2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷12.3.2 等腰三角形 同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練(含答案)

2024-2025學(xué)年年七年級(jí)數(shù)學(xué)人教版下冊(cè)專題整合復(fù)習(xí)卷12.3.2等腰三角形同步測(cè)控優(yōu)化訓(xùn)練(含答案)12.3.2等邊三角形一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.等邊三角形有________條對(duì)稱軸，分別是________.2.等邊三角形每邊上的中線、角平分線、高_(dá)_______且________.3.等腰三角形一底角為30°，底邊上的高為9cm，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是________cm，頂角是________.二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.下列條件能判定三角形為等邊三角形的有()①有一個(gè)角為60°的三角形；②三個(gè)外角都相等的三角形；③一邊上的高與中線重合的三角形；④有一個(gè)角為60°的等腰三角形.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)2.如圖14-3-8，已知P、Q是△ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且PB=PQ=QC=AP=AQ，則∠BAC的度數(shù)為()圖14-3-8圖14-3-9A.150°B.120°C.100°D.90°3.△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，則∠A=________.4.如圖14-3-9，△ABC是等邊三角形，AB＝5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，則∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________.5.如圖14-3-10，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且△DEF也是等邊三角形．（1）除已知相等的邊以外，請(qǐng)你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的；（2）你所證明相等的線段，可以通過(guò)怎樣的變化相互得到？寫出變化過(guò)程．圖14-3-10三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.如圖14-3-11，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6cm,D是AC的中點(diǎn)，E為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CD,DM⊥BC于M，則ME的長(zhǎng)為()A.5cmB.5.5cmC.4.5cmD.3.5cm2.如圖14-3-12，兩個(gè)全等的直角三角形中都有一個(gè)銳角為30°，且較長(zhǎng)的直角邊在同一直線上，則圖中的等腰三角形有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)圖14-3-11圖14-3-12圖14-3-133.若等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則這個(gè)等腰三角形的底角為()A.75°或15°B.30°或60°C.75°D.30°4.如圖14-3-13，△ABP與△CDP是兩個(gè)全等的等邊三角形，且PA⊥PD，有下列四個(gè)結(jié)論：①∠PAC＝15°；②AD∥BC；③直線PC與AB垂直；④四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.45.等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為2acm，則三角形的面積為_(kāi)_______.6.如圖14-3-14，已知OA＝10，P是射線ON上的一動(dòng)點(diǎn)（即P點(diǎn)在射線ON上運(yùn)動(dòng)），且∠AON＝60°.（1）當(dāng)OP＝_________時(shí)，△AOP為等邊三角形，此時(shí)∠APO的度數(shù)為_(kāi)_______；（2）當(dāng)△AOP為直角三角形時(shí)，OP＝________，此時(shí)∠APO的度數(shù)為_(kāi)_______.圖14-3-14圖14-3-157.如圖14-3-15，P是線段AB上一點(diǎn)，△APC與△BPD是等邊三角形，請(qǐng)你判斷AD與BC相等嗎？并證明你的判斷．8.如圖14-3-16，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E，求證：BF=FC.圖14-3-169.已知，如圖14-3-17中，等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h.圖14-3-17若點(diǎn)P在一邊BC上（如圖①），此時(shí)h3=0，可得結(jié)論：h1＋h2＋h3＝h.請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)（如圖②）、點(diǎn)P在△ABC外（如圖③）這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由；若不成立，h1、h2、h3與h之間又有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.參考答案一、課前預(yù)習(xí)(5分鐘訓(xùn)練)1.等邊三角形有________條對(duì)稱軸，分別是________.答案：三每條邊的垂直平分線〔或每條邊上的高（或中線、頂角平分線）所在的直線〕2.等邊三角形每邊上的中線、角平分線、高_(dá)_______且________.思路解析：等邊三角形具有等腰三角形的所有性質(zhì).答案：重合相等3.等腰三角形一底角為30°，底邊上的高為9cm，則這個(gè)等腰三角形的腰長(zhǎng)是________cm，頂角是________.思路解析：底邊上的高分等腰三角形為兩個(gè)全等的直角三角形，利用30°直角三角形的特殊性質(zhì).答案：18120°二、課中強(qiáng)化(10分鐘訓(xùn)練)1.下列條件能判定三角形為等邊三角形的有()①有一個(gè)角為60°的三角形；②三個(gè)外角都相等的三角形；③一邊上的高與中線重合的三角形；④有一個(gè)角為60°的等腰三角形.A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)思路解析：判定等邊三角形的方法：①三條邊都相等的三角形是等邊三角形；②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形.因此②④是正確的.當(dāng)每邊上的高與中線都重合時(shí)，這個(gè)三角形也是等邊三角形.答案：B2.如圖14-3-8，已知P、Q是△ABC邊BC上的兩點(diǎn)，且PB=PQ=QC=AP=AQ，則∠BAC的度數(shù)為()圖14-3-8圖14-3-9A.150°B.120°C.100°D.90°思路解析：已知邊的相等關(guān)系求角的度數(shù)，需要用“等邊對(duì)等角”性質(zhì)，涉及相鄰三角形的內(nèi)角關(guān)系時(shí)，可以用“外角性質(zhì)”轉(zhuǎn)換.由PQ=AP=AQ可知△APQ是等邊三角形，每個(gè)內(nèi)角為60°，由PB=AP，AQ=QC，得△ABP、△ACQ都是等腰三角形，根據(jù)“外角性質(zhì)”得∠B=∠BAP=∠C=∠CAQ=30°.答案：B3.△ABC中，AB=BC，∠B=∠C，則∠A=________.思路解析：由AB=BC得到∠C＝∠A，即△ABC的三個(gè)內(nèi)角相等.答案：60°4.如圖14-3-9，△ABC是等邊三角形，AB＝5cm，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，則∠BAD＝________，∠ADF＝________，BD＝________，∠EDF＝________.思路解析：綜合運(yùn)用等邊三角形的性質(zhì)和特殊直角三角形性質(zhì).答案：30°60°2.5cm120°5.如圖14-3-10，已知△ABC為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且△DEF也是等邊三角形．（1）除已知相等的邊以外，請(qǐng)你猜想還有哪些相等線段，并證明你的猜想是正確的；（2）你所證明相等的線段，可以通過(guò)怎樣的變化相互得到？寫出變化過(guò)程．圖14-3-10思路分析：兩個(gè)等邊三角形公共中心，構(gòu)成了新的三個(gè)三角形：△AFE、△BDF、△CED也是全等三角形.解：（1）AE=BF=CD，AF=BD=CE.理由：如圖：∵△ABC、△DEF都是等邊三角形，∴∠A=∠B=∠C=∠EFD=∠FDE=∠DEF=60°，EF=FD=DE.∴∠1+∠2=∠2+∠3=∠3+∠4=∠4+∠5=∠5+∠6=∠6+∠1=120°.∴∠1=∠3=∠5，∠2=∠4=∠6.∴△AFE≌△BDF≌△CED.∴AE=BF=CD，AF=BD=CE.（2）用旋轉(zhuǎn)與平移相結(jié)合的方法可以相互得到.三、課后鞏固(30分鐘訓(xùn)練)1.如圖14-3-11，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6cm,D是AC的中點(diǎn)，E為BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE=CD,DM⊥BC于M，則ME的長(zhǎng)為()A.5cmB.5.5cmC.4.5cmD.3.5cm思路解析：運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)與判定定理，△CDE是等腰三角形，△DME是特殊的直角三角形.答案：C2.如圖14-3-12，兩個(gè)全等的直角三角形中都有一個(gè)銳角為30°，且較長(zhǎng)的直角邊在同一直線上，則圖中的等腰三角形有()A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)圖14-3-11圖14-3-12圖14-3-13思路解析：觀察圖形，注意60°的角.答案：B3.若等腰三角形一腰上的高等于腰長(zhǎng)的一半，則這個(gè)等腰三角形的底角為()A.75°或15°B.30°或60°C.75°D.30°思路解析：等腰三角形可能是銳角三角形，也可能是鈍角三角形，分兩種情況討論.答案：A4.如圖14-3-13，△ABP與△CDP是兩個(gè)全等的等邊三角形，且PA⊥PD，有下列四個(gè)結(jié)論：①∠PAC＝15°；②AD∥BC；③直線PC與AB垂直；④四邊形ABCD是軸對(duì)稱圖形.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4思路解析：運(yùn)用相關(guān)的定理逐一判斷，在猜測(cè)結(jié)論是正確時(shí)，把結(jié)論換成證明題解決.如圖：①△PCA是頂角為150°的等腰三角形，則∠PAC＝15°；②△PCB是頂角為150°的等腰三角形，（頂角：360°-60°-60°-90°=150°）∠BCD=15°+60°=75°，∠CDA=45°+60°=105°，所以∠BCD+∠CDA=180°，AD∥BC；③△CAB中，∠BCA=∠CAD=45°－15°=30°，∠BAC=105°－30°=75°，所以∠CBA=180°－30°－75°=75°，△CAB為等腰三角形，而CP平分∠BCA，則直線PC與AB垂直;④四邊形ABCD是以AD的垂直平分線為對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形.答案：D5.等腰三角形的底角為15°，腰長(zhǎng)為2acm，則三角形的面積為_(kāi)_______.思路解析：這是一個(gè)鈍角三角形（如圖），作出腰上的高，構(gòu)造出特殊的直角三角形.答案：a2cm26.如圖14-3-14，已知OA＝10，P是射線ON上的一動(dòng)點(diǎn)（即P點(diǎn)在射線ON上運(yùn)動(dòng)），且∠AON＝60°.圖14-3-14（1）當(dāng)OP＝_________時(shí)，△AOP為等邊三角形，此時(shí)∠APO的度數(shù)為_(kāi)_______；（2）當(dāng)△AOP為直角三角形時(shí)，OP＝________，此時(shí)∠APO的度數(shù)為_(kāi)_______.思路解析：動(dòng)點(diǎn)P決定了△AOP的形狀，當(dāng)有兩邊相等時(shí)，△AOP為等邊三角形；當(dāng)有一個(gè)角為直角時(shí)，△AOP為直角三角形，當(dāng)直角頂點(diǎn)沒(méi)有確定，需要討論.(1)∵∠AON＝60°，若△AOP是等邊三角形，則OP＝OA＝10，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，∠APO＝60°.(2)∵∠AON＝60°,若△AOP為直角三角形,則∠A＝90°,此時(shí)∠APO＝30°,∴OP＝2·OA＝20或者∠APO＝90°，此時(shí)∠A＝30°.∴OP＝OA=5.答案：（1）1060°（2）2030°(或590°)7.如圖14-3-15，P是線段AB上一點(diǎn)，△APC與△BPD是等邊三角形，請(qǐng)你判斷AD與BC相等嗎？并證明你的判斷．圖14-3-15思路解析：△CPB可以看作是△APD繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，用全等三角形的判斷證明這兩個(gè)三角形全等.答案：AD=BC.證明：∵△APC為等邊三角形,∴AP=PC,∠APC=60°.同理,PD=PB,∠BPD=60°.∴∠APD=∠CPB.∴△APD≌△CPB.∴AD=BC.8.如圖14-3-16，△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，EF為AB的垂直平分線，EF交BC于F，交AB于E，求證：BF=FC.圖14-3-16思路解析：線段的一半與特殊的直角三角形的兩邊關(guān)系類似，而∠C＝30°，可以通過(guò)垂直平分線的性質(zhì)把BF轉(zhuǎn)化成AF，從而可以得到△ACF為直角三角形，下一步只要證明AF=FC即可.證明：連結(jié)AF.∵EF為AB的垂直平分線，∴BF=AF，∠B=∠BAF.∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∠AFC=2∠B=60°.∴∠CAF=90°.∴AF=FC.∴BF=FC.9.已知，如圖14-3-17中，等邊△ABC和點(diǎn)P，設(shè)點(diǎn)P到△ABC三邊AB、AC、BC的距離分別為h1、h2、h3，△ABC的高為h.圖14-3-17若點(diǎn)P在一邊BC上（如圖①），此時(shí)h3=0，可得結(jié)論：h1＋h2＋h3＝h.請(qǐng)直接應(yīng)用上述信息解決下列問(wèn)題：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)（如圖②）、點(diǎn)P在△ABC外（如圖③）這兩種情況時(shí)，上述結(jié)論是否還成立？若成立，請(qǐng)簡(jiǎn)述理由；若不成立，h1、h2、h3與h之間又有怎樣的關(guān)系，請(qǐng)寫出你的猜想，不需證明.思路分析：這是一個(gè)閱讀理解題，以點(diǎn)P在等邊三角形的邊上為前提，有結(jié)論“h1＋h2＋h3＝h”成立，因此我們要把問(wèn)題②、③轉(zhuǎn)化成圖①的情景.過(guò)點(diǎn)P作NQ∥BC，分別交AB、AC、AM（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)N、Q、K（如圖），則△ANQ仍為等邊三角形，對(duì)應(yīng)有類似“h1＋h2＋h3＝h”的結(jié)論.解：當(dāng)點(diǎn)P在△ABC內(nèi)部時(shí)，結(jié)論h1＋h2＋h3＝h仍然成立.如圖，過(guò)點(diǎn)P作NQ∥BC，分別交AB、AC、AM于點(diǎn)N、Q、K，則△ANQ仍為等邊三角形，由①可知h1＋h2＝AK.∵NQ∥BC，KM⊥BC，PF⊥BC∴KM=PF=h3.∴h1＋h2＋h3＝AK＋KM＝AM＝h.當(dāng)點(diǎn)P在△ABC外部時(shí)，h1、h2、h3與h之間的關(guān)系為h1＋h2－h(huán)3＝h，如圖，證法同上.數(shù)學(xué)活動(dòng)班級(jí)姓名座號(hào)月日主要內(nèi)容:軸對(duì)稱在生活中的運(yùn)用,如設(shè)計(jì)藝術(shù)字,剪紙,鏡面反射,倒影等問(wèn)題一、課堂練習(xí):1.寫出5個(gè)是軸對(duì)稱的漢字.2.在英文單詞TEACHER中,請(qǐng)寫出是軸對(duì)稱的英文字母.3.將0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)印刷體數(shù)字放在鏡子前面,在鏡子中看到的像與本身相同的數(shù)字有()個(gè)A.1B.2C.3D.44.如下所示的4組圖形中,左邊圖形與右邊圖形成軸對(duì)稱的有()A.1組B.2組C.3組D.4組①④②①④②③5.如圖,平放在正立鏡子前的桌面上的數(shù)碼“21085”在鏡子中的像是()第5題A.B.C.D.6.黑板上寫的不等式在正對(duì)著黑板的鏡子中的像是,黑板上寫的不等式對(duì)嗎?7.如圖,下列圖形在正對(duì)鏡子時(shí),鏡中的像與原來(lái)圖形完全一樣的有哪幾個(gè)?為什么?8.字符在水中的倒影為.9.請(qǐng)你用彩紙,將如圖所示的圖案剪出來(lái),并展示給同學(xué)們看,看誰(shuí)剪的美麗．

二、課后作業(yè):1.判斷題：(1)小明站在鏡子前,鏡子里的右手是小明的右手.()(2)鏡子里的像與原來(lái)的關(guān)系是左變成右,右變成左.()(3)M在水中倒影的像是W.()(4)水中倒影的像與原來(lái)的關(guān)系是上變成下,下變成上.()2.在“工、木、口、民、公、晶、離”這幾個(gè)漢字中,是軸對(duì)稱的有.3.在26個(gè)英文字母中,請(qǐng)寫出4個(gè)關(guān)于軸對(duì)稱的英文字母.4.請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的一組圖形符號(hào)中找出它們所蘊(yùn)含的規(guī)律,然后在橫線上的空白處填上恰當(dāng)?shù)膱D形．5.小明從平面鏡子里看到鏡子對(duì)面電子鐘示數(shù)的像是,這時(shí)的時(shí)刻應(yīng)是()A.21:10B.10:21C.10:51D.12:016.一個(gè)汽車車牌在水中的倒影如圖所示,則確定該車的牌照號(hào)碼是.7.如圖所示,請(qǐng)根據(jù)小文在鏡中的像寫出他的運(yùn)動(dòng)衣的實(shí)際號(hào)碼是.第6題第7題第6題第7題（1）（2）（3）（4）8.將一正方形紙片按圖中(1)、(2)的方式依次對(duì)折后,再沿(3)中的虛線裁剪,最后將(4)中的（1）（2）（3）（4）BBACD9.你有自己的印章嗎？如果有,請(qǐng)把你的印章上的名字寫出來(lái)；如果沒(méi)有,你自己設(shè)計(jì)一個(gè)印章,可以用土豆塊或橡皮．

參考答案一、課堂練習(xí):1.寫出5個(gè)是軸對(duì)稱的漢字王、工、木、口、田.(答案不唯一)2.在英文單詞TEACHER中,請(qǐng)寫出是軸對(duì)稱的英文字母TEACH.3.將0、1、2、3、4、5、6、7、8、9這十個(gè)印刷體數(shù)字放在鏡子前面,在鏡子中看到的像與本身相同的數(shù)字有(B)個(gè)A.1B.2C.3D.44.如下所示的4組圖形中,左邊圖形與右邊圖形成軸對(duì)稱的有(A)A.1組B.2組C.3組D.4組①④②①④②③5.如圖,平放在正立鏡子前的桌面上的數(shù)碼“21085”在鏡子中的像是(D)第5題A.B.C.D.6.黑板上寫的不等式在正對(duì)著黑板的鏡子中的像是,黑板上寫的不等式對(duì)嗎?答:黑板上寫的不等式對(duì)的,是5＞2.7.如圖,下列圖形在正對(duì)鏡子時(shí),鏡中的像與原來(lái)圖形完全一樣的有哪幾個(gè)?為什么?答:圖中(1)、(2)、(3)、(4)正對(duì)鏡子與原來(lái)的圖形完全一樣,因?yàn)檫@兩個(gè)圖形是左右對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形.8.字符在水中的倒影為wp31285qb.9.請(qǐng)你用彩紙,將如圖所示的圖案剪出來(lái),并展示給同學(xué)們看,看誰(shuí)剪的美麗．二、課后作業(yè):1.判斷題：(1)小明站在鏡子前,鏡子里的右手是小明的右手.(×)(2)鏡子里的像與原來(lái)的關(guān)系是左變成右,右變成左.(√)(3)M在水中倒影的像是W.(√)(4)水中倒影的像與原來(lái)的關(guān)系是上變成下,下變成上.(√)2.在“工、木、口、民、公、晶、離”這幾個(gè)漢字中,是軸對(duì)稱的有工、木、口、晶.3.在26個(gè)英文字母中,請(qǐng)寫出4個(gè)關(guān)于軸對(duì)稱的英文字母ABCDEHIKMOTUVWXY.4.請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的一組圖形符號(hào)中找出它們所蘊(yùn)含的規(guī)律,然后在橫線上的空白處填上恰當(dāng)?shù)膱D形．5.小明從平面鏡子里看到鏡子對(duì)面電子鐘示數(shù)的像是,這時(shí)的時(shí)刻應(yīng)是(C)A.21:10B.10:21C.10:51D.12:016.一個(gè)汽車車牌在水中的倒影如圖所示,則確定該車的牌照號(hào)碼是MT7936.7.如圖所示,請(qǐng)根據(jù)小文在鏡中的像寫出他的運(yùn)動(dòng)衣的實(shí)際號(hào)碼是108.第6題第7題第6題第7題（1）（2）（3）（4）8.將一正方形紙片按圖中(1)、(2)的方式依次對(duì)折后,再沿(3)中的虛線裁剪,最后將(4)中的（1）（2）（3）（4）BBACD9.你有自己的印章嗎？如果有,請(qǐng)把你的印章上的名字寫出來(lái)；如果沒(méi)有,你自己設(shè)計(jì)一個(gè)印章,可以用土豆塊或橡皮． 13.3等腰三角形13.4課題學(xué)習(xí)最短路徑問(wèn)題專題一等腰三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用1．如圖在△ABC中，BF、CF是角平分線，DE∥BC，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)F．結(jié)論：①△BDF和△CEF都是等腰三角形；②DE=BD+CE；③△ADE的周長(zhǎng)=AB+AC；④BF=CF．其中正確的是___________．(填序號(hào))2．如圖，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D、E、F分別在邊AB、BC、AC上，且BE=CF，AD+EC=AB．（1）求證：△DEF是等腰三角形；（2）當(dāng)∠A=40°時(shí)，求∠DEF的度數(shù)；（3）△DEF可能是等腰直角三角形嗎？為什么？（4）請(qǐng)你猜想：當(dāng)∠A為多少度時(shí)，∠EDF+∠EFD=120°，并請(qǐng)說(shuō)明理由．3．如圖，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，垂足為D．（1）請(qǐng)你寫出圖中所有的等腰三角形；（2）請(qǐng)你判斷AD與BE垂直嗎？并說(shuō)明理由．（3）如果BC=10，求AB+AE的長(zhǎng)．專題二等邊三角形的性質(zhì)和判定4．如圖，在等邊△ABC中，AC=9，點(diǎn)O在AC上，且AO=3，點(diǎn)P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接OP，以O(shè)為圓心，OP長(zhǎng)為半徑畫弧交BC于點(diǎn)D，連接PD，如果PO=PD，那么AP的長(zhǎng)是__________．5．如圖．在等邊△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，且OD∥AB，OE∥AC．（1）試判定△ODE的形狀，并說(shuō)明你的理由；（2）線段BD、DE、EC三者有什么關(guān)系？寫出你的判斷過(guò)程．6．如圖，△ABC中，AB=BC=AC=12cm，現(xiàn)有兩點(diǎn)M、N分別從點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，沿三角形的邊運(yùn)動(dòng)，已知點(diǎn)M的速度為1cm/s，點(diǎn)N的速度為2cm/s．當(dāng)點(diǎn)N第一次到達(dá)B點(diǎn)時(shí)，M、N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．（1）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，M、N兩點(diǎn)重合？（2）點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)幾秒后，可得到等邊三角形△AMN？（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能否得到以MN為底邊的等腰三角形AMN？如存在，請(qǐng)求出此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間．專題三最短路徑問(wèn)題7．如圖，A、B兩點(diǎn)分別表示兩幢大樓所在的位置，直線a表示輸水總管道，直線b表示輸煤氣總管道．現(xiàn)要在這兩根總管道上分別設(shè)一個(gè)連接點(diǎn)，安裝分管道將水和煤氣輸送到A、B兩幢大樓，要求使鋪設(shè)至兩幢大樓的輸水分管道和輸煤氣分管道的用料最短．圖中，點(diǎn)A′是點(diǎn)A關(guān)于直線b的對(duì)稱點(diǎn)，A′B分別交b、a于點(diǎn)C、D；點(diǎn)B′是點(diǎn)B關(guān)于直線a的對(duì)稱點(diǎn)，B′A分別交b、a于點(diǎn)E、F．則符合要求的輸水和輸煤氣分管道的連接點(diǎn)依次是（）A．F和CB．F和EC．D和CD．D和E8．如圖，現(xiàn)準(zhǔn)備在一條公路旁修建一個(gè)倉(cāng)儲(chǔ)基地，分別給、兩個(gè)超市配貨，那么這個(gè)基地建在什么位置，能使它到兩個(gè)超市的距離之和最小?(保留作圖痕跡及簡(jiǎn)要說(shuō)明)狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1．等腰三角形的性質(zhì)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)；性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合(簡(jiǎn)寫成“三線合一”)．2．等腰三角形的判定方法如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”)．3．等邊三角形的性質(zhì)和判定方法性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°．判定方法1：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形．判定方法2：有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．4．直角三角形的性質(zhì)在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．【溫馨提示】1．“等邊對(duì)等角”和“等角對(duì)等邊”只限于在同一個(gè)三角形中，在兩個(gè)三角形中時(shí)，上述結(jié)論不一定成立．2．在應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)時(shí)應(yīng)注意以下兩點(diǎn)：(1)必須是在直角三角形中；(2)必須有一個(gè)銳角等于30°．【方法技巧】1．等腰三角形的性質(zhì)是證明兩個(gè)角相等的重要方法，當(dāng)要證明同一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角相等時(shí)，可嘗試用“等邊對(duì)等角”．2．等腰三角形的判定是證明線段相等的一個(gè)重要方法，當(dāng)要證明位于同一個(gè)三角形的兩條線段相等時(shí)，可嘗試用“等角對(duì)等邊”．3．利用軸對(duì)稱可以解決幾何中的最值問(wèn)題，本方法的實(shí)質(zhì)是依據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)以及兩點(diǎn)之間線段最短和三角形兩邊之和大于第三邊．參考答案1．①②③解析：∵DE∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∠EFC=∠FCB．∵BF是∠ABC的平分線，CF是∠ACB的平分線，∴∠FBC=∠DBF，∠FCE=∠FCB．∴∠DBF=∠DFB，∠EFC=∠ECF，∴△DFB，△FEC都是等腰三角形．∴DF=DB，F(xiàn)E=EC，即有DE=DF+FE=DB+EC．∴△ADE的周長(zhǎng)=AD+AE+DE=AD+AE+DB+EC=AB+AC．綜上所述，命題①②③正確．2．解：(1)證明：∵AD+EC=AB，∴BD=CE．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵BE=CF，∴△BDE≌△CEF．∴DE=EF，即△DEF是等腰三角形．(2)∵∠A=40°，∴∠B=∠C=(180°－∠A)=(180°－40°)=70°．∵△BDE≌△CEF，∴∠BDE=∠CEF．∴∠DEF=180°－∠BED－∠CEF=180°－∠BED－∠BDE=∠B=70°．(3)不能．∵∠DEF=∠B≠90°，∴△DEF不可能是等腰直角三角形．(4)60°．理由：當(dāng)∠A=60°時(shí)，∠B=∠C=60°，由（2）可得∠DEF=60°．∴∠EDF+∠EFD=120°．3．解：（1）△ABC，△ABD，△ADE，△EDC．（2）AD與BE垂直．證明：∵BE為∠ABC的平分線，∴∠ABE=∠DBE.又∵∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，∴△ABE沿BE折疊，一定與△DBE重合．∴A、D是對(duì)稱點(diǎn)．∴AD⊥BE．（3）∵BE是∠ABC的平分線，DE⊥BC，EA⊥AB，∴AE=DE．在Rt△ABE和Rt△DBE中，∴Rt△ABE≌Rt△DBE（HL）．∴AB=BD．又△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，∴∠C=45°．又∵ED⊥BC，∴△DCE為等腰直角三角形．∴DE=DC．即AB+AE=BD+DC=BC=10．4．6解析：連接OD，∵PO=PD，∴OP=DP=OD．∴∠DPO=60°．∵△ABC是等邊三角∵∴AO=PB=3，∴AP=6．5．解：（1）△ODE是等邊三角形，其理由是：∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．∵OD∥AB，OE∥AC，∴∠ODE=∠ABC=60°，∠OED=∠ACB=60°．∴△ODE是等邊三角形．（2）BD=DE=EC．其理由是：∵OB平分∠ABC，且∠ABC=60°，∴∠ABO=∠OBD=30°．∵OD∥AB，∴∠BOD=∠ABO=30°．∴∠DBO=∠DOB．∴DB=DO．同理，EC=EO．∵DE=OD=OE，∴BD=DE=EC．6．解：（1）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)x秒后，M、N兩點(diǎn)重合，x×1+12=2x，解得：x=12．（2）設(shè)點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)t秒后，可得到等邊三角形△AMN，如圖①，AM=t×1=t，AN=AB－BN=12－2t，∵三角形△AMN是等邊三角形，∴t=12－2t．解得t=4．∴點(diǎn)M、N運(yùn)動(dòng)4秒后，可得到等邊三角形△AMN．（3）當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，可以得到以MN為底邊的等腰三角形，由（1）知12秒時(shí)M、N兩點(diǎn)重合，恰好在C處，如圖②，假設(shè)△AMN是等腰三角形，∴AN=AM．∴∠AMN=∠ANM．∴∠AMC=∠ANB．∵AB=BC=AC，∴△ACB是等邊三角形．∴∠C=∠B．在△ACM和△ABN中，∴△ACM≌△ABN．∴CM=BN．設(shè)當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間y秒時(shí)，△AMN是等腰三角形，∴CM=y－12，NB=36－2y，CM=NB．y－12=36－2y，解得：y=16．故假設(shè)成立．∴當(dāng)點(diǎn)M、N在BC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能得到以MN為底邊的等腰三角形AMN，此時(shí)M、N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為16秒．7．A解析：由軸對(duì)稱－－最短路線的要求可知：輸水分管道的連接點(diǎn)是點(diǎn)B關(guān)于a的對(duì)稱點(diǎn)B′與A的連線的交點(diǎn)F，煤氣分管道的連接點(diǎn)是點(diǎn)A關(guān)于b的對(duì)稱點(diǎn)A′與B的連線的交點(diǎn)C．故選A．8．解：如圖，作點(diǎn)B關(guān)于公路的對(duì)稱點(diǎn)B′，連接AB′，交公路于點(diǎn)C，則這個(gè)基地建在C處，才能使它到這兩個(gè)超市的距離之和最小.13.3等腰三角形1．等腰三角形(1)概念：有兩邊相等的三角形叫等腰三角形，其中相等的兩邊叫腰，另一條邊叫底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰與底邊的夾角叫做底角．(2)理解：①等腰三角形是特殊的三角形，它具備三角形所有的性質(zhì)，如內(nèi)角和是180°，兩邊之和大于第三邊等．②等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，這既是等腰三角形的特點(diǎn)也是研究它的重要方法．破疑點(diǎn)等腰三角形有關(guān)概念的認(rèn)識(shí)(1)對(duì)于等腰三角形問(wèn)題，我們說(shuō)角或邊時(shí)，一般都要指明是頂角還是底角，是底邊還是腰，沒(méi)說(shuō)明則都有可能，要討論解決，這是解決等腰三角形最容易忽視和錯(cuò)誤的地方；(2)等腰三角形頂角可以是直角，是鈍角或銳角，而底角只能是銳角．【例1】等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別是5cm和11cm，則它的周長(zhǎng)是()．A．27cm B．22cmC．27cm或22cm D．無(wú)法確定解析：邊長(zhǎng)為5cm的邊可能是底，也可能是腰，當(dāng)5cm的邊是底邊時(shí)，腰長(zhǎng)為11cm，所以周長(zhǎng)為27cm，當(dāng)5cm的邊是腰時(shí)，則底邊長(zhǎng)為11cm，因?yàn)?＋5＜11，所以構(gòu)不成三角形，因此只有一種情況，周長(zhǎng)為27cm.故選A.答案：A2．等腰三角形性質(zhì)1(1)性質(zhì)1：等腰三角形的兩個(gè)底角相等(簡(jiǎn)寫成“等邊對(duì)等角”)．(2)理解：這是等腰三角形的重要性質(zhì)，它是證明角相等常用的方法，它的應(yīng)用可省去三角形全等的證明，因而更簡(jiǎn)便．(3)適用條件：必須在同一個(gè)三角形中．(4)應(yīng)用模式：在△ABC中，因?yàn)锳B＝AC，所以∠B＝∠C.【例2－1】已知等腰三角形的一個(gè)角為40°，則其頂角為()．A．40° B．80°C．40°或100° D．100°解析：因?yàn)椴⑽凑f(shuō)明等腰三角形中40°的角是頂角還是底角，所以需要對(duì)角進(jìn)行分類討論．①當(dāng)40°的角是底角時(shí)，則頂角的度數(shù)為：180°－40°×2＝100°；②當(dāng)40°的角是等腰三角形的頂角時(shí)，則頂角的度數(shù)為40°.所以這個(gè)等腰三角形的頂角為40°或100°，故選C.答案：C哦，不指明是底角還是頂角時(shí)，要分類討論，還要看三角形內(nèi)角和是否是180°??！【例2－2】如圖，AD、BC相交于O，AB∥CD，OA＝OB，求證：∠C＝∠D.分析：由等腰三角形的性質(zhì)易得∠A＝∠B，由平行線的性質(zhì)可得∠A＝∠D，∠B＝∠C，等量代換即得∠C＝∠D.證明：∵OA＝OB，∴∠A＝∠B.∵AB∥CD，∴∠A＝∠D，∠B＝∠C.∴∠C＝∠D.3.等腰三角形性質(zhì)2(1)性質(zhì)2：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．習(xí)慣上稱作等腰三角形“三線合一”性質(zhì)．(2)含義：這是等腰三角形所特有的性質(zhì)，它實(shí)際上是一組定理，應(yīng)用過(guò)程中，只要是在等腰三角形前提下，知道是其中“一線”，就可以說(shuō)明是其他的“兩線”，性質(zhì)中包含有線段相等、角相等、垂直等關(guān)系，所以應(yīng)用非常廣泛．(3)對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，頂角平分線(或底邊上的高、底邊上的中線)所在的直線是它的對(duì)稱軸．(4)應(yīng)用模式：如圖，在△ABC中，①∵AB=AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC(或BD=CD)；②∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC(或AD平分∠BAC)；③∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴BD＝DC(或AD⊥BC)．解技巧“三線合一”的應(yīng)用因?yàn)轭}目的證明或計(jì)算所求結(jié)果大多都是單一的，所以“三線合一”性質(zhì)實(shí)際的應(yīng)用也是單一的，一般得出一個(gè)結(jié)論，因此應(yīng)用要靈活．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，交BC于D，BD＝5cm，求底邊BC的長(zhǎng)．分析：因?yàn)槭堑妊切?，所以底邊上的高也是底邊上的中線，所以BC＝2BD，即可求出BC的長(zhǎng)．解：因?yàn)锳B＝AC，AD⊥BC，所以BC＝2BD＝2×5＝10(cm)．答：底邊BC的長(zhǎng)是10cm.4．等腰三角形的判定(1)判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊”)．(2)與性質(zhì)的關(guān)系：判定定理與性質(zhì)定理是互逆的，性質(zhì)：eq\x(線段相等)→eq\x(角相等)；判定：eq\x(角相等)→eq\x(線段相等).(3)理解：性質(zhì)和判定應(yīng)用的前提都是在同一三角形中，并且不經(jīng)過(guò)三角形全等的證明，直接由等邊得等角或由等角得等邊，所以應(yīng)用起來(lái)更簡(jiǎn)單、便捷．破疑點(diǎn)等腰三角形的判定方法的理解教材中涉及等腰三角形的判定方法主要有兩種：一是判定定理；二是定義．另外還有很多方法，如在同一個(gè)三角形中，三線中兩線重合，也能說(shuō)明是等腰三角形．但不常用，一般是通過(guò)推理得出角相等或邊相等，再得出是等腰三角形．【例4】如圖，BE平分∠ABC，交AC于E，過(guò)E作DE∥BC，交AB于D.試證明△BDE是等腰三角形．證明：∵DE∥BC，∴∠EBC＝∠DEB.∵BE平分∠ABC，∴∠DBE＝∠EBC.∴∠DBE＝∠DEB.∴BD＝DE，即△BDE是等腰三角形．5．等邊三角形的概念和性質(zhì)(1)等邊三角形①概念：三邊都相等的三角形是等邊三角形．②認(rèn)識(shí)：它是特殊的等腰三角形，具備等腰三角形的所有性質(zhì)．(2)性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角都相等，并且每一個(gè)角都等于60°.(3)拓展：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，它有三條對(duì)稱軸，它三邊相等，三個(gè)內(nèi)角相等，各邊上的高、中線，對(duì)應(yīng)的角平分線重合，且長(zhǎng)度相等．【例5】如圖，點(diǎn)M、N分別在等邊△ABC的邊BC、AC上，且BM＝CN，AM、BN交于點(diǎn)Q.求證：∠BQM＝60°.證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC＝CA，∠ABC＝∠BCA＝60°.在△ABM和△BCN中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝BC，,∠ABC＝∠BCA，,BM＝CN，))∴△ABM≌△BCN(SAS)．∴∠BAM＝∠CBN.∴∠BQM＝∠BAM＋∠ABN＝∠CBN＋∠ABN＝∠ABC＝60°.6．等邊三角形的判定(1)判定定理：①三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；②有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形．(2)判定方法：等邊三角形的判定方法有三種：一是定義，另運(yùn)用兩個(gè)定理．(3)拓展理解：對(duì)于判定定理①，有時(shí)候在一個(gè)三角形中只要有兩個(gè)角是60°也可判定是等邊三角形．解技巧巧用條件證明等邊三角形在證明三角形是等邊三角形時(shí)，根據(jù)所給已知條件確定選擇用哪個(gè)方法證明．若已知三邊關(guān)系，一般選定義法；若已知三角關(guān)系，一般選判定定理①；若已知該三角形是等腰三角形，則選判定定理②.【例6】如圖，等邊△ABC中，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，點(diǎn)Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問(wèn)△APQ是什么形狀的三角形？試說(shuō)明你的結(jié)論．解：△APQ是等邊三角形．理由：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝60°.在△ABP和△ACQ中，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(AB＝AC，,∠ABP＝∠ACQ，,BP＝CQ，))∴△ABP≌△ACQ(SAS)．∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠CAP＝∠BAP＋∠CAP＝∠BAC＝60°.∴△APQ是等邊三角形．7．含30°角的直角三角形的性質(zhì)(1)性質(zhì)：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半．(2)應(yīng)用模式：在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴AC＝eq\f(1,2)AB.(3)理解：①該性質(zhì)是含有30°角的特殊的直角三角形的性質(zhì)，一般的直角三角形沒(méi)有這個(gè)性質(zhì)，更不能應(yīng)用；②這個(gè)性質(zhì)主要應(yīng)用于計(jì)算或證明線段的倍數(shù)關(guān)系；③該性質(zhì)的證明出自于等邊三角形，所以它與等邊三角形聯(lián)系密切．解技巧巧用含30°角的直角三角形的性質(zhì)在有些題目中，若給出的角是15°角時(shí)，往往運(yùn)用一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩內(nèi)角和將15°的角轉(zhuǎn)化為30°的角后，再利用這個(gè)性質(zhì)解決問(wèn)題．【例7】如圖，∠C＝90°，D是CA的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠D＝15°，且AD＝AB，則BC＝__________AD.解析：∵AD＝AB，∴∠ABD＝∠D＝15°.∴∠BAC＝30°.在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)AD.答案：eq\f(1,2)8．等腰三角形性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用類似于全等三角形的性質(zhì)和判定的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)和判定很多時(shí)候也是綜合運(yùn)用的．一方面等腰三角形是特殊的三角形，由等腰三角形性質(zhì)，可以知道許多相等的線段，相等的角，還能知道垂直關(guān)系，成倍數(shù)關(guān)系的線段或角，所以有時(shí)通過(guò)判定是等腰三角形來(lái)證明角相等、線段相等或垂直關(guān)系等；另一方面通過(guò)等腰三角形性質(zhì)和判定的運(yùn)用，直接由線段相等得到角相等，由角相等到線段相等，省去了全等的證明，簡(jiǎn)化了過(guò)程，因此很多時(shí)候，等腰三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用更廣泛．注意：等腰三角形性質(zhì)和判定的應(yīng)用前提是在同一個(gè)三角形中．【例8】如圖1，在△ABC中，∠B＝2∠C，AD是BC邊上的高，求證：CD＝AB＋BD. 圖1 圖2證明：如圖2，在DC上截取DE＝BD，連接AE，又∵AD是BC邊上的高線，∴AD垂直平分BE.∴AB＝AE，∴∠B＝∠AED.∵∠AED＝∠C＋∠CAE，∠B＝2∠C，∴∠C＋∠CAE＝2∠C.∴∠CAE＝∠C.∴AE＝CE.∴AB＝CE.∴CD＝AB＋BD.9.巧用“三線合一”性質(zhì)解題(1)性質(zhì)：等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合，簡(jiǎn)稱“三線合一”性質(zhì)；(2)應(yīng)用：它是等腰三角形特有的性質(zhì)，這條線段是中線、高，也是角平分線，它包含有線段相等、角相等、垂直等關(guān)系，涉及量多，應(yīng)用廣泛，是證明線段相等、線段的倍數(shù)關(guān)系、角相等、角的倍數(shù)關(guān)系、垂直等常用的方法．構(gòu)造“三線合一”解決等腰三角形問(wèn)題在等腰三角形問(wèn)題中，最常添加的輔助線就是作底邊上的高，或作頂角的平分線，或作底邊上的中線，這樣就可以由其中一線得到其他兩線，從而知道更多的條件，以便更好地完成計(jì)算、證明．【例9】已知：如圖a所示，△ABC中，AB＝AC，BF是AC邊上的高，求證：∠FBC＝eq\f(1,2)∠BAC. 圖a 圖b證明：如圖b，過(guò)A點(diǎn)作BC的垂線，垂足為E，則∠CAE＋∠C＝90°，∵AB＝AC，∴AE平分∠CAB，即∠CAE＝eq\f(1,2)∠BAC.∵BF是AC邊上的高，∴∠FBC＋∠C＝90°.∴∠CAE＝∠FBC.∴∠FBC＝eq\f(1,2)∠BAC.10.等邊三角形的應(yīng)用等邊三角形也稱正三角形，它是最特殊的三角形，它除了三邊相等，三個(gè)內(nèi)角相等，且每個(gè)角都是60°外，還具有很多特殊的性質(zhì)：如，證明兩個(gè)等邊三角形全等只要有一邊相等即可；同一個(gè)等邊三角形的高、中線、角平分線都相等，并且任何一條高(或中線、頂角的平分線)將等邊三角形都分成全等的兩個(gè)含有30°角的直角三角形；它的高和邊長(zhǎng)也存在著特殊的比例關(guān)系，因此已知是等邊三角形，就可以知道其中的許多等量關(guān)系．等邊三角形的判定也具有自己獨(dú)特的特點(diǎn)，可以由普通三角形滿足條件直接判定，也可以在等腰三角形的基礎(chǔ)上進(jìn)行判定．【例10】(學(xué)科內(nèi)綜合題)如下圖所示，在等邊三角形ABC中，∠B、∠C的角平分線交于點(diǎn)O，OB和OC的垂直平分線分別交BC于E、F，試用你所學(xué)的知識(shí)說(shuō)明BE＝EF＝FC的道理．證明：如下圖，分別連接OE、OF，∵E、F分別是OB、OC垂直平分線上的點(diǎn)，∴OE＝BE，CF＝OF.∴∠OBE＝∠BOE.∵△ABC為等邊三角形，∴∠ABC＝60°.∵OB平分∠ABC，∴∠OBE＝eq\f(1,2)∠ABC＝eq\f(1,2)×60°＝30°.∴∠OEF＝∠OB