專題06 橢圓、雙曲線、拋物線（含直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）（考點(diǎn)清單+知識(shí)導(dǎo)圖+ 12個(gè)考點(diǎn)清單-題型解讀）（解析版）

清單06橢圓、雙曲線、拋物線（含直線與圓錐曲線的位置關(guān)系）（個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】相交弦中點(diǎn)（點(diǎn)差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際情況處理該式子。主要有以下幾種問(wèn)題：（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點(diǎn)，，【清單02】點(diǎn)差法：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入橢圓方程，得；；將兩式相減，可得；；最后整理得：同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，，代入拋物線方程，得；；將兩式相減，可得；整理得：【清單03】弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）【清單04】三角形面積問(wèn)題直線方程：【清單05】焦點(diǎn)三角形的面積直線過(guò)焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)【清單06】平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).【清單07】探索圓錐曲線的定值問(wèn)題常見方法有兩種：①?gòu)奶厥馊胧郑雀鶕?jù)特殊位置和數(shù)值求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)；②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．解答的關(guān)鍵是認(rèn)真審題，理清問(wèn)題與題設(shè)的關(guān)系，建立合理的方程或函數(shù)，利用等量關(guān)系統(tǒng)一變量，最后消元得出定值。?？碱}型：①與面積有關(guān)的定值問(wèn)題；②與角度有關(guān)的定值問(wèn)題；③與比值有關(guān)的定值問(wèn)題；④與參數(shù)有關(guān)的定值問(wèn)題；⑤與斜率有關(guān)的定值問(wèn)題【考點(diǎn)題型一】根據(jù)直線與圓錐曲線的位置關(guān)系求參數(shù)核心方法：聯(lián)立+判別法【例1】（24-25高二上·上海·課后作業(yè)）已知橢圓C的兩焦點(diǎn)為，，P為橢圓上一點(diǎn)，且到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為6.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若已知直線，當(dāng)m為何值時(shí)，直線與橢圓C有公共點(diǎn)？【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)得到c，由橢圓的定義求出a，進(jìn)而求出b的值，即可得出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，直線與橢圓C有公共點(diǎn)即所得一元二次方程有解，計(jì)算得出m的范圍.【詳解】（1）由題意可得：，即，可得，且橢圓焦點(diǎn)在x軸上，所以所求的橢圓方程為.（2）聯(lián)立方程，消去y得.由，得，則.所以當(dāng)時(shí)，直線與橢圓有公共點(diǎn).【變式1-1】（23-24高二上·福建龍巖·期中）已知橢圓的短軸長(zhǎng)和焦距均為.(1)求的方程；(2)若直線與沒(méi)有公共點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、求橢圓的長(zhǎng)軸、短軸、求橢圓的焦點(diǎn)、焦距、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）由已知條件求出、的值，可得出的值，由此可得出橢圓的方程；（2）將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，由可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：由題意得，得，則，所以的方程為.（2）解：聯(lián)立得，因?yàn)榕c沒(méi)有公共點(diǎn)，所以，得或，即的取值范圍為.【變式1-2】（24-25高二上·上海·期中）已知雙曲線過(guò)點(diǎn)且它的兩條漸近線方程為與.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)，求k的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求共漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍【分析】（1）利用共漸近線雙曲線系的方程可求雙曲線的方程；（2）聯(lián)系直線方程和雙曲線方程后利用判別式和韋達(dá)定理可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為與,故設(shè)雙曲線方程為：，因?yàn)殡p曲線過(guò)，故即，故雙曲線方程為：.（2）由可得，因?yàn)橹本€與雙曲線右支交于不同兩點(diǎn)，所以，故.【變式1-3】（24-25高三上·廣東·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，以和的準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成邊長(zhǎng)為的等邊三角形．(1)求的方程；(2)討論過(guò)點(diǎn)的直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、判斷直線與拋物線的位置關(guān)系【分析】（1）根據(jù)拋物線和等邊三角形的對(duì)稱性進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線是否存在斜率，結(jié)合一元二次方程根的判別式分類討論進(jìn)行求解即可.【詳解】（1）由題意得焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，以焦點(diǎn)和的準(zhǔn)線上的兩點(diǎn)為頂點(diǎn)可以構(gòu)成邊長(zhǎng)為的等邊三角形，而這個(gè)等邊三角形的高為，即焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，解得（負(fù)值舍去），所以的方程為．（2）若直線的斜率存在，設(shè)的方程為．由方程組可得．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，解得，此時(shí)方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，與只有一個(gè)公共點(diǎn)；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，方程的根的判別式為，（?。┯?，解得或，此時(shí)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，與只有一個(gè)公共點(diǎn)；（ⅱ）由，解得或，此時(shí)方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)解，與有兩個(gè)公共點(diǎn)；（ⅲ）由，解得，或，此時(shí)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，與沒(méi)有公共點(diǎn)；若直線的斜率不存在，則直線的方程為，易知與沒(méi)有公共點(diǎn)．綜上，當(dāng)?shù)姆匠虨榛虻男甭驶驎r(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；當(dāng)?shù)男甭驶?或時(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；當(dāng)?shù)男甭蕰r(shí)，與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為2．【考點(diǎn)題型二】中點(diǎn)弦問(wèn)題核心方法：點(diǎn)差法+韋達(dá)定理法【例2-1】（24-25高二上·陜西·期中）已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)Mx,y滿足直線與的斜率之積為2.記點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)若，是曲線上兩點(diǎn)，試判斷點(diǎn)能否成為線段的中點(diǎn)，如果可以，求出直線的方程；如果不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)（且）(2)不可以，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線的軌跡方程、求弦中點(diǎn)所在的直線方程或斜率【分析】（1）由斜率公式化簡(jiǎn)即可得解；（2）設(shè)在曲線上，且中點(diǎn)為，分是否相等兩種情況討論即可，注意用點(diǎn)差法求得斜率后，還應(yīng)該檢驗(yàn)是否和頂點(diǎn)重合，由此即可得解.【詳解】（1）由題意，顯然且，所以的方程為（且）；（2）設(shè)在曲線上（），且中點(diǎn)為，則（且），所以，所以直線為即，，聯(lián)立，整理得，，解得x=1或，但這與且矛盾，故不符合題意；設(shè)在曲線上（），且中點(diǎn)為，但根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可知，中點(diǎn)應(yīng)該為，這與中點(diǎn)為，矛盾；綜上所述，不存在滿足題意的直線的方程.【例2-2】（24-25高二上·河南駐馬店·階段練習(xí)）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，離心率為．(1)求橢圓的方程；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)能否作一條直線，使直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且使得是線段的中點(diǎn)，若存在，求出它的方程；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求弦中點(diǎn)所在的直線方程或斜率【分析】（1）根據(jù)橢圓的頂點(diǎn)及離心率即可得出橢圓方程；（2）當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系建立方程求斜率即可得解.【詳解】（1）橢圓的頂點(diǎn)為，，又，，，橢圓的方程為：．（2）當(dāng)過(guò)點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí)，顯然不成立，設(shè)直線的斜率為，則其方程為：，如圖，

聯(lián)立方程組，消去并整理，得：，由在橢圓內(nèi)部可知，方程有兩不等實(shí)根，設(shè)Ax，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，，，故存在這樣的直線，方程為：，即，【變式2-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，離心率為．(1)求橢圓和拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，求直線的斜率．【答案】(1)橢圓的方程為；拋物線的方程為(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率【分析】（1）根據(jù)橢圓方程和離心率可得，即可得橢圓方程，根據(jù)焦點(diǎn)可得拋物線方程；（2）設(shè)的坐標(biāo)，利用點(diǎn)差法即可得斜率.【詳解】（1）由橢圓方程可知：，因?yàn)?，解得，又因?yàn)?，所以橢圓的方程為；可知橢圓的焦點(diǎn)為，則拋物線的焦點(diǎn)為1,0，可得，即所以拋物線的方程為.（2）顯然點(diǎn)在橢圓內(nèi)，可知直線與橢圓必相交，如圖所示：設(shè)，中點(diǎn)為，則，，，因?yàn)閮牲c(diǎn)在橢圓上，可得，兩式相減可得，整理可得，即，可得，所以直線的斜率為.【變式2-2】（23-24高二上·河北邢臺(tái)·階段練習(xí)）設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，已知.(1)求拋物線的方程；(2)已知直線交拋物線于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，求直線的方程.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題、拋物線的中點(diǎn)弦、根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程【分析】（1）因?yàn)?，所以，即軸，因?yàn)閽佄锞€的通徑長(zhǎng)為，代入即可得解；（2）易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，然后利用點(diǎn)差法結(jié)合條件可得斜率進(jìn)而即得,【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即軸.令，可得，，，所以，得，故拋物線的方程為.（2）如圖，易知直線的斜率存在，設(shè)直線的斜率為，則兩式相減得，整理得.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，所以直線的方程為，即.由直線過(guò)點(diǎn)，必和拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以直線的方程為.【考點(diǎn)題型三】求弦長(zhǎng)（定值）核心方法：弦長(zhǎng)公式【例3】（24-25高二上·吉林延邊·階段練習(xí)）已知雙曲線C:x2a2?y2(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)是雙曲線與圓在第一象限的交點(diǎn)，求的面積.(3)過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為，求PQ.【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)雙曲線過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線中的弦長(zhǎng)、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問(wèn)題【分析】（1）由已知，再將點(diǎn)代入雙曲線方程可得解；（2）聯(lián)立雙曲線與圓可得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得三角形面積；（3）由已知可得直線方程，聯(lián)立直線與雙曲線，結(jié)合韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式可得解.【詳解】（1）由已知雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為，即得，所以雙曲線方程為，又雙曲線過(guò)點(diǎn)，則，解得，則雙曲線方程；（2）聯(lián)立雙曲線與圓的方程，即，解得，由點(diǎn)在第一象限，則，又，所以；（3）由已知直線，即，

聯(lián)立直線與雙曲線，即，得，，且，，則弦長(zhǎng).【變式3-1】（24-25高二上·云南昆明·期中）已知橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，且橢圓的離心率，其左右焦點(diǎn)分別為，.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)斜率為且過(guò)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，求.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓中的弦長(zhǎng)【分析】（1）由橢圓的基本性質(zhì)得到橢圓的值，寫出橢圓方程.（2）寫出直線方程，聯(lián)立方程組，由韋達(dá)定理得到和，用交點(diǎn)弦長(zhǎng)公式得到線段長(zhǎng)，即可求解.【詳解】（1）由題意可知：，則，因?yàn)椋?，得到，所以橢圓的方程為.（2），所以直線，聯(lián)立方程組消得到，設(shè)，則，，所以.【變式3-2】（陜西省漢中市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期11月期中校際聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到直線的距離相等.(1)求點(diǎn)的軌跡的方程；(2)設(shè)點(diǎn)，為軌跡上不同的兩點(diǎn)，若線段的中垂線方程為，求線段的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求平面軌跡方程、求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)【分析】（1）根據(jù)題意得到方程，化簡(jiǎn)得到；（2）設(shè)Mx1,y1，求出，得到的中點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線的方程，聯(lián)立后，由弦長(zhǎng)公式求出答案.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)Px,y，根據(jù)題意有，上式兩邊同時(shí)平方得：，化簡(jiǎn)得，點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）設(shè)Mx1,y1，N線段的中垂線方程為，直線的斜率，由點(diǎn)Mx1,y1，N兩式相減得，又，故，，故，直線的方程為，即，聯(lián)立方程消去整理得，易知，，即線段的長(zhǎng)為.【考點(diǎn)題型四】求弦長(zhǎng)（最值或范圍）核心方法：【例4】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，直線與直線交于點(diǎn)，當(dāng)直線的傾斜角為時(shí)，．(1)求拋物線的方程；(2)設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)、求拋物線的切線方程【分析】（1）聯(lián)立直線與拋物線方程得韋達(dá)定理，根據(jù)弦長(zhǎng)公式即可求解，（2）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，進(jìn)而利用導(dǎo)數(shù)求解斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求解切線方程，即可聯(lián)立兩直線方程得，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求解，即可代入化簡(jiǎn)求解.【詳解】（1）當(dāng)?shù)男甭蕿闀r(shí)，則，不妨設(shè)Ax1,y由可得，，所以，,即，因?yàn)椋獾茫海畯亩鴴佄锞€的方程為（2）由題意可知直線有斜率，設(shè)直線，Ax1由可得，，則所以，于是，即而由，則，于是拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為即同理可得，在點(diǎn)處的切線的方程為聯(lián)立，解得，于是則從而所以，的取值范圍是【變式4-1】（23-24高二上·廣東東莞·期中）已知橢圓：的兩焦點(diǎn)，，且橢圓過(guò).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸負(fù)半軸交于點(diǎn)，若點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，求的取值范圍.【答案】(1)(2),．【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓中的弦長(zhǎng)、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）由題意列出方程組，求解即可；（2）設(shè)直線的方程為為不等于0的實(shí)數(shù)），聯(lián)立直線方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理可得中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而得線段的中垂線方程，求出的縱坐標(biāo)，結(jié)合題意求得，由弦長(zhǎng)公式可得，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出其值域即得答案．【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓的方程為：；（2）因?yàn)樽蠼裹c(diǎn)，由題意可得直線的斜率存在且不為0，設(shè)直線的方程為為不等于0的實(shí)數(shù)），，，，，由，可得，則，，，所以，所以的中點(diǎn)為，，所以線段的中垂線方程為：，令，則，即點(diǎn)縱坐標(biāo)為，又因?yàn)槭桥c軸交于負(fù)半軸，所以，，又因?yàn)辄c(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為，所以，解得，又因?yàn)?，因?yàn)?，令，，由于函?shù)在單調(diào)遞增，所以在,上單調(diào)遞增，所以，，所以，，即的取值范圍為：,．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.【變式4-2】（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)的直線與的左?右支分別交于點(diǎn)，與圓：交于（異于）兩點(diǎn).(1)求直線斜率的取值范圍；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線中的弦長(zhǎng)、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、圓的弦長(zhǎng)與中點(diǎn)弦、由直線與圓的位置關(guān)系求參數(shù)【分析】（1）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2（2）利用弦長(zhǎng)公式求解，利用垂徑定理求得，從而求得的表達(dá)式，然后設(shè)，利用二次函數(shù)性質(zhì)求解范圍即可.【詳解】（1）設(shè)Ax1,設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立得，所以，又兩點(diǎn)在軸同一側(cè)，所以.此時(shí)，即.圓的方程為，點(diǎn)到直線的距離，由得，由得，所以或因?yàn)橹本€的斜率，所以直線斜率的取值范圍是.（2）由（1）可得.，所以設(shè)，則，所以的取值范圍是.

【考點(diǎn)題型五】根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)核心方法：【例5】（24-25高二上·江蘇蘇州·期中）平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)C滿足條件：的周長(zhǎng)為，記動(dòng)點(diǎn)C的軌跡為曲線W.(1)求W的方程；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)B的直線l與曲線W交于兩點(diǎn)，如果，求直線l的方程.【答案】(1)(2)或【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、軌跡問(wèn)題——橢圓、根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)【分析】（1）利用橢圓的定義求解橢圓方程即可；（2）分直線的斜率不存在和存在兩種情況，直線與橢圓聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式計(jì)算即可.【詳解】（1），因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，所以，所以點(diǎn)的軌跡滿足橢圓的定義，，又因?yàn)?，所以，并且點(diǎn)不能在軸上，所以點(diǎn)的軌跡方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，不合題意；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，設(shè)，直線的方程為y=kx?1，與橢圓方程聯(lián)立得：，所以，由弦長(zhǎng)公式得解得，所以的方程為或.【變式5-1】（2025·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且互相垂直的兩條動(dòng)直線分別與E交于點(diǎn)A，B和點(diǎn)C，D，當(dāng)時(shí)，．(1)求E的方程；(2)設(shè)線段AB，CD的中點(diǎn)分別為M，N，若直線AB的斜率為正，且，求直線AB和CD的方程．【答案】(1)(2)，【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、由弦長(zhǎng)求參數(shù)、拋物線的中點(diǎn)弦、根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線【分析】（1）設(shè)，聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合弦長(zhǎng)公式可得，分析可知，，代入運(yùn)算即可；（2）根據(jù)（1）結(jié)論可得：，，利用弦長(zhǎng)公式運(yùn)算求解即可.【詳解】（1）由題意可知：，直線的斜率存在且不為0，此時(shí)直線AB、CD均與拋物線相交，

設(shè)，則，聯(lián)立方程，消去可得，則，可得，若，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨令直線的傾斜角為，即，可得，解得，所以拋物線的方程為.（2）由（1）可知：，，，且，則，即，同理可得：，由題意可知：，則，因?yàn)?，解得，則，，即，.【變式5-2】（2024·浙江寧波·一模）已知是雙曲線：上一點(diǎn)，的漸近線方程為.(1)求的方程；(2)直線過(guò)點(diǎn)，且與的兩支分別交于，兩點(diǎn).若，求直線的斜率.【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)雙曲線過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)雙曲線的漸近線求標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線中的弦長(zhǎng)、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)雙曲線經(jīng)過(guò)的點(diǎn)以及漸近線方程即可聯(lián)立方程求解，（2）聯(lián)立直線與雙曲線方程可得韋達(dá)定理，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式以及弦長(zhǎng)公式可求解，即可代入化簡(jiǎn)求解.【詳解】（1）由題意可得，解得，故雙曲線方程為（2）由題意可知：直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，聯(lián)立可得，由韋達(dá)定理可得，由于，化簡(jiǎn)得，故，,故，故，平方可得，解得或，由于與的兩支分別交于，兩點(diǎn)，故，當(dāng)時(shí)，代入不符合，故舍去，將其代入，經(jīng)檢驗(yàn)符合，綜上可得【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用兩點(diǎn)斜率公式以及弦長(zhǎng)公式求解.【考點(diǎn)題型六】拋物線非焦點(diǎn)弦問(wèn)題核心方法：【例6】（24-25高二上·山西·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，過(guò)點(diǎn)且與軸垂直的直線交于兩點(diǎn)，是與的一個(gè)公共點(diǎn)，，.(1)求與的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過(guò)點(diǎn)且與相切的直線與交于點(diǎn)，求.【答案】(1)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)【分析】（1）由拋物線的定義代入計(jì)算，即可求得的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將點(diǎn)的坐標(biāo)代入橢圓方程，即可得到的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)題意，聯(lián)立直線與拋物線方程，結(jié)合弦長(zhǎng)公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）記，則拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為.因?yàn)?，所以，解得，則的標(biāo)準(zhǔn)方程為.不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，記，因?yàn)?，所以，解?因?yàn)?，所以，?由解得所以的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則.設(shè)直線.聯(lián)立得.由，解得，則.設(shè).聯(lián)立得，則，故.【變式6-1】（2024·內(nèi)蒙古赤峰·一模）已知拋物線上一點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5，過(guò)點(diǎn)做兩條互相垂直的弦、．(1)求拋物線的方程．(2)求的最小值．【答案】(1)(2)16【知識(shí)點(diǎn)】拋物線定義的理解、根據(jù)拋物線方程求焦點(diǎn)或準(zhǔn)線、根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)【分析】（1）首先得到拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)與準(zhǔn)線方程，依題意根據(jù)拋物線的定義得到，解得即可；（2）設(shè)直線方程為，且，，聯(lián)立直線與拋物線方程，表示出弦長(zhǎng)，同理得到，再由基本不等式計(jì)算可得.【詳解】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，由題可知，解得或（舍），所以，拋物線的方程為．（2）依題意直線的斜率存在且不為，設(shè)直線方程為，且，，聯(lián)立，可得，顯然，所以，，則．同理，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為16．【考點(diǎn)題型七】拋物線焦點(diǎn)弦問(wèn)題核心方法：【例7】（24-25高二上·陜西渭南·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與交于兩點(diǎn).當(dāng)軸時(shí)，.(1)求的方程；(2)若，求直線的方程.【答案】(1)(2)或.【知識(shí)點(diǎn)】與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾何性質(zhì)、拋物線的通徑問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)可得兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用可求的方程.（2）設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立，結(jié)合過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)公式可求直線的方程.【詳解】（1）由題意得，，把代入得，即，∴，解得，∴的方程為：.（2）由（1）得直線斜率存在，F(xiàn)1,0，設(shè)，由得，，∴，由得，，解得，∴直線的方程為或.【變式7-1】（23-24高二下·上海青浦·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與交于點(diǎn)．(1)若直線的斜率為，求的面積；(2)若，求線段的中點(diǎn)到軸的距離．【答案】(1)(2)1【知識(shí)點(diǎn)】三角形面積公式及其應(yīng)用、求直線與拋物線相交所得弦的弦長(zhǎng)、拋物線中的三角形或四邊形面積問(wèn)題、與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾何性質(zhì)【分析】（1）寫出直線的方程，與拋物線聯(lián)立，求出，的值，進(jìn)而得出，則由求出的面積；（2）因?yàn)槭墙裹c(diǎn)弦，所以能求出值，設(shè)出直線方程與拋物線聯(lián)立，解出直線方程，把中點(diǎn)橫坐標(biāo)代入求出縱坐標(biāo)即為所求.【詳解】（1）因?yàn)閽佄锞€，焦點(diǎn)為F1,0，直線的斜率為，所以直線的方程為，即，聯(lián)立得，則，，，則，又所以，.（2）因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與交于點(diǎn)，設(shè)，，因?yàn)椋灾本€斜率一定存在，設(shè)方程為，組成方程組，則有，則，，，因?yàn)?，所以，則，當(dāng)時(shí)，直線方程為，且，所以中點(diǎn)縱坐標(biāo)為，此時(shí)中點(diǎn)到軸的距離為，根據(jù)對(duì)稱性，當(dāng)時(shí)，中點(diǎn)到軸的距離也為，所以線段的中點(diǎn)到軸的距離為.【考點(diǎn)題型八】圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積（定值問(wèn)題）核心方法：面積公式+弦長(zhǎng)公式+點(diǎn)到直線的距離【例8】（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知橢圓分別為左右焦點(diǎn)，短軸長(zhǎng)為2，點(diǎn)為橢圓在第一象限的動(dòng)點(diǎn)，的周長(zhǎng)為.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，求點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)若，直線交橢圓于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且的面積為，求的值.【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】余弦定理解三角形、根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中三角形（四邊形）的面積【分析】（1）根據(jù)題意列式求，即可得方程；（2）利用余弦定理可得，設(shè)，利用面積和方程運(yùn)算求解即可；（3）聯(lián)立方程，利用韋達(dá)定理可得，結(jié)合面積關(guān)系分析求解即可.【詳解】（1）設(shè)，則，且，由題意可知：，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由（1）可知：，且，由余弦定理可得，即，解得，設(shè)，由的面積可得，即，解得，且，則，可得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.（3）因?yàn)橹本€過(guò)定點(diǎn)，且點(diǎn)在橢圓C內(nèi)，則直線與橢圓C必相交，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x可得，則，可得，則的面積為，解得（負(fù)值舍去），所以的值為.【變式8-1】（24-25高三上·江西南昌·階段練習(xí)）已知雙曲線的右頂點(diǎn)，點(diǎn)到雙曲線一條漸近線的距離為.若過(guò)雙曲線上一點(diǎn)作直線與兩條漸近線相交，交點(diǎn)為，且分別在第一象限和第四象限(1)求雙曲線的方程；(2)若，求的面積.【答案】(1)；(2)【知識(shí)點(diǎn)】已知點(diǎn)到直線距離求參數(shù)、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、已知方程求雙曲線的漸近線、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問(wèn)題【分析】（1）求出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式求解即得.（2）設(shè)直線方程為，與雙曲線的漸近線方程結(jié)合求出點(diǎn)的坐標(biāo)并代入雙曲線方程，再求出的縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值即可求出面積.【詳解】（1）依題意，，雙曲線的漸近線為，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）顯然直線不垂直于軸，設(shè)直線方程為，則直線交軸于點(diǎn)，由（1）知，雙曲線的漸近線為，設(shè)，由消去得，則，，有，由，得為線段中點(diǎn)，點(diǎn)，而點(diǎn)在雙曲線：上，于是，整理得，又，所以的面積.【變式8-2】（23-24高二下·重慶·期中）已知點(diǎn)，在拋物線上.(1)若，記線段的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到y(tǒng)軸的最短距離；(2)若點(diǎn)，在直線上，且滿足四邊形為正方形，求此正方形的面積.【答案】(1)點(diǎn)到軸的最短距離為，點(diǎn)的坐標(biāo)為或(2)或【知識(shí)點(diǎn)】拋物線上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離及最值、拋物線中的三角形或四邊形面積問(wèn)題、直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題【分析】（1）利用拋物線定義以及三角形的邊長(zhǎng)之間的不等式得到點(diǎn)到軸的最短距離，根據(jù)點(diǎn)到軸的最短距離可知三點(diǎn)共線，然后聯(lián)立直線方程和拋物線方程，利用韋達(dá)定理即可求解；（2）由題意可得，且，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程，利用弦長(zhǎng)公式求出AB，再根據(jù)直線和直線之間的距離等于AB，可求出，進(jìn)而可得出答案.【詳解】（1）由拋物線方程可知，其焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程：，從而，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，不等式取等號(hào)，設(shè)線段的中點(diǎn)為到軸的距離為，由拋物線定義和梯形中位線性質(zhì)可知，，即，從而點(diǎn)到軸的最短距離為，不妨設(shè)，且此時(shí)三點(diǎn)共線，不妨設(shè)，，直線的方程為：，由，恒成立，則，，從而，即，從而，即，故點(diǎn)的坐標(biāo)為或；（2）由題意可得，且，設(shè)直線的方程為，則直線和直線之間的距離，聯(lián)立，消得，，所以，設(shè)，，則，所以，所以，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)正方形的面積為，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)正方形的面積為，綜上所述，正方形的面積為或.【考點(diǎn)題型九】圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積（最值或范圍問(wèn)題）核心方法：面積公式+弦長(zhǎng)公式+點(diǎn)到直線的距離+基本不等式+一元二次函數(shù)【例9】（24-25高三上·湖南·階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿足：．(1)求動(dòng)點(diǎn)E的軌跡方程；(2)過(guò)作直線交曲線的y軸左側(cè)部分于A，B兩點(diǎn)，過(guò)作直線交曲線的y軸右側(cè)部分于C，D兩點(diǎn)，且，依次連接A，B，C，D四點(diǎn)得四邊形ABCD，求四邊形ABCD的面積的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】利用雙曲線定義求方程、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問(wèn)題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)題意，由雙曲線的定義即可得到，即可得到軌跡方程；（2）根據(jù)題意，設(shè)直線為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理與弦長(zhǎng)公式代入計(jì)算，即可得到面積的表達(dá)式，再由函數(shù)的單調(diào)性即可得到其范圍.【詳解】（1）由，得，所以動(dòng)點(diǎn)E的軌跡是以，為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸長(zhǎng)的雙曲線，而且，，，所以所求軌跡方程為.（2）由題意可知且，∴四邊形ABCD為平行四邊形，直線AB，CD的斜率必不為0，所以可設(shè)直線為，，，聯(lián)立，化簡(jiǎn)得，所以，解得，∴，原點(diǎn)O到直線的距離為，所以，令，又，則，記，易知在單調(diào)遞增，所以當(dāng)，即時(shí)，有最小值6，時(shí)，，所以，故平行四邊形ABCD的面積的取值范圍為．【變式9-1】（24-25高二上·北京·期中）已知和為橢圓上的兩點(diǎn).(1)求橢圓C的方程和離心率；(2)設(shè)直線與橢圓C交于A、B兩點(diǎn)，求三角形AOB面積的取值范圍.【答案】(1)，；(2)【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)橢圓過(guò)的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、求橢圓中的弦長(zhǎng)、橢圓中三角形（四邊形）的面積、求橢圓中的最值問(wèn)題【分析】（1）利用，兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出，再利用求出，進(jìn)而得到橢圓方程與離心率；（2）聯(lián)立橢圓方程與直線方程，求出AB弦長(zhǎng)，再求出點(diǎn)O到AB的距離，求出三角形AOB面積，研究該函數(shù)的最值即可.【詳解】（1）解：和為橢圓上的兩點(diǎn)，所以，解之得，，又因?yàn)?，所?所以橢圓C的方程為，離心率.（2）解：聯(lián)立方程，消去得，因?yàn)椋栽O(shè)交點(diǎn)，，則，，所以.又因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以三角形AOB面積令，則（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立），也就是當(dāng)時(shí)，三角形AOB面積取最大值又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以三角形AOB面積的取值范圍是.【變式9-2】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)直線與E的交點(diǎn)為，直線與傾斜角互補(bǔ).（i）求的值；（ii）若，求面積的最大值.【答案】(1)(2)（i）；（ii）【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線中的三角形或四邊形面積問(wèn)題、拋物線中的定值問(wèn)題、直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題【分析】（1）把點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線方程，可求的值.（2）（i）把直線方程代入拋物線方程，消去，得到關(guān)于的一元二次方程，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到和，把直線與傾斜角互補(bǔ)，轉(zhuǎn)化成，可求的值；（ii）先求弦長(zhǎng)，再求到直線的距離，可表示出的面積，再結(jié)合基本不等式可求面積的最大值.【詳解】（1）由題意可知，，所以，所以拋物線的方程為.（2）（i）如圖：設(shè)，將直線的方程代入得：，所以，因?yàn)橹本€與傾斜角互補(bǔ)，所以，即，所以，即，所以.（ii）由（i）可知，所以，則，因?yàn)?，所以，即，又點(diǎn)到直線的距離為，所以，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以面積最大值為.【考點(diǎn)題型十】圓錐曲線中的向量問(wèn)題【例10】（2024·陜西商洛·一模）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是，點(diǎn)在雙曲線上，且直線的斜率之積為3．(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率不為0的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，君，求點(diǎn)到直線的距離的最大值．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】求點(diǎn)到直線的距離、根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線中的最值問(wèn)題、雙曲線中向量點(diǎn)乘問(wèn)題【分析】（1）直線的斜率之積為3，構(gòu)造方程求出，再將點(diǎn)代入方程即可；（2）設(shè)直曲聯(lián)立，借助韋達(dá)定理，由，所以，結(jié)合韋達(dá)定理，求出，再用點(diǎn)到直線距離計(jì)算即可.【詳解】（1）由題意可得，則直線的斜率，直線的斜率．因?yàn)橹本€的斜率之積為3，所以，解得．因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，解得．故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）設(shè)直線聯(lián)立整理得則所以．因?yàn)?，所以，所以即化?jiǎn)得，故．由點(diǎn)到直線的距離公式可得，點(diǎn)到直線的距離．因?yàn)椋?，所以，即點(diǎn)到直線的距離的最大值是．【變式10-1】（24-25高二上·甘肅武威·期中）已知曲線的左右焦點(diǎn)為，P是曲線E上一動(dòng)點(diǎn)(1)求△的周長(zhǎng)；(2)過(guò)的直線與曲線E交于AB兩點(diǎn)，且，求直線AB的方程；【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】橢圓中向量共線比例問(wèn)題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)、橢圓中焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)問(wèn)題【分析】（1）先由曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程求得，再利用橢圓的定義即可得解；（2）設(shè)Ax1,y1,Bx2,y2，由題意設(shè)直線AB：，聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到【詳解】（1）∵曲線E：∴，則∴∴，，故△的周長(zhǎng)為.（2）依題意，知直線AB斜率存在且不為，設(shè)直線AB：，設(shè)A聯(lián)立，消去，得，恒成立，由韋達(dá)定理得：因?yàn)?F2所以

則，從而有,消去，得，即所以直線AB的方程為，即.

【變式10-2】（24-25高三上·上海·期中）已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)且與拋物線有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，.(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程；(2)求直線的斜率的取值范圍；(3)若直線交軸于，直線交軸于，設(shè)為原點(diǎn)，，，求的值.【答案】(1)x=?1；(2)；(3)2.【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線中的參數(shù)范圍問(wèn)題、拋物線中的定值問(wèn)題、直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題【分析】（1）將點(diǎn)代入求參數(shù)，即可得準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)且，聯(lián)立拋物線結(jié)合判別式求參數(shù)范圍；（3）根據(jù)題意，設(shè)直線，和，由向量的線性關(guān)系求得、，應(yīng)用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)求值即可.【詳解】（1）由在拋物線上，可得，故，則準(zhǔn)線為x=?1；（2）由題意，直線的斜率存在且不為0，設(shè)且，聯(lián)立拋物線得，所以，則，故直線的斜率范圍是.（3）由題意，根據(jù)（2）易知，當(dāng)直線與拋物線相切，即k=1時(shí)過(guò)，令，，且，且，，若，得，所以，同理得，而，故，，由題意，同理可得，所以，而，，所以.【考點(diǎn)題型十一】圓錐曲線中的定點(diǎn)問(wèn)題【例11】（24-25高二上·浙江寧波·期中）設(shè)拋物線：，F(xiàn)是其焦點(diǎn)，已知拋物線上一點(diǎn)，且(1)求該拋物線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)F作兩條互相垂直的直線和，分別交曲線C于點(diǎn)A，B和K，N.設(shè)線段AB，KN的中點(diǎn)分別為P，Q，求證:直線恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).【答案】(1)(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】拋物線定義的理解、根據(jù)拋物線上的點(diǎn)求標(biāo)準(zhǔn)方程、拋物線中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)題意可得，進(jìn)而求解即可；（2）分別建立的方程，再分別與拋物線聯(lián)立方程組，求出弦中點(diǎn)為的坐標(biāo)，最后借助斜率的變化確定直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn).【詳解】（1）由題意，得，解得，，所以該拋物線的方程為.（2）證明：設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.由題意可設(shè)直線的方程為.由，得，則，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.同理可得，點(diǎn)的坐標(biāo)為.當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)直線的斜率.所以，直線的方程為，整理得.于是，直線恒過(guò)定點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，也過(guò)點(diǎn).綜上所述，直線恒過(guò)定點(diǎn).

【變式11-1】（24-25高三上·江西南昌·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)在直線上，分別為的左?右頂點(diǎn)，且.(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)的右頂點(diǎn)為，點(diǎn)是上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且直線與的斜率之和為，證明：直線過(guò)定點(diǎn).【答案】(1)；(2)證明見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題【分析】（1）先求出點(diǎn)的坐標(biāo)，得出橢圓的半焦距，進(jìn)一步求得與的值，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)可出答案.（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立橢圓方程消去，利用韋達(dá)定理代入，然后可得，即可得證.【詳解】（1）由直線與軸的交點(diǎn)為1,0，得橢圓右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為1,0，故，由題意可得，得，.橢圓的方程為：；（2）由的方程可知，若直線的斜率不存在，則關(guān)于軸對(duì)稱，直線與的斜率互為相反數(shù)，不符合題意；故設(shè)直線的方程為，且均不與重合，由得，，，，，令，解得，直線的方程為，即，直線過(guò)定點(diǎn)2,3.【變式11-2】（24-25高二上·遼寧·期中）在平面直角坐標(biāo)系中，，分別為雙曲線的左?右焦點(diǎn)，已知，為雙曲線上的兩動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則的長(zhǎng)為.(1)求的方程；(2)設(shè)，，記的面積為，的面積為，若，求的取值范圍；(3)已知點(diǎn)在軸上方，直線過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)且與軸交于點(diǎn)，若的延長(zhǎng)線與交于點(diǎn)，問(wèn)是否存在軸上方的點(diǎn)，使得成立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)(3)不存在，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)a、b、c求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求雙曲線的焦距、雙曲線中存在定點(diǎn)滿足某條件問(wèn)題【分析】(1)由雙曲線基本性質(zhì)列式計(jì)算可得；(2)由面積公式，結(jié)合不等式計(jì)算求解可得；(3)根據(jù)向量坐標(biāo)表示計(jì)算求解可得.【詳解】（1）設(shè)，由點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，得①因?yàn)?，所以，得②，又③，由①②③得，，所以雙曲線的方程為；（2）設(shè)，因?yàn)?，，所以?由，得，即，又，則，解得，所以，即的取值范圍是；（3）不存在軸上方的點(diǎn)使得成立.理由如下：設(shè)Ax1,y1，B①當(dāng)直線的斜率大于零時(shí)，由圖象對(duì)稱性，可知，關(guān)于軸對(duì)稱，則，其中，，又，，所以，，，則，同理，由，得，因此，所以，設(shè)直線，由消去，得，且，所以，故，又，所以，，由，得，所以此時(shí)這樣的點(diǎn)不存在.②當(dāng)直線的斜率小于零時(shí)，由圖象對(duì)稱性，可知，關(guān)于軸對(duì)稱，則，又，所以此時(shí)這樣的點(diǎn)不存在.綜上，不存在滿足條件的點(diǎn).【考點(diǎn)題型十二】圓錐曲線中的定值問(wèn)題【例12】（24-25高二上·云南大理·期中）如圖，已知圓，圓心是點(diǎn)，點(diǎn)是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，線段的垂直平分線交線段于點(diǎn)，記動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過(guò)點(diǎn)作一條直線與曲線相交于兩點(diǎn)，與軸相交于點(diǎn)，若，試探究是否為定值?若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)為定值【知識(shí)點(diǎn)】利用橢圓定義求方程、軌跡問(wèn)題——橢圓、橢圓中的定值問(wèn)題、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合橢圓的定義即可求解，（2）聯(lián)立直線與橢圓方程可得韋達(dá)定理，即可根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算表示，且，代入化簡(jiǎn)即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椋?，所以，半徑，因?yàn)榫€段的中垂線交線段于點(diǎn)，所以，所以，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以，為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為的橢圓，所以，，，故曲線的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為，與軸不相交，不合題意，舍去，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)所在直線方程為，設(shè)Ax1,由消去整理得，恒成立，所以，又因?yàn)橹本€與軸的交點(diǎn)為，所以，所以，，，，又因?yàn)?，所以，同理，所以，且，所以，整理后得，所以為定值，原題得證.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值與范圍問(wèn)題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．【變式12-1】（24-25高三上·山東濟(jì)寧·階段練習(xí)）已知，，平面上有動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為1.(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程.(2)過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（在第一象限），過(guò)點(diǎn)的直線與交于點(diǎn)（在第三象限），記直線，的斜率分別為，，且.①求證：直線過(guò)定點(diǎn)；②試判斷與的面積之比是否為定值，若為定值，請(qǐng)求出該定值；若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)，；(2)①證明見解析；②存在，.【知識(shí)點(diǎn)】雙曲線中的定值問(wèn)題、雙曲線中的直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題、求雙曲線中三角形（四邊形）的面積問(wèn)題、求雙曲線的軌跡方程【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，結(jié)合斜率的兩點(diǎn)式及斜率乘積為1列方程求軌跡；（2）①設(shè)直線的方程為，聯(lián)立曲線，應(yīng)用韋達(dá)定理及求參數(shù)t，即可證定點(diǎn)；②應(yīng)用面積公式即可判斷面積比是否為定值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為，.（2）由題意，而，即，①設(shè)直線的方程為，，，，，聯(lián)立，得，，，且，∴，整理得，韋達(dá)公式代入并整理得，得或（直線過(guò)B點(diǎn)，舍），∴直線方程為，即直線過(guò)定點(diǎn)，得證；②此時(shí)，，故．【變式12-2】（24-25高二上·江蘇揚(yáng)州·期中）已知拋物線的準(zhǔn)線與軸的交點(diǎn)為．(1)求拋物線的方程；(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相切，求直線的方程；(3)若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，證明：為定值．【答案】(1)；(2)或；(3)證明見解析.【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線寫出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、求拋物線的切線方程、拋物線中的定值問(wèn)題、直線與拋物線交點(diǎn)相關(guān)問(wèn)題【分析】（1）根據(jù)題設(shè)有，即可得拋物線方程；（2）討論斜率存在性，并設(shè)聯(lián)立拋物線，利用求參數(shù)，即可得直線方程；（3）令為，，聯(lián)立拋物線并應(yīng)用韋達(dá)定理化簡(jiǎn)，即可證.【詳解】（1）由題設(shè)知，則；（2）由題意，直線的斜率不存在時(shí)，與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，但不相切，令，聯(lián)立拋物線得，所以，則或，所以直線為或.（3）由題意，斜率一定存在，令為，，聯(lián)立拋物線得，則，，而，，所以.提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·云南昆明·期中）設(shè)是橢圓上的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（

）A． B． C． D．4【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】求橢圓中的最值問(wèn)題【分析】設(shè)，則，把轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問(wèn)題求解.【詳解】設(shè)，則，，.易知，所以，.當(dāng)時(shí)，有最大值，為：.所以的最大值為：.故選：A2．（24-25高二上·山西·期中）已知橢圓，過(guò)點(diǎn)的直線交于、兩點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由弦中點(diǎn)求弦方程或斜率【分析】設(shè)、，利用點(diǎn)差法可求得直線的斜率.【詳解】若線段軸，則線段的中點(diǎn)在軸上，不合乎題意，所以，直線的斜率存在，設(shè)、，由題意可得，，則，兩式相減可得，所以，，解得，因此，直線的斜率為.故選：A.3．（24-25高二上·安徽·期中）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若直線的斜率為正數(shù)，且，則直線在軸上的截距是（

）A．1 B．－1 C． D．【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)弦長(zhǎng)求參數(shù)【分析】設(shè)出直線的橫截式方程，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用弦長(zhǎng)公式求解出值，則結(jié)果可求.【詳解】設(shè)，聯(lián)立，消去化簡(jiǎn)整理得，所以，于是，解得，故直線的方程為，令，解得，所以直線在軸上的截距為，故選：D.4．（24-25高二上·河南·階段練習(xí)）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】由中點(diǎn)弦坐標(biāo)或中點(diǎn)弦方程、斜率求參數(shù)、根據(jù)韋達(dá)定理求參數(shù)【分析】求出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理列式求解即得.【詳解】直線的斜率，其方程為，由消去得，，由AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，得，整理得，而，解得，此時(shí)，，所以C的方程為.故選：A5．（24-25高三上·湖南長(zhǎng)沙·期中）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線交于兩點(diǎn)，在第一象限，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)(0,2)，則的面積為（

）A． B．C． D．5【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】與拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)的幾何性質(zhì)、拋物線中的三角形或四邊形面積問(wèn)題、拋物線定義的理解【分析】根據(jù)焦點(diǎn)可得，即可根據(jù)圓心到軸距離以及圓的半徑可得圓與與相切，即可求解，可得，聯(lián)立直線方程與拋物線方程得韋達(dá)定理，即可根據(jù)焦點(diǎn)弦公式以及點(diǎn)到直線距離求解面積.【詳解】由題意知，解得，所以拋物線，設(shè)坐標(biāo)為,又拋物線的焦半徑可知,故圓的半徑為故以為直徑的圓的圓心圓心到軸的距離為以為直徑的圓的與相切，且切點(diǎn)為(0,2)，故因此，故，直線為，聯(lián)立，消去得，，所以，.O到直線AB的距離，所以的面積為故選：B6．（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）定義：直線叫作雙曲線的準(zhǔn)線．已知雙曲線的準(zhǔn)線過(guò)橢圓的焦點(diǎn)，則直線與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是（

）．A． B．C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍【分析】由橢圓和雙曲線的性質(zhì)求解參數(shù)，然后再由直線和橢圓聯(lián)立方程來(lái)研究至多一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，即可作出選項(xiàng)的判斷.【詳解】曲線的右準(zhǔn)線是，它過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，所以，所以，所以橢圓方程為．①，把代入①，得，②，由②的判別式，得，得到，所以，直線與橢圓至多有一個(gè)交點(diǎn)的充要條件是，故選：A．7．（24-25高二上·陜西西安·階段練習(xí)）已知雙曲線，過(guò)右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)．且，這樣的直線有4條，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【知識(shí)點(diǎn)】求雙曲線中的弦長(zhǎng)、根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求參數(shù)或范圍【分析】根據(jù)直線與雙曲線相交的情形，分兩種情況討論：①直線只與雙曲線右支相交，②直線與雙曲線的兩支都相交，分析其弦長(zhǎng)的最小值，利用符合條件的直線的數(shù)目，可得答案．【詳解】設(shè)，令，則，過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，如果在同一支上，則有，如果在兩支上，則有，因?yàn)檫@樣的直線有4條，所以，解得，故選：B8．（24-25高三上·全國(guó)·階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)焦點(diǎn)的直線與拋物線交于異于原點(diǎn)的，兩點(diǎn)，若在直線上存在點(diǎn)，使得四邊形是平行