江西省南昌市青山湖區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

江西省南昌市青山湖區(qū)2023-2024學(xué)年九年級上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題姓名：__________班級：__________考號：__________題號一二三四五六總分評分一、選擇題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分，每小題只有一個正確選項）1．下列方程中，是一元二次方程的是（）A．x3+2x=0 B．x(x?3)=0 C．1x2．拋物線y=(x?1)A．(1，?3) B．(?1，3) C．3．下列事件中，是隨機事件的是（）A．投一次骰子，朝上面的點數(shù)是7B．任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°C．從一個只裝有白球與黑球的袋中摸球，摸出紅球D．隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)4．數(shù)學(xué)家是對世界數(shù)學(xué)的發(fā)展作出創(chuàng)造性工作的人士，他們運用他們的特殊知識與專業(yè)方法解決許多在科學(xué)領(lǐng)域的顯著問題．下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中是中心對稱形的是（）A．斐波那契螺旋線 B．阿基米德三角形C．趙爽弦圖 D．笛卡爾心形線5．已知正比例函數(shù)y=mx(m≠0)的圖象與反比例函數(shù)y=kx(k≠0)A．(?2，4) B．(4，2) C．(2，?4) D．(?2，?4)6．如圖，AB是⊙O的直徑，OD垂直弦AC于點D，DO的延長線交⊙O于點E.若AC=42，DE=4，則A．1 B．2 C．2 D．4二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，共18分）7．一元二次方程5x2+x?3=08．圓周率π是無限不循環(huán)小數(shù)．歷史上，祖沖之、劉徽、韋達、歐拉等數(shù)學(xué)家都對π有過深入的研究．目前，超級計算機已計算出π的小數(shù)部分超過31.4萬億位．有學(xué)者發(fā)現(xiàn)，隨著π小數(shù)部分位數(shù)的增加，0－9這10個數(shù)字出現(xiàn)的頻率趨于穩(wěn)定接近相同，從π的小數(shù)部分隨機取出一個數(shù)字，估計數(shù)字是3的概率為9．若一元二次方程x2?3x?1=0的兩個根為x1，x2，則10．如圖，⊙O的半徑為3，正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O，則正六邊形的面積為．11．如圖，為一幅三角板的兩塊，在△BAD中，∠BAD=90°，∠ABD=30°，在△ABC中，∠BCA=45°，將△BAD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAE，連接CE，則∠BCE的大小為．12．如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，以AB為直徑在矩形內(nèi)作半圓，點P為半圓上的一動點（不與A，D重合），連接AP、DP，當△ADP為銳角等腰三角形時，AP的長為．三、（本大題共5小題，每小題6分，共30分）13．用適當方法解下列方程：（1）x(x?4)=0； （2）x214．臨近畢業(yè)，甲、乙、丙三人相約去餐館聚餐，丙先到達餐館，選了一張方桌坐在如圖所示的座位上，甲到達餐館后，從座位①、②、③中隨機選擇一個坐下，乙到達餐館后，從剩下的座位中再隨機選擇一個坐下．（1）甲坐在①號座位上的概率是；（2）用列表法或畫樹狀圖的方法，求甲、乙兩人恰好相鄰而坐的概率．15．如圖，在方格網(wǎng)中已知格點△ABC和點P，請僅用無刻度直尺完成以下作圖．（1）畫出△A'B'C'，使得（2）請在方格網(wǎng)中標出所有使以點A，B，P，D為頂點的四邊形是平行四邊形的D點．16．如圖，線段AC過圓心O，交⊙O于B，C兩點，線段AE交⊙O于D，E兩點，且AD=OB，∠A=30°，求∠EOC的度數(shù)．17．南昌市秋水廣場噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同．如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標系，點A(0，4)在y軸上，x軸上的點C(－4，0)和點D為水柱的落水點，水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)解析式為y=?x（1）求水柱所在拋物線第一象限部分的函數(shù)解析式；（2）求兩個水柱的最高點M，N之間的距離．四、（本大題共3小題，每小題8分，共24分）18．近年來，詐騙分子較為猖狂，詐騙手段不斷更新，據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計，2022年全年全國電信詐騙共計達到2萬億元．為有效提高學(xué)生防詐反詐能力，學(xué)校開展了“防詐反詐”講座后進行了“防詐反詐”知識競賽，并從七、八年級各隨機選取了20名同學(xué)的競賽成績進行了整理、描述和分析（成績得分用x表示，其中A：0≤x<85，B：85≤x<90，C：90≤x<95，D：95≤x≤100，得分在90分及以上為優(yōu)秀）．下面給出了部分信息：七年級C組同學(xué)的分數(shù)分別為：94，92，93，91；八年級C組同學(xué)的分數(shù)分別為：91，92，93，93，94，94，94，94，94．七、八年級選取的學(xué)生競賽成績統(tǒng)計表年級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)優(yōu)秀率七91a95m八9193b65（1）填空：a=，b=，m=；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認為該校七、八年級學(xué)生在“防詐反詐”知識競賽中，哪個年級學(xué)生對“防詐反詐”的了解情況更好？請說明理由；（寫出一條理由即可）（3）該?，F(xiàn)有學(xué)生七年級780名，八年級800名，請估計這兩個年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)．19．如圖，BD是⊙O的直徑，A是BD延長線上的一點，點E在⊙O上，BC⊥AE，交AE的延長線于點C，BC交⊙O于點F，且點E是DF的中點．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若AD=3，AE=32，求⊙O20．如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與反比例函數(shù)y=kx的圖象交于點A(1，m)，與x軸交于點B，與（1）求反比例函數(shù)的表達式；（2）已知點P為反比例函數(shù)y=kx圖象上一點，S△OBP五、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21．已知關(guān)于x的方程k2x2?2(k?1)x+1=0有兩個實數(shù)根（1）求k的取值范圍.（2）若x1、x2滿足等式|x22．如圖，在正方形ABCD中，點E是對角線AC上一動點，連接DE，作EF⊥DE交BC于點F，以ED和EF為鄰邊作矩形EFGD．（1）猜想：AE，CG的位置關(guān)系是；（2）求證：△DAE≌△DCG．六、（本大題1小題，12分）23．如圖，已知拋物線C：y=ax2+bx+c的對稱軸為直線x=?1（1）點N（，）；（2）若拋物線C1與拋物線C關(guān)于y軸對稱，求拋物線C（3）若拋物線Cn的解析式為y=?(x+1)(x?2?n)(n=1，2，3，?)，拋物線①求：AB②判斷拋物線的頂點P1，P

答案解析部分1．【答案】B【解析】【解答】解：

A：x3+2x=0，是一元三次方程，不符合題意

B：x(x?3)=0，是一元二次方程，符合題意

C：1x?x故答案為：B

【分析】根據(jù)一元二次方程的定義逐一進行判定即可，一元二次方程的一般式ax2+bx+c=0(a≠0)。2．【答案】D【解析】【解答】解：y=(x?1)2+3，二次函數(shù)解析式是頂點式故答案為：D

【分析】二次函數(shù)解析式一般有三種形式，頂點式為y=a(x?h)3．【答案】D【解析】【解答】解：

A：投一次骰子，朝上面的點數(shù)是7，正常的骰子點數(shù)是1-6，故為不可能事件，不符合題意

B：任意畫一個三角形，其內(nèi)角和是180°，描述符合三角形內(nèi)角和定理，是必然事件，不符合題意

C：從一個只裝有白球與黑球的袋中摸球，摸出紅球，是不可能事件，不符合題意

D：隨意翻到一本書的某頁，這頁的頁碼是偶數(shù)，頁碼可能是奇數(shù)也可能是偶數(shù)，是隨機事件，符合題意。故答案為：D

【分析】了解事件的可能性分類，并了解隨機事件的含義，結(jié)合生活經(jīng)驗和所學(xué)的數(shù)學(xué)知識判定事件發(fā)生的可能性大小。4．【答案】C【解析】【解答】解：

A：斐波那契螺旋線，不是中心對稱圖形，不符合題意

B：阿基米德三角形，不是中心對稱圖形，不符合題意

C：趙爽弦圖，是中心對稱圖形，符合題意

D：笛卡爾心形線，不是中心對稱圖形，不符合題意故答案為：C

【分析】掌握中心對稱圖形的定義，C的圖形繞正方形中心點旋轉(zhuǎn)180°，旋轉(zhuǎn)后的圖形與原圖形重合，因此C的圖形是中心對稱圖形。5．【答案】D【解析】【解答】解：根據(jù)正、反比例函數(shù)的性質(zhì)，可直接判定兩交點坐標關(guān)于原點對稱

∵一個交點坐標為(2，4)

∴它們的另一個交點坐標是（-2，-4）

故答案為：D

解法二：根據(jù)題意，

代入（2，4）到正比例函數(shù)

2m=4

∴m=2

∴y=2x

代入（2，4）到反比例函數(shù)k2=4

∴k=8

∴y=8x

∴y=2xy=【分析】常規(guī)思路是代入點坐標，由待定系數(shù)法求函數(shù)解析式再聯(lián)立得方程組，解方程組得到交點坐標，本題兩函數(shù)圖象都是關(guān)于原點對稱的，如果有交點，交點一定也是關(guān)于原點對稱，掌握關(guān)于原點對稱的點坐標特征，可直接選出D。6．【答案】C【解析】【解答】解：由題意可得：

D為AC中點，O為AB中點

∴OD為△ABC的中位線

∴OD∥BC，OD=12BC

設(shè)OD=x，則BC=2x

∴OE=4-x

∴AB=2OE=8-2x

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC27．【答案】-3【解析】【解答】解：根據(jù)題意

一元二次方程5x故答案為：-3

【分析】掌握一元二次方程的定義及各項系數(shù)，一元二次方程一般式ax2+bx+c=0(a≠0)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項。8．【答案】1【解析】【解答】解：根據(jù)題意

總可能結(jié)果是10種

出現(xiàn)3的結(jié)果是1種

∴出現(xiàn)3的概率是1÷10=故答案為：1

【分析】掌握簡單事件的概率計算，先找到總可能結(jié)果的數(shù)值和定義事件的結(jié)果的數(shù)值，后者與前者的比值就是該定義事件的概率。9．【答案】4【解析】【解答】解：根據(jù)題意

一元二次方程x2?3x?1=0

∴x1故答案為：4

【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達定理），x1+x10．【答案】27【解析】【解答】解：如圖所示，連接OA、OB，過O作OH⊥AB于H

∵正六邊形ABCDEF內(nèi)接于⊙O

∴OA=OB,∠AOB=360°6=60°

∴△AOB是等邊三角形，AB=OA=3

∴∠AOH=30°

∴OH=OA·cos30°=3×故答案為：27

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接圖形性質(zhì)得知圓心到正六邊形各頂點連線都是半徑，且正六邊形被這六條半徑分成六個完全相同的等邊三角形，已知等邊三角形的邊長求三角形面積，可用傳統(tǒng)的方法先作高，用公式S=12ah11．【答案】15°【解析】【解答】解：根據(jù)題意

△BAD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CAE

∴∠ABD=∠ACE=30°

∴∠BCE=∠BCA-∠ACE=45°-30°=15°故答案為：15°

【分析】從問題入手思考和從已知條件入手都可以，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知旋轉(zhuǎn)后的∠ACE=30°，所求角是45°角與它的差。12．【答案】6或310或【解析】【解答】解：根據(jù)題意，△ADP為銳角等腰三角形時，兩腰相等的情況有三種：

(1)當AD=AP=6時，△ADP為銳角等腰三角形

即AP的長可為6

(2)當AD=DP=6時

過D作DP⊥OP，連接OP，OD，如圖所示∵ABCD是矩形

∴∠DAB=90°

∴AD=DP,∠ADO=∠PDO(切線長定理)

∴DE⊥AP,AE=12AP（三線合一定理）

在直角三角形DAO中

DO=AD2+AO2=62+1022=61

∴AE=AD×AODO=6×561=306161

∴AP=2AE=2×306161=606161

(3)當AP=DP時

作AD的垂直平分線交AD于H，交圓于P和P'，

作OE⊥PP'于E，連接OP，如圖所示

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義可知兩腰相等的情況有三種，分別計算；當AD=AP=6時，△ADP為銳角等腰三角形；當AD=DP=6時，根據(jù)切線長定理和三線合一定理可知E為AP中點，求出AE即可求出AP，觀圖可知AE是直角三角形底邊上的高，直角三角形三邊可知，AE和AP可求；當AP=DP時，根據(jù)中垂線的性質(zhì)作輔助線找AP，發(fā)現(xiàn)P有兩種位置情況，排除鈍角等腰三角形的情況，在直角三角形中用勾股定理求斜邊AP，一條直角邊AH易求，另一直角邊借助矩形性質(zhì)和勾股定理可求得，進而可求AP。綜合三種情況，可求AP的三個可能值。13．【答案】（1）解：x(x?4)=0，x=0或x?4=0，x1（2）解：x2(x?3)(x+1)=0，x?3=0或x+1=0，x1【解析】【分析】（1）掌握一元二次方程的解法，觀察本題特點，直接使用因式分解法求解非常簡便；

（2）觀察一元二次方程的系數(shù)特點，采用十字相乘的方法進行因式分解，再求解。14．【答案】（1）1（2）解：畫樹狀圖如下：由圖可得共有6種等可能的結(jié)果，甲、乙兩人恰好相鄰而坐的有4種，所以甲、乙兩人恰好相鄰而坐的概率為P=4【解析】【解答】解：因為甲座在①、②、③的概率相同，故甲坐在①號座位上的概率是：13

故答案為：【分析】（1）根據(jù)等可能事件的概率公式即可得解；（2）按照座位畫出樹狀圖，可得共有6種等可能的結(jié)果，甲、乙兩人恰好相鄰而坐的有4種，即可求解．15．【答案】（1）解：如圖所示：即△A（2）解：如圖所示：即點D為所求；【解析】【分析】（1）了解中心對稱圖形的定義，會作某圖形關(guān)于某中心的對稱圖形；

（2）已知A、B、P三點，以其為頂點作平行四邊形，理論上分別以AB、AP、BP為對角線可以找到3個D點，受圖中網(wǎng)格所限，可根據(jù)平移作圖找到其中2個D點。16．【答案】解：連接OD，∵AD=OB，OD=OB，∴AD=OD，∵∠A=30°，∴∠DOA=30°，∴∠EDO=60°，∵OD=OE，∴∠DEO=60°，∴∠EOC=∠A+∠DEO=90°．【解析】【分析】從已知條件入手，AD=OB，AD與半徑相等，認識到這一點容易想到圓上的半徑都相等，圖中AD與OB的位置關(guān)系非常別扭，即不相連也不相交，故連接OD，AD=OD，兩次應(yīng)用等邊對等角和外角定理，則未知角可求。17．【答案】（1）解：將點A(0，4)，D(4，0)代入函數(shù)解析式為y=?x則4=c0=?16+4b+4解得b=3c=4∴函數(shù)解析式為y=?x（2）解：∵拋物線第一象限部分的函數(shù)解析式為y=?x∴當x=32時，∴N點坐標為(3從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同，∴M點坐標為(?3∴兩個水柱的最高點M，N之間的距離為MN=|?3【解析】【分析】（1）函數(shù)解析式中含有2個未知系數(shù)，圖示C點和D點對稱，故可代入A點和C點坐標，用待定系數(shù)法可求出函數(shù)解析式，拋物線在第一象限故自變量大于0；

（2）根據(jù)題意M、N兩點是關(guān)于y軸對稱的，求出N的橫坐標即可求出M，N之間的距離；根據(jù)函數(shù)性質(zhì)可直接求x=-b18．【答案】（1）92.5；94（2）解：由于八年級競賽成績的中位數(shù)為93為大于七年級競賽成績的中位數(shù)92.∴八年級對“防災(zāi)減災(zāi)”的了解情況更好（3）解：780×60%∴兩個年級競賽成績?yōu)閮?yōu)秀的學(xué)生總?cè)藬?shù)為988人【解析】【解答】解：根據(jù)題意

20個數(shù)據(jù)，中位數(shù)是第10和第11個數(shù)據(jù)的平均數(shù)

∴七年級中位數(shù)92+93÷2=92.5

故第一空填：92.5

觀察八年級的扇形統(tǒng)計圖，C組出現(xiàn)5次94，占比25%

∴八年級眾數(shù)94

故第二空填：94

∵得分在90分及以上為優(yōu)秀

∴優(yōu)秀率=4+820×100%=60%

故第三空填：60%

【分析】（1）掌握中位數(shù)、眾數(shù)的定義及找到的方法，會計算優(yōu)秀率；n個數(shù)據(jù)，當n是偶數(shù)時，中位數(shù)是第19．【答案】（1）證明：如圖，連接OE，∵OB=OE，∴∠DBE=∠BEO，又點E是DF的中點，∴∠EBC=∠DBE=∠BEO，∵BD為直徑，∴∠DBE+∠BDE=90°，又AE⊥BC，∴∠EBC+∠BEC=90°，∴∠BEO+∠BEC=90°，即∠OEC=90°；∴OE⊥AC，則AC為⊙O的切線．（2）解：設(shè)⊙O半徑為r，則AO=AD+OD=3+r，∵AC為⊙O的切線，∴∠OEC=90°，即△AOE為直角三角形，∴AE∴18+r∴r=1.∴⊙O的半徑為1.【解析】【分析】（1）根據(jù)切線的定義，連接OE，需要證明OE⊥AC即問題轉(zhuǎn)化為證明∠OEC=90°；把由已知能推出的條件在圖上標示出來，等弧所對圓周角相等、半徑都相等，等邊對等角等，再從問題入手發(fā)現(xiàn)可有多種辦法證明，比如內(nèi)錯角相等兩直線BC、OE平行、BC⊥AC可得OE⊥AC；或者由角的等量代換得到∠BEO+∠BEC=90°，從而證明AC是⊙O的切線。

（2）在（1）的結(jié)論下，AC為⊙O的切線且E為切點，故首先考慮用勾股定理求半徑；在直角三角形AEO中，已知線段AE是一條直角邊，另一條直角邊是半徑，可設(shè)為未知數(shù)，斜邊的表達式是已知線段AD與半徑的和，利用勾股定理列等式，求解即可。20．【答案】（1）解：由題意，將A(1，m)代入∴m=1+3．∴m=4．∴A(1，將A(1，4)代入反比例函數(shù)∴k=1×4=4，∴反比例函數(shù)的解析式為y=（2）解：對于y=x+3，當y=0時，x=?3，∴OB=3，∵C(0，∴OC=3，過點A作AH⊥y軸于點H，過點P作PD⊥x軸于點D，∵S△OBP∴12即12解得PD=2，∴點P的縱坐標為2或?2，將y=2代入y=4x得：或y=?2代入y=4x得∴點P(2，2)或【解析】【分析】（1）由一次函數(shù)解析式可以求出A點的坐標，再將A點坐標代入反比例函數(shù)解析式，待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)；

（2）根據(jù)題意先求出C點坐標，可計算出三角形OAC的面積，觀察圖形：三角形OBP的面積已知、底是OB，高是P點的縱坐標，則縱坐標可求且為2個值，因為高的數(shù)值是正是負都不影響面積的數(shù)值，所以注意應(yīng)有2個值符合要求；代入反比例函數(shù)可求出點的坐標。21．【答案】（1）解：∴k2≠0[?2(k?1)]2（2）解：由（1）可得k≤12，∴x|x1∴2(k?1)解得：k1=3∴k的值為-1.【解析】【分析】（1）利用已知方程有兩個實數(shù)根，可建立關(guān)于k的不等式組，然后求出不等式組的解集.（2）利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求出x1+x2和x1x2，再整體代入，可建立關(guān)于k的方程，解方程求出符合題意的k的值.22．【答案】（1）AE⊥CG．（2）證明：如圖，作EQ⊥BC于點Q，EP⊥CD于點P，∴∠EQF=∠EPD=90°，∵正方形ABCD中，∠BCD=∠ADC=90°，AD=CD，AC平分∠BCD，∴四邊形EQCP為正方形，∴∠QEP=90°，QE=PE，∵矩形EFGD中，∠FED=90°，∴∠QEP=∠FED，則∠QEP?∠FEP=∠FED?∠FEP，即∠QEF=∠PED，∴△EQF和△EPD中，∠QEF=∠PED∴△EQF≌△EPD(ASA)，∴EF=ED，∴矩形EFGD是正方形，∴DE=DG，∠EDG=90°，∴∠ADC=∠EDG，則∠ADC?∠EDC=∠EDG?∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∵△DAE和△DCG中，AD=CD∴△DAE≌△DCG(SAS)．【解析】【解答】解：（1）AE⊥CG，如圖，作EQ⊥BC于點Q，EP⊥CD于點P，∴∠EQF=∠EPD=90°，∵正方形ABCD中，∠BCD=∠ADC=90°，AD=CD，AC平分∠BCD，∴四邊形EQCP為正方形，∴∠QEP=90°，QE=PE，∵矩形EFGD中，∠FED=90°，∴∠QEP=∠FED，則∠QEP?∠FEP=∠FED?∠FEP，即∠QEF=∠PED，∴△EQF和△EPD中∠QEF=∠PED∴△EQF≌△EPD(ASA)，∴EF=ED，∴矩形EFGD是正方形，∴DE=DG，∠EDG=90°，∴∠ADC=∠EDG，則∠ADC?∠EDC=∠EDG?∠EDC，即∠ADE=∠CDG，∵△DAE和△DCG中，AD=CD∴△DAE≌△DCG(SAS)，∴∠DAE=∠DCG，∵等腰直角△ACD中有∠DAE+∠DCA=90°，∴∠DCG+∠DCA=90°，即∠ACG=90°，AE