遼寧省名校聯(lián)合體2025屆高三上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1遼寧省名校聯(lián)合體2025屆高三上學(xué)期期中檢測數(shù)學(xué)試題一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求）1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由可得，解得或，即或，則.故選：C.2.設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】由，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點的坐標為，位于第四象限.故選：D.3.正項等差數(shù)列的公差為d，已知，且三項成等比數(shù)列，則（）A.7 B.5 C.3 D.1【答案】C【解析】由題意可得，又正項等差數(shù)列的公差為d，已知，所以，即，解得或（舍去），故選：C.4.若，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】因為，所以，所以.故選：D5.“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】由函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點得，解得或所以“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點”的充分不必要條件，故選：A6.函數(shù)是奇函數(shù)，則的取值集合為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】是奇函數(shù)，故，則，解得，經(jīng)驗證符合.故選：D7.已知向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以，整理得①，又，所以②，聯(lián)立①②求解得，所以.故選：B.8.函數(shù)，若對x∈R恒成立，且在上恰有條對稱軸，則（）A. B. C. D.或【答案】B【解析】由題知，當(dāng)時取得最大值，即，所以，即，又在上有條對稱軸，所以，所以，所以.故選：B二、多項選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.數(shù)列的前項和為，已知，則下列結(jié)論正確的是().A. B.為等差數(shù)列C.不可能為常數(shù)列 D.若為遞增數(shù)列，則【答案】ABD【解析】對于A選項：當(dāng)時，，A正確；對于B選項：當(dāng)時，，顯然時，上式也成立，所以.因為，所以是以2k為公差的等差數(shù)列，B正確：對于C選項，由上可知，當(dāng)時，為常數(shù)列，C錯誤；對于D選項，若為遞增數(shù)列，則公差，即，D正確.故選：ABD.10.已知關(guān)于不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.ab最大值為C.的最小值為4 D.有最小值【答案】AB【解析】由題意，不等式的解集為，可得，且方程的兩根為和，所以，所以，所以，所以A正確：因為，所以，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值為，所以B正確：由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時取等號，所以的最小值為8，所以C錯誤；對于選項D：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以的最小值為，故D錯誤．故選：AB11.已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域為，若與均為偶函數(shù)，且，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.4是的一個周期C. D.的圖象關(guān)于點對稱【答案】ABD【解析】因為為偶函數(shù)，所以，即，而，故，故，又為偶函數(shù)，所以，即，所以，故即，，所以4是的周期，故B正確.對A，由兩邊求導(dǎo)得，令得，解得，A正確：對C，由上知，所以，所以C錯誤；對D，因為，故，故的圖象關(guān)于對稱，因為4是的周期，故的圖象關(guān)于點對稱故選：ABD三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線在處的切線方程為______．【答案】【解析】因為，則，又，所以，所以曲線在處的切線方程為．故答案：13.已知為銳角，，則______．【答案】【解析】因為為銳角，所以.若，則，這與矛盾，故為鈍角，故，則.故答案為：.14.已知a，b為實數(shù)，，若恒成立，則的最小值為______．【答案】【解析】依題意，函數(shù)與在上都單調(diào)遞增，且函數(shù)的值域是R，，不等式恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)函數(shù)與有相同的零點，因此，由得，由得，于是得，則，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，因此函數(shù)在上遞減，在上遞增，當(dāng)時，，從而得，所以ab的最小值為.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.解：（1）因為，所以，函數(shù)的最小正周期為，由可得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）當(dāng)時，，則，因此，函數(shù)在區(qū)間上的值域為.16.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求角；（2）若點到直線的距離為的面積為，求的周長.解：（1）由余弦定理角化邊得，，整理得，所以，因為，所以（2）由題知，，即，由三角形面積公式得，所以，由余弦定理得，所以，所以，所以的周長為.17.已知數(shù)列的前項和為，且.（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）數(shù)列滿足的前項和為是等差數(shù)列，．求．解：（1）由已知得，又,所以作差得，故.所以又當(dāng)時，，又，故故數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列.（2）由（1）可知：，故，又也滿足上式，故因為是公差為的等差數(shù)列，，可得，則，可得，則；因為，所以，設(shè)，，相減可得，化為，則.18.已知函數(shù).（1）若在恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，證明：存在唯一極小值點，且.解：（1）在恒成立，等價于在上恒成立，記，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，所以，即的取值范圍.（2）當(dāng)時，，則，因為在上均為增函數(shù)，所以在單調(diào)遞增，又，所以在區(qū)間存在，使得，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以存在唯一極小值點因為，即，所以，因為，且在上單調(diào)遞增，所以，又，所以，所以．19.定義在區(qū)間上的函數(shù)滿足：若對任意，且，都有，則稱是上的“函數(shù)”.（1）若是上的“函數(shù)”，求的取值范圍；（2）（i）證明：是上