垂直于弦的直徑教案

24．1．2垂直于弦的直徑教學任務分析教學目標知識技能理解圓的軸對稱性及垂徑定理的推證過程。能應用垂徑定理進行計算和證明。使學生經歷實際問題抽象為數學問題的過程，；養(yǎng)成良好的探索創(chuàng)新，合作交流的學習習慣，以及利用數學方法分析、解決實際問題的能力。過程方法在定理的探究過程中鍛煉學生從對具體，形象的圓的軸對稱性的觀察、分析、經過交流、驗證，到把垂徑定理用數學語言有條理的清晰的表述出來。情感態(tài)度使學生領會數學的嚴謹性和探索精神，培養(yǎng)學生實事求是的科學態(tài)度和積極參與的主動精神．通過圓的對稱性，培養(yǎng)學生對數學的審美觀，通過探索垂徑定理的過程使學生獲得成功的體驗，并激發(fā)學生對數學的激情．重點垂徑定理的內容、應用及有關輔助線的作法。難點理解垂徑定理的題設和結論及垂徑定理的證明方法。教學流程安排教學任務學生活動教師活動導入新課，使學生明了本節(jié)課的學習任務。完成以下題目：1.如右圖：在⊙O中弦是______，直徑是______，半徑是_______其中弦AB所對的優(yōu)弧是_________劣弧是_________出示趙州橋的圖片，向學生介紹趙州橋。介紹本節(jié)課要解決的問題。引導學生復習相關知識點。學習圓的軸對稱性學生完成課本80面“探究”把一個圓沿著它的任意一條直徑所在的直線對折,重復幾次，你發(fā)現(xiàn)了什么？由此你能得到什么結論？教師導學：1.如果一個圖形沿一條直線對折，直線兩旁___________的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫____________,這條直線叫這個圖形的____________.（1）通過對折，發(fā)現(xiàn)折痕兩邊______。強化：（1）圓是______圖形，任何一條________都是它的對稱軸。（2）判斷：任意一條直徑都是圓的對稱軸（）學習垂徑定理垂徑定理的應用1.完成教材中“思考”：如圖，AB是⊙O的一條弦，作直徑CD，使CD⊥AB，垂足為E.完成如下自學提示：（1）我發(fā)現(xiàn)這個圖形是_______圖形，它的對稱軸是_______（2）圖中相等的線段有___________，相等的弧有___________.（3）以上發(fā)現(xiàn)可以表示為_________________（4）題目當中有哪些條件，得到了哪些結論？用文字敘述為:（5）用幾何語言表示垂徑定理為∵∴2.學生完成以下題目：在下列哪個圖中有AE=BE，AC=BC，AD=BD.為什么？一．學生自學例1：一條排水管的截面如圖所示。已知排水管的半徑OB=10，水面寬AB=16。求截面圓心O到水面的距離。學生完成強化練習：（男生完成1題，女生完成2題）1.若已知排水管的半徑OB=10，截面圓心O到水面的距離OC=6，求水面寬AB。2.若已知排水管的水面寬AB=16。截面圓心O到水面的距離OC=6，求排水管的半徑OB。3.已知：⊙O中弦AB∥CD。求證：AC＝BD二．學生自學81面解決趙州橋主橋拱半徑的問題引導學生用圓的軸對稱性來解釋線段相等和弧相等。幫助分析并強化垂徑定理的條件和結論，重點幫助學生理解定理中的“直徑”。教師導學:1。圓心O到水面的距離怎樣表示？所要求的邊與直角三角形有什么關系？求直角三角形的邊通常要用什么定理？怎樣將AB轉化為直角三角形的邊？轉化的依據是什么？在學生完成強化練習1,2題后，引導總結求弦心距，弦，半徑常見的方法。教師導學：（1）題目是怎樣將趙州橋這個實際問題轉化為數學問題的？(2)題目中的條件分別轉化成了數學問題中的那些條件？（3）本題與“例一”的解題思路有何共同點？教師引導學生強化：解決有關弦的問題，經常是過圓心作弦的垂線，或作垂直于弦的直徑，連結半徑等輔助線，在解決有關弦的問題經常要用到勾股定理。

【教學過程】提出問題趙州橋的半徑是多少？已知：跨度（即弦長）為37.4m拱高（即弓形高）為7.2m求：半徑探究圓的軸對稱性，得出垂徑定理圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸．請同學們思考：圓的軸對稱性與我們上節(jié)課學過的圓中的弦和弧有什么關系嗎？(通過改變對稱軸的位置，觀察軸對稱后弦和弧的變化)垂徑定理：（1）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條??；（2）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條?。小小小杏梅ǎ海?）∵直徑CD⌒⌒⌒⌒∴AM=BM，AC=BC，AD=BD（2）∵直徑CD平分弦AB于點M∴CD⊥AB，AC=BC，AD=BD分析：（1）定理中的直徑（過圓心）的條件能否省略？定理中的垂直于弦的條件能否省略？（2）為什么要添上“不是直徑”這個條件？⌒鞏固練習，深入思考⌒1、如圖2，AB所在圓的圓心是點O，過O作OC⊥AB于點D，若OD=3，弦AB=8，求此圓的半徑和弓形高CD．圖2圖2⌒*說明：學生觀察圖形，利用垂直于弦的直徑的性質分析圖形條件，發(fā)現(xiàn)若OC⊥AB，則有AD=BD，且△ADO是直角三角形，在直角三角形中可以利用勾股定理構造方程．⌒⌒變題1：如圖2，AB所在圓的圓心是點O，過O作OC⊥AB于點D，若CD=4，弦AB=16，求此圓的半徑和弦心距．⌒變題2：如圖2，AB所在圓的圓心是點O，半徑長為6，過O作OC⊥AB于點D，若OD=4，求弦AB和弓形高CD。在學生解決問題的基礎上引導學生進行歸納：弦長、半徑、拱形高、弦心距（圓心到弦的距離）四個量中，只需要知道兩個量，其余兩個量就可以求出來．2、解決趙州橋的問題⌒⌒⌒⌒3、如圖3，已知AB，請你利用尺規(guī)作圖的方法作出的AB中點，說出你的作法．師生活動設計：根據基本尺規(guī)作圖可以發(fā)現(xiàn)不能直接作出弧的中點，但是利用垂徑定理只需要作出弧所對的弦的垂直平分線，垂直平分線與弧的交點就是弧的中點．拓展創(chuàng)新，培養(yǎng)學生思維的靈活性以及創(chuàng)新意識．解決下列問題1．銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂，修理人員準備更換一段新管道．如圖7所示，污水水面寬度為60cm，水面至管道頂部距離為10cm，問修理人員應準備內徑多大的管道?圖7圖8師生活動設計：讓學生在探究過程中，進一步把實際問題轉化為數學問題，掌握通過作輔助線構造垂徑定理的基本結構圖，進而發(fā)展學生的思維．〔解答〕如圖8所示，連接OA，過O作OE⊥AB，垂足為E，交圓于F，則AE=AB=30cm．令⊙O的半徑為R則OA=R，OE＝OF-EF＝R-10．在Rt△AEO中，OA2=AE2+OE2，即R2=302+(R-10)2．解得R=50cm．修理人員應準備內徑為100cm的管道．2．如圖5，某條河上有一座圓弧形拱橋ACB，橋下面水面寬度AB為7．2米，橋的最高處點C離水面的高度2．4米．現(xiàn)在有一艘寬3米，船艙頂部為方形并高出水面2米的貨船要經過這里，問：這艘船是否能夠通過這座拱橋？說明理由．圖5圖6學生活動：學生根據實際問題，首先分析題意，然后采取一定的策略來說明能否通過這座拱橋，這時要采取一定的比較量，才能說明能否通過，比如，計算一下在上述條件下，在寬度為3米的情況下的高度與2米作比較，若大于2米說明不能經過，否則就可以經過