2024年人教版初中數(shù)學七年級下冊 -實數(shù)的運算-1教案

教案教學基本信息課題實數(shù)的運算學科數(shù)學學段：初中年級初一教材書名：數(shù)學七年級下冊出版社：人民教育出版社出版日期：教學目標及教學重、難點本節(jié)課涉及到的知識要素是有理數(shù)運算律，實數(shù)運算法則，圓周率，數(shù)軸等，主要是類比有理數(shù)運算法則擴充實數(shù)運算法則，體現(xiàn)出特殊到一般的思想方法，在課程中主要培養(yǎng)用有理數(shù)估計無理數(shù)大小的能力，共設(shè)計2個探究活動.教學目標：知道實數(shù)與數(shù)軸上的點的一一對應(yīng)關(guān)系.會求實數(shù)的相反數(shù)、絕對值.知道有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)在實數(shù)范圍內(nèi)仍然適用，并會進行一些簡單實數(shù)運算.體會數(shù)的范圍擴充后，概念、運算等的一致性以及它們的發(fā)展變化.教學重難點：重點：會求實數(shù)的相反數(shù)、絕對值，并會進行一些簡單的實數(shù)運算.難點：理解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)關(guān)系.教學過程(表格描述)教學環(huán)節(jié)主要教學活動設(shè)置意圖復習引入探究新知引言：在上一節(jié)課,我們類比有理數(shù)的分類學習了實數(shù)的分類，實際上與有理數(shù)有關(guān)的知識還有不少，比如有理數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系、有理數(shù)的大小比較、有理數(shù)的相反數(shù)和絕對值、有理數(shù)的運算及運算律。由于數(shù)的范圍已經(jīng)從有理數(shù)擴充到實數(shù)了，自然，我們也想知道這些有理數(shù)的知識也能擴充到實數(shù)范圍內(nèi)嗎？它們之間有什么區(qū)別和聯(lián)系呢？本節(jié)課我們就帶著這些思考，一起來研究實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系、實數(shù)的大小比較、實數(shù)的相反數(shù)和絕對值、實數(shù)的運算及運算律.實數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系思考問題1：有理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示；那么無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示嗎？解說：我們知道，每個有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示，但無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，它們存在于數(shù)軸上嗎？如果存在，怎么才能在數(shù)軸上準確找到表示無理數(shù)的點呢？帶著這個問題我們來進行兩個探究活動探究活動1：把直徑為1個單位長度的圓放在數(shù)軸上從原點向右滾動一周，圓上的一點由原點到達另一個點，這個點對應(yīng)的數(shù)是多少？計算推理：已知這個圓向右滾動一周，這個圓的直徑為單位長度1，所以根據(jù)圓周長公式，得到,即圓的周長就是無理數(shù).我們還可以從想象一下圓的滾動過程:第一步剪斷第二步拉直第三步化曲為直而線段的長度就是圓的周長，所以點對應(yīng)的數(shù)就是，即無理數(shù)π可以用數(shù)軸上的點表示.探究活動2：那么與能在數(shù)軸上表示嗎？我們還得借助之前的學習經(jīng)驗：單位長度為1的正方形對角線長是操作：將這個正方形一個頂點與原點重合，一個邊長與數(shù)軸重合上，畫出其對角線，然后以原點為圓心，正方形的對角線長為半徑畫弧，與正半軸的交點就表示，與負半軸的交點就是.所以無理數(shù)可以用數(shù)軸上的點表示.總結(jié)：事實上，每一個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點表示出來.當數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到實數(shù)后，實數(shù)與數(shù)軸上的點是一一對應(yīng)的，即每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個實數(shù).實數(shù)比大小思考問題2：實數(shù)如何比較大小總結(jié)：與規(guī)定的有理數(shù)大小一樣，對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大.實數(shù)有沒有絕對值與相反數(shù)思考問題3：討論一下當數(shù)從有理數(shù)擴充到實數(shù)以后，有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)和絕對值的意義同樣適合于實數(shù)嗎？思考：你能解答下列問題嗎?（1）的相反數(shù)是______，的相反數(shù)是____，0的相反數(shù)是______；(2)______，______，______.總結(jié)：數(shù)的相反數(shù)是，這里表示任意一個實數(shù)。一個正實數(shù)的絕對值是本身；一個負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0.即設(shè)表示一個實數(shù)，則有理數(shù)關(guān)于相反數(shù)與絕對值的意義同樣適合于實數(shù).實數(shù)的運算思考問題4：實數(shù)之間可以進行加減乘除乘方運算嗎？總結(jié):可以，而且正實數(shù)和0還可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算；在進行實數(shù)運算時，有理數(shù)的運算法則及運算性質(zhì)同樣適用.注意今后我們還會學到：隨著數(shù)的進一步擴充，負數(shù)將可以進行開方運算.通過復習學習實數(shù)的方法，提出思考問題，引人新學內(nèi)容。點明學習內(nèi)容學生對無理數(shù)的存在有不少困惑，拋出這個問題可以激發(fā)學生的探究愿望.數(shù)形結(jié)合考慮問題通過2個探究活動得出：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。這個問題與有理數(shù)知識一致.有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應(yīng)的，而實數(shù)與數(shù)軸上的點是一對應(yīng)的，這一事實的重要意義在于在實數(shù)范圍內(nèi)可以更好建立起數(shù)與形的聯(lián)系，并利用這種聯(lián)系研究和解決問題.注意突出在數(shù)的擴充中有理數(shù)與實數(shù)體現(xiàn)出一致性，并且可以解決更多的問題了.精講環(huán)節(jié)典型例題（應(yīng)用新知，鞏固提高）例題1實數(shù)-3，x,3，y在數(shù)軸上的對應(yīng)點分別為M，N，P，Q，這四個數(shù)中絕對值最大的數(shù)對應(yīng)的點是＿＿？分析：仔細觀察這些點在數(shù)軸上的位置，根據(jù)絕對值的意義，一個點到原點的距離越遠，它的絕對值就越大，這道題中Q點離原點最遠，所以它的絕對值最大，答案是Q點.例題2（1）分別寫出，的相反數(shù)；（2）指出，是什么數(shù)的相反數(shù)；（3）求的絕對值；（4）已知一個數(shù)的絕對值是,求這個數(shù)．解：(1)、的相反數(shù)是、；、是、的相反數(shù)；（3）的絕對值是4；（4）絕對值是的數(shù)是或．注意：要區(qū)分每個題的不同問法，合理理解符號的含義.例題3求下列各數(shù)的相反數(shù)與絕對值：2.50相反數(shù)絕對值分析，由于數(shù)比較多，我們先列表整理，再觀察求值，第一個數(shù)是2.5，正實數(shù)，相反數(shù)是-2.5,絕對值是2.5；第二個數(shù)是，負實數(shù)，相反數(shù)是,絕對值是；第三個數(shù)是，負實數(shù)，相反數(shù)是正,絕對值是；第四個數(shù)是，正實數(shù)，相反數(shù)是,絕對值是；第五個數(shù)是0，相反數(shù)與絕對值都是它本身0.例題4計算下列各式的值：解:原式==依據(jù)加法交換律（2）解：原式==依據(jù)分配律例題5計算（結(jié)果保留小數(shù)點后兩位）（1）（2）分析：在實數(shù)運算中，當遇到無理數(shù)，并且需要求出結(jié)果的近似值時，可以按照所要求的精確度，用相應(yīng)的近似有限小數(shù)去替代無理數(shù)，再進行計算.解：(1)原式(2)原式小結(jié)：對于實數(shù)的運算，可強調(diào)兩點，一是有理數(shù)的運算律和運算性質(zhì)，在實數(shù)范圍內(nèi)仍然成立；二是涉及無理數(shù)的近似計算，可以取近似值轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進行計算.下面我們做幾個拓展提升題例題6比較下列各組數(shù)的大小，并用“>、=、<”填空：(2)第一題分析:=1.5，=1.55…是無限循環(huán)小數(shù),因為1.5<1.55…，所以這道題填“小于號”；第二題分析:=1.414…，千分位數(shù)字4后面的…表示數(shù)字還可以無限不循環(huán)的一直寫下去，而有限小數(shù)1.414只到千分位，可見1.414...>1.414，所以這道題填“大于號”.例題7下列各數(shù)分別界于哪兩個相鄰的整數(shù)之間？；（2）.分析：表示28的算術(shù)平方根，由于，，而且被開方數(shù)28界于25與36這兩個平方數(shù)之間，所以根號28是界于5和6兩個相鄰整數(shù)之間的；表示99的立方根，由于，，而且被開方數(shù)99界于64與125這兩個立方數(shù)之間，所以三次根號99是界于4和5兩個相鄰整數(shù)之間的.下面我們來運用實數(shù)運算的知識解決實際問題例題8如圖，一根細線上端固定，下端系一個小重物，讓這個小重物來回自由擺動，來回擺動一次所用的時間(單位:)與細線的長度(單位:)之間滿足關(guān)系.當細線的長度為0.5m時，小重物來回擺動一次所用的時間是多少?(結(jié)果保留小數(shù)點后一位)解:代入公式下面得引入近似值了注意可以使用計算器答:小重物來回擺動一次所用的時間是1.4.小結(jié)：在拓展提升環(huán)節(jié)中我們做了三類練習，一是解決實際問題，二是判斷無理數(shù)在哪兩個相鄰整數(shù)之間，三是比較實數(shù)的大小，這些問題都要運用“用有理數(shù)估計無理數(shù)大小”的方法，在實數(shù)的運算中估算是很重要的能力.通過例題的講解，提高學生對實數(shù)的運算及性質(zhì)的了解.讓學生能結(jié)合概念解決簡單的問題，會求一個實數(shù)的相反數(shù)與絕對值.從復習有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值入手，類比規(guī)定了實數(shù)的相反數(shù)和絕對值，并通過例題鞏固解題方法，加深了對實數(shù)的認識。建議可以使用計算器鞏固練習提升技能課堂小結(jié)鞏固練習（看看自己對實數(shù)概念及有關(guān)知識掌握的程度）1.下列各數(shù)中，界于6和7之間的數(shù)是哪個？A.B.C.D.分析：不妨將整數(shù)6和7也寫成算術(shù)平方根形式，因為6=，7=，通過比較被開方數(shù)的大小，判斷大于6小于7，所以這題應(yīng)該選B.回答問題：（1）有沒有最小的正整數(shù)？有沒有最小的整數(shù)？（2）有沒有最小的正實數(shù)？有沒有最小的實數(shù)？分析：依據(jù)數(shù)軸及實數(shù)的分類的知識，判斷有最小的正整數(shù)1，沒有最小的整數(shù)；沒有最小的正實數(shù)，也沒有最小的實數(shù).3.填空：（1）在，，-4，0當中，最大的數(shù)是？寫出一個比3大且比4小的無理數(shù)？重點分析（2）根據(jù)無理數(shù)的形式特點，方法一我們可以直接寫π或3.131131113…（相鄰兩個3之間依次多一個1）；方法二因為3是9的算術(shù)平方根，4是16的算術(shù)平方根，所以在中的任選一個無理數(shù)都符合題意.所以這道題的答案不唯一.4.求下列各式中的實數(shù)x：；（2）；(3)；(4).分析：根據(jù)絕對值的意義，判斷x的值.x=0；(2)x=；(3)x=；(4)x=.5.求下列各數(shù)的絕對值：（2）（3）（4）依據(jù)絕對值的意義：所以要先判斷這些數(shù)的正負符號，再決定結(jié)果是得本身還是本身的相反數(shù)。(1)的絕對值是；(2)的絕對值是2；(3)的絕對值是；(4)的絕對值是.6.計算下列各式的值：（2）（3）（4）（精確到0.1）(1)原式==依據(jù)是加法結(jié)合律(2)原式=括號依據(jù)分配律(3)原式===2+（-1+2)=依據(jù)分配律、絕對值的概念.(4)原式要生產(chǎn)一種容積為36πL的球形容器，這種球形容器的半徑是多少分米？(球的體積公式是，其中R是球的半徑.)分析：L是指單位升，1升=1立方分米.公式中的字母V是已知量，字母R是未知量，所以將36π代入公式，得到,再根據(jù)立方根定義化簡求值即可.具體解題過程如下，解:代入球的體積公式得，然后要利用等式基本性質(zhì)，等式兩邊同時除以，得到，接著要化系數(shù)為1，等式兩邊同時除以系數(shù)，所以然后根據(jù)立方根定義，得，答：這種球形容器的半徑是3分米.通過本節(jié)課的學習，你有哪些體會？每個無理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示；當數(shù)的范圍從有理數(shù)擴充到實數(shù)后，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).講解：通過探究活動，我們在數(shù)軸上找到了表示無理數(shù)和的點，認識到無理數(shù)確實就在我們身邊，并且了解了無理數(shù)的幾何意義.會比較實數(shù)大小，會求實數(shù)的相反數(shù)與絕對值講解：我們先復習了有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值，然后用類似的方式規(guī)定了實數(shù)的相反數(shù)和絕對值，并且通過習題加深了對它們的理解.會進行簡單的實數(shù)運算，并知道有理數(shù)的運算律和運算性質(zhì)同樣適合于實數(shù)的運算.講解：我們通過許多具體的例子體會到實數(shù)運算的性質(zhì)、運算律與有理數(shù)是一致的，當涉及到無理數(shù)近似計算時可以轉(zhuǎn)化為有理數(shù)進行計算，數(shù)位比較多時還可適當使用計算器估算.培養(yǎng)學生解題的能力.考察對數(shù)軸的認識能用實數(shù)分類解決最小值問題.由于