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文檔簡介
湖南省邵東三中2025屆高考沖刺押題(最后一卷)數(shù)學(xué)試卷注意事項:1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時,選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動,先劃掉原來的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知集合,則()A. B. C. D.2.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過點(diǎn)且,則()A. B. C. D.3.五名志愿者到三個不同的單位去進(jìn)行幫扶,每個單位至少一人,則甲、乙兩人不在同一個單位的概率為()A. B. C. D.4.已知雙曲線的焦距為,若的漸近線上存在點(diǎn),使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,則雙曲線的離心率的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知a>0,b>0,a+b=1,若α=,則的最小值是()A.3 B.4 C.5 D.66.若函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在的圖象上,則的取值范圍是()A. B. C. D.7.已知是偶函數(shù),在上單調(diào)遞減,,則的解集是A. B.C. D.8.下列與函數(shù)定義域和單調(diào)性都相同的函數(shù)是()A. B. C. D.9.洛書,古稱龜書,是陰陽五行術(shù)數(shù)之源,在古代傳說中有神龜出于洛水,其甲殼上心有此圖象,結(jié)構(gòu)是戴九履一,左三右七,二四為肩,六八為足,以五居中,五方白圈皆陽數(shù),四角黑點(diǎn)為陰數(shù).如圖,若從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個數(shù),則其和等于11的概率是().A. B. C. D.10.展開項中的常數(shù)項為A.1 B.11 C.-19 D.5111.已知雙曲線(,)的左、右頂點(diǎn)分別為,,虛軸的兩個端點(diǎn)分別為,,若四邊形的內(nèi)切圓面積為,則雙曲線焦距的最小值為()A.8 B.16 C. D.12.已知非零向量,滿足,,則與的夾角為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.我國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》中記載“今有人共買物,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù)、物價各幾何?”設(shè)人數(shù)、物價分別為、,滿足,則_____,_____.14.在中,角所對的邊分別為,,的平分線交于點(diǎn)D,且,則的最小值為________.15.已知數(shù)列的各項均為正數(shù),滿足,.,若是等比數(shù)列,數(shù)列的通項公式_______.16.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為,、為雙曲線上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn),的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,的中點(diǎn)為,若,且直線的斜率為,則__________,雙曲線的離心率為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,在三棱柱中,為等邊三角形,,,平面,是線段上靠近的三等分點(diǎn).(1)求證:;(2)求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為直線垂直于軸,垂足為,與拋物線交于不同的兩點(diǎn),且過的直線與橢圓交于兩點(diǎn),設(shè)且.(1)求點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求的取值范圍.19.(12分)在中國,不僅是購物,而且從共享單車到醫(yī)院掛號再到公共繳費(fèi),日常生活中幾乎全部領(lǐng)域都支持手機(jī)支付.出門不帶現(xiàn)金的人數(shù)正在迅速增加。中國人民大學(xué)和法國調(diào)查公司益普索合作,調(diào)查了騰訊服務(wù)的6000名用戶,從中隨機(jī)抽取了60名,統(tǒng)計他們出門隨身攜帶現(xiàn)金(單位:元)如莖葉圖如示,規(guī)定:隨身攜帶的現(xiàn)金在100元以下(不含100元)的為“手機(jī)支付族”,其他為“非手機(jī)支付族”.(1)根據(jù)上述樣本數(shù)據(jù),將列聯(lián)表補(bǔ)充完整,并判斷有多大的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān)?(2)用樣本估計總體,若從騰訊服務(wù)的用戶中隨機(jī)抽取3位女性用戶,這3位用戶中“手機(jī)支付族”的人數(shù)為,求隨機(jī)變量的期望和方差;(3)某商場為了推廣手機(jī)支付,特推出兩種優(yōu)惠方案,方案一:手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可直減100元;方案二:手機(jī)支付消費(fèi)每滿1000元可抽獎2次,每次中獎的概率同為,且每次抽獎互不影響,中獎一次打9折,中獎兩次打8.5折.如果你打算用手機(jī)支付購買某樣價值1200元的商品,請從實際付款金額的數(shù)學(xué)期望的角度分析,選擇哪種優(yōu)惠方案更劃算?附:0.0500.0100.0013.8416.63510.82820.(12分)武漢有“九省通衢”之稱,也稱為“江城”,是國家歷史文化名城.其中著名的景點(diǎn)有黃鶴樓、戶部巷、東湖風(fēng)景區(qū)等等.(1)為了解“五·一”勞動節(jié)當(dāng)日江城某旅游景點(diǎn)游客年齡的分布情況,從年齡在22歲到52歲的游客中隨機(jī)抽取了1000人,制成了如圖的頻率分布直方圖:現(xiàn)從年齡在內(nèi)的游客中,采用分層抽樣的方法抽取10人,再從抽取的10人中隨機(jī)抽取4人,記4人中年齡在內(nèi)的人數(shù)為,求;(2)為了給游客提供更舒適的旅游體驗,該旅游景點(diǎn)游船中心計劃在2020年勞動節(jié)當(dāng)日投入至少1艘至多3艘型游船供游客乘坐觀光.由2010到2019這10年間的數(shù)據(jù)資料顯示每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量(單位:萬人)都大于1.將每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量數(shù)據(jù)分成3個區(qū)間整理得表:勞動節(jié)當(dāng)日客流量頻數(shù)(年)244以這10年的數(shù)據(jù)資料記錄的3個區(qū)間客流量的頻率作為每年客流量在該區(qū)間段發(fā)生的概率,且每年勞動節(jié)當(dāng)日客流量相互獨(dú)立.該游船中心希望投入的型游船盡可能被充分利用,但每年勞動節(jié)當(dāng)日型游船最多使用量(單位:艘)要受當(dāng)日客流量(單位:萬人)的影響,其關(guān)聯(lián)關(guān)系如下表:勞動節(jié)當(dāng)日客流量型游船最多使用量123若某艘型游船在勞動節(jié)當(dāng)日被投入且被使用,則游船中心當(dāng)日可獲得利潤3萬元;若某艘型游船勞動節(jié)當(dāng)日被投入?yún)s不被使用,則游船中心當(dāng)日虧損0.5萬元.記(單位:萬元)表示該游船中心在勞動節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤,的數(shù)學(xué)期望越大游船中心在勞動節(jié)當(dāng)日獲得的總利潤越大,問該游船中心在2020年勞動節(jié)當(dāng)日應(yīng)投入多少艘型游船才能使其當(dāng)日獲得的總利潤最大?21.(12分)在中,角的對邊分別為,且滿足.(Ⅰ)求角的大??;(Ⅱ)若的面積為,,求和的值.22.(10分)已知拋物線和圓,傾斜角為45°的直線過拋物線的焦點(diǎn),且與圓相切.(1)求的值;(2)動點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,動點(diǎn)在上,若在點(diǎn)處的切線交軸于點(diǎn),設(shè).求證點(diǎn)在定直線上,并求該定直線的方程.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
計算,再計算交集得到答案【詳解】,表示偶數(shù),故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了集合的交集,意在考查學(xué)生的計算能力.2、C【解析】
根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計算能力.3、D【解析】
三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1,求出甲、乙兩人在同一個單位的概率,利用互為對立事件的概率和為1即可解決.【詳解】由題意,三個單位的人數(shù)可能為2,2,1或3,1,1;基本事件總數(shù)有種,若為第一種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種情況;若為第二種情況,且甲、乙兩人在同一個單位,共有種,故甲、乙兩人在同一個單位的概率為,故甲、乙兩人不在同一個單位的概率為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查古典概型的概率公式的計算,涉及到排列與組合的應(yīng)用,在正面情況較多時,可以先求其對立事件,即甲、乙兩人在同一個單位的概率,本題有一定難度.4、B【解析】
由可得;由過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,則,進(jìn)而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經(jīng)過點(diǎn)所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點(diǎn)到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質(zhì)的應(yīng)用.5、C【解析】
根據(jù)題意,將a、b代入,利用基本不等式求出最小值即可.【詳解】∵a>0,b>0,a+b=1,∴,當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”號.
答案:C【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用,“1”的應(yīng)用,利用基本不等式求最值時,一定要正確理解和掌握“一正,二定,三相等”的內(nèi)涵:一正是首先要判斷參數(shù)是否為正;二定是其次要看和或積是否為定值(和定積最大,積定和最?。?;三相等是最后一定要驗證等號能否成立,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】
由題可知,可轉(zhuǎn)化為曲線與有兩個公共點(diǎn),可轉(zhuǎn)化為方程有兩解,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性,分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點(diǎn),關(guān)于直線的對稱點(diǎn)在上,即曲線與有兩個公共點(diǎn),即方程有兩解,即有兩解,令,則,則當(dāng)時,;當(dāng)時,,故時取得極大值,也即為最大值,當(dāng)時,;當(dāng)時,,所以滿足條件.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn),考查了學(xué)生綜合分析,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)形結(jié)合,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于較難題.7、D【解析】
先由是偶函數(shù),得到關(guān)于直線對稱;進(jìn)而得出單調(diào)性,再分別討論和,即可求出結(jié)果.【詳解】因為是偶函數(shù),所以關(guān)于直線對稱;因此,由得;又在上單調(diào)遞減,則在上單調(diào)遞增;所以,當(dāng)即時,由得,所以,解得;當(dāng)即時,由得,所以,解得;因此,的解集是.【點(diǎn)睛】本題主要考查由函數(shù)的性質(zhì)解對應(yīng)不等式,熟記函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調(diào)性等性質(zhì)即可,屬于常考題型.8、C【解析】
分析函數(shù)的定義域和單調(diào)性,然后對選項逐一分析函數(shù)的定義域、單調(diào)性,由此確定正確選項.【詳解】函數(shù)的定義域為,在上為減函數(shù).A選項,的定義域為,在上為增函數(shù),不符合.B選項,的定義域為,不符合.C選項,的定義域為,在上為減函數(shù),符合.D選項,的定義域為,不符合.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的定義域和單調(diào)性,屬于基礎(chǔ)題.9、A【解析】
基本事件總數(shù),利用列舉法求出其和等于11包含的基本事件有4個,由此能求出其和等于11的概率.【詳解】解:從四個陰數(shù)和五個陽數(shù)中分別隨機(jī)選取1個數(shù),基本事件總數(shù),其和等于11包含的基本事件有:,,,,共4個,其和等于的概率.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查概率的求法,考查古典概型等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
展開式中的每一項是由每個括號中各出一項組成的,所以可分成三種情況.【詳解】展開式中的項為常數(shù)項,有3種情況:(1)5個括號都出1,即;(2)兩個括號出,兩個括號出,一個括號出1,即;(3)一個括號出,一個括號出,三個括號出1,即;所以展開項中的常數(shù)項為,故選B.【點(diǎn)睛】本題考查二項式定理知識的生成過程,考查定理的本質(zhì),即展開式中每一項是由每個括號各出一項相乘組合而成的.11、D【解析】
根據(jù)題意畫出幾何關(guān)系,由四邊形的內(nèi)切圓面積求得半徑,結(jié)合四邊形面積關(guān)系求得與等量關(guān)系,再根據(jù)基本不等式求得的取值范圍,即可確定雙曲線焦距的最小值.【詳解】根據(jù)題意,畫出幾何關(guān)系如下圖所示:設(shè)四邊形的內(nèi)切圓半徑為,雙曲線半焦距為,則所以,四邊形的內(nèi)切圓面積為,則,解得,則,即故由基本不等式可得,即,當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故焦距的最小值為.故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)的簡單應(yīng)用,圓錐曲線與基本不等式綜合應(yīng)用,屬于中檔題.12、B【解析】
由平面向量垂直的數(shù)量積關(guān)系化簡,即可由平面向量數(shù)量積定義求得與的夾角.【詳解】根據(jù)平面向量數(shù)量積的垂直關(guān)系可得,,所以,即,由平面向量數(shù)量積定義可得,所以,而,即與的夾角為.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,平面向量夾角的求法,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
利用已知條件,通過求解方程組即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)人數(shù)、物價分別為、,滿足,解得,.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用,方程組的求解,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、9【解析】分析:先根據(jù)三角形面積公式得條件、再利用基本不等式求最值.詳解:由題意可知,,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得,化簡得,因此當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,則的最小值為.點(diǎn)睛:在利用基本不等式求最值時,要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號取得的條件)的條件才能應(yīng)用,否則會出現(xiàn)錯誤.15、【解析】
利用遞推關(guān)系,等比數(shù)列的通項公式即可求得結(jié)果.【詳解】因為,所以,因為是等比數(shù)列,所以數(shù)列的公比為1.又,所以當(dāng)時,有.這說明在已知條件下,可以得到唯一的等比數(shù)列,所以,故答案為:.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題,涉及到的知識點(diǎn)有根據(jù)遞推公式求數(shù)列的通項公式,屬于簡單題目.16、【解析】
設(shè),,根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得坐標(biāo),利用可得到點(diǎn)坐標(biāo)所滿足的方程,結(jié)合直線斜率可求得,進(jìn)而求得;將點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程,結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)可求得,進(jìn)而得到離心率.【詳解】左焦點(diǎn)為,雙曲線的半焦距.設(shè),,,,,,即,,即,又直線斜率為,即,,,,在雙曲線上,,即,結(jié)合可解得:,,離心率.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用問題,涉及到直線截雙曲線所得線段長度的求解、雙曲線離心率的求解問題;關(guān)鍵是能夠通過設(shè)點(diǎn)的方式,結(jié)合直線斜率、垂直關(guān)系、點(diǎn)在雙曲線上來構(gòu)造方程組求得所需變量的值.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)證明見解析(2)【解析】
(1)由,故,所以四邊形為菱形,再通過,證得,所以四邊形為正方形,得到.(2)根據(jù)(1)的論證,建立空間直角坐標(biāo),設(shè)平面的法向量為,由求得,再由,利用線面角的向量法公式求解.【詳解】(1)因為,故,所以四邊形為菱形,而平面,故.因為,故,故,即四邊形為正方形,故.(2)依題意,.在正方形中,,故以為原點(diǎn),所在直線分別為、、軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系;如圖所示:不紡設(shè),則,又因為,所以.所以.設(shè)平面的法向量為,則,即,令,則.于是.又因為,設(shè)直線與平面所成角為,則,所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角,還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.18、(1);(2).【解析】
(1)設(shè)出的坐標(biāo),代入,結(jié)合在拋物線上,求得兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),進(jìn)而求得點(diǎn)的坐標(biāo).(2)設(shè)出直線的方程,聯(lián)立直線的方程和橢圓方程,寫出韋達(dá)定理,結(jié)合,求得的表達(dá)式,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的取值范圍.【詳解】(1)可知,設(shè)則,又,所以解得所以.(2)據(jù)題意,直線的斜率必不為所以設(shè)將直線方程代入橢圓的方程中,整理得,設(shè)則①②因為所以且將①式平方除以②式得所以又解得又,所以令,則所以【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和拋物線的位置關(guān)系,考查直線和橢圓的位置關(guān)系,考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查向量模的坐標(biāo)運(yùn)算,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查運(yùn)算求解能力,屬于難題.19、(1)列聯(lián)表見解析,99%;(2),;(3)第二種優(yōu)惠方案更劃算.【解析】
(1)根據(jù)已知數(shù)據(jù)得出列聯(lián)表,再根據(jù)獨(dú)立性檢驗得出結(jié)論;(2)有數(shù)據(jù)可知,女性中“手機(jī)支付族”的概率為,知服從二項分布,即,可求得其期望和方差;(3)若選方案一,則需付款元,若選方案二,設(shè)實際付款元,,則的取值為1200,1080,1020,求出實際付款的期望,再比較兩個方案中的付款的金額的大小,可得出選擇的方案.【詳解】(1)由已知得出聯(lián)列表:,所以,有99%的把握認(rèn)為“手機(jī)支付族”與“性別”有關(guān);(2)有數(shù)據(jù)可知,女性中“手機(jī)支付族”的概率為,,;(3)若選方案一,則需付款元若選方案二,設(shè)實際付款元,,則的取值為1200,1080,1020,,,,選擇第二種優(yōu)惠方案更劃算【點(diǎn)睛】本題考查獨(dú)立性檢驗,二項分布的期望和方差,以及由期望值確定決策方案,屬于中檔題.20、(1);(2)投入3艘型游船使其當(dāng)日獲得的總利潤最大【解析】
(1)首先計算出在,內(nèi)抽取的人數(shù),然后利用超幾何分布概率計算公式,計算出.(2)分別計算出投入艘游艇時,總利潤的期望值,由此確定當(dāng)日游艇投放量.【詳解】(1)年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為150,年齡在內(nèi)的游客人數(shù)為100;若采用分層抽樣的方法抽取10人,則年齡在內(nèi)的人數(shù)為6人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為4人.可得.(2)①當(dāng)投入1艘型游船時,因客流量總大于1,則(萬元).
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