數(shù)值積分（基于MATLAB）課件全套 周金明 chapter1 緒論、曲線擬合 -chapter7 特征值與特征向量的計(jì)算

在數(shù)學(xué)發(fā)展中，理論和計(jì)算是緊密聯(lián)系的。現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)為大規(guī)模的數(shù)值計(jì)算創(chuàng)造了條件，集中而系統(tǒng)的研究適用于計(jì)算機(jī)的數(shù)值方法變得十分迫切和必要。數(shù)值計(jì)算方法正是在大量的數(shù)值計(jì)算實(shí)踐和理論分析工作的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，它不僅僅是一些數(shù)值方法的簡單積累，而且揭示了包含在多種多樣的數(shù)值方法之間的相同的結(jié)構(gòu)和統(tǒng)一的原理。數(shù)值算法是進(jìn)行科學(xué)計(jì)算必不可缺少的起碼常識；更為重要的是通過對它們的討論，能夠使人們掌握設(shè)計(jì)數(shù)值算法的基本方法和一般原理，為在計(jì)算機(jī)上解決科學(xué)計(jì)算問題打下基礎(chǔ)。因此，計(jì)算方法已經(jīng)成為工科大學(xué)生必修課程。為什么要開設(shè)這個(gè)課呢？認(rèn)識建立算法和對每個(gè)算法進(jìn)行理論分析是基本任務(wù)，主動(dòng)適應(yīng)“公式多”的特點(diǎn)；注重各章建立算法的問題的提法，搞清問題的基本提法，逐步深入；理解每個(gè)算法建立的數(shù)學(xué)背景，數(shù)學(xué)原理和基本線索，對最基本的算法要非常熟悉；認(rèn)真進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的訓(xùn)練，學(xué)習(xí)各章算法完全是為用于實(shí)際計(jì)算，必須真會算。如何進(jìn)行學(xué)習(xí)？科學(xué)素質(zhì)：拓寬對21世紀(jì)科學(xué)的了解；

加深對數(shù)學(xué)思想的理解；

培養(yǎng)用數(shù)學(xué)思考世界的習(xí)慣

數(shù)學(xué)能力：數(shù)學(xué)知識的運(yùn)用能力；

對專業(yè)中問題建立數(shù)學(xué)求解方法

與實(shí)際計(jì)算能力應(yīng)用問題中數(shù)學(xué)創(chuàng)

造性能力

計(jì)算知識：常用算法的數(shù)學(xué)理論；

在“誤差、存貯、速度”之下的實(shí)

際計(jì)算方法；

對結(jié)果的數(shù)值分析方法

數(shù)值分析講述的基本內(nèi)容如何把數(shù)學(xué)模型歸結(jié)為數(shù)值問題如何制定快速的算法如何估計(jì)一個(gè)給定算法的精度分析誤差在計(jì)算過程中的積累和傳播如何構(gòu)造精度更高的算法如何使算法較少的占用存儲量如何分析算法的優(yōu)缺點(diǎn)本課程的基本要求掌握數(shù)值方法的基本原理掌握常用的科學(xué)與工程計(jì)算的基本方法能用所學(xué)方法在計(jì)算機(jī)上算出正確結(jié)果

§1.1數(shù)值分析方法的內(nèi)容§1.2誤差§1.2.1誤差的來源§1.2.2誤差的基本概念§1.2.3有效數(shù)字與相對

誤差限的關(guān)系第一章緒論1.1數(shù)值分析方法的內(nèi)容

數(shù)值分析又稱計(jì)算方法,它是研究各種數(shù)學(xué)問題的數(shù)值解法及其理論的一門學(xué)科。數(shù)值分析的任務(wù)實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)值計(jì)算方法程序設(shè)計(jì)上機(jī)計(jì)算數(shù)值結(jié)果

根據(jù)數(shù)學(xué)模型提出求解的數(shù)值計(jì)算方法直到編出程序上機(jī)算出結(jié)果，這一過程邊是數(shù)值分析研究的對象1.對于要解決的問題建立數(shù)學(xué)模型2.研究用于求解該數(shù)學(xué)問題近似解的算法和過程3.按照2進(jìn)行計(jì)算，得到計(jì)算結(jié)果建立數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為數(shù)值公式進(jìn)行計(jì)算數(shù)值方法解題的一般過程

數(shù)值計(jì)算以及計(jì)算機(jī)模擬（包括當(dāng)前流行的虛擬現(xiàn)實(shí)的方法），已經(jīng)是在工程技術(shù)研究和經(jīng)濟(jì)、社會科學(xué)中廣泛應(yīng)用的方法，帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益天氣預(yù)報(bào)與億次計(jì)算機(jī)波音777的無紙?jiān)O(shè)計(jì)與有限元CT、核磁共振計(jì)算流體力學(xué)與爆炸工程能源問題與大型計(jì)算計(jì)算作為工程技術(shù)研究方法計(jì)算方法課程主要討論如何構(gòu)造求數(shù)學(xué)模型近似解的算法，討論算法的數(shù)學(xué)原理、誤差和復(fù)雜性，配合程序設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算試驗(yàn)并分析試驗(yàn)結(jié)果。與純數(shù)學(xué)的理論方法不同，用數(shù)值計(jì)算方法所求出的結(jié)果一般不是解的精確值或者準(zhǔn)確的解析表達(dá)式，而是所求真解的某些近似值或近似曲線。例如方程x2=2sinx，在區(qū)間(1,2)內(nèi)有唯一根,但找不出求根的解析式,只能用數(shù)值計(jì)算方法求其近似解。有些數(shù)學(xué)問題雖有理論上的準(zhǔn)確的公式解,但不一定實(shí)用,例如行列式解法的Cramer法則原則上可用來求解線性方程組,用這種方法解一個(gè)n元方程組,要算n+1個(gè)階行列式的值,總共需要n!(n-1)(n+1)次乘法,當(dāng)n=20時(shí),其乘除法運(yùn)算次數(shù)約需1021次方,即使用每秒千億次的計(jì)算機(jī)也得需要上百年,而用高斯（Guass）消去法約需2660次乘除法運(yùn)算,并且愈大,相差就愈大?？梢娧芯亢瓦x擇好的算法是非常重要的。

算法(數(shù)值算法):是指有步驟地完成解數(shù)值問題的過程。數(shù)值算法的特點(diǎn)?目的性，條件和結(jié)論、輸入和輸出數(shù)據(jù)均要有明確的規(guī)定與要求。?確定性，精確地給出每一步的操作(不一定都是運(yùn)算)定義,不容許有歧義。?可執(zhí)行性，算法中的每個(gè)操作都是可執(zhí)行的?有窮性，在有限步內(nèi)能夠結(jié)束解題過程計(jì)算機(jī)上的算法，按面向求解問題的不同，分為數(shù)值算法和非數(shù)值算法。1.2誤差

早在中學(xué)我們就接觸過誤差的概念，如在做熱力學(xué)實(shí)驗(yàn)中，從溫度計(jì)上讀出的溫度是23.4度，就不是一個(gè)精確的值，而是含有誤差的近似值。事實(shí)上，誤差在我們的日常生活中無處不在，無處不有。如量體裁衣，量與裁的結(jié)果都不是精確無誤的，都含有誤差。在用數(shù)值方法解題過程中可能產(chǎn)生的誤差歸納起來有如下幾類：1.模型誤差2.觀測誤差3.截?cái)嗾`差4.舍入誤差1.2.2誤差的來源用數(shù)學(xué)方法解決一個(gè)具體的實(shí)際問題，首先要建立數(shù)學(xué)模型，這就要對實(shí)際問題進(jìn)行抽象、簡化，因而數(shù)學(xué)模型本身總含有誤差，這種誤差叫做模型誤差數(shù)學(xué)模型是指那些利用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實(shí)而建立起來的有關(guān)量的描述數(shù)學(xué)模型的準(zhǔn)確解與實(shí)際問題的真解不同實(shí)際問題的真解數(shù)學(xué)模型的真解為減化模型忽略次要因素定理在特定條件下建立與實(shí)際條件有別模型誤差在數(shù)學(xué)模型中通常包含各種各樣的參變量，如溫度、長度、電壓等，這些參數(shù)往往是通過觀測得到的，因此也帶來了誤差，這種誤差叫觀測誤差數(shù)學(xué)模型中的參數(shù)和原始數(shù)據(jù)，是由觀測和試驗(yàn)得到的由于測量工具的精度、觀測方法或客觀條件的限制,使數(shù)據(jù)含有測量誤差,這類誤差叫做觀測誤差或數(shù)據(jù)誤差根據(jù)實(shí)際情況可以得到誤差上下界數(shù)值方法中需要了解觀測誤差,以便選擇合理的數(shù)值方法與之適應(yīng)觀測誤差精確公式用近似公式代替時(shí),所產(chǎn)生的誤差叫截?cái)嗾`差例如,函數(shù)f(x)用泰勒(Taylor)多項(xiàng)式

截?cái)嗾`差（介于0與x之間）近似代替，則數(shù)值方法的截?cái)嗾`差是截?cái)嗾`差的大小直接影響計(jì)算結(jié)果的精度和計(jì)算工作量，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類誤差在數(shù)值計(jì)算中只能對有限位字長的數(shù)值進(jìn)行運(yùn)算需要對參數(shù)、中間結(jié)果、最終結(jié)果作有限位字長的處理工作，這種處理工作稱作舍入處理用有限位數(shù)字代替精確數(shù)，這種誤差叫做舍入誤差，是數(shù)值計(jì)算中必須考慮的一類誤差舍入誤差例如在計(jì)算時(shí)用3.14159近似代替，產(chǎn)生的誤差R=-3.14159=0.0000026…就是舍入誤差。上述種種誤差都會影響計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，因此需要了解與研究誤差，在數(shù)值計(jì)算中將著重研究截?cái)嗾`差、舍入誤差，并對它們的傳播與積累作出分析誤差的度量

絕對誤差和絕對誤差限定義1.1

設(shè)精確值x的近似值

x*

，稱差

e(x*)

=x-x*近似值x*的絕對誤差，簡稱誤差。e(x*)又記為e*

當(dāng)e*>0時(shí)，x*稱為弱近似值，當(dāng)e*<0時(shí)，x*稱為強(qiáng)近似值|e*|越小，x*的精度越高由于精確值一般是未知的,因而e*

不能求出來,但可以根據(jù)測量誤差或計(jì)算情況設(shè)法估計(jì)出它的取值范圍，即誤差絕對值的一個(gè)上界或稱誤差限。1.2.2

誤差的基本概念定義1.2

設(shè)存在一個(gè)正數(shù)，使則稱為近似值的絕對誤差限，簡稱誤差限或精度。實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常使用這個(gè)量來衡量誤差限,這就是說,如果近似數(shù)的誤差限為,則表明準(zhǔn)確值x必落在

上,常采用下面的寫法來表示近似值的精度或準(zhǔn)確值x所在的范圍。1.2.2誤差的基本概念a-εa+εaA例1

設(shè)x

=

=3.1415926…

近似值x*

=3.14,它的絕對誤差是0.0015926…，有

??

x-x*=0.0015926…

0.002=0.210-2例2又近似值x*

=3.1416，它的絕對誤差是

0.0000074…，有

x-x*=0.0000074…

0.000008=0.810-5例3

而近似值x*

=3.1415，它的絕對誤差是0.0000926…，有

x-x*=0.0000926…

0.0001=0.110-3可見，絕對誤差限

*不是唯一的，但*越小越好1.2.3相對誤差和相對誤差限只用絕對誤差還不能說明數(shù)的近似程度,例如甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè),乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè),他們的誤差都是錯(cuò)一個(gè),但顯然乙要準(zhǔn)確些,這就啟發(fā)我們除了要看絕對誤差外,還必須顧及量的本身。定義1.3絕對誤差與精確值x的比值

稱為相對誤差。簡記為1.3.2相對誤差和相對誤差限

相對誤差越小,精度就越高,實(shí)際計(jì)算時(shí),x通常是不知道的,因此可用下列公式計(jì)算相對誤差定義1.4設(shè)存在一個(gè)正數(shù)，使

則稱為近似值的相對誤差限。簡記為1.3.2相對誤差和相對誤差限例4.甲打字每100個(gè)錯(cuò)一個(gè)，乙打字每1000個(gè)錯(cuò)一個(gè)，求其相對誤差解：根椐定義:甲打字時(shí)的相對誤差

乙打字時(shí)的相對誤差1.2.3

有效數(shù)字定義1.5設(shè)x的近似值

其中是0到9之間的任一個(gè)數(shù),但n是正整數(shù),m是整數(shù),若

則稱為x的具有n位有效數(shù)字的近似值，準(zhǔn)確到第n位，是的有效數(shù)字。

1.2.3有效數(shù)字例5.3.142作為π的近似值時(shí)有幾位有效數(shù)字解：3.141592…=0.3141592…×3.142=0.3142×

m=1|π-3.142|=|0.3141592…×-0.3142×

|

＜0.000041×＜0.0005=×

m–n=1–n=-3所以n=4，具有4位有效數(shù)字例6.當(dāng)取3.141作為的近似值時(shí)

-3.141=0.3141592…101

-0.3141101

≤0.0000592101

<0.0005=1/210-2

m-n=1-n=-2所以n=3具有3位有效數(shù)字推論如果近似數(shù)x*誤差限是某一位的半個(gè)單位,由該位到x*的第一位非零數(shù)字一共有n位

x*就有n位有效數(shù)字,也就是說準(zhǔn)確到該位再如3.1416作為

的近似值時(shí)

-3.1416=0.3141592…101-0.31416101

≤0.00000074101

≤0.0000074<0.00005<0.510-4m-n=1-n=-4所以n=5x*=3.1416有5位有效數(shù)字關(guān)于有效數(shù)字說明①用四舍五入取準(zhǔn)確值的前n位x*作為近似值,則

x*必有n位有效數(shù)字。如3.142作為的近似值有4位有效數(shù)字，而3.141為3位有效數(shù)字②有效數(shù)字相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對誤差不一定相同。例如，設(shè)x1*=12345,設(shè)x2*=12.345,兩者均有5位有效數(shù)字但絕對誤差不一樣

x-x1*=x-12345≤0.5=1/2100

x-x2*=x-12.345≤0.0005=1/210-3③把任何數(shù)乘以10p(p=0,1,…)不影響有效位數(shù)④準(zhǔn)確值具有無窮多位有效數(shù)字,如三角形面積

S=1/2ah=0.5ah

因?yàn)?.5是真值,沒有誤差

*=0,因此n,準(zhǔn)確值具有無窮位有效數(shù)字1.2.3有效數(shù)字與相對誤差定理1.1若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m具有n位有效數(shù)字，則其相對誤差證:∵x*

=0.x1x2…xn10m

∴

x*

≥x110m-1

又∵x*具有n位有效數(shù)字,則x-x*

≤1/210m-n∴

一般應(yīng)用中可以取

r*=1/2x110-(n-1),n越大,

r*越小,∴有效數(shù)字越多，相對誤差就越小例7取3.14作為

的四舍五入的近似值時(shí)，求其相對誤差解：3.14=0.314101x1=3m=1∵四舍五入的近似值,其各位都是有效數(shù)字∴n=3

r*=1/2x110-(n-1)=1/2*310-2=17%1.2.3有效數(shù)字與相對誤差例8已知近似數(shù)x*有兩位有效數(shù)字，試求其相對誤差限解：已知n=2代入公式

r*=1/2x110-(n-1)得

r*=1/2x110-1

x*的第一位有效數(shù)字x1沒有給出，可進(jìn)行如下討論：當(dāng)

x1=1

r*=1/2x110-1=1/2*110-1=5%

x1=9

r*=1/2x110-1=1/2*910-1=0.56%

取x1=1時(shí)相對誤差為最大，即5%1.2.3有效數(shù)字與相對誤差1.2.3有效數(shù)字與相對誤差定理1.2若近似數(shù)x*=0.x1x2…xn10m相對誤差則該近似數(shù)具有n位有效數(shù)字

1.2.3有效數(shù)字與相對誤差證:∵x*=0.x1x2…xn10m

∴

x*≤(x1+1)10m-1由有效數(shù)字定義可知,x*具有n位有效數(shù)字。證畢例9已知近似數(shù)x*的相對誤差限為0.3%，問x*有幾位有效數(shù)字？解：由得ⅰ當(dāng)x1=1時(shí),310-3=1/410-(n-1)1210-3=10-(n-1)

上式兩邊取以10為底的對數(shù)得

lg22+lg3+(-3)=-n+1∵lg2=0.3010lg3=0.477120.3010+0.4771-4=-n∴n=2.9209ⅱ當(dāng)x1=9時(shí),310-3=1/2010-(n-1)610-3=10-n上式兩邊取以10為底的對數(shù)得

lg2+lg3+(-3)=-n∴n=2.2219∴x*至少有3位有效數(shù)字

例10為使的近似數(shù)的相對誤差小于0.1%，問查開方表時(shí)，要取幾位有效數(shù)字？解：∵8<<9∴x1=8

∴-(n-1)<lg2+2lg3+(-3)-n<1.2552-4-n<-2.7448

∴n>2.7448取n=3即查平方表時(shí)

8.37取三位有效數(shù)字

∴

注意:已知有效數(shù)字,求相對誤差用公式

已知相對誤差,求具有幾位有效數(shù)字公式1.4.1函數(shù)運(yùn)算誤差函數(shù)運(yùn)算誤差可用泰勒展開式來分析設(shè)一元函數(shù)f(x)，自變量x的近似值x*，f(x)的近似值f(x*)，其誤差限記為

[f(x*)]，對f(x)在近似值x*附近泰勒展開1.4

誤差的傳播介于x,x*之間其中

*為近似數(shù)x*的絕對誤差限，設(shè)f｀(x*)與f〃(x*)相差不大,可忽略

*的高次項(xiàng),于是可得出函數(shù)運(yùn)算的誤差和相對誤差多元函數(shù)亦類似，用泰勒展開即可推導(dǎo)出來例11已測得某場地長L的值L*=110m,寬d的值

d*=80m,已知

L-L*≤0.2m,

d-d*≤0.1m求場地面積S=Ld的絕對誤差限和相對誤差限解：其中

(d*)=0.1m,

(L*)=0.2m絕對誤差限

(s*)(800.2+1100.1)m2=27m2相對誤差限算術(shù)運(yùn)算誤差計(jì)算機(jī)的數(shù)值運(yùn)算主要是加、減、乘、除四則運(yùn)算，帶有誤差的數(shù)在多次運(yùn)算過程中會進(jìn)行傳播。使計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差。誤差的變化可以用微分簡單描述。注意到準(zhǔn)確值x與其近似值通常很接近，其差可認(rèn)為是較小的增量，即可以把差看作微分，由此可得誤差的微分近似關(guān)系式。即x的微分表示x的絕對誤差，的微分表示x的相對誤差，利用這兩個(gè)關(guān)系式及微分運(yùn)算可以得到一系列有關(guān)四則運(yùn)算的誤差結(jié)果。算術(shù)運(yùn)算誤差由d(x±y)=dx±dy可得兩數(shù)之和(差）的誤差等于兩數(shù)的誤差之和（差）；由可得兩數(shù)之積的相對誤差等于兩數(shù)的相對誤差之和；由可得兩數(shù)商的相對誤差可看作是被除數(shù)與除數(shù)的相對誤差之差。例12正方形的邊長約為100cm,怎樣測量才能使其面積誤差不超過1cm2?解：設(shè)正方形邊長為xcm,測量值為x*cm,面積

y=f(x)=x2由于f

(x)=2x記自變量和函數(shù)的絕對誤差分別是e*、e(y*),則

e*=x-x*

e(y*)=y-y*

f(x*)(x-x*)=2x*e*=200e*現(xiàn)要求e(y*)200e*<1,于是

e*≤（1/200）cm=0.005cm要使正方形面積誤差不超過1cm2，測量邊長時(shí)絕對誤差應(yīng)不超過0.005cm。減少運(yùn)算誤差原則誤差是用來衡量數(shù)值方法好與壞的重要標(biāo)志為此對每一個(gè)算法都要進(jìn)行誤差分析(1)兩個(gè)相近的數(shù)相減，會嚴(yán)重?fù)p失有效數(shù)字例如x=1958.75，y=1958.32都具有五位有效數(shù)字，但x-y=0.43只有兩位有效數(shù)字通常采用的方法是改變計(jì)算公式,例如當(dāng)與很接近時(shí),由于用右端代替左端公式計(jì)算,有效數(shù)字就不會損失

減少運(yùn)算誤差原則當(dāng)x很大時(shí)可作相應(yīng)的變換

則用右端來代替左端。

減少運(yùn)算誤差若干原則當(dāng)x接近0時(shí)一般情況，當(dāng)f(x)≈f(x*)時(shí)，可用泰勒展開取右端的有限項(xiàng)近似左端。如果計(jì)算公式不能改變，則可采用增加有效位數(shù)的方法保證精度

（2）防止大數(shù)“吃掉”小數(shù)例求二次方程x2-105x+1=0的根解：按二次方程求根公式

x1=(105+(1010-4)1/2)/2x2=(105-(1010-4)1/2)/2在8位浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算得

x1=(105+105)/2=105(正確）,

x2=(105-105)/2=0(錯(cuò)誤）產(chǎn)生錯(cuò)誤的原因 ①出現(xiàn)大數(shù)1010吃掉小數(shù)4的情況 ②分子部分出現(xiàn)兩個(gè)相近數(shù)相減而喪失有效數(shù)位常稱為災(zāi)難性的抵消（3）絕對值太小的數(shù)不宜做除數(shù)當(dāng)分母為兩個(gè)相近數(shù)相減時(shí),會喪失有效數(shù)字這里分子的誤差被擴(kuò)大104倍,再如若將分母變?yōu)?.0011,即分母只有0.0001的變化時(shí),計(jì)算結(jié)果卻有了很大變化減少運(yùn)算誤差若干原則例1.8計(jì)算 解:分子分母分別計(jì)算后相除(取9位小數(shù))

A=0.0005*0.0143*0.0012=0.00000715*0.0012=0.000000009(有舍入)

B=0.0003*0.0125*0.0135=0.00000375*0.0135=0.000000051(有舍入)

D=A/B=0.17647 真值為0.16948148…，所以D只準(zhǔn)確到小數(shù)后一位減少運(yùn)算誤差若干原則例：計(jì)算算法2。分成三組因子。每組只取六位小數(shù)計(jì)算

a=0.0005/0.0003=1.666667(有舍入)

b=0.0143/0.0125=1.144000c=0.0012/0.0135=0.088889(有舍入)

D=a*b*c=1.666667*1.144000*0.088889=0.169482,準(zhǔn)確到小數(shù)后5位。bca減少運(yùn)算誤差若干原則（4）簡化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)

x255=xx2x4x8x16x32x64x128原先要做254次乘法現(xiàn)只需14次即可又如計(jì)算多項(xiàng)式

p(x)=anxn

an-1xn-1

…

a1x

a0的值若直接計(jì)算akxk,再逐項(xiàng)相加，一共要做

n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2次乘法和n次加法

減少運(yùn)算誤差若干原則如果將前n項(xiàng)提出x，則有p(x)=（anxn-1

an-1xn-2

…

a1）x

a0

=((anxn-2

an-1xn-3

…

a2)x

a1）x

a0

=(…(anx

an-1)x

…

a2)x

a1)x

a0寫成遞推公式

減少運(yùn)算誤差若干原則于是,這種多項(xiàng)式求值的算法稱為秦九韶算法,只做n次乘法和n次加法,程序?qū)崿F(xiàn)簡單

控制遞推公式中誤差的傳播

對于一個(gè)數(shù)學(xué)問題的求解往往有多種數(shù)值方法在選擇數(shù)值方法時(shí)，要注意所用的數(shù)值方法不應(yīng)將計(jì)算過程中難以避免的誤差放大的較快，造成計(jì)算結(jié)果完全失真。例13計(jì)算積分并估計(jì)誤差解容易得到遞推公式

即為則準(zhǔn)確的理論遞推式實(shí)際運(yùn)算的遞推式兩式相減有

這就是說,若與的誤差為=-,即

，則誤差的遞推規(guī)律為

于是

計(jì)算時(shí)的誤差被擴(kuò)大了倍,顯然算法是數(shù)值不穩(wěn)定的。如果將遞推公式

變換一種形式準(zhǔn)確的理論遞推式實(shí)際運(yùn)算的遞推式從而有即于是有則這個(gè)算法的誤差傳遞規(guī)律為

即每計(jì)算一步的誤差的絕對值是上一步的十分之一，誤差的傳播逐步縮小，得到很好的控制，這個(gè)算法是數(shù)值穩(wěn)定的本章小結(jié)

誤差在數(shù)值計(jì)算中是不可避免的，誤差的傳播和積累直接影響到計(jì)算結(jié)果的精度。在研究算法的同時(shí)，必須注重誤差分析，使建立起來的算法科學(xué)有效。按照誤差產(chǎn)生的來源可分為模型誤差、觀測誤差，截?cái)嗾`差、和舍入誤差等。誤差的表示法有絕對誤差和相對誤差兩種。在表示一個(gè)近似數(shù)時(shí),要用到有效數(shù)字的概念,這在數(shù)值計(jì)算中非常有用,有效數(shù)字是由絕對誤差決定的通常用函數(shù)的泰勒展開對誤差進(jìn)行估計(jì)2024/12/23jkhh58第2章II曲線擬合

如果已知函數(shù)f(x)在若干點(diǎn)xi(i=1,2,…,n)處的值yi,便可根據(jù)插值原理來建立插值多項(xiàng)式作為f(x)的近似。但在科學(xué)實(shí)驗(yàn)和生產(chǎn)實(shí)踐中，往往會遇到這樣一種情況，即節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值并不是很精確的，這些函數(shù)值是由實(shí)驗(yàn)或觀測得到的數(shù)據(jù)，不可避免地帶有測量誤差，如果要求所得的近似函數(shù)曲線精確無誤地通過所有的點(diǎn)(xi,yi),就會使曲線保留著一切測試誤差。當(dāng)個(gè)別數(shù)據(jù)的誤差較大時(shí),插值效果顯然是不理想的。此外,由實(shí)驗(yàn)或觀測提供的數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)往往很多,如果用插值法,勢必得到次數(shù)較高的插值多項(xiàng)式，這樣計(jì)算起來很煩瑣。2024/12/23jkhh59為此,我們希望從給定的數(shù)據(jù)(xi,yi)出發(fā),構(gòu)造一個(gè)近似函數(shù),不要求函數(shù)完全通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn)，只要求所得的近似曲線能反映數(shù)據(jù)的基本趨勢，如圖5-7所示。曲線擬合示意圖

換句話說:求一條曲線,使數(shù)據(jù)點(diǎn)均在離此曲線的上方或下方不遠(yuǎn)處,所求的曲線稱為擬合曲線,它既能反映數(shù)據(jù)的總體分布,又不至于出現(xiàn)局部較大的波動(dòng),更能反映被逼近函數(shù)的特性,使求得的逼近函數(shù)與已知函數(shù)從總體上來說其偏差按某種方法度量達(dá)到最小,這就是最小二乘法。2024/12/23jkhh60

2.1最小二乘原理與函數(shù)插值問題不同,曲線擬合不要求曲線通過所有已知點(diǎn),而是要求得到的近似函數(shù)能反映數(shù)據(jù)的基本關(guān)系。在某種意義上,曲線擬合更有實(shí)用價(jià)值。在對給出的實(shí)驗(yàn)(或觀測)數(shù)據(jù)作曲線擬合時(shí),怎樣才算擬合得最好呢？一般希望各實(shí)驗(yàn)(或觀測)數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差的平方和最小,這就是最小二乘原理。兩種逼近概念:

插值:在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同.

擬合:在數(shù)據(jù)點(diǎn)處誤差平方和最小2024/12/23jkhh61函數(shù)插值是插值函數(shù)P(x)與被插函數(shù)f(x)在節(jié)點(diǎn)處函數(shù)值相同,即而曲線擬合函數(shù)不要求嚴(yán)格地通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn),也就是說擬合函數(shù)在xi處的偏差(亦稱殘差）

不都嚴(yán)格地等于零。但是,為了使近似曲線能盡量反映所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的變化趨勢,要求按某種度量標(biāo)準(zhǔn)最小。若記向量,即要求向量的某種范數(shù)最小,如的1-范數(shù)或∞-范數(shù)即2024/12/23jkhh62或

最小。為了便于計(jì)算、分析與應(yīng)用，通常要求的2-范數(shù)即為最小。這種要求誤差（偏差）平方和最小的擬合稱為曲線擬合的最小二乘法。2024/12/23jkhh63

（1）直線擬合設(shè)已知數(shù)據(jù)點(diǎn),分布大致為一條直線。作擬合直線,該直線不是通過所有的數(shù)據(jù)點(diǎn),而是使偏差平方和為最小，其中每組數(shù)據(jù)與擬合曲線的偏差為根據(jù)最小二乘原理，應(yīng)取和使有極小值，故和應(yīng)滿足下列條件：2024/12/23jkhh64即得如下正規(guī)方程組

(3.1)例1設(shè)有某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：12341.361.371.952.2814.09416.84418.47520.963

用最小二乘法求以上數(shù)據(jù)的擬合函數(shù)解:把表中所給數(shù)據(jù)畫在坐標(biāo)紙上,將會看到數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布可以用一條直線來近似地描述,設(shè)所求的

2024/12/23jkhh65擬合直線為記x1=1.36,x2=1.37,x3=1.95x4=2.28,y1=14.094,y2=16.844,y3=18.475,y4=20.963則正規(guī)方程組為

其中將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組,得解得

即得擬合直線2024/12/23jkhh66（2）多項(xiàng)式擬合有時(shí)所給數(shù)據(jù)點(diǎn)的分布并不一定近似地呈一條直線,這時(shí)仍用直線擬合顯然是不合適的,可用多項(xiàng)式擬合。對于給定的一組數(shù)據(jù)尋求次數(shù)不超過m(m<<N)的多項(xiàng)式，來擬合所給定的數(shù)據(jù)，與線性擬合類似，使偏差的平方和為最小2024/12/23jkhh67由于Q可以看作是關(guān)于(j=0,1,2,…,m)的多元函數(shù),故上述擬合多項(xiàng)式的構(gòu)造問題可歸結(jié)為多元函數(shù)的極值問題。令得

即有

2024/12/23jkhh68這是關(guān)于系數(shù)

的線性方程組，通常稱為正規(guī)方程組。可以證明，正規(guī)方程組有惟一解。

例2設(shè)某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：123456012345521123用最小二乘法求一個(gè)多項(xiàng)式擬合這組數(shù)據(jù)(3.2)2024/12/23jkhh69解：將已給數(shù)據(jù)點(diǎn)描在坐標(biāo)系中，可以看出這些點(diǎn)接近一條拋物線，因此設(shè)所求的多項(xiàng)式為

由法方程組（5.2）,經(jīng)計(jì)算得

N=6,其法方程組為

解之得

所求的多項(xiàng)式為

2024/12/23jkhh70（3）可化為線性擬合的非線性擬合有些非線性擬合曲線可以通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性曲線，從而用線性擬合進(jìn)行處理，對于一個(gè)實(shí)際的曲線擬合問題，一般先按觀測值在直角坐標(biāo)平面上描出散點(diǎn)圖，看一看散點(diǎn)的分布同哪類曲線圖形接近，然后選用相接近的曲線擬合方程。再通過適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q轉(zhuǎn)化為線性擬合問題，按線性擬合解出后再還原為原變量所表示的曲線擬合方程。表3-4列舉了幾類經(jīng)適當(dāng)變換后化為線性擬合求解的曲線擬合方程及變換關(guān)系

2024/12/23jkhh71曲線擬合方程變換關(guān)系變換后線性擬合方程2024/12/23jkhh72幾種常見的數(shù)據(jù)擬合情況。圖(a)表示數(shù)據(jù)接近于直線，故宜采用線性函數(shù)擬合；圖(b)數(shù)據(jù)分布接近于拋物線?？刹蓴M合；二次多項(xiàng)式擬合；(a)(b)2024/12/23jkhh73圖(c)的數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)是開始曲線上升較快隨后逐漸變慢,宜采用雙曲線型函數(shù)或指數(shù)型函數(shù)圖(d)的數(shù)據(jù)分布特點(diǎn)是開始曲線下降快,隨后逐漸變慢,宜采用或或等數(shù)據(jù)擬合。(c)(d)2024/12/23jkhh74例3設(shè)某實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下:

12345600.511.522.52.01.00.90.60.40.3用最小二乘法求擬合曲線解:將已給數(shù)據(jù)點(diǎn)描在坐標(biāo)系中下圖所示,可以看出這些點(diǎn)接近指數(shù)曲線,因而可取指數(shù)函數(shù)作為擬合函數(shù).對函數(shù)兩邊取對數(shù)得.令得則就得到線性模型2024/12/23jkhh75則正規(guī)方程組為

其中

將以上數(shù)據(jù)代入上式正規(guī)方程組，得解得

由得,由得于是得到擬合指數(shù)函數(shù)為2024/12/23jkhh762.2超定方程組的最小二乘解設(shè)線性方程組Ax=b中，,b是m維已知向量，x是n維解向量，當(dāng)m＞n，即方程組中方程的個(gè)數(shù)多于未知量的個(gè)數(shù)時(shí)，稱此方程組為超定方程組。一般來說，超定方程組無解（此時(shí)為矛盾方程組),這時(shí)需要尋求方程組的一個(gè)“最近似”的解.記,稱使,即最小的解為方程組Ax=b的最小二乘解。2024/12/23jkhh77定理6是Ax=b的最小二乘解的充分必要條件為是的解.證明:充分性

若存在n維向量,使任取一n維向量,令,則,且

所以是Ax=b的最小二乘解。

2024/12/23jkhh78必要性:r的第i個(gè)分量為,,記由多元函數(shù)求極值的必要條件，可得即由線性代數(shù)知識知,上式寫成矩陣形式為它是關(guān)于的線性方程組,也就是我們所說的正規(guī)方程組或法方程組?？梢宰C明如果A是列滿秩的,則上述方程組存在惟一解2024/12/23jkhh79例4求超定方程組

的最小二乘解,并求誤差平方和。解:方程組寫成矩陣形式為正規(guī)方程組為2024/12/23jkhh80即

解得此時(shí)誤差平方和為2024/12/23jkhh81我們已經(jīng)討論了最小二乘意義下的曲線擬合問題,由于方程比較簡單,實(shí)際中應(yīng)用廣泛,特別是因?yàn)槿魏芜B續(xù)函數(shù)至少在一個(gè)較小的鄰域內(nèi)可以用多項(xiàng)式任意逼近,因此用多項(xiàng)式作數(shù)據(jù)擬合,有它的特殊重要性。從而在許多實(shí)際問題中,不論具體函數(shù)關(guān)系如何,都可用多項(xiàng)式作近似擬合,但用多項(xiàng)式擬合時(shí),當(dāng)n較大時(shí)(n≥7),其法方程的系數(shù)矩陣的條件數(shù)一般較大,所以往往是病態(tài)的,因而給求解工作帶來了困難。2024/12/23jkhh82這組基函數(shù)就稱為點(diǎn)集上的正交函數(shù)集。這種情況下法方程組的系數(shù)矩陣是對角陣，顯然容易求解。近年來,產(chǎn)生一些直接解線性最小二乘問題的新方法，例如正交三角化方法。另外,如果能選取基函數(shù)使得時(shí),

在工程技術(shù)與科學(xué)研究中，常會遇到函數(shù)表達(dá)式過于復(fù)雜而不便于計(jì)算，且又需要計(jì)算眾多點(diǎn)處的函數(shù)值；或已知由實(shí)驗(yàn)（測量）得到的某一函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]中互異的n+1個(gè)xi(i=0,1,...,n)處的值yi=f(xi)(i=0,1,...,n),需要構(gòu)造一個(gè)簡單易算的函數(shù)P(x)作為y=f(x)的近似表達(dá)式

y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)

這類問題就稱為插值問題，P(x)稱為插值函數(shù)，P(x)一般取最簡單又便于計(jì)算得函數(shù)。第2章I

插值法x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)f(x)

y=f(x)≈P(x),使得P(xi)=f(xi)=yi(i=0,1,...,n)其它點(diǎn)P(x)

f(x)=y2.1.1插值問題

設(shè)y=f(x)是區(qū)間[a,b]

上的一個(gè)實(shí)函數(shù),xi(i=0,1,...,n)是[a,b]上n+1個(gè)互異實(shí)數(shù),已知y=f(x)在xi的值

yi=f(xi)(i=0,1,...,n),求一個(gè)次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式Pn(x)使其滿足Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)

(5-1)這就是多項(xiàng)式插值問題.2.1引言其中Pn(x)稱為f(x)的n次插值多項(xiàng)式,f(x)稱為被插函數(shù),xi(i=0,1,...,n)稱為插值節(jié)點(diǎn),(xi,yi)(i=0,1,…,n)稱為插值點(diǎn),[a,b]稱為插值區(qū)間,式(5-1)稱為插值條件。

從幾何意義來看,上述問題就是要求一條多項(xiàng)式曲線y=Pn(x),使它通過已知的n+1個(gè)點(diǎn)(xi,yi)(i=0,1,…,n),并用Pn(x)近似表示f(x).即

P(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn其中ai為實(shí)數(shù)，就稱P(x)為插值多項(xiàng)式，相應(yīng)的插值法稱為多項(xiàng)式插值，若P(x)為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值，若P(x)為三角多項(xiàng)式,就稱為三角插值，本章只討論插值多項(xiàng)式與分段插值。

本章主要研究如何求出插值多項(xiàng)式，分段插值函數(shù)，樣條插值函數(shù)；討論插值多項(xiàng)式P(x)的存在唯一性、收斂些及誤差估計(jì)等。定理1

設(shè)節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)互異,則滿足插值條件

Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)的次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式存在且唯一.證設(shè)所求的插值多項(xiàng)式為Pn(x)=a0+a1x+a2x2+...+anxn(5-2)則由插值條件式Pn(xi)=yi(i=0,1,...,n)可得關(guān)于系數(shù)a0,a1,…,an的線性代數(shù)方程組2.1.2插值多項(xiàng)式的存在性和唯一性此方程組有n+1個(gè)方程,n+1個(gè)未知數(shù),其系數(shù)行列式是范德蒙(Vandermonde)行列式：（5-3）由克萊姆法則知方程組(5-3)的解存在唯一.證畢。

考慮最簡單、最基本的插值問題.求n次插值多項(xiàng)式li(x)(i=0,1,…,n),使其滿足插值條件2.2.1基函數(shù)可知,除xi點(diǎn)外,其余都是li(x)的零點(diǎn),故可設(shè)Lagrange法1736-1813

2.2拉格朗日插值其中A為常數(shù),由li(xi)=1可得稱之為拉格朗日基函數(shù),都是n次多項(xiàng)式。

n=1時(shí)的一次基函數(shù)為:y1O

xy1Ox即已知函數(shù)

f(x)在點(diǎn)x0和x1點(diǎn)的函數(shù)值

y0=f(x0)，y1=f(x1).求線性函數(shù)

L(x)=a0+a1x使?jié)M足條件：L(x0)=y0,L(x1)=y1.此為兩點(diǎn)線性插值問題或用直線的兩點(diǎn)式表示為：插值基函數(shù)的特點(diǎn)：

x0x1l010l1011x0x1l0l1記n=2時(shí)的二次基函數(shù)為:可知其滿足2.2.2拉格朗日插值多項(xiàng)式利用拉格朗日基函數(shù)li(x),構(gòu)造次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式稱為拉格朗日插值多項(xiàng)式,再由插值多項(xiàng)式的唯一性,得

特別地,當(dāng)n=1時(shí)又叫線性插值,其幾何意義為過兩點(diǎn)的直線.當(dāng)n=2時(shí)又叫拋物（線）插值,其幾何意義為過三點(diǎn)的拋物線.注意:(1)對于插值節(jié)點(diǎn),只要求它們互異,與大小次序無關(guān);

以xi(i=0,1,…,n)為插值節(jié)點(diǎn),函數(shù)f(x)

1作插值多項(xiàng)式,由插值多項(xiàng)式的唯一性即得基函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)(2)插值基函數(shù)li(x)僅由插值節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)確定,

與被插函數(shù)f(x)無關(guān);(3)插值基函數(shù)li(x)的順序與插值節(jié)點(diǎn)xi(i=0,1,…,n)

的順序一致.這是因?yàn)槿羧?x)=xk

(k=0,1,…,n),由插值多項(xiàng)式的唯一性有特別當(dāng)k=0時(shí),就得到所以例1

已知用線性插值(即一次插值多項(xiàng)式)求的近似值。

基函數(shù)分別為:解插值多項(xiàng)式為()例2

求過點(diǎn)(-1,-2),(1,0),(3,-6),(4,3)的拋物線插值(即三次插值多項(xiàng)式).解以以為節(jié)點(diǎn)的基函數(shù)分別為:則拉格朗日的三次插值多項(xiàng)式為

截?cái)嗾`差Rn(x)=f(x)-Ln(x)也稱為n次Lagrange插值多項(xiàng)式的余項(xiàng)。以下為拉格朗日余項(xiàng)定理。

定理2

設(shè)f(x)在區(qū)間[a,b]上存在n+1階導(dǎo)數(shù),xi∈[a,b](i=0,1,…,n)為n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn),則對任何x∈[a,b],有2.2.3插值余項(xiàng)且與x有關(guān))證由插值條件和

n+1(x)

的定義,當(dāng)x=xk

時(shí),式子顯然成立,并且有

n+1(xk)=0(

k=0,1,…,n),這表明x0

,

x1,

…,xn

都是函數(shù)

n+1(x)的零點(diǎn),從而

n+1(x)可表示為其中K(x)是待定函數(shù)。

對于任意固定的x

[a,b],x

xk

,構(gòu)造自變量t的輔助函數(shù)

由式

n+1(xk)=0和式Ln(xk)=yk(k=0,1,…,n),以及可知：x0

,

x1,

,xn

和x是

(t)在區(qū)間[a,b]上的n+2個(gè)互異零點(diǎn),因此根據(jù)羅爾(Rolle)定理,至少存在一點(diǎn)=(x)(a,b),使

即所以

一般來說,外推比內(nèi)插效果差,在估計(jì)誤差時(shí)下列不等式很有用。的拋物插值多項(xiàng)式,且計(jì)算f(3)的近似值并估計(jì)誤差。例3

設(shè)解插值多項(xiàng)式為因?yàn)楣视谑怯枚尾逯涤?jì)算ln11.25的近似值,并估計(jì)誤差.例4

給定函數(shù)表x10111213lnx2.3025852.3978952.4849072.564949解

取節(jié)點(diǎn)x0=10,x1=11,x2=12,作二次插值有l(wèi)n11.25L2(11.25)在區(qū)間[10,12]上lnx的三階導(dǎo)數(shù)的上限M3=0.002,可得誤差估計(jì)式實(shí)際上,ln11.25=2.420368,|R2(11.25)|=0.000058.2.4.1差商及其基本性質(zhì)定義1

稱為f(x)在x0、x1點(diǎn)的一階差商.一階差商的差商稱為函數(shù)f(x)在x0、x1、x2點(diǎn)的二階差商.英1642-17272.4差商與牛頓插值公式一般地，n-1階差商的差商

稱為f(x)在x0,x1,…,xn點(diǎn)的n階差商。差商的計(jì)算步驟與結(jié)果可列成差商表，如下

一般f(xi)稱為f(x)在xi點(diǎn)的零階差商，記作f[xi]。xk函數(shù)值一階差商二階差商三階差商...

x0x1

x2

x3...

f(x0)

f(x1)f(x2)f(x3)...

f[x0,x1]

f[x1,x2]

f[x2,x3]

...

f[x0,x1,x2]

f[x1,x2,x3]

...

f[x0,x1,x2,x3]

......表1（差商表）給出節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn和函數(shù)值(x0),(x1),…,(xn),可按如下的差商表順序逐次計(jì)算各階差商值.xi?(xi)一階差商二階差商三階差商…n階差商x0x1x2x3

xn?(x0)?(x1)?(x2)?(x3)

?(xn)?[x0,x1]?[x1,x2]?[x2,x3]

?[xn-1,xn]?[x0,x1,x2]?[x1,x2,x3]

?[xn-2,xn-1,xn]?[x0,x1,x2,x3]

?[xn-3,xn-2,x2,x3]………………

?[x0,x1,…,xn]這一性質(zhì)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明，它表明差商與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，即

f[x0,x1,x2,...,xn]=f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,

x0

]性質(zhì)1

差商可以表示為函數(shù)值的線性組合，即稱之為差商的對稱性（也稱為對稱性質(zhì)）。性質(zhì)2

由性質(zhì)1立刻得到或性質(zhì)3

n次多項(xiàng)式f(x)的k階差商,當(dāng)k

n時(shí)是一個(gè)n-k次多項(xiàng)式;當(dāng)k>n時(shí)恒等于0.性質(zhì)4

若f(x)在[a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn∈[a,b],則至少存在一點(diǎn)

[a,b]

滿足下式例1

f(x)=－6x8+7x5－10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].

解

f(8)(x)=－6·8!,f[1,2,…,9]=-6,

f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.2.4.2牛頓插值多項(xiàng)式設(shè)x是[a，b]上一點(diǎn)，由一階差商定義得同理，由二階差商定義如此繼續(xù)下去，可得一系列等式得得依次把后式代入前式，最后得其中可見,Nn(x)為次數(shù)不超過n的多項(xiàng)式,且易知Rn(xi)=0即Nn(xi)=yi,(i=0,1,…,n)滿足插值條件,故其為插值問題的解,Nn(x)稱為牛頓插值多項(xiàng)式。

Rn(x)稱為牛頓型插值余項(xiàng)。由插值多項(xiàng)式的唯一性知，它與拉格朗日插值多項(xiàng)式是等價(jià)的,即Ln(x)

Nn(x)且有如下遞推形式和余項(xiàng)公式由此即得性質(zhì)4。且xkf(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.11601.18601.27571.38410.28000.35880.43360.19700.21370.0344例1已知f(x)=shx的數(shù)表,求二次牛頓插值多項(xiàng)式,并由此計(jì)算f(0.596)的近似值。解由上表可得過前三點(diǎn)的二次牛頓插值多項(xiàng)式為又可得過前四點(diǎn)的三次牛頓插值多項(xiàng)式故可得N3(x)的截?cái)嗾`差

設(shè)函數(shù)y=f(x)在等距節(jié)點(diǎn)xi=x0+ih(i=0,1,…,n)上的函數(shù)值為fi=f(xi)(h為步長)定義2

fi=fi+1-fi

和

fi=fi-fi-1分別稱為函數(shù)f(x)在點(diǎn)xi處的一階向前差分和一階向后差分。

一般地,f(x)在點(diǎn)xi處的m階向前差分和m階向后差分分別為

mfi=

m-1fi+1-

m-1fi

和

mfi=

m-1fi-

m-1fi-12.4.3差分與等距節(jié)點(diǎn)插值2.4.3.1差分及其性質(zhì)函數(shù)值一階差分二階差分三階差分四階差分...

f(x0)

f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)...

f0

(

f1)

f1

(

f2)

f2

(

f3)

f3

(

f4)...

2f0

(

2f2)

2f1

(

2f3)

2f2

(

2f4)...

3f0

(

3f3)

3f1

(

3f4)...

4f0

(

4f4)......構(gòu)造差分表容易證明，差分有如下基本性質(zhì)性質(zhì)1

各階差分均可用函數(shù)值表示.即且有等式

nfi=

nfi+n.性質(zhì)3均差與差分的關(guān)系式為性質(zhì)2函數(shù)值均可用各階差分表示.即且有差分與微商的關(guān)系式為差分的其它性質(zhì)參見教材。代入牛頓插值公式,可得稱為牛頓向前插值公式，其余項(xiàng)為插值節(jié)點(diǎn)為xi=x0+ih(i=0,1,…,n),如果要計(jì)算x0附近點(diǎn)x處的函數(shù)值f(x),可令x=x0+th

(0

t

n)2.4.3.2等距節(jié)點(diǎn)差值公式

類似地,若計(jì)算xn附近的函數(shù)值f(x),可令x=xn+th(-

n

t

0)

，可得牛頓向后插值公式及其余項(xiàng)例2

設(shè)y=f(x)=ex,xi=1,1.5,2,2.5,3,用三次插值多項(xiàng)式求f(1.2)及f(2.8)的近似值.解相應(yīng)的函數(shù)值及差分表如下:xif(xi)一階差分二階差分三階差分四階差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.48146求f(1.2)用牛頓前插公式,且由1.2=1+0.5t,得t=0.4xif(xi)一階差分二階差分三階差分四階差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.48146求f(2.8)用牛頓后插公式,且由2.8=3+0.5t,得t=-0.4xif(xi)一階差分二階差分三階差分四階差分11.522.532.71828

4.481697.2890612.1824920.08554

1.76341

2.90347

4.793437.90305

1.14396

1.886063.10962

0.74210

1.223560.48146求f(1.8)呢?2.5.1三次埃爾米特插值多項(xiàng)式

設(shè)y=f(x)是區(qū)間[a,b]上的實(shí)函數(shù),x0,x1是[a,b]上相異兩點(diǎn),且x0＜x1,y=f(x)在xi上的函數(shù)值和一階導(dǎo)數(shù)值分別為yi=f(xi)(i=0,1)和mi=f

(xi)(i=0,1),求三次多項(xiàng)式H3(x),使其滿足：H3(x)稱為三次埃爾米特插值多項(xiàng)式。法1822-19012.5埃爾米特(Hermite)插值構(gòu)造三次埃爾米特插值多項(xiàng)式如下:定理3

滿足條件式的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式存在且唯一。

條件函數(shù)函數(shù)值導(dǎo)數(shù)值x0x1x0x1

0(x)1000

1(x)0100

0(x)0010

1(x)0001由可將它寫成即插值點(diǎn)的Lagrange一次基函數(shù).

可得滿足條件的三次埃爾米特插值多項(xiàng)式為定理4

設(shè)f(x)在包含x0、x1的區(qū)間[a,b]內(nèi)存在四階導(dǎo)數(shù)，則當(dāng)x∈[a,b]時(shí)有余項(xiàng)設(shè)則當(dāng)x∈(x0,x1)時(shí),余項(xiàng)有如下估計(jì)式（誤差限）2.5.2誤差估計(jì)且與x有關(guān))例2

已知f(x)=x1/2及其一階導(dǎo)數(shù)的數(shù)據(jù)見下表,用埃爾米特插值公式計(jì)算1251/2的近似值,并估計(jì)其截?cái)嗾`差.x121144f(x)1112f'(x)1/221/24解得由可求得2.6分段低次插值先看下面的例子

對?(x)=(1+25x2)-1,在區(qū)間[-1,1]上取等距節(jié)點(diǎn)

xi=-1+ih,i=0,1,…,10,h=0.2,作?(x)關(guān)于節(jié)點(diǎn)

xi(i=0,1,…,10)的10次插值多項(xiàng)式L10(x),

如圖所示xyo1-10.511.5y=L10(x)這個(gè)現(xiàn)象被稱為Runge現(xiàn)象.表明高次插值的不穩(wěn)定性.實(shí)際上,很少采用高于7次的插值多項(xiàng)式.2.6.1分段線性插值求一個(gè)分段函數(shù)P(x),使其滿足:

P(xi)=yi(i=0,1,...,n);

在每個(gè)子區(qū)間[xi，xi+1]

上是線性函數(shù).稱滿足上述條件的函數(shù)P(x)為分段線性插值函數(shù).分別作線性插值得,在每個(gè)子區(qū)間[xi，xi+1]已知或由線性插值的誤差即得分段線性插值在區(qū)間[xi,xi+1]上的余項(xiàng)估計(jì)式為因此,在插值區(qū)間[a,b]上有余項(xiàng)2.6.2分段拋物線插值(2)在每個(gè)子區(qū)間[xi-1,xi+1]上，L(x)是次數(shù)不超過2的多項(xiàng)式.稱滿足上述條件的函數(shù)L(x)為分段拋物線插值函數(shù).

L(xi)=yi(i=0,1,...,n);對求一個(gè)分段函數(shù)L(x),使其滿足:即將區(qū)間[a,b]分為小區(qū)間[xi-1,xi+1](i=1,2,…,n)2.6.3分段三次Hermite插值已知求一個(gè)分段函數(shù)H(x),使其滿足:(2)在每個(gè)子區(qū)間[xi,xi+1]上，H(x)是次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式.稱滿足上述條件的函數(shù)H(x)為分段三次Hermite插值函數(shù).或[xi，xi+1]上得在每個(gè)子區(qū)間由分段三次埃爾米特插值在區(qū)間[xi,xi+1]上的余項(xiàng)估計(jì)式為因此，在插值區(qū)間[a,b]上有余項(xiàng)例3

構(gòu)造函數(shù)f(x)=lnx在1≤x≤10上的數(shù)表,應(yīng)如何選取步長h,才能使利用數(shù)表進(jìn)行分段插值時(shí)誤差不超過0.5×10-4。解欲使即進(jìn)行分段線性插值時(shí)，應(yīng)取h≤2×10-2，誤差不超過0.5×10-4。欲使即進(jìn)行分段三次埃爾米特插值時(shí),應(yīng)取誤差不超過0.5×10-4。2.7.1問題的提出定義給定區(qū)間[a,b]的一個(gè)劃分a=x0<x1<…<xn=b，yi=f(xi)(i=0,1,…,n),如果函數(shù)S(x)滿足：

S(xi)=yi(i=0,1,…,n);

在每個(gè)小區(qū)間[xi,xi+1](i=0,1,...,n-1)上是次數(shù)不超過3的多項(xiàng)式;(3)在每個(gè)內(nèi)節(jié)點(diǎn)xi(i=1,2,...,n-1)上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),

則稱S(x)