河南省周口市川匯區(qū)兩校2025屆高三聯(lián)考一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省周口市川匯區(qū)兩校2025屆高三聯(lián)考一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y=0上，則（）A.2 B.2 C.1 D.【答案】B【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，由復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在直線x+y=0上，可得,,故選B.2.已知向量和的夾角為，且，則（）A.-10 B.-7 C.-4 D.-1【答案】D【解析】＝＝故選：D.3.若，則等于（）A. B.C. D.【答案】C【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，或，所以，所以，或，這時(shí)四個(gè)選項(xiàng)全對，當(dāng)時(shí)，則.故選：C.4.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，，則，所以，故選：C．5.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（）A.16 B.64 C.112 D.32【答案】D【解析】設(shè)的公比為，由已知，可得，解得，所以.故選：D．6.已知函數(shù)且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意知，當(dāng)時(shí)，，得，又，所以方程無解；當(dāng)時(shí)，，得，即，解得，所以.故選：D7.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】根據(jù)不等式同向正數(shù)可乘性可得；但，不妨取，不能推出“”，故“”是“”充分不必要條件．故A正確．8.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意知，可得，可得，又由.故選：C.9.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，在點(diǎn)處的切線斜率，所求切線方程為：.故選：C.10.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題意且，，所以.故選：A.11.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為和的定義域均為為偶函數(shù)，也為偶函數(shù)，則下列不等式一定成立的是（）．A. B.C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，設(shè)，由于為偶函數(shù)，則，即，等號兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：，即，又由為偶函數(shù)，變形可得，故為常數(shù)），由此分析選項(xiàng)：對于A，由于不確定，不一定成立，A錯(cuò)誤；對于B，，B錯(cuò)誤；對于C，設(shè)，有，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，則有，故在R上恒成立，又由，為R上的增函數(shù)，則有，C正確；對于D，為偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，不能保證成立，D錯(cuò)誤．故選：C．12.在矩形ABCD中，已知，E是AB的中點(diǎn)，將沿直線DE翻折成，連接，當(dāng)二面角的平面角的大小為時(shí)，則三棱錐外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由已知，E是AB的中點(diǎn)，所以，又，，所以為等腰直角三角形，故為等腰直角三角形，取的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，又，，所以同理可得，又，所以，取的中點(diǎn)為，連接，則，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)?，，，所以為等邊三角形，取的中點(diǎn)為，則，因?yàn)?，，，平面，所以平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，因?yàn)橹苯侨切?，為斜邊，所以，所以為的外接圓的圓心，設(shè)為三棱錐外接球的球心，則平面，設(shè)，三棱錐外接球的半徑為，則，若球心和點(diǎn)位于平面的兩側(cè)，延長到點(diǎn)，使得，因?yàn)槠矫?，平面，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，，所以，所以，所以，，所以三棱錐外接球的表面積，若球心和點(diǎn)位于平面的同側(cè)，因?yàn)槠矫?，平面，所以，過點(diǎn)作，則四邊形為平行四邊形，所以，，所以，所以，所以，舍去，故選：A.二、填空題13.已知函數(shù)，若方程僅有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】，令gx=則，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故f'x在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，f'x又，故當(dāng)時(shí)，f'x<0，當(dāng)時(shí)，f'所以在上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，當(dāng)時(shí)，；且當(dāng)x∈1,+∞時(shí)，畫出的圖象如下：設(shè)，則，易知不是上述方程的解，則，畫出的圖象，①當(dāng)時(shí)，，即原方程僅有一解，不符題意；②當(dāng)時(shí)，，此時(shí)存在，使得，符合題意；③當(dāng)時(shí)，無解，不符題意；④當(dāng)時(shí)，，此時(shí)存在，使得，符合題意；⑤當(dāng)時(shí)，方程的兩個(gè)解滿足，此時(shí)存在，使得，不符題意.綜上，.14.如果，，那么=_______．【答案】【解析】因，，則，所以.15.若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【解析】令由于函數(shù)函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)點(diǎn)在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，因此在區(qū)間上不可能有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，應(yīng)舍去．

當(dāng)時(shí)，令，解得，

令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增；

令，解得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減．

∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值．要使在區(qū)間上有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

則，解得．

∴實(shí)數(shù)的取值范圍是（.16.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_______.【答案】【解析】由Sn=2an+n（n∈N*），當(dāng)n=1時(shí)，可得S1=2a1+1，即a1=﹣1．當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=2an+n﹣（2an﹣1+n﹣1）=2an﹣2an﹣1+1即an=2an﹣1﹣1可得：（an﹣1）=2（an﹣1﹣1）可得{an﹣1}是公比為2的等比數(shù)列，首項(xiàng)為﹣2．∴an﹣1=﹣2?2n﹣1．即an=﹣2n+1．三、解答題17.對于數(shù)列，，的前n項(xiàng)和，在學(xué)習(xí)完“錯(cuò)位相減法”后，善于觀察的小周同學(xué)發(fā)現(xiàn)對于此類“等差×等比數(shù)列”，也可以使用“裂項(xiàng)相消法”求解，以下是她的思考過程：①為什么可以裂項(xiàng)相消？是因?yàn)榇藬?shù)列的第n，n＋1項(xiàng)有一定關(guān)系，即第n項(xiàng)的后一部分與第n＋1項(xiàng)的前一部分和為零②不妨將，也轉(zhuǎn)化成第n，n＋1項(xiàng)有一定關(guān)系的數(shù)列，因?yàn)橄禂?shù)不確定，所以運(yùn)用待定系數(shù)法可得，通過化簡左側(cè)并與右側(cè)系數(shù)對應(yīng)相等即可確定系數(shù)③將數(shù)列，表示成形式，然后運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”即可！聰明的小周將這一方法告訴了老師，老師贊揚(yáng)了她的創(chuàng)新意識，但也同時(shí)強(qiáng)調(diào)一定要將基礎(chǔ)的“錯(cuò)位相減法”掌握．（1）（鞏固基礎(chǔ)）請你幫助小周同學(xué)，用“錯(cuò)位相減法”求的前n項(xiàng)和；（2）（創(chuàng)新意識）請你參考小周同學(xué)的思考過程，運(yùn)用“裂項(xiàng)相消法”求的前n項(xiàng)和．解：（1）因?yàn)樗寓賱t②所以①-②得：所以；（2）因?yàn)椋O(shè)，比較系數(shù)得：，得，所以，所以.18.圓內(nèi)有一點(diǎn)，AB為過點(diǎn)P且傾斜角為的弦．（1）當(dāng)時(shí)，求AB的長；（2）當(dāng)弦AB被點(diǎn)P平分時(shí)，寫出直線AB方程．解：（1）圓的圓心，半徑，因?yàn)?，所以直線的斜率，所以，即，所以圓心到的距離，所以；（2）因?yàn)橄冶黄椒?，所以，又因?yàn)?，所以，所以，?19.我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”事實(shí)上，很多代數(shù)問題可以轉(zhuǎn)化為幾何問題加以解決，已知曲線C上任意一點(diǎn)滿足.（1）化簡曲線的方程；（2）已知圓（為坐標(biāo)原點(diǎn)），直線經(jīng)過點(diǎn)且與圓相切，過點(diǎn)A作直線的垂線，交于兩點(diǎn)，求△OMN面積的最小值.解：（1），由得．所以曲線的方程是；（2）設(shè)，直線方程是，則直線方程為，即,直線與已知圓相切，所以，則，由得，，由題意（∵），，，∴或，，又原點(diǎn)到直線距離為，∴，由或得，設(shè)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立，∴時(shí)，，∴，即時(shí)，．20.2022年第12號強(qiáng)臺風(fēng)“梅花”9月8日自在西北太平洋洋面生成，至9月16日減弱為溫帶氣旋停止編號，共歷時(shí)8天，期間4次登錄我國東部沿海。9月14日20時(shí)30分前后，在我國浙江省舟山普陀沿海首次登陸，登陸時(shí)中心附近最大風(fēng)力14級，9月16日0時(shí)左右在山東省青島市嶗山區(qū)沿海第三次登陸，臺風(fēng)過境時(shí)帶來的狂風(fēng)暴雨天氣，造成了人民生命、財(cái)產(chǎn)的巨大損失，受災(zāi)民眾不懼困難，眾志成城，積極開展抗災(zāi)、救災(zāi)，守護(hù)自己的美麗家園。某地受其影響普降暴雨，一大型堤壩發(fā)生了滲水現(xiàn)象，當(dāng)發(fā)現(xiàn)時(shí)已有的壩面滲水，經(jīng)測算，壩面每平方米發(fā)生滲水現(xiàn)象的直接經(jīng)濟(jì)損失約為300元，且滲水面積以每天的速度擴(kuò)散．當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門在發(fā)現(xiàn)的同時(shí)立即組織人員搶修滲水壩面，假定每位搶修人員平均每天可搶修滲水面積，該部門需支出服裝補(bǔ)貼費(fèi)為每人600元，勞務(wù)費(fèi)及耗材費(fèi)為每人每天300元．若安排x名人員參與搶修，需要k天完成搶修工作．（1）寫出k關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）應(yīng)安排多少名人員參與搶修，才能使總損失最小．（總損失＝因滲水造成的直接損失＋部門的各項(xiàng)支出費(fèi)用）解：（1）由題意得，所以，，（2）設(shè)總損失為元，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立．所以，應(yīng)安排22名民工參與搶修，才能使總損失最小．21.如圖，平行六面體的底面是菱形，且．試用盡可能多的方法解決以下兩問：（1）若，記面為，面為，求二面角的平面角的余弦值；（2）當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r(shí)，能使平面？解：（1）連接、設(shè)和交于，連接，作，垂足為，作，垂足為，連接．四邊形是菱形，，又，．又，，△△，，，，又，，平面平面，又平面，．是二面角的平面角．方法一：∵，可得，，又．因?yàn)槠矫妫势矫嫫矫?，而平面平面，平面，故平面，而平面，故，而，平面，故平面，而平面，故，∴．又，∴，∴．方法二：在中，．由余弦定理知，又，∴，∴，即．∴是中點(diǎn)，．方法三：∵，，∴，即．∴，∴，，．∴，故．（2）當(dāng)時(shí)，能使平面．方法一：由前知平面，∴．當(dāng)時(shí)，平行六面體的六個(gè)面是全等的菱形．同的證法可得，而平面，故平面．方法二：∵，∴．由題設(shè)可知三棱錐是正三棱錐，設(shè)與相交于．∵，且，∴．又是正三角形的邊上的高和中線，∴點(diǎn)是正三角形的中心．