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安徽省宣城市八校2025屆高三下學(xué)期一??荚嚁?shù)學(xué)試題注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標(biāo)號?;卮鸱沁x擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.記為等差數(shù)列的前項和.若,,則()A.5 B.3 C.-12 D.-132.已知集合,,則A. B.C. D.3.已知四棱錐,底面ABCD是邊長為1的正方形,,平面平面ABCD,當(dāng)點C到平面ABE的距離最大時,該四棱錐的體積為()A. B. C. D.14.已知數(shù)列an滿足:an=2,n≤5a1A.16 B.17 C.18 D.195.若雙曲線的離心率為,則雙曲線的焦距為()A. B. C.6 D.86.設(shè),,分別是中,,所對邊的邊長,則直線與的位置關(guān)系是()A.平行 B.重合C.垂直 D.相交但不垂直7.設(shè)a,b,c為正數(shù),則“”是“”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不修要條件8.設(shè),,,則、、的大小關(guān)系為()A. B. C. D.9.拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,每次正反面出現(xiàn)的概率相同,連續(xù)拋擲5次,至少連續(xù)出現(xiàn)3次正面朝上的概率是()A. B. C. D.10.設(shè)等差數(shù)列的前n項和為,若,則()A. B. C.7 D.211.?dāng)?shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,則實數(shù)λ的最大值為()A. B. C. D.12.已知,,由程序框圖輸出的為()A.1 B.0 C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù),若關(guān)于的方程在定義域上有四個不同的解,則實數(shù)的取值范圍是_______.14.將一個半徑適當(dāng)?shù)男∏蚍湃肴鐖D所示的容器最上方的入口處,小球?qū)⒆杂上侣?小球在下落的過程中,將3次遇到黑色障礙物,最后落入袋或袋中.己知小球每次遇到黑色障礙物時,向左、右兩邊下落的概率都是,則小球落入袋中的概率為__________.15.已知角的終邊過點,則______.16.已知數(shù)列的前項和為,且成等差數(shù)列,,數(shù)列的前項和為,則滿足的最小正整數(shù)的值為______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在極坐標(biāo)系中,曲線的極坐標(biāo)方程為,直線的極坐標(biāo)方程為,設(shè)與交于、兩點,中點為,的垂直平分線交于、.以為坐標(biāo)原點,極軸為軸的正半軸建立直角坐標(biāo)系.(1)求的直角坐標(biāo)方程與點的直角坐標(biāo);(2)求證:.18.(12分)已知函數(shù).(1)求函數(shù)的零點;(2)設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于,兩點,求證:;(3)若,且不等式對一切正實數(shù)x恒成立,求k的取值范圍.19.(12分)已知函數(shù)(1)已知直線:,:.若直線與關(guān)于對稱,又函數(shù)在處的切線與垂直,求實數(shù)的值;(2)若函數(shù),則當(dāng),時,求證:①;②.20.(12分)如圖,四棱錐中,底面是菱形,對角線交于點為棱的中點,.求證:(1)平面;(2)平面平面.21.(12分)已知函數(shù),.(1)求函數(shù)在處的切線方程;(2)當(dāng)時,證明:對任意恒成立.22.(10分)已知函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為,(1)若,求不等式的解集;(2)證明:對任意的,恒有.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
由題得,,解得,,計算可得.【詳解】,,,,解得,,.故選:B【點睛】本題主要考查了等差數(shù)列的通項公式,前項和公式,考查了學(xué)生運算求解能力.2、D【解析】
因為,,所以,,故選D.3、B【解析】
過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.設(shè),將表示成關(guān)于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形,,所以.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設(shè),則,.因為,所以,所以,當(dāng)時,等號成立.此時EH與ED重合,所以,.故選:B.【點睛】本題考查空間中點到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運算求解能力,求解時注意輔助線及面面垂直的應(yīng)用.4、B【解析】
由題意可得a1=a2=a3=a4=a5=2,累加法求得a62+【詳解】解:an即a1=an?6時,a1a1兩式相除可得1+a則an2=由a6a7…,ak2=可得aa1且a1正整數(shù)k(k?5)時,要使得a1則ak+1則k=17,故選:B.【點睛】本題考查與遞推數(shù)列相關(guān)的方程的整數(shù)解的求法,注意將題設(shè)中的遞推關(guān)系變形得到新的遞推關(guān)系,從而可簡化與數(shù)列相關(guān)的方程,本題屬于難題.5、A【解析】
依題意可得,再根據(jù)離心率求出,即可求出,從而得解;【詳解】解:∵雙曲線的離心率為,所以,∴,∴,雙曲線的焦距為.故選:A【點睛】本題考查雙曲線的簡單幾何性質(zhì),屬于基礎(chǔ)題.6、C【解析】試題分析:由已知直線的斜率為,直線的斜率為,又由正弦定理得,故,兩直線垂直考點:直線與直線的位置關(guān)系7、B【解析】
根據(jù)不等式的性質(zhì),結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可.【詳解】解:,,為正數(shù),當(dāng),,時,滿足,但不成立,即充分性不成立,若,則,即,即,即,成立,即必要性成立,則“”是“”的必要不充分條件,故選:.【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.8、D【解析】
因為,,所以且在上單調(diào)遞減,且所以,所以,又因為,,所以,所以.故選:D.【點睛】本題考查利用指對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指對數(shù)的大小,難度一般.除了可以直接利用單調(diào)性比較大小,還可以根據(jù)中間值“”比較大小.9、A【解析】
首先求出樣本空間樣本點為個,再利用分類計數(shù)原理求出三個正面向上為連續(xù)的3個“1”的樣本點個數(shù),再求出重復(fù)數(shù)量,可得事件的樣本點數(shù),根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】樣本空間樣本點為個,具體分析如下:記正面向上為1,反面向上為0,三個正面向上為連續(xù)的3個“1”,有以下3種位置1____,__1__,____1.剩下2個空位可是0或1,這三種排列的所有可能分別都是,但合并計算時會有重復(fù),重復(fù)數(shù)量為,事件的樣本點數(shù)為:個.故不同的樣本點數(shù)為8個,.故選:A【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理,古典概型的概率計算公式,屬于基礎(chǔ)題10、B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以,所以,所以,故選:B【點睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項和公式,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】
利用等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)出λ,由d∈[1,2],能求出實數(shù)λ取最大值.【詳解】∵數(shù)列{an}是等差數(shù)列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是減函數(shù),∴d=1時,實數(shù)λ取最大值為λ.故選D.【點睛】本題考查實數(shù)值的最大值的求法,考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,是基礎(chǔ)題.12、D【解析】試題分析:,,所以,所以由程序框圖輸出的為.故選D.考點:1、程序框圖;2、定積分.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)的圖象有兩個交點,運用參變分離和構(gòu)造函數(shù),進而借助導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性與極值,畫出函數(shù)圖象,即可得到所求范圍.【詳解】已知定義在上的函數(shù)若在定義域上有四個不同的解等價于關(guān)于原點對稱的函數(shù)與函數(shù)f(x)=lnx-x(x>0)的圖象有兩個交點,聯(lián)立可得有兩個解,即可設(shè),則,進而且不恒為零,可得在單調(diào)遞增.由可得時,單調(diào)遞減;時,單調(diào)遞增,即在處取得極小值且為作出的圖象,可得時,有兩個解.故答案為:【點睛】本題考查利用利用導(dǎo)數(shù)解決方程的根的問題,還考查了等價轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)對稱性的應(yīng)用,屬于難題.14、【解析】記小球落入袋中的概率,則,又小球每次遇到黑色障礙物時一直向左或者一直向右下落,小球?qū)⒙淙氪?,所以有,則.故本題應(yīng)填.15、【解析】
由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,求得的值.【詳解】解:∵角的終邊過點,∴,,∴,故答案為:.【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義,兩角和差正弦公式,屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】
本題先根據(jù)公式初步找到數(shù)列的通項公式,然后根據(jù)等差中項的性質(zhì)可解得的值,即可確定數(shù)列的通項公式,代入數(shù)列的表達式計算出數(shù)列的通項公式,然后運用裂項相消法計算出前項和,再代入不等式進行計算可得最小正整數(shù)的值.【詳解】由題意,當(dāng)時,.當(dāng)時,.則,.,,成等差數(shù)列,,即,解得..,...,.即,,即,,,,即.滿足的最小正整數(shù)的值為1.故答案為:1.【點睛】本題主要考查數(shù)列求通項公式、裂項相消法求前項和,考查了轉(zhuǎn)化思想、方程思想,考查了不等式的計算、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1),;(2)見解析.【解析】
(1)將曲線的極坐標(biāo)方程變形為,再由可將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程,將直線的方程與曲線的方程聯(lián)立,求出點、的坐標(biāo),即可得出線段的中點的坐標(biāo);(2)求得,寫出直線的參數(shù)方程,將直線的參數(shù)方程與曲線的普通方程聯(lián)立,利用韋達定理求得的值,進而可得出結(jié)論.【詳解】(1)曲線的極坐標(biāo)方程可化為,即,將代入曲線的方程得,所以,曲線的直角坐標(biāo)方程為.將直線的極坐標(biāo)方程化為普通方程得,聯(lián)立,得或,則點、,因此,線段的中點為;(2)由(1)得,,易知的垂直平分線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),代入的普通方程得,,因此,.【點睛】本題考查曲線的極坐標(biāo)方程與普通方程之間的轉(zhuǎn)化,同時也考查了直線參數(shù)幾何意義的應(yīng)用,涉及韋達定理的應(yīng)用,考查計算能力,屬于中等題.18、(1)x=1(2)證明見解析(3)【解析】
(1)令,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,求出極小值,進而求解;(2)轉(zhuǎn)化思想,要證,即證,即證,構(gòu)造函數(shù)進而求證;(3)不等式對一切正實數(shù)恒成立,,設(shè),分類討論進而求解.【詳解】解:(1)令,所以,當(dāng)時,,在上單調(diào)遞增;當(dāng)時,,在單調(diào)遞減;所以,所以的零點為.(2)由題意,,要證,即證,即證,令,則,由(1)知,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立,所以,即,所以原不等式成立.(3)不等式對一切正實數(shù)恒成立,,設(shè),,記,△,①當(dāng)△時,即時,恒成立,故單調(diào)遞增.于是當(dāng)時,,又,故,當(dāng)時,,又,故,又當(dāng)時,,因此,當(dāng)時,,②當(dāng)△,即時,設(shè)的兩個不等實根分別為,,又,于是,故當(dāng)時,,從而在單調(diào)遞減;當(dāng)時,,此時,于是,即舍去,綜上,的取值范圍是.【點睛】(1)考查函數(shù)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性,零點;(2)考查轉(zhuǎn)化思想,構(gòu)造函數(shù)求極值;(3)考查分類討論思想,函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的求導(dǎo);屬于難題.19、(1)(2)①證明見解析②證明見解析【解析】
(1)首先根據(jù)直線關(guān)于直線對稱的直線的求法,求得的方程及其斜率.根據(jù)函數(shù)在處的切線與垂直列方程,解方程求得的值.(2)①構(gòu)造函數(shù),利用的導(dǎo)函數(shù)證得當(dāng)時,,由此證得.②由①知成立,整理得成立.利用構(gòu)造函數(shù)法證得,由此得到,即,化簡后得到.【詳解】(1)由解得必過與的交點.在上取點,易得點關(guān)于對稱的點為,即為直線,所以的方程為,即,其斜率為.又因為,所以,,由題意,解得.(2)因為,所以.①令,則,則,且,,時,,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增.因為,所以,因為,所以存在,使時,,單調(diào)遞增;時,,單調(diào)遞減;時,,單調(diào)遞增.又,所以時,,即,所以,即成立.②由①知成立,即有成立.令,即.所以時,,單調(diào)遞增;時,,單調(diào)遞減,所以,即,因為,所以,所以時,,即時,.【點睛】本小題考查函數(shù)圖象的對稱性,利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率,利用導(dǎo)數(shù)證明不等式等基礎(chǔ)知識;考查學(xué)生分析問題,解決問題的能力,推理與運算求解能力,轉(zhuǎn)化與化歸思想,數(shù)形結(jié)合思想和應(yīng)用意識.20、(1)詳見解析;(2)詳見解析.【解析】
(1)連結(jié)根據(jù)中位線的性質(zhì)證明即可.(2)證明,再證明平面即可.【詳解】解:證明:連結(jié)是菱形對角線的交點,為的中點,是棱的中點,平面平面平面解:在菱形中,且為的中點,,,平面平面,平面平面.【點睛】本題主要考查了線面平行與垂直的判定,屬于基礎(chǔ)題.21、(1)(2)見解析【解析】
(1)因為,可得,即可求得答案;(2)要證對任意恒成立,即證對任意恒成立.設(shè),,當(dāng)時,,即可求得答案.【詳解】(1),,,函數(shù)在處的切線方程為.(2)要證對任意恒成立.即證對任意恒成立.設(shè),,當(dāng)時,,,令,解得,當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞減;當(dāng)時,,函數(shù)在上單調(diào)遞增.,,,當(dāng)時,對任意恒成立,即當(dāng)時,對任意恒成立.【點睛】本題主要考查了求曲線的切線方程和求證不等式
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