專題03 直線的方程及其位置關(guān)系（考點清單+知識導(dǎo)圖+16個考點清單-題型解讀）（解析版）-25學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講

清單03直線的方程及其位置關(guān)系（個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】直線斜率的坐標(biāo)公式如果直線經(jīng)過兩點，（），那么可得到如下斜率公式：（1）當(dāng)時，直線與軸垂直，直線的傾斜角，斜率不存在；（2）斜率公式與兩點坐標(biāo)的順序無關(guān)，橫縱坐標(biāo)的次序可以同時調(diào)換；（3）當(dāng)時，斜率，直線的傾斜角，直線與軸重合或者平行?！厩鍐?2】兩條直線平行對于兩條不重合的直線，，其斜率分別為，，有.對兩直線平行與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②與不重合．(2)當(dāng)兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.(3)兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.【清單03】兩條直線垂直如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于；反之，如果它們的斜率之積等于，那么它們互相垂直，即.對兩直線垂直與斜率的關(guān)系要注意以下幾點(1)成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在；②且.(2)兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．(3)判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．【清單04】直線的點斜式方程已知條件（使用前提）直線過點和斜率（已知一點+斜率）圖示點斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）【清單05】直線的斜截式方程已知條件（使用前提）直線的斜率為且在軸上的縱截距為（已知斜率+縱截距）圖示點斜式方程形式適用條件斜率存在（注直線若斜率不存在不可使用該形式直線方程）【清單06】直線的截距式方程已知條件（使用前提）直線在軸上的截距為，在軸上的截距為圖示點斜式方程形式適用條件，【清單07】直線的一般式方程定義:關(guān)于,的二元一次方程都表示一條直線.我們把關(guān)于,的二元一次方程(其中,不同時為0)叫做直線的一般式方程,簡稱一般式.說明：1．、不全為零才能表示一條直線，若、全為零則不能表示一條直線.當(dāng)時，方程可變形為，它表示過點，斜率為的直線．當(dāng)，時，方程可變形為，即，它表示一條與軸垂直的直線．由上可知，關(guān)于、的二元一次方程，它都表示一條直線．2．在平面直角坐標(biāo)系中，一個關(guān)于、的二元一次方程對應(yīng)著唯一的一條直線，反過來，一條直線可以對應(yīng)著無數(shù)個關(guān)于、的一次方程.3.解題時,如無特殊說明,應(yīng)把最終結(jié)果化為一般式.【清單08】兩條直線的交點坐標(biāo)直線：（）和：（）的公共點的坐標(biāo)與方程組的解一一對應(yīng).與相交方程組有唯一解，交點坐標(biāo)就是方程組的解；與平行方程組無解；與重合方程組有無數(shù)個解.【清單09】兩點間的距離平面上任意兩點，間的距離公式為特別地，原點與任一點的距離.【清單10】點到直線的距離平面上任意一點到直線：的距離.【清單11】兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）：（）間的距離.【清單12】對稱問題點關(guān)于直線對稱問題（聯(lián)立兩個方程）求點關(guān)于直線：的對稱點①設(shè)中點為利用中點坐標(biāo)公式得，將代入直線：中；②整理得：【考點題型一】斜率與傾斜角變換關(guān)系核心方法：圖象法【例1】（24-25高二上·湖北黃岡·期中）已知點，若，則直線AB的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】直線的傾斜角、斜率與傾斜角的變化關(guān)系、已知兩點求斜率【分析】利用兩點式求斜率，結(jié)合參數(shù)范圍有，根據(jù)斜率與傾斜角關(guān)系確定傾斜角范圍.【詳解】由題設(shè)，則直線AB的傾斜角的取值范圍為.故選：B【變式1-1】（24-25高二上·河北張家口·期中）如圖，直線，，，的斜率分別為，，，，則（

）

A． B．C． D．【答案】D【知識點】斜率與傾斜角的變化關(guān)系【分析】由圖可知直線的傾斜角為鈍角，斜率為負，直線的傾斜角為銳角，斜率為正，以及根據(jù)傾斜角的大小判斷斜率的大小可得答案.【詳解】直線的傾斜角為鈍角，斜率為負，且直線的傾斜角大于直線的傾斜角，直線的傾斜角為銳角，斜率為正，直線的傾斜角大于直線的傾斜角，所以．故選：D.【變式1-2】（24-25高二上·廣東廣州·期中）設(shè)直線l的斜率為k，且，則直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】斜率與傾斜角的變化關(guān)系【分析】按照的正負分類討論．【詳解】時，傾斜角的范圍是，當(dāng)時，傾斜角的范圍是，綜上，傾斜角范圍是．故選：B．【考點題型二】直線與線段有公共點，求斜率取值范圍核心方法：圖象法【例2】（24-25高二上·廣東惠州·期中）已知點，過點的直線與線段（含端點）有公共點，則直線的斜率的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】求出，再結(jié)合圖形求出斜率的取值范圍即可.【詳解】解：因為P，，所以，因為直線與線段AB（含端點）有公共點，則或故直線的斜率的范圍為.故選：D.【變式2-1】（24-25高二上·河南信陽·期中）已知，B2,1，，經(jīng)過點C作直線l，若直線l與線段AB沒有公共點，則直線l的傾斜角的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】直線的傾斜角、斜率與傾斜角的變化關(guān)系、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】由題知，或，再根據(jù)斜率范圍求解傾斜角的范圍即可.【詳解】設(shè)直線l的斜率為，直線l的傾斜角為，則，因為直線的斜率為，直線的斜率為，因為直線l經(jīng)過點，且與線段沒有公共點，所以，或，即或，因為，所以，故直線l的傾斜角的取值范圍是．故選：C．

【變式2-2】（24-25高二上·廣東深圳·期中）已知點，若過點的直線與線段AB相交，則該直線斜率的取值范圍是（

）A． B． C． D．[1,4]【答案】D【知識點】直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】記為點，求出的斜率，結(jié)合圖象可得結(jié)論．【詳解】記為點，則直線PA的斜率，直線PB的斜率，因為直線過點，且與線段AB相交，結(jié)合圖象，可得直線的斜率的取值范圍是[1,4].故選：D．【考點題型三】利用斜率的幾何意義求代數(shù)值（范圍）核心方法：圖象+轉(zhuǎn)化【例3】（2024高二·全國·專題練習(xí)）已知實數(shù)x，y滿足，且．(1)求的取值范圍；(2)求的取值范圍．【答案】(1)(2)【知識點】求分式型目標(biāo)函數(shù)的最值、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】（1）由題意畫出圖形，再由的幾何意義為線段上的點與定點O0,0連線的斜率，即可求出的取值范圍；（2）由題意畫出圖形，再由的幾何意義為線段上的點與定點連線的斜率，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）如圖，由于點Px,y滿足關(guān)系式，且，所以點在線段上移動，且兩點的坐標(biāo)分別為，．由于的幾何意義是直線的斜率，且，，所以的取值范圍是．（2）因為的幾何意義是過，兩點的直線的斜率，由題意可知點在線段上移動，且兩點的坐標(biāo)分別為，．則，，所以．所以的取值范圍為．【變式3-1】（22-23高二上·四川雅安·開學(xué)考試）已知實數(shù)x，y滿足，且，求的最大值和最小值.【答案】最大值為3，最小值為【知識點】直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】作出對應(yīng)圖象，利用斜率與傾斜角的關(guān)系，找出其邊界情況即可求解.【詳解】由于點滿足關(guān)系式，且，可知點在線段AB上移動，并且A，B兩點的坐標(biāo)可分別求得為，.令，易得的幾何意義是直線PQ的斜率，且，，如圖：所以的最大值為3，最小值為.【考點題型四】求直線方程【例4】（24-25高二上·重慶·期中）已知的三個頂點分別是，，.(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)求邊上的中線所在的直線方程；(3)求角平分線所在的直線方程.【答案】(1)(2)(3)【知識點】已知兩點求斜率、直線的點斜式方程及辨析、由兩條直線垂直求方程、根據(jù)直線的方向向量求直線方程【分析】（1）利用斜率坐標(biāo)公式及垂直關(guān)系求出高所在直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得；（2）求出中點坐標(biāo)及中線所在直線的斜率，再利用直線的點斜式方程求解即得；（3）先求出直線的單位向量，結(jié)合角平分線求出角平分線所在的直線的方向向量，結(jié)合方向向量和直線斜率的關(guān)系即可求出斜率，再根據(jù)點斜式即可求解.【詳解】（1）直線的斜率，則邊上的高所在的直線斜率為，直線又過，所以AB邊上的高所在的直線方程為，即.（2）依題意，邊的中點，因此邊上的中線所在直線的斜率，直線又過，所以邊上的中線所在直線的方程為，即.（3）由題意知：,故與同方向的單位向量為：，與同方向的單位向量為：，故角平分線所在的直線的方向向量為：，設(shè)角平分線所在的直線的斜率為，又直線的方向向量可以表示為，，直線又過，故角平分線所在的直線方程為：，即.【變式4-1】（24-25高二上·天津濱海新·期中）已知點，，，根據(jù)條件求出直線方程，并化為一般式方程(1)求過點A且與平行的直線方程；(2)邊上的中線所在直線的方程；(3)邊上的高所在直線方程；(4)邊的垂直平分線的方程.【答案】(1)；(2)；(3)；(4).【知識點】直線的點斜式方程及辨析、由兩條直線平行求方程、由兩條直線垂直求方程【分析】（1）根據(jù)平行求直線斜率，寫出直線點斜式方程，化成一般式.（2）求出線段中點坐標(biāo)，分析可得直線方程.（3）利用垂直求直線斜率，寫出直線點斜式方程，化成一般式.（4）求出線段中點坐標(biāo)，利用垂直求直線斜率，寫出直線點斜式方程，化成一般式.【詳解】（1）的斜率：，所求直線的方程為，整理得.（2）因為，，所以的中點坐標(biāo)為，因為，所以邊上的中線所在直線的方程.（3）的斜率：，所以邊上的高所在直線方程的斜率，邊上的高所在直線方程：，整理得.（4）由題意知：的中點坐標(biāo)為，，邊的垂直平分線的斜率：，邊的垂直平分線的方程：，整理得.【考點題型五】兩條直線平行與垂直關(guān)系的判定核心方法：斜率相等或斜率相乘為-1【例5】（24-25高二上·貴州六盤水·期中）（1）已知，，，判斷，，三點是否在同一條直線上；（2）已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過，兩點，判斷與是否垂直.【答案】（1）三點在同一直線上；（2）與互相垂直【知識點】由斜率判斷兩條直線平行、由斜率判斷兩條直線垂直【分析】（1）計算可得，可得結(jié)論；（2）計算可得，可得結(jié)論.【詳解】（1）因為A0,3，B4,0，所以，又直線均過點，所以點三點在同一條直線上；（2）因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率，因為直線經(jīng)過，兩點，所以，所以，所以與互相垂直.【變式5-1】（24-25高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）（1）判斷下列不同的直線與是否平行：的斜率為2，經(jīng)過兩點；（2）判斷下列直線與是否垂直；的傾斜角為45°，經(jīng)過兩點．【答案】（1）；（2）；【知識點】已知兩點求斜率、由斜率判斷兩條直線垂直、由斜率判斷兩條直線平行【分析】（1）計算的斜率，根據(jù)兩直線斜率相等，即可判斷出結(jié)論；（2）計算出，的斜率，根據(jù)斜率之積即可判斷出結(jié)論.【詳解】（1）的斜率為2，經(jīng)過兩點，則的斜率為，即，的斜率相等，且兩直線不同，故；（2）的傾斜角為45°，且斜率為1，經(jīng)過兩點，則的斜率為，即兩直線斜率之積等于，故.【變式5-2】（24-25高二上·全國·課堂例題）判斷下列兩條直線是否垂直，并說明理由：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【知識點】由斜率判斷兩條直線垂直【分析】（1）由兩直線斜率乘積等于得垂直；（2）由兩直線斜率乘積等于得垂直；（3）由兩直線一條斜率為0，一條斜率不存在得垂直．【詳解】（1）兩直線的斜率，，由，則．（2）兩直線的斜率，，由，則．（3）的斜率為0，的斜率不存在，．【考點題型六】根據(jù)兩條直線平行與垂直關(guān)系求參數(shù)核心方法：斜率相等或斜率相乘為-1【例6-1】（24-25高二上·浙江·期中）已知，兩直線，若，則的最小值為（

）A．12 B．20 C．26 D．32【答案】D【知識點】基本不等式“1”的妙用求最值、已知直線垂直求參數(shù)【分析】由垂直關(guān)系可構(gòu)造關(guān)于a,b的方程，再結(jié)合基本不等式即可求得的最小值.【詳解】由得：，化簡得：，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故選：D.【變式6-1】（24-25高二上·廣東·期中）已知直線與.若，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【知識點】已知直線平行求參數(shù)【分析】根據(jù)直線平行列方程，從而求得的值.【詳解】由于，所以，此時兩直線方程分別為，不重合，符合題意，所以.故選：B【變式6-2】（24-25高二上·福建福州·期中）直線與直線平行，則．【答案】-3【知識點】已知直線平行求參數(shù)【分析】根據(jù)兩直線平行的判定方法，列方程計算求出的值并檢驗即得.【詳解】依題意，可得且，解得或，因，故.故答案為：-3.【變式6-3】（24-25高二上·遼寧·期中）已知直線：，：，若，則的值為.【答案】或【知識點】已知直線垂直求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，利用直線垂直的充要條件列式計算即得.【詳解】直線：，：，由，得，所以或.故答案為：或【考點題型七】求平行，垂直的直線方程核心方法：斜率相等或斜率相乘為-1【例7】（24-25高二上·云南楚雄·階段練習(xí)）求滿足下列條件的直線的方程：(1)直線過點，且與直線平行；(2)直線過點，且與直線垂直.【答案】(1)(2)【知識點】直線的點斜式方程及辨析、由兩條直線平行求方程、由兩條直線垂直求方程【分析】分別利用平行與垂直求出直線斜率，再由點斜式直線方程可得.【詳解】（1）直線與直線平行，可得的斜率.又過點，由點斜式可得：，即：.（2）由直線的斜率為，直線與直線垂直，所以直線的斜率，又過點，由點斜式可得：，即：.【變式7-1】（24-25高二上·北京順義·期中）經(jīng)過點且與直線平行的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】由兩條直線平行求方程【分析】先根據(jù)直線平行設(shè)出直線方程，再代入點即可求解．【詳解】由直線經(jīng)過點且與直線平行，可設(shè)直線方程為：，將代入，即，解得：，故直線方程為：．故選：B．【變式7-2】（24-25高二上·江蘇鹽城·期中）過點，且與直線垂直的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】B【知識點】由兩條直線垂直求方程【分析】根據(jù)兩直線垂直設(shè)直線方程為，代入點坐標(biāo)解出即可.【詳解】由題意可設(shè)與直線垂直的直線方程為，代入點得，解得，則該直線方程為.故選：B.【考點題型八】直線過定點問題核心方法：兩條直線相交交點坐標(biāo)【例8】（24-25高二上·江蘇揚州·期中）對于任意的實數(shù)，直線恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】直線過定點問題【分析】分離參數(shù)，聯(lián)立方程組可得解.【詳解】直線，即，令，解得，即直線恒過定點，故選：B.【變式8-1】（24-25高二上·浙江·期中）直線經(jīng)過的定點坐標(biāo)為.【答案】【知識點】直線過定點問題【分析】整理成關(guān)于的方程，從而得到方程組，解出即可.【詳解】，即，則，解得，則其經(jīng)過定點.故答案為：.【變式8-2】（24-25高二上·浙江·期中）直線經(jīng)過的定點坐標(biāo)是．【答案】【知識點】直線過定點問題【分析】化直線方程為，即可得出答案.【詳解】化直線方程為：，即定點坐標(biāo)為．故答案為：.【考點題型九】直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題（定值）核心方法：三角形面積公式【例9】（24-25高二上·湖北武漢·期中）已知的頂點，邊AB上的中線CD所在直線方程為，邊AC上的高線BE所在直線方程為．(1)求邊BC所在直線的方程；(2)求的面積．【答案】(1)(2)【知識點】直線的點斜式方程及辨析、由兩條直線垂直求方程、求平面兩點間的距離、求點到直線的距離【分析】（1）利用，求出直線AC的方程，聯(lián)立CD所在直線方程，解出，設(shè)利用中點坐標(biāo)公式求解出，又因為在直線BE上，在CD上，求解出，從而得到BC所在直線的方程.（2）利用點到直線的距離公式求解到直線BC的距離，再用兩點間的距離求解出，從而求出的面積.【詳解】（1）因為，所以設(shè)直線AC的方程為：，將代入得，所以直線AC的方程為：，聯(lián)立AC，CD所在直線方程：，解得，設(shè)，因為為AB的中點，所以，因為在直線BE上，在CD上，所以，，解得，，所以，，所以BC所在直線的方程為：，即．（2）由（1）知點到直線BC的距離為：，又，所以．【變式9-1】（24-25高二上·福建福州·期中）已知的三個頂點是，，.(1)求邊上的高所在的直線方程；(2)求的面積.【答案】(1)(2)3【知識點】三角形面積公式及其應(yīng)用、已知兩點求斜率、直線的點斜式方程及辨析、求點到直線的距離【分析】（1）由斜率的定義得到直線AC的斜率，再由兩直線垂直得到高線的斜率，然后由點斜式求出即可；（2）方法一由斜率值積關(guān)系得到，再由三角形面積公式求出即可；方法二由點斜式得到直線AC的方程，再由點到距離的公式求出，然后由三角形面積求解即可；方法三由向量的數(shù)量積為零得到，再由向量的模長和三角形的面積公式求出即可；【詳解】（1）由題意可得：直線AC的斜率則AC邊上的高所在直線的斜率，又這條直線過點，所以直線方程為，即.（2）（方法一）因為，所以，所以，所以，因為，所以，（方法二）由(1)知直線AC的斜率，則直線AC的方程為，即，點到直線的距離，因為，，（方法三）因為，所以，所以，因為，所以.【變式9-2】（24-25高二上·山東煙臺·期中）已知的頂點，邊上的高所在直線方程為，的平分線所在的直線方程為．(1)求直線的方程和點C的坐標(biāo)；(2)求的面積．【答案】(1)，(2)7【知識點】直線的點斜式方程及辨析、求直線交點坐標(biāo)、求點到直線的距離、求點關(guān)于直線的對稱點【分析】（1）聯(lián)立，得，因為的平分線所在的直線方程為，所以點關(guān)于直線的對稱點在直線上，所以，由此可得直線的方程；根據(jù)垂直直線的直線系方程可設(shè)直線的方程為，代入點可求，進而聯(lián)立直線和即可;（2）求出點到直線的距離，利用兩點間的距離公式求出，再利用三角形面積公式求解即可.【詳解】（1）因為邊上的高所在直線方程為，的平分線所在的直線方程為，所以聯(lián)立，得，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，所以解得，即，所以，所以直線的方程為．因為邊上的高所在直線方程為，所以設(shè)直線的方程為，代入，得所以直線的方程為，聯(lián)立，解得．（2）因為邊所在直線方程為，所以，點A到直線的距離，，所以．【考點題型十】直線與坐標(biāo)軸圍成圖形面積問題（最值）核心方法：三角形面積公式+基本不等式【例10】（24-25高二上·福建福州·期中）平面直角坐標(biāo)系Oxy中，射線，，過作直線分別與交于A，B兩點.(1)若，求直線的方程;(2)求面積的最小值.【答案】(1)(2)【知識點】直線的點斜式方程及辨析、三線能圍成三角形的問題【分析】（1）直線上去交點坐標(biāo)，由向量的關(guān)系，建立方程，解得一個交點坐標(biāo)，寫出直線方程；（2）討論直線斜率是否存在，當(dāng)斜率不存在時，顯然沒有三角形，舍去；當(dāng)斜率存在時，設(shè)直線方程，聯(lián)立方程組求解出點坐標(biāo)得到的值，由點到直線的距離公式得到三角形的高，用三角形面積公式得到三角形面積的表達式，通過的取值范圍得到函數(shù)的最小值.【詳解】（1）設(shè)，，則，∵，∴，∴，則，∴，即（2）當(dāng)直線與的斜率不存在時，，與兩個交點重合，舍去；當(dāng)直線與的斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立方程組解得，即；同理，聯(lián)立方程組，解得，即，原點到直線的距離∵，∴，當(dāng)時，最大，此時取最小值，∴最小值為.【變式10-1】（24-25高二上·廣東·期中）已知直線.(1)求原點到直線l距離的最大值：(2)若直線l分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于A，B兩點，當(dāng)面積最小時，求對應(yīng)的直線l的方程.【答案】(1)(2)【知識點】直線截距式方程及辨析、直線過定點問題、求點到直線的距離【分析】（1）確定直線過定點，當(dāng)時，原點到直線的距離最大，結(jié)合兩點間距離公式可求；（3）設(shè)直線的方程為，，由直線過定點，可得，然后結(jié)合基本不等式可求．【詳解】（1）（1）直線可化為，令，解得，，即直線恒過定點；當(dāng)時，原點到直線的距離最大，此時最大值；（2）設(shè)直線的方程為，，因為直線過定點，所以，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，得，故面積，即面積的最小值為4，此時直線方程為，即．【變式10-2】（24-25高二上·福建福州·階段練習(xí)）已知直線.(1)直線經(jīng)過定點嗎？若經(jīng)過定點，求出定點坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點，說明理由；(2)求原點到直線距離的最大值；(3)若直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于兩點，當(dāng)面積最小時，求對應(yīng)的直線的方程.【答案】(1)直線恒過定點；(2)(3)面積的最小值為4，直線方程為【知識點】直線過定點問題、求平面兩點間的距離、求點到直線的距離、直線圍成圖形的面積問題【分析】（1）直線可化為，然后結(jié)合直線系方程可求；（2）當(dāng)時，原點到直線的距離最大，結(jié)合兩點間距離公式可求；（3）設(shè)直線的方程為，，由直線過定點，可得，然后結(jié)合基本不等式可求．【詳解】（1）直線可化為，令，解得，，即直線恒過定點；（2）當(dāng)時，原點到直線的距離最大，此時最大值；（3）設(shè)直線的方程為，，因為直線過定點，所以，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，時取等號，得，故面積，即面積的最小值為4，此時直線方程為，即．【考點題型十一】易錯點根據(jù)截距求直線方程核心方法：分類討論【例11】（24-25高二上·福建三明·階段練習(xí)）直線l過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程為．【答案】或【知識點】已知兩點求斜率、直線的點斜式方程及辨析、直線截距式方程及辨析【分析】利用分類討論，結(jié)合點斜式方程與截距式方程，可得答案.【詳解】當(dāng)直線過原點時，斜率為，則方程為；當(dāng)直線不過原點時，由題意方程可設(shè)，代入，可得，解得，則方程為.故答案為：或.【變式11-1】（24-25高二上·安徽亳州·階段練習(xí)）若直線過點且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，則直線的方程為.【答案】或【知識點】直線截距式方程及辨析【分析】通過討論截距為0和不為0兩類情況討論即可.【詳解】當(dāng)截距為0時,過點和原點,所以的方程為,即;當(dāng)截距不為0時，設(shè)的方程為，由過點，得，解得，所以的方程為.故答案為：或【變式11-2】（2024·陜西西安·一模）過點，在軸上的截距和在軸上的截距相等的直線方程為．【答案】或【知識點】直線截距式方程及辨析【分析】按直線是否過原點，結(jié)合直線的截距式方程求解即得.【詳解】當(dāng)直線過原點時，直線在軸上的截距和在軸上的截距相等，則直線方程為；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，則，解得，直線方程為，所以所求直線方程為或.故答案為：或【考點題型十二】點關(guān)于直線對稱點【例12】（24-25高二上·海南省直轄縣級單位·期中）點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為．【答案】【知識點】求點關(guān)于直線的對稱點【分析】設(shè)所求點的坐標(biāo)為，根據(jù)垂直和中點坐標(biāo)列式求解即可.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)為，則，解得，所以所求點的坐標(biāo)為.故答案為：.【變式12-1】（24-25高二上·廣東汕尾·階段練習(xí)）設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則點的坐標(biāo)為．【答案】【知識點】求點關(guān)于直線的對稱點【分析】根據(jù)斜率關(guān)系以及中點在已知直線上列出方程組，由此可求點的坐標(biāo).【詳解】設(shè)對稱點的坐標(biāo)為，所以，解得，所以點坐標(biāo)為，故答案為：.【變式12-2】（24-25高二上·江西南昌·階段練習(xí)）已知點，則點P關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)是．【答案】【知識點】求點關(guān)于直線的對稱點【分析】設(shè)出該點坐標(biāo)，借助點關(guān)于直線對稱的性質(zhì)計算即可得.【詳解】設(shè)該點坐標(biāo)為，則有，解得，故該點坐標(biāo)為.故答案為：.【考點題型十三】直線關(guān)于點對稱問題(求關(guān)于點的對稱直線，則）核心方法：方法一：在直線上找一點，求點關(guān)于點對稱的點，根據(jù)，再由點斜式求解；方法二：由，設(shè)出的直線方程，由點到兩直線的距離相等求參數(shù).方法三：在直線任意一點，求該點關(guān)于點對稱的點，則該點在直線上.【例13】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）直線關(guān)于點對稱的直線的方程為．【答案】【知識點】求直線關(guān)于點的對稱直線【分析】根據(jù)直線關(guān)于點對稱，設(shè)上的點坐標(biāo)，寫出關(guān)于對稱的點坐標(biāo)，根據(jù)點在已知直線上求直線方程.【詳解】設(shè)為上任意一點，則關(guān)于點的對稱點為，因為在直線l上，所以，即直線的方程為．故答案為：【變式13-1】（23-24高一下·江西撫州）與直線關(guān)于原點對稱的直線的方程為.【答案】【知識點】求直線關(guān)于點的對稱直線【分析】若在關(guān)于原點對稱的直線方程上，則在上，代入即可得其關(guān)于原點對稱的直線的方程.【詳解】若在直線關(guān)于原點對稱的直線方程上，則在上，∴，得.故答案為：【變式13-2】（24-24高二·全國·課后作業(yè)）已知直線與關(guān)于點對稱，則.【答案】【知識點】求直線關(guān)于點的對稱直線【分析】在直線上取點，，則M，N關(guān)于點對稱的點分別為，再將這兩點坐標(biāo)代入直線中可求出的值.【詳解】在直線上取點，，M，N關(guān)于點對稱的點分別為.點在直線上，，解得，.故答案為：【點睛】此題考查直線的對稱問題，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于基礎(chǔ)題【考點題型十四】直線關(guān)于直線對稱問題（兩直線平行）核心方法：直線：（）和：（）平行,求關(guān)于直線的對稱直線①②在直線上任取一點，求點關(guān)于直線的對稱點，利用點斜式求直線.【例14】（24-25高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線與關(guān)于直線對稱，求直線的方程.【答案】【知識點】求平行線間的距離、由距離求已知直線的平行線、求關(guān)于平行直線對稱的直線【分析】由直線斜率得與直線平行，由兩條平行線距離公式得與直線間的距離，由對稱關(guān)系得與平行和與距離，接著設(shè)直線方程，依據(jù)與距離列式求解并檢驗即可得解.【詳解】易知，所以與直線平行，與直線間的距離為，又因為與關(guān)于直線對稱，所以與平行，且兩直線間的距離為，設(shè)直線，所以，解得或，當(dāng)時，直線與直線間的距離為，即直線與關(guān)于直線不對稱；當(dāng)時，直線與直線間的距離為，符合，所以.【變式14-1】（2024高三·全國·專題練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程為【答案】【知識點】直線關(guān)于直線對稱問題【分析】因為兩直線平行，設(shè)所求直線方程為，由直線與直線間的距離，求得b的值，得直線方程.【詳解】設(shè)所求直線方程為，且，直線與直線間的距離為，則直線與直線間的距離為，又，得，所以所求直線方程為，故答案為：.【變式14-2】（24-25高二·全國·課后作業(yè)）已知直線，，．（1）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程；（2）求直線關(guān)于直線的對稱直線的方程．【答案】（1）；（2）．【知識點】求關(guān)于平行直線對稱的直線、直線關(guān)于直線對稱問題【分析】（1）由于，所以，可設(shè)的方程為，在直線上取點，求出點關(guān)于直線的對稱點，代入方程，即得解；（2）與的交點坐標(biāo)為也在上，另取上不同于的一點，求出關(guān)于的對稱點為，利用兩個點坐標(biāo)求出直線方程，即得解【詳解】（1）因為，所以．設(shè)直線的方程為（，且）．在直線上取點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即點的坐標(biāo)為．把點的坐標(biāo)代入直線的方程，得，解得，所以直線的方程為．（2）由，得，所以與的交點坐標(biāo)為．另取上不同于A的一點，設(shè)關(guān)于的對稱點為，則，得，即點的坐標(biāo)為．所以過與的直線的方程為，即．【考點題型十五】直線關(guān)于直線對稱問題（兩直線相交）核心方法：對稱性【例15】（23-24高三上·湖北·階段練習(xí)）直線關(guān)于軸對稱的直線方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【知識點】直線關(guān)于直線對稱問題、求點關(guān)于直線的對稱點【分析】設(shè)點設(shè)是所求直線上任意一點，然后結(jié)合點的對稱性與已知條件代入求解即可；【詳解】設(shè)是所求直線上任意一點，則關(guān)于軸對稱的點為，且在直線上，代入可得，即.故選：C.【變式15-1】（24-25高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）直線關(guān)于直線對稱的直線方程是.【答案】【知識點】直線關(guān)于直線對稱問題【分析】先求得兩直線的交點坐標(biāo)，再求得直線上一點，關(guān)于直線的對稱點為，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】聯(lián)立方程組，解得，即兩直線的交點為，由方程，令，可得，即直線過點，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則滿足，解得，即，所以，所以對稱直線的方程為，即.故答案為：.【變式15-2】（2024·福建廈門·模擬預(yù)測）已知直線：關(guān)于直線的對稱直線為軸，則的方程為.【答案】或【知識點】直線關(guān)于直線對稱問題【分析】根據(jù)題意，求出與軸的交點，設(shè)出直線的方程，根據(jù)點關(guān)于直線的對稱點在軸上，列出方程，即可得到結(jié)果.【詳解】

直線交軸于點，交軸于點，設(shè)直線的方程為，則關(guān)于直線的對稱點在軸上，所以，則的中點在直線上，所以①，又②，聯(lián)立①②可得或，所以直線的方程為或.故答案為：或.【考點題型十六】將軍飲馬問題核心方法：對稱性【例16】（23-24高二上·江蘇泰州·階段練習(xí)）已知點，，點在直線上，則的最小值為.【答案】【知識點】將軍飲馬問題求最值、求點關(guān)于直線的對稱點、求平面兩點間的距離【分析】首先求出點關(guān)于直線的對稱點，將目標(biāo)式子轉(zhuǎn)換為結(jié)合三角形三邊關(guān)系即可求解.【詳解】如圖所示，

設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，即，所以，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點與點重合，其中點為與直線的交點.故答案為：.【變式16-1】（24-25高二上·吉林長春·期中）已知為直線上的一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【知識點】將軍飲馬問題求最值【分析】記點、，可得出，求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，由對稱性可得，由、、三點共線時，取最小值，即可得解.【詳解】記點、，則，如下圖所示：

設(shè)原點關(guān)于直線的對稱點為，且直線的斜率為，由題意可得，解得，故原點關(guān)于直線的對稱點為，由對稱性可知，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)為線段與直線的交點時，等號成立，因此，的最小值為.故選：D.【變式16-2】（24-25高二上·黑龍江大慶·階段練習(xí)）已知點，直線，在直線上找一點使得最小，則這個最小值為（

）A． B．8 C．9 D．10【答案】D【知識點】將軍飲馬問題求最值、求點關(guān)于直線的對稱點【分析】利用對稱求關(guān)于直線對稱點為，結(jié)合將軍飲馬模型求最小值.【詳解】令關(guān)于直線對稱點為，則，可得，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時取等號，故最小值為10.故選：D提升訓(xùn)練一、單選題1．（24-25高二上·湖北·期中）已知三點，則過點的直線與線段AB有公共點時，直線斜率的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【知識點】已知兩點求斜率、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】畫出草圖，先求出直線和直線的斜率，直線與線段有公共點時，找出直線的斜率的臨界狀態(tài)即可.【詳解】運用兩點間的斜率公式，，，過點的直線與線段AB有公共點時，如圖所示，直線斜率的取值范圍是.

故選：B.2．（24-25高二上·北京·期中）若直線：與直線：平行，則（

）A．3 B．C．3或 D．3或1【答案】A【知識點】已知直線平行求參數(shù)【分析】根據(jù)給定條件，利用兩直線平行的充要條件列式計算即得.【詳解】由直線：與直線：平行，得，所以.故選：A3．（24-25高二上·山東濟南·期中）“”是“直線與直線平行”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【知識點】判斷命題的充分不必要條件、已知直線平行求參數(shù)【分析】由兩直線平行斜率相等的關(guān)系求解即可；【詳解】當(dāng)時，直線，直線，此時兩直線斜率相等，且兩截距，所以兩直線平行，故充分性成立；當(dāng)直線與直線平行時，有，解得或3，故必要性不成立，故選：B.4．（24-25高二上·山東濟南·階段練習(xí)）已知點，直線l過點且與線段AB有公共點，則直線l的斜率的取值范圍（

）A． B．C． D．【答案】D【知識點】已知兩點求斜率、直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍【分析】求出PA，PB所在直線的斜率，判斷直線l的傾斜角與斜率的變化，數(shù)形結(jié)合得答案．【詳解】點，直線的斜率，直線的斜率，直線l過點且與線段AB有公共點，則直線l的斜率滿足或，即或，所以直線l的斜率的取值范圍為.故選：D.5．（24-25高三上·北京豐臺·期中）已知函數(shù)過定點M，點M在直線上且，則的最小值為（）A． B． C． D．【答案】A【知識點】指數(shù)型函數(shù)圖象過定點問題、直線的一般式方程及辨析、基本不等式“1”的妙用求最值【分析】由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)確定定點坐標(biāo)，結(jié)合題設(shè)有，應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式最小值.【詳解】由題設(shè)，恒過點，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以目標(biāo)式最小值為.故選：A6．（24-25高二上·重慶·開學(xué)考試）已知點，在直線上存在一點，使最小，則點坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】C【知識點】求直線交點坐標(biāo)、求點關(guān)于直線的對稱點【分析】根據(jù)題意，點A、B在直線的同側(cè)，利用軸對稱的性質(zhì)求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，可知直線與的交點就是所求的點，進而求得答案.【詳解】設(shè)為點關(guān)于直線的對稱點，則的中點為，由軸對稱的性質(zhì)，可得，解得，即.直線的方程為，即，由，解得，即直線與交于點.，當(dāng)點三點共線時，即直線上的點與重合時，達到最小值，故滿足條件的點坐標(biāo)為.故選：C7．（24-25高二上·山東濟南·階段練習(xí)），函數(shù)的最小值為（

）A．2 B． C． D．【答案】C【知識點】用兩點間的距離公式求函數(shù)最值、求點到直線的距離【分析】利用兩點之間的距離及點到直線的距離公式計算即可.【詳解】設(shè)點，和直線，到l的距離分別為，易知，顯然.當(dāng)且僅當(dāng)重合時取得等號.故選：C8．（24-25高二上·山東濟南·期中）若三條直線，，不能圍成三角形，則實數(shù)的取值最多有（

）A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】B【知識點】已知直線平行求參數(shù)、求直線交點坐標(biāo)、由直線的交點坐標(biāo)求參數(shù)【分析】分析可知直線與直線或直線平行，或直線過點，進而列式求解即可.【詳解】聯(lián)立方程，解得，可知：直線的斜率為，的斜率為，且直線、的交點為，若三條直線不能圍成三角形，則直線與直線或直線平行，或直線過點，可知直線的斜率存在，且為，可得或或，解得或或，所以實數(shù)的取值最多有3個.故選：B.二、多選題9．（24-25高二上·江蘇常州·期中）設(shè)a為實數(shù)，直線，，則（

）A．當(dāng)時，不經(jīng)過第一象限 B．的充要條件是C．若，則或 D．恒過點【答案】AB【知識點】充要條件的證明、已知直線平行求參數(shù)、已知直線垂直求參數(shù)、直線過定點問題【分析】利用反證法可判斷A的正誤，利用平行或垂直的判斷方法可判斷BC的正誤，求出過的定點后可判斷D的正誤.【詳解】對于A，若過第一象限的點，則，且，但故，矛盾，故不過第一象限，故A正確；對于B，若，則，故或，由直線可得，而當(dāng)時，兩條直線的方程分別為：，，此時兩條直線平行，符合，反之，也成立，故的充要條件為，故B正確；對于C，若，，故或，但不為零，故C錯誤；對于D，直線可化為：，由可得，即直線過定點，故D錯誤；故選：AB10．（24-25高二上·全國·單元測試）已知兩條直線，的方程分別為與，下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則兩條平行直線之間的距離為C．若，則 D．若，則直線，一定相交【答案】AD【知識點】已知直線平行求參數(shù)、已知直線垂直求參數(shù)、求平行線間的距離【分析】根據(jù)兩直線平行求出的值，可判斷A選項；利用平行線間的距離公式可判斷B選項；根據(jù)兩直線垂直求出的值，可判斷C選項；根據(jù)兩直線相交求出的范圍，可判斷D選項.【詳解】兩條直線，的方程分別為與，它們不重合，若，則，得，檢驗符合，故A選項正確；若，由A選項可知，：，直線的方程可化為，故兩條平行直線之間的距離為，故B選項不正確；若，則，得，故C選項不正確；由A選項知，當(dāng)時，，所以若，則直線，一定相交，故D選項正確.故選：AD.三、填空題11．（24-25高二上·遼寧大連·期中）已知直線，，若直線與關(guān)于直線l對稱，則直線l的方程為.【答案】或【知識點】求直線交點坐標(biāo)、直線關(guān)于直線對稱問題【分析】利用數(shù)形結(jié)合計算l的斜率結(jié)合直線與的交點計算即可.【詳解】

易知與縱軸交于，交橫軸于點，聯(lián)立直線與方程，得兩直線交點為，如上圖所示網(wǎng)格中構(gòu)造直角三角形，易知，即，又，所以，即為兩直線與夾角的平分線，所以直線符合題意，易知其方程為；當(dāng)直線l過點C且與垂直時，也符合題意，此時直線方程為.故答案為：或.12．（24-25高二上·湖南·階段練習(xí)）已知點是直線上一點，則的最小值為．【答案】5【知識點】將軍飲馬問題求最值【分析】根據(jù)點關(guān)于直線對稱，可得可得對稱點為，即可利用三點共線求解.【詳解】設(shè)點關(guān)于直線的對稱點，則，解得，故，故,故最小值為：5四、解答題13．（24-25高二上·北京平谷·期中）求下列直線方程(1)已知，，，在中：（ⅰ）求BC邊所在的直線方程（ⅱ）求BC邊上的垂直平分線所在直線的方程，(2)已知點，求過點P且與原點距離為3的直