2024-2025學(xué)年江蘇省南通市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題（含答案）

2024-2025學(xué)年江蘇省南通市高三上學(xué)期期中數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則實數(shù)（）A． B． C． D．2．已知集合，則（）A． B． C． D．3．在△中，，則（）A．30° B．45° C．60° D．135°4．函數(shù)的極大值為（）A．4 B．0 C．1 D．45．在三棱錐中，，與平面所成角的大小為60°，則（）A．1 B． C． D．26．曲線與的交點中，與軸最近的點的橫坐標為（）A． B． C． D．7．在中，．若∥，則（）A． B． C． D．8．在正四棱柱中，，是線段上靠近的三等分點，過點與直線垂直的平面將正四棱柱分成兩部分，則較大部分與較小部分的體積比為（）A． B．2 C． D．3二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．在空間中，設(shè)是三條直線，是三個平面，則下列能推出∥的是（）A． B．∥C． D．∥10．已知函數(shù)，則（）A．的最大值為1 B．是曲線的對稱中心C．在上單調(diào)遞減 D．的最小正周期為11．設(shè)為上的增函數(shù)，滿足：，則（）A． B．為奇函數(shù)C． D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知函數(shù)的一個單調(diào)減區(qū)間為，則________，_________．13．在平面直角坐標系中，曲線上的兩點滿足，線段的中點在軸上，則點的橫坐標為_________．14．已知圓的半徑為2，點在圓上，點在圓內(nèi)，且，則的最小值為_________．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）已知分別為△的內(nèi)角的對邊，且．（1）求；（2）若△的面積為，周長為6，試判斷△的形狀．16．（15分）設(shè)拋物線的焦點為，準線為，點在上，記在上的射影為．（1）△能否為正三角形？若能，求點的坐標；若不能，請說明理由；（2）設(shè)在點處的切線與相交于點，證明：°．17．（15分）如圖，在三棱錐中，平面，是的中點，平面平面，且．（1）求點到平面的距離；（2）求平面與平面的夾角的正弦值．18．（17分）已知函數(shù)，其中．（1）若曲線在點處的切線過原點，求；（2）當(dāng)時，證明：；（3）若在上單調(diào)遞增，求的取值范圍．19．（17分）如果數(shù)列是首項為1，各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且任意連續(xù)三項的和都能被3整除，那么稱數(shù)列是數(shù)列．（1）寫出所有滿足的數(shù)列；（2）證明：存在數(shù)列是等比數(shù)列，且有無窮個；（3）對任意給定的，都存在，使得數(shù)列是數(shù)列，求整數(shù)的最小值．高三數(shù)學(xué)期中答案一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．BABDCBCB二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．BDABDABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．13． 14．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15．（13分）解：（1）因為，所以由正弦定理，得．在△中，，所以．所以，即．又，故，所以．所以．由，知，所以，即，（2）因為△的面積為，所以，結(jié)合（1）知，①由余弦定理，得，即．因為△的周長為6，所以②．所以，所以，所以，解得③．由①③，解得，代入②，得．所以△為等邊三角形．16．（15分）解：設(shè)點（1）△能為正三角形，理由如下：依題意，拋物線的焦點，準線．則，點到的距離．假設(shè)△為正三角形，則°，即，解得，所以點的坐標為．經(jīng)檢驗，此時△是邊長為4的正三角形．（2）法1：依題意，拋物線，則．所以在點處的切線方程為：，即．令，得，所以點．則，所以．法2：設(shè)的方程為：．與拋物線聯(lián)立方程組，去，得．因為與拋物線相切，所以判別式，即．代入得，解得，所以．聯(lián)立，解得，所以．又，所以，所以．所以，所以°．17．（15分）證明：（1）在平面內(nèi)，過點作，交于點．因為平面平面，，平面平面，所以平面．因為平面，所以．在△中，，所以．所以點到平面的距離為．（2）由（1）知，平面，所以．因為平面，平面，所以．又因為，平面，所以平面．因為平面，所以．法1：在平面內(nèi)，過點作平行于的射線．如圖，以為坐標原點，為正交基底建立空間直角坐標系．則．設(shè)平面的法向量為．因為，所以．令，得．所以．又因為是平面的一個法向量，所以．所以平面與平面夾角的余弦值為．所以平面與平面夾角的正弦值為．法2：在△中，，所以．在平面內(nèi)，過點作，交于點，連接．因為平面，平面，所以．因為平面，所以平面．又因為平面，所以．所以是的平面角．因為到的距離為，是的中點，所以．在△中，又，故．所以．所以平面與平面夾角的正弦值為．18．（17分）解：（1）依題意，，則．因為曲線在點處的切線過點，所以，解得．（2）當(dāng)時，記，則．因為，所以，所以單調(diào)遞增．又，故令得，．所以當(dāng)時，，故單調(diào)遞減；當(dāng)時，，故單調(diào)遞增，所以的最小值為，所以．所以當(dāng)時，．（3）因為在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立．當(dāng)時，因為，所以符合．當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，所以，符合．當(dāng)時，令，得，故在上存在唯一解，不妨記為，則當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，不符題意，故舍去．綜上，的取值范圍為．19．（17分）解：（1）滿足的數(shù)列共有4個，分別是1，2，3，7；1，2，6，7；1，5，6，7；1，3，5，7．（2）法1：存在數(shù)列1，4，16，64是數(shù)列，也是等比數(shù)列．因為對于每一個，等比數(shù)列都滿足：首項為1，各項均為整數(shù)的遞增數(shù)列，且能被3整除，能被3整除，所以存在數(shù)列是等比數(shù)列，且有無窮個．法2：若數(shù)列是等比數(shù)列，不妨記公比為，則該數(shù)列為：．由題意，得．當(dāng)時，，又，則也是3的倍數(shù)，所以對于每一個，數(shù)列均滿足題意，所以存在數(shù)列是等比數(shù)列，且有無窮個．（3）法1：當(dāng)時，令，則或．當(dāng)時，則，不符；當(dāng)時，同上，顯然不符，故不存在，使得數(shù)列是數(shù)列．當(dāng)時，若，則存在數(shù)列1，2，3，4，11滿足題意；若，則存在數(shù)列1，3，5，7，12滿足題意；若，則存在數(shù)列1，4，7，10，13滿足題意；因此，則存在數(shù)列1，2，3，4，滿足題意；因此，則存在數(shù)列1，3，5，