山東省新高考聯(lián)合質(zhì)量測評2025屆高三9月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省新高考聯(lián)合質(zhì)量測評2025屆高三9月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3 C.4 D.無數(shù)個(gè)【答案】B【解析】根據(jù)題意可知表示的是在函數(shù)上的點(diǎn)的集合，且它們的縱坐標(biāo)不小于橫坐標(biāo)；易知的定義域?yàn)?；畫出函?shù)與的圖象，如下圖所示：兩函數(shù)圖象橫坐標(biāo)較大的點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此在上，共有三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)滿足題意，所以中有3個(gè)元素.故選：B2.“”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分又不必要條件【答案】C【解析】由，可得，即，，解得或.故“”是“”的必要不充分條件.故選：C.3.已知為等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和，若，且，則當(dāng)取得最小值時(shí)，（）A.3 B.6 C.7 D.8【答案】C【解析】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列，若，且，則，即，又，即，故公差，當(dāng)取得最小值時(shí)，．故選：C．4.已知關(guān)于的不等式的解集為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由不等式的解集為，可知1和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，由韋達(dá)定理可得，即可得，所以.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號成立；即可得.故選：D.5.已知函數(shù)，，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由函數(shù)，可得，所以且，曲線在點(diǎn)處的切線方程，即，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線方程為，所以，可得，令，可得，即，解得，所以函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：A.6.若使不等式成立的任意一個(gè)，都滿足不等式，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)椴坏仁降慕饧癁榛蛴深}可知不等式的解集是解集的子集，不等式，即，①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，滿足或；②當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，若或；，則，所以；③當(dāng)時(shí)，不等式的解集為，滿足或；則，所以綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．故選：C．7.若函數(shù)的圖象與直線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得：．令，則或，令，則，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為和，減區(qū)間為，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)有極大值，當(dāng)x=1時(shí)函數(shù)有極小值，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有三個(gè)不同的交點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B．8.設(shè)，用表示不超過的最大整數(shù).已知數(shù)列滿足，，若，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則（）A.4956 B.4965 C.7000 D.8022【答案】B【解析】數(shù)列滿足，，故當(dāng)時(shí)，，相減得：，即，所以，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，為常數(shù)列，所以，故又符合上式，則；所以，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；又?jǐn)?shù)列的前項(xiàng)和為，則.故選：B.二、多選題：本題共3小題，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9已知正實(shí)數(shù)a，b，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】因?yàn)?，且，，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，故A正確；因?yàn)?，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”，由B選項(xiàng)可知，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，故D正確；，當(dāng)時(shí)，有最小值，即，故C錯(cuò)誤.故選：ABD10.記為正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.是遞增數(shù)列 B.是等比數(shù)列C.不是等比數(shù)列 D.，，，…成等比數(shù)列【答案】BCD【解析】由題意可得，所以等比數(shù)列an的公比所以，對于A，當(dāng)時(shí)，易知數(shù)列an單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對于B，令，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，即是等比數(shù)列，故B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)數(shù)列是等差數(shù)列；當(dāng)且時(shí)，，因?yàn)椴皇浅?shù)，所以不是等比數(shù)列，故C正確；對于D，因?yàn)椋?，所以，所以，，，…成等比?shù)列，故D正確.故選：BCD.11.已知，，且，.若，，則（）A. B. C. D.【答案】AC【解析】由函數(shù)，可得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，最小值為，又由，可得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，對于A中，要證，即證，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，即證，即證，設(shè)，可得，令，可得φ'x所以φx單調(diào)遞增，且，所以，即h'x所以hx在上單調(diào)減，所以，即，所以，所以A正確；對于C中，注意到，又由，所以，因?yàn)?，且在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以C正確；對于B中，由，可得，所以，又由，且在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以B不正確；對于D中，要證，即證，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即證gd>g-c，因?yàn)?，即證即證，設(shè)，可得，令，可得φ'x所以φx單調(diào)遞增，且，所以，即h'x所以hx在上單調(diào)增，所以，這與hx>0矛盾，所以不成立，所以D不正確故選：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知集合，且“，（，且）”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】，故，若則，，此時(shí)“，（，且）”是真命題，故舍去；若，則，，此時(shí)“，（，且）”是假命題，符合要求；故.13.等比數(shù)列的前項(xiàng)和記為，若，，則__________.【答案】【解析】等比數(shù)列an的前項(xiàng)和記為,，顯然.則，化簡得，解得,則，.當(dāng)時(shí),，當(dāng)時(shí),，.故答案為：.14.已知曲線，，若曲線，恰有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】曲線，，若曲線，恰有一個(gè)交點(diǎn).即的零點(diǎn)一個(gè)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)x∈0,1時(shí)，f'x>0，當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，f'所以，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)，不合題意；則當(dāng)時(shí)，；即（后面?zhèn)溆茫?當(dāng)時(shí)，，在上，f'x>0，單調(diào)遞增；在上，f'x<0，單調(diào)遞減；又，由得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，f'x>0，單調(diào)遞增；在上，f'x<0，單調(diào)遞減；此時(shí)，由得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為0,+∞四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.解關(guān)于的不等式：.解：原不等式可化為，即，也即.當(dāng)時(shí)，不等式可化為，解得.若，則，當(dāng)時(shí)，且，解得或.當(dāng)時(shí)，且，解得.當(dāng)時(shí)，且，解得.當(dāng)時(shí)，原不等式可化為，解集為.綜上所述：當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.16.在數(shù)列中，，，.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值.（1）證明：因?yàn)?，，整理得，，通分，?，，而，則，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列.（2）解：由（1）得，則，，，所以.因?yàn)閿?shù)列遞增，則，所以數(shù)列的最小值為.17.如圖，一海島O離岸邊最近點(diǎn)B的距離是120km，在岸邊距點(diǎn)B300km的點(diǎn)A處有一批藥品要盡快送達(dá)海島.已知A和B之間有一條快速路，現(xiàn)要用海陸聯(lián)運(yùn)的方式運(yùn)送這批藥品，若汽車時(shí)速為90km，快艇時(shí)速為60km.設(shè)海運(yùn)起點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離為.（參考數(shù)據(jù)：）（1）寫出運(yùn)輸時(shí)間關(guān)于的函數(shù)；（2）當(dāng)點(diǎn)選在何處時(shí)運(yùn)輸時(shí)間最短？解：（1）由題意知，，.（2）.令，得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)取最小值.所以當(dāng)點(diǎn)選在距點(diǎn)105.6km時(shí)運(yùn)輸時(shí)間最短.18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若函數(shù)，求函數(shù)極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；（3）當(dāng)時(shí)，若在上恒成立，求證：.（1）解：的定義域?yàn)椋?，，所以，，所以曲線在處的切線方程為.（2）解：，，對于方程，，①當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)沒有極值點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，，不妨設(shè)，則，，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，方程的兩根為，，且，，故，，當(dāng)時(shí)，，故沒有極值點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒有極值點(diǎn).（3）證明：由在上恒成立，得在上恒成立，設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，此時(shí)顯然不恒成立.當(dāng)時(shí)，若，則，在上單調(diào)遞增，若，則，在上單調(diào)遞減，所以，所以.要證成立，因?yàn)?，即證明.因?yàn)?，令，，，令得，?dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以成立.19.已知數(shù)列的首項(xiàng)為2，為數(shù)列的前項(xiàng)和，，其中，.（1）若是和的等差中項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)雙曲線的離心率為，且，證明：；（3）在（1）的條件下，記集合，，若將所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求使得成立的的最小值.（1）解：由①知，當(dāng)時(shí)②，兩式相減可得，所以從第二項(xiàng)開始是公比為的等比數(shù)列，當(dāng)時(shí)，代入可得，即，所以是公比為的等比數(shù)列，又是和的等差中項(xiàng)，所以，即，解得或（舍去），所以.（2）證明：由雙曲線的性質(zhì)可知，，由（1）知是首項(xiàng)為2，公比為的等比數(shù)列，故，得，故，則，則.（3）解：，，則新數(shù)列為，由上可得規(guī)律：①新數(shù)列中元素2前只有1個(gè)元素，且到之間有1個(gè)元素，到