山東省青島市2024屆高三上學期期末學業(yè)水平檢測數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省青島市2024屆高三上學期期末學業(yè)水平檢測數(shù)學試題一、單項選擇題1.已知集合，，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由已知，，因為，所以，即.故選：C2.復數(shù)（，i為虛數(shù)單位），是z的共軛復數(shù)，若，則（）A. B. C.1 D.2【答案】B【解析】因為，所以，，解得，故選：B.3.在四邊形中，四個頂點A，B，C，D坐標分別是，，，，E，F(xiàn)分別為的中點，則（）A.10 B.12 C.14 D.16【答案】A【解析】由題意，則，，.故選：A4.2023年是共建“一帶一路”倡議提出十周年．而今“一帶一路”已成為當今世界最受歡迎的國際公共產(chǎn)晶和最大規(guī)模的國際合作平臺.樹人中學歷史學科組近期開展了“回望絲路”系列主題活動，組織“一帶一路”知識競賽，并對學生成績進行了匯總整理，形成以下直方圖.該校學生“一帶一路”知識競賽成績的第60百分位數(shù)大約為（）A.72 B.76 C.78 D.85【答案】B【解析】由題中頻率分布直方圖知區(qū)間的頻率為：則在區(qū)間的頻率為：，所以第60百分位數(shù)在區(qū)間，且設為，則，解得.故選：B5.已知等差數(shù)列各項均為正整數(shù)，，，則其公差d為（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】C【解析】因為等差數(shù)列中，，所以，所以，所以，得，因為等差數(shù)列各項均為正整數(shù)，所以公差為正整數(shù)，因為，所以，所以，因為公差為正整數(shù)，所以或，當時，由，不合題意，舍去，當時，，符合題意，所以，故選：C6.已知點F是拋物線的焦點，過點的直線l與曲線E交于點A，B，若的最小值為14，則E的準線方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】當直線斜率存在時，設直線的方程為，由，得，，設，則，且，當直線的斜率不存在時，則直線為，，所以，當且僅當，即時取等號，所以的最小值為，所以，得，所以拋物線E的準線方程為，故選：D7.已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1，E，F(xiàn)是線段AC1上的點，且AE＝EF＝FC1，分別過點E，F(xiàn)作與直線AC1垂直的平面α，β，則正方體夾在平面α與β之間的部分占整個正方體體積的（）A. B. C. D.【答案】C【解析】構造平面，平面，則平面，平面，設正方體邊長為1，則，，，，設到平面的距離為，則，解得，平面，同理可得平面，正方體夾在平面與之間的部分體積為，∴體積之比是，故選：C．8.已知為坐標原點，雙曲線左、右焦點依次為、，過點的直線與在第一象限交于點，若，，則的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如下圖所示：因為，由雙曲線的定義可得，則，因為為的中點，則，則，所以，，又因為，所以，，即，整理可得，即，所以，，因此，該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.二、多項選擇題9.一個密閉的容器中裝有2個紅球和4個白球，所有小球除顏色外均相同．現(xiàn)從容器中不放回地抽取兩個小球．記事件A：“至少有1個紅球”，事件B：“至少有1個白球”，事件，則（）A.事件A，B不互斥 B.事件A，B相互獨立C. D.【答案】AD【解析】對于A,由于至少有一個紅球和至少有一個白球，可以同時發(fā)生，故事件A與事件B不互斥，A正確；對于BC，,,,所以，故B錯誤；故，，故C錯誤；對于D，,故,故D正確，故選：AD.10.已知函數(shù)的圖象關于點對稱，在上單調遞減，．將的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，則（）A. B.，C. D.為偶函數(shù)【答案】AC【解析】因為函數(shù)在上單調遞減，則周期，則由，可知函數(shù)圖象關于對稱，又函數(shù)圖象關于點對稱,所以，所以，A正確；當時，函數(shù)取得最小值，則，，B錯誤；由，所以，C正確；將的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象，，則為奇函數(shù)，D錯誤.故選：AC11.若實數(shù)，且，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】對于選項A，由，當且僅當時等號成立，不妨設，則得，解得：或，因，則，故A項錯誤；對于選項B，由，當且僅當時等號成立，不妨設，則，解得：或，因，則，即，故B項正確；對于選項C，由可得：，則，且，則，當且僅當時取等號，即時，有最小值，故C項正確；對于選項D，由可得：，即，且，則，當且僅當時等號成立，由解得：，即當且僅當時，有最小值，故D項正確.故選：BCD.12.將函數(shù)的圖象繞原點逆時針旋轉后得到的曲線依然可以看作一個函數(shù)的圖象、以下函數(shù)中符合上述條件的有（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】若函數(shù)逆時針旋轉角后所得函數(shù)仍是一個函數(shù)，則函數(shù)的圖象與任一斜率為的直線均不能有兩個或兩個以上的交點.不對于，設，則，則為上的單調遞減函數(shù)，即方程只有一解，所以與只有一個交點，故符合題意，A正確；對于，設，,則在有零點，即方程不只有一解，所以與多個交點，不符合題意，B錯誤；對于，設，顯然為上減函數(shù)，當時，，即所以與只有一個交點，故符合題意，C正確；對于，設，則，顯然在和上各有零點，即所以與有多個交點，故不符合題意，D錯誤.故選：AC.三、填空題13.的展開式中含項的系數(shù)是__________（結果用數(shù)字表示）.【答案】【解析】展開式中含項的系數(shù)是.故答案為：14.正八面體各個面分別標以數(shù)字1到8．拋擲一次該正八面體，觀察它與地面接觸的面上的數(shù)字,得到樣本空間為.已知事件,，，若但A，B與C均不獨立，則事件______．【答案】【解析】由已知又，所以，又A，B與C均不獨立，即，，，所以.故答案為：15.已知動點P，Q分別在圓和曲線上，則的最小值為______．【答案】【解析】由題意得，即圓心在上，半徑為，故的最小值等于的最小值減去半徑，設，由于與關于對稱，的最小值等于到直線的距離的最小值的2倍，由，可得，令，解得，故在點處的切線與平行，此時到的距離最小，最小值為，故的最小值為，則的最小值等于.故答案為：.16.若函數(shù)在上單調遞增，則a的取值范圍是______．【答案】【解析】，當時，，令得，令，，在上恒成立，故在上單調遞減，又，所以，解得；當時，，令得，令，，在上恒成立，故在上單調遞減，其中，故，解得，由于，即在處連續(xù)，綜上，.故答案為：.四、解答題17.記的內角、、所對的邊分別為、、.（1）證明：若，則；（2）探究：是否存在一個，其三邊為三個連續(xù)的自然數(shù)，且最大角是最小角的兩倍？如果存在，試求出最大邊的長度；如果不存在，說明理由．（1）證明：若，則，所以，由正弦定理得：．（2）解：假設存在，其三邊為三個連續(xù)的自然數(shù)、、，設這三邊所對的角分別為、、，則若最大角是最小角的兩倍，即．由（1）知，，即．由余弦定理知，，所以，，即，因為，解得，經(jīng)檢驗滿足條件．于是最大邊長為．因此，存在一個，其三邊為三個連續(xù)的自然數(shù)，最大邊長為．18.已知函數(shù)．（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）當時，證明：．（1）解：當時，，則當時，，單調遞增，當時，，單調遞減，故在上單調遞增，在上單調遞減，（2）證明：（法一）當時，由（1）可知，即，當時，，單調遞減，當時，，單調遞增，所以在單調遞減，在單調遞增，因此，（當且僅當時取得等號）（法二）當時，令，可知于是在單調遞減，在單調遞增，因此，（當且僅當時取得等號）．令，則由（1）知：故在單調遞增，因此．所以．19.如圖，在三棱錐中，底面分別為的中點，點都在棱上，，且滿足平面.（1）求的長；（2）求平面與平面夾角的余弦值.解：（1）如圖，連接，交于點，連接，則平面平面.因為平面平面，所以.因為分別為的中點，所以點為的重心，所以，所以.由題意知，則是的中點，（2）由題意知底面，所以，兩兩垂直.以點為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系如圖，則所以，.設平面的法向量為，則即令，則，所以平面的一個法向量為.設平面的法向量為，則即令，則，所以平面的一個法向量為.故，由圖象可知平面與平面夾角為銳角，所以平面與平面夾角的余弦值為.20.為培養(yǎng)德智體美勞全面發(fā)展的社會主義接班人，某學校每月都會開展學農實踐活動．已知學農基地前10個月的利潤數(shù)據(jù)如下表，月份用表示，，利潤用y（單位：萬元）表示，已知與的經(jīng)驗回歸方程為．x12345678910y4.6834.8193.2821.4861.0822.4414.3144.9793.8241.912t0.8410.9090.141-0.757-0.959-0.2790.6570.9890.412-0.544（1）求的值（結果精確到1）；（2）某班班主任和農學指導教師分別獨立從該班5名班級干部名單中各隨機選擇2人作為組長，設被選出組長構成集合M，集合M中元素的個數(shù)記為隨機變量X.（i）求X的分布列及數(shù)學期望；（ii）規(guī)定：進行多輪選擇，每輪出現(xiàn)記為，出現(xiàn)記為，先出現(xiàn)為甲勝，先出現(xiàn)為乙勝．記表示“第一輪為A且最終甲勝的概率”，表示“第一輪為且最終甲勝的概率”，求，及甲勝的概率．參考數(shù)據(jù)：，，，．參考公式：對于一組數(shù)據(jù)．其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式為：，．解：（1）由已知公式得，所以，，所以.（2）（i）由題意知，X的可能取值為2，3，4，，，，其分布列為234．當?shù)谝惠啚闀r，若第二輪為，則甲勝；若第二輪為，則乙勝，所以;當?shù)谝惠啚闀r，若第二輪為，則最終甲勝的概率為，若第二輪為，則最終甲勝的概率為；所以，解得．故甲勝的概率．21.已知O為坐標原點，點P在橢圓上，的左、右焦點恰為雙曲線的左、右頂點，的離心率．（1）求的標準方程；（2）若直線l與相交于A，B兩點，AB中點W在曲線上．探究直線AB與雙曲線的位置關系.解：（1）由題可知：所以，，解得．所以橢圓C的標準方程為；．（2）設，，若直線l斜率存在，設，聯(lián)立方程，消去y得：，則，可得，，設，則，，可得，，則，同理可得：，因W在曲線上，則，解得，聯(lián)立方程，消去y得：，所以，直線AB與相切．若直線l斜率不存在，由對稱性知W在x軸上，W在曲線，令，可得