山東省德州市2024屆高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1山東省德州市2024屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷選擇題一、選擇題1.設(shè)集合，集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，解得，故，則或，由，則，即，故，則.故選：B.2.已知復(fù)數(shù)，則（）A. B.2 C. D.5【答案】A【解析】由復(fù)數(shù)，則，所以.故選：A.3.按從小到大順序排列的兩組數(shù)據(jù):甲組:;乙組：，若這兩組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)，第50百分位數(shù)都分別對(duì)應(yīng)相等，則（）A.60 B.65 C.70 D.71【答案】D【解析】由，則甲組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為31，乙組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為n，即，第50百分位數(shù)即中位數(shù)，則乙組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，甲組數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，于是，解得，所以.故選：D4.設(shè)點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)引圓的切線，（切點(diǎn)為），則當(dāng)取最大值時(shí)，（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】若取最大值，則亦取最大，又與圓相切，故，故，由，故需取最小，又點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，故最小為點(diǎn)到直線的距離，由可得，故，即.故選：B.5.米斗是古代官倉(cāng)、米行等用來(lái)稱(chēng)量糧食的器具，鑒于其儲(chǔ)物功能和吉祥富足的寓意，現(xiàn)今多在超市、糧店等廣泛使用．如圖為一個(gè)正四棱臺(tái)形米斗（忽略其厚度），其上、下底面邊長(zhǎng)分別為，側(cè)棱長(zhǎng)為，若將該米斗盛滿(mǎn)大米（沿著上底面刮平后不溢出），設(shè)每立方分米的大米重千克，則該米斗盛裝大米約（）A.6.08千克 B.10.16千克 C.12.16千克 D.11.16千克【答案】C【解析】設(shè)該正棱臺(tái)為，其中上底面為，取對(duì)角面，如圖所示，可得四邊形為等腰梯形，因?yàn)樯?、下底面邊長(zhǎng)分別為，側(cè)棱長(zhǎng)為，且，，分別過(guò)點(diǎn)作，垂足分別為，可得，由等腰梯形的幾何性質(zhì)，可得,又因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，即棱臺(tái)的高為，所以該米斗的體積為，所以該米斗所盛大米的質(zhì)量為千克.故選：C.6.已知函數(shù)，若對(duì)任意恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以函?shù)是減函數(shù)，因?yàn)椋院瘮?shù)為奇函數(shù)，由，得，因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，即，令，則，即，解得，所以的取值范圍是.故選：A.7.設(shè)函數(shù)在的圖象大致如圖，則的最小正周期為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由函數(shù)的圖象，函數(shù)的最小正周期且，可排除A，D；又由，即，若選B，則，此時(shí)，此時(shí)不為整數(shù)，排除B項(xiàng)；若選C，則，此時(shí)，此時(shí)，排除C項(xiàng).故選：C.8.在三棱錐中，是以為斜邊的等腰直角三角形，是邊長(zhǎng)為2的正三角形，二面角的大小為，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】如圖，取的中點(diǎn)，連接，，由題意，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)槭且詾樾边叺牡妊苯侨切?，且，所以，為外接圓的圓心，又是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以，過(guò)點(diǎn)作與平面垂直的直線，則球心在該直線上，設(shè)球的半徑為，連接，可得，在中，，利用余弦定理可得，所以，解得，所以外接球的表面積為.故選：A.二、選擇題9.下列四個(gè)表述中，正確的是（）A.設(shè)有一個(gè)回歸直線方程，變量增加1個(gè)單位時(shí)，平均增加5個(gè)單位B.在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明模型的擬合精度越高C.在一個(gè)列聯(lián)表中，根據(jù)表中數(shù)據(jù)計(jì)算得到的觀測(cè)值，若的值越大，則認(rèn)為兩個(gè)變量間有關(guān)的把握就越大D.具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，那么越接近于0，則之間的線性相關(guān)程度越高【答案】BC【解析】A選項(xiàng)，因?yàn)椋?－5x，所以變量x增加一個(gè)單位時(shí)，y平均減少5個(gè)單位，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，在殘差圖中，殘差點(diǎn)分布的水平帶狀區(qū)域越窄，說(shuō)明波動(dòng)越小，即模型的擬合精度越高，故B正確；C選項(xiàng)，觀測(cè)值越大則認(rèn)為兩個(gè)變量間有關(guān)的把握就越大，故C正確；D選項(xiàng)，越接近于1，則之間的線性相關(guān)程度越高，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（）A.點(diǎn)到的距離為 B.面與面的距離為C.直線與平面所成的角為 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】AB【解析】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，對(duì)于A，，，所以點(diǎn)到的距離，故A正確；對(duì)于B，，，，設(shè)分別為平面、平面的一個(gè)法向量，所以，令，可得，所以，，令，可得，所以，所以，所以平面平面，可得點(diǎn)到平面的距離即為所求，，所以點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；對(duì)于C，，，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，所以，令，可得，所以，設(shè)直線與平面所成的角為，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.雙曲線具有以下光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線的反向延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn)．由此可得，過(guò)雙曲線上任意一點(diǎn)的切線平分該點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的夾角．已知分別為雙曲線的左，右焦點(diǎn)，過(guò)右支上一點(diǎn)作雙曲線的切線交軸于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，則（）A.平面上點(diǎn)的最小值為B.直線的方程為C.過(guò)點(diǎn)作，垂足為，則（為坐標(biāo)原點(diǎn)）D.四邊形面積的最小值為4【答案】ABD【解析】對(duì)于A，由雙曲線定義得，且，則，所以的最小值為.故A正確；對(duì)于B，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立方程組，消去整理得，，，化簡(jiǎn)整理得，解得，可得直線的方程為，即，故B正確；對(duì)于C，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可知，平分，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，則垂直平分，即，為的中點(diǎn)，又是中點(diǎn)，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由直線的方程為，令，得，則，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以四邊形面積的最小值為4，故D項(xiàng)正確.故選：ABD..12.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足．?dāng)?shù)列的首項(xiàng)為1，且，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】，．取可得，由，令，得．，，，，故A正確；設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立．故，故B正確．由，得，即，所以，，即，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)椋?，有，即，下證數(shù)列單調(diào)遞減，即證，即證，即證，即證，令，則，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)椋?，所以，即?shù)列單調(diào)遞減，所以，，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：ABD.第Ⅱ卷非選擇題三、填空題13.在的二項(xiàng)展開(kāi)式中任取一項(xiàng)，則該項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù)的概率為_(kāi)___________．【答案】【解析】的二項(xiàng)展開(kāi)式共有7項(xiàng)，通項(xiàng)為：，其中，要使項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù)，則為偶數(shù)，即時(shí)，項(xiàng)系數(shù)為有理數(shù)，則相應(yīng)概率為：.故答案為：.14.已知平行四邊形中，，若，則____________．【答案】【解析】由圖，可得，又，，則，又注意到，，代入，可得，化簡(jiǎn)即得：，由平面向量基本定理，可得.故答案為：.15.若直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)，的中垂線交軸于點(diǎn)，則____________．【答案】【解析】設(shè)，其中點(diǎn)為C，坐標(biāo)為.將A，B兩點(diǎn)代入拋物線方程，有，兩式相減可得：，設(shè)，則，因，則.又，則.又準(zhǔn)線方程為，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別做準(zhǔn)線垂線，垂足為，則由拋物線定義，可得.故.故答案為：.16.已知函數(shù)，若，對(duì)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___________．【答案】【解析】因?yàn)?，有，即，所以，故令，則所以在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，兩邊取?duì)數(shù)得：，即，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；所以的最小值為，故.故答案為：.四、解答題17.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列的前項(xiàng)和滿(mǎn)足關(guān)系式．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由題意可知，解得，，由，則當(dāng)時(shí)，有，則，故，當(dāng)時(shí)，有，故，即數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，；（2）由（1）知，故，則，則，.18.在中，，且．（1）求的大?。唬?）若為邊上一點(diǎn)，且，求．解：（1）由得，又即又（2）如圖，由及正弦定理得，得，即，即，由已知，（或由，得）中，由余弦定理得，中，由正弦定理得：，19.如圖，在四棱臺(tái)中,底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．（1）證明：直線面；（2）求二面角的余弦值．（1）證明：如圖，設(shè)與相交于點(diǎn)，連接，分別中點(diǎn)，且，又且，且，∴四邊形為平行四邊形，，又面面直線面；（2）解：因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，連接，則且，四邊形為平行四邊形，，等邊中，，，從而，因?yàn)槠矫?，所以平面，以為坐?biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量，由，可取，設(shè)平面的法向量為，由，可取，所以，由圖可知，二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為．20.已知橢圓方程的離心率為，且過(guò)焦點(diǎn)垂直于軸的弦長(zhǎng)為1，左頂點(diǎn)為，定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作與軸不重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線分別與軸交于兩點(diǎn)．（1）求橢圓方程；（2）試探究是否為定值，若為定值，求出該定值；若不為定值，說(shuō)明理由．解：（1）由已知：，即，即，在中，令，解得，所以，即，，橢圓方程為：；（2）由題意設(shè)，，，即，，又，直線的方程：，令得：，同理，，為定值.21.某市號(hào)召市民盡量減少開(kāi)車(chē)出行，以綠色低碳的出行方式支持節(jié)能減排．原來(lái)天天開(kāi)車(chē)上班的王先生積極響應(yīng)政府號(hào)召，準(zhǔn)備每天在騎自行車(chē)和開(kāi)車(chē)兩種出行方式中隨機(jī)選擇一種方式出行．從即日起出行方式選擇規(guī)則如下：第一天選擇騎自行車(chē)方式上班，隨后每天用“一次性?huà)仈S4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝上的枚數(shù)小于3，則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式．（1）設(shè)表示事件“在第天，王先生上班選擇的是騎自行車(chē)出行方式”的概率．①求；②用表示；（2）依據(jù)值，闡述說(shuō)明王先生的這種隨機(jī)選擇出行方式是否積極響應(yīng)市政府的號(hào)召．解：（1）設(shè)硬幣正面向上的枚數(shù)為，則，，；①；②設(shè)表示第天選擇騎自行車(chē)出行，表示第天選擇騎自行車(chē)出行，則，綜上，．（2）由（1）可知：，又是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，即，，王先生每天騎自行車(chē)的概率大于開(kāi)車(chē)的概率，王先生的這種隨機(jī)選擇出行方式積極響應(yīng)了市政府的號(hào)召．22.已知常數(shù)，函數(shù)．（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；（2）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，求的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得或（舍去），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，