在D中,與平行或.【詳解】設是兩條不同的直線,是兩個不同的平面,則:在A中,若,,則與相交或平行,故A錯誤;在B中,若,,則或,故B錯誤;在C中,若,,則由線面垂直的判定定理得,故C正確;在D中,若,,則與平行或,故D錯誤.故選C.【點睛】本題考查命題真假的判斷,考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識,是中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、4【解析】

由于曲線與直線相交,存在相鄰兩個交點間的距離為,所以函數(shù)的周期,可得到的取值范圍,再由解出的兩類不同的值,然后列方程求出,再結合的取值范圍可得的最大值.【詳解】,可得,由,則或,即或,由題意得,所以,則或,所以可取到的最大值為4.故答案為:4【點睛】此題考查正弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)的應用及三角方程的求解,熟練應用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解題的關鍵,考查了推理能力和計算能力,屬于中檔題.14、【解析】

求出雙曲線的右準線與漸近線的交點坐標,并將該交點代入拋物線的方程,即可求出實數(shù)的方程.【詳解】雙曲線的半焦距為,則雙曲線的右準線方程為,漸近線方程為,所以,該雙曲線右準線與漸近線的交點為.由題意得,解得.故答案為:.【點睛】本題考查利用拋物線上的點求參數(shù),涉及到雙曲線的準線與漸近線方程的應用,考查計算能力,屬于中等題.15、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得:,即∵∴∵∴故答案為416、【解析】

利用等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式得到關于的方程,解方程求出代入等比數(shù)列通項公式即可.【詳解】因為,成等差數(shù)列,所以,由等比數(shù)列通項公式得,,所以,解得或,因為,所以,所以等比數(shù)列的通項公式為.故答案為:【點睛】本題考查等差中項的性質(zhì)和等比數(shù)列通項公式;考查運算求解能力和知識綜合運用能力;熟練掌握等差中項和等比數(shù)列通項公式是求解本題的關鍵;屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析;(2).【解析】

(1)利用已知條件化簡出,當時,,當時,再利用進行化簡,得出,即可證明出為等差數(shù)列;(2)根據(jù)(1)中,求出數(shù)列的通項公式,再化簡出,可直接求出的前100項和.【詳解】解:(1)由題意知,即,①當時,由①式可得;又時,有,代入①式得,整理得,∴是首項為1,公差為1的等差數(shù)列.(2)由(1)可得,∵是各項都為正數(shù),∴,∴,又,∴,則,,即:.∴的前100項和.【點睛】本題考查數(shù)列遞推關系的應用,通項公式的求法以及裂項相消法求和,考查分析解題能力和計算能力.18、(1)見解析,有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.(2)【解析】

(1)根據(jù)題意填寫列聯(lián)表,利用公式求出,比較與6.635的大小得結論;(2)由樣本數(shù)據(jù)可得經(jīng)常閱讀的人的概率是,則,根據(jù)二項分布的期望公式計算可得;【詳解】解:(1)由題意可得:城鎮(zhèn)居民農(nóng)村居民合計經(jīng)常閱讀10030130不經(jīng)常閱讀403070合計14060200則,所以有99%的把握認為經(jīng)常閱讀與居民居住地有關.(2)根據(jù)樣本估計,從該地區(qū)城鎮(zhèn)居民中隨機抽取1人,抽到經(jīng)常閱讀的人的概率是,且,所以隨機變量的期望為.【點睛】本題考查獨立性檢驗的應用,考查離散型隨機變量的數(shù)學期望的計算,考查運算求解能力,屬于基礎題.19、(1)1(2)1【解析】分析:(1)當時可得,可得.(2)先得到關系式,累乘可得,從而可得,即為定值.詳解:(1)當時,,又,所以.(2)即,由累乘可得,又,所以.即恒為定值1.點睛:本題考查組合數(shù)的有關運算,解題時要注意所給出的的定義,并結合組合數(shù)公式求解.由于運算量較大,解題時要注意運算的準確性,避免出現(xiàn)錯誤.20、(1)見解析;(2)證明見解析.【解析】

當時,求函數(shù)的導數(shù),判斷導函數(shù)的單調(diào)性,計算即為導函數(shù)的零點;

當時,分類討論x的范圍,可令新函數(shù),計算新函數(shù)的最值可證明.【詳解】(1)的定義域為當時,,,易知為上的增函數(shù),又,所以是的唯一零點;(2)

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