《數(shù)字信號(hào)處理》課件-第5章

5.1引言5.2數(shù)字濾波器的定義和分類5.3實(shí)際濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)5.4幾種常見的特殊濾波器習(xí)題與上機(jī)題

數(shù)字濾波器與模擬濾波器都是一種選頻器件，它對(duì)某些頻率的信號(hào)給予很小的衰減，使具有這些頻率分量(如有用信號(hào)的頻率分量)的信號(hào)比較順利地通過，而對(duì)其他不需要的頻率分量(如噪聲的頻率分量)的信號(hào)給予較大幅度衰減，盡可能阻止這些信號(hào)通過。數(shù)字濾波器和模擬濾波器具有不同的濾波方法，數(shù)字濾波器是通過對(duì)輸入信號(hào)進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算的方法來實(shí)現(xiàn)濾波的，而模擬濾波器則用電阻、電容、電感及有源器件等構(gòu)成電路對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波。5.1引言因此，數(shù)字濾波器具有比模擬濾波器精度高、穩(wěn)定性強(qiáng)、靈活度大、體積小、重量輕、不要求阻抗匹配以及實(shí)現(xiàn)模擬濾波器無法實(shí)現(xiàn)的特殊濾波功能等優(yōu)點(diǎn)。數(shù)字濾波器要求輸入、輸出信號(hào)均為數(shù)字信號(hào)。

本章主要介紹數(shù)字濾波器的定義、分類及實(shí)際濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)，重點(diǎn)介紹幾種常見的特殊數(shù)字濾波器。5.2.1數(shù)字濾波器的定義

數(shù)字濾波器(DigitalFilter)通常是指一個(gè)用有限精度算法實(shí)現(xiàn)的離散線性時(shí)不變系統(tǒng)。因此它具有線性時(shí)不變系統(tǒng)的所有特性。

通常用的數(shù)字濾波器一般屬于選頻濾波器。假設(shè)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)用下式表示：

H(ejω)=|H(ejω)|ejθ(ω)

5.2數(shù)字濾波器的定義和分類式中，|H(ejω)|稱為濾波器幅頻響應(yīng)；θ(ω)稱為濾波器相頻響應(yīng)。幅頻響應(yīng)表示信號(hào)通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況，而相頻響應(yīng)反映各頻率成分通過濾波器后在時(shí)間上的延時(shí)情況。因此，即使兩個(gè)濾波器幅頻響應(yīng)相同，只要相頻響應(yīng)不一樣，對(duì)相同的輸入，濾波器的輸出信號(hào)波形也是不一樣的。一般選頻濾波器的技術(shù)要求由幅頻響應(yīng)給出，相頻響應(yīng)一般不作要求，但如果對(duì)輸出波形有要求，則需要考慮相頻響應(yīng)的技術(shù)指標(biāo)，例如語音合成、波形傳輸、圖像處理等。如果對(duì)輸出波形有嚴(yán)格要求，則需要設(shè)計(jì)線性相位數(shù)字濾波器，這部分內(nèi)容在第6章進(jìn)行介紹。圖5.2.1低通濾波器幅頻響應(yīng)示意圖濾波器的特性最容易通過它的幅頻響應(yīng)的形狀來描述。濾波器在某個(gè)頻率的幅度增益(Gain)決定了濾波器對(duì)此頻率輸入的放大因子，增益可取任意值。增益高的頻率范圍，信

號(hào)可以通過，稱之為濾波器的通帶(PassBand)，如圖5.2.1所示;相反，增益低的頻率范圍，濾波器對(duì)信號(hào)有衰減或阻塞作用，稱之為濾波器的阻帶(StopBand)。例如，低通濾波器使低頻成分通過，阻礙高頻成分;高通濾波器則相反，使高頻成分通過，阻礙低頻成分。理想濾波器的幅頻響應(yīng)是矩形，即通帶的增益為1，阻帶的增益為0，然而這種理想的濾波器是不可實(shí)現(xiàn)的，這一點(diǎn)在5.3節(jié)進(jìn)行討論。數(shù)字濾波器的實(shí)現(xiàn)方式一般可以分為兩種，即軟件實(shí)現(xiàn)和硬件實(shí)現(xiàn)。軟件實(shí)現(xiàn)指的是在通用計(jì)算機(jī)上執(zhí)行濾波程序。這種方法靈活，但一般不能完成實(shí)時(shí)處理。硬件實(shí)現(xiàn)指的

是在單片機(jī)、FPGA或DSP芯片上實(shí)現(xiàn)，由于硬件運(yùn)算速度快，可以實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)處理，因此在實(shí)際系統(tǒng)中經(jīng)常用硬件來實(shí)現(xiàn)各種數(shù)字濾波器。

數(shù)字濾波器的輸出可以有兩種方法求出，一種是用濾波器的差分方程計(jì)算濾波器的輸出，另一種是利用卷積過程計(jì)算輸出。后一種方法有限定條件，即系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)h(n)必須為有限長序列。5.2.2數(shù)字濾波器的分類

數(shù)字濾波器按照不同的分類方法，有許多種類，但總體可以分為兩大類。一類稱為經(jīng)典濾波器，即一般的線性系統(tǒng)濾波器。另一類即所謂的現(xiàn)代濾波器。現(xiàn)代濾波器的理論

建立在隨機(jī)信號(hào)處理的理論基礎(chǔ)上，它利用了隨機(jī)信號(hào)內(nèi)部的統(tǒng)計(jì)特性對(duì)信號(hào)進(jìn)行濾波，例如維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等，這一部分內(nèi)容留在研究生《現(xiàn)代信號(hào)

處理》課程中進(jìn)行介紹。下面介紹經(jīng)典濾波器的分類。

1.根據(jù)H(ejω)的通帶特性分類

一般數(shù)字濾波器從濾波功能上分類，和模擬濾波器一樣，可以分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器。它們的理想幅頻響應(yīng)如圖5.2.2所示。圖5.2.2理想低通、高通、帶通、帶阻濾波器幅頻響應(yīng)(a)低通;(b)高通;(c)帶通;(d)帶阻需要注意的是，數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)H(ejω)都是以2π為周期的，濾波器的低通頻帶處于2π的整數(shù)倍處，而高通頻帶處于π的奇數(shù)倍附近，這一點(diǎn)和模擬濾波器是有區(qū)別的。

2.根據(jù)濾波器的實(shí)現(xiàn)方式分類

數(shù)字濾波器從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或者單位脈沖響應(yīng)分類，可以分成無限脈沖響應(yīng)(InfiniteImpulseResponse，IIR)濾波器和有限脈沖響應(yīng)(FiniteImpulseResponse，F(xiàn)IR)濾波器。它們的系統(tǒng)函數(shù)分別為

(5.2.2)(5.2.1)式(5.2.1)中的H(z)稱為N階IIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)，(5.2.2)式中的H(z)稱為N-1階FIR濾波器系統(tǒng)函數(shù)。

1)IIR系統(tǒng)(遞歸系統(tǒng))

IIR濾波器的差分方程為

(5.2.3)由于N≥1，y(n)不僅與x(n-i)有關(guān)，還與y(n-i)有關(guān)，即系統(tǒng)存在著輸出對(duì)輸入的反饋，所以稱為遞歸系統(tǒng)(RecursiveSystem)。

又因?yàn)镹≥1時(shí)，H(z)在z平面上存在著極點(diǎn)，所以h(n)為無限長序列，故遞歸系統(tǒng)也稱為IIR濾波器。

2)FIR系統(tǒng)(非遞歸系統(tǒng))

FIR濾波器的差分方程為

(5.2.4)顯然，該系統(tǒng)不存在著輸出對(duì)輸入的反饋，所以稱為非遞歸系統(tǒng)(NonrecursiveSystem)。

又因?yàn)閔(n)=bn，0≤n≤M，h(n)為有限長序列，故非遞歸系統(tǒng)也稱為FIR系統(tǒng)。

IIR系統(tǒng)和FIR系統(tǒng)的特性不同，實(shí)現(xiàn)方法也不同，后面將詳細(xì)介紹。5.3.1實(shí)際濾波器對(duì)理想濾波器的逼近

圖5.3.1是理想低通濾波器的幅頻響應(yīng)，該理想低通濾波器具有截止頻率ωd?？梢钥闯觯硐霝V波器在通帶內(nèi)幅度為常數(shù)(非零)，在阻帶內(nèi)幅度為零。另外，一般理想濾波器

要求具有線性相位(在第8章討論)，這里假設(shè)相頻響應(yīng)θ(ω)=0。它的脈沖響應(yīng)可以由離散傅里葉逆變換得到，即

(5.3.1)5.3實(shí)際濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)圖5.3.1理想低通濾波器的幅頻響應(yīng)圖5.3.2給出了理想濾波器的脈沖響應(yīng)，顯然該響應(yīng)為非因果且無限長序列。圖5.3.2理想低通濾波器的脈沖響應(yīng)由于脈沖響應(yīng)是非因果且無限長的序列，因此它不能通過時(shí)移來轉(zhuǎn)變?yōu)橐蚬到y(tǒng)。另外，無限長脈沖響應(yīng)不能直接轉(zhuǎn)換為非遞歸差分方程。一個(gè)簡單的解決辦法就是把圖5.3.2所示脈沖響應(yīng)兩邊響應(yīng)值很小的采樣點(diǎn)截去，將脈沖響應(yīng)變?yōu)橛邢揲L，再進(jìn)行時(shí)移得到因果系統(tǒng)，使得脈沖響應(yīng)所描述的濾波器可用。例如圖5.3.3(b)，除了中間的33項(xiàng)外，其余的部分被截取掉了，再通過移位即得到因果序列。圖5.3.3理想低通濾波器脈沖響應(yīng)(a)理想低通脈沖響應(yīng)h(n)；(b)截短移位后的h(n)截短脈沖響應(yīng)自然會(huì)對(duì)頻率響應(yīng)產(chǎn)生影響。截短后，濾波器幅頻響應(yīng)曲線不再是理想矩形，通帶不再平坦，有過渡帶，同時(shí)阻帶衰減不再為零。圖5.3.4給出了因果脈沖響應(yīng)

的幅頻響應(yīng)。當(dāng)然，脈沖響應(yīng)保留的采樣點(diǎn)越多，即濾波器階數(shù)越高，濾波器形狀越接近理想。圖5.3.4非理想低通濾波器因果脈沖響應(yīng)的幅頻響應(yīng)5.3.2實(shí)際濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)

當(dāng)濾波器形狀為非理想時(shí)，要用一些參數(shù)指標(biāo)來描述其關(guān)鍵特性。圖5.3.5表示低通濾波器的幅頻響應(yīng)。濾波器的通帶定義了濾波器允許通過的頻率范圍。在阻帶內(nèi)，濾波器對(duì)

信號(hào)嚴(yán)重衰減。ωp和ωs分別稱為通帶截止頻率(或通帶上限頻率)和阻帶截止頻率(或阻帶下限頻率)。參數(shù)δ1定義了通帶波紋(PassBandRipple)，即濾波器通帶內(nèi)偏離單位增

益的最大值。參數(shù)δ2定義了阻帶波紋(StopBandRipple)，即濾波器阻帶內(nèi)偏離零增益的最大值。參數(shù)Bt定義了過渡帶寬度(TransitionWidth)，即阻帶下限和通帶上限之間的距離，Bt=|ωs-ωp|。過渡帶一般是單調(diào)下降的。通帶內(nèi)和阻帶內(nèi)允許的衰減一般用單位dB表示，通帶允許的最大衰減用αp表示，阻帶內(nèi)允許的最小衰減用αs表示，它們分別定義為

(5.3.3)(5.3.2)式中，Amax是通帶內(nèi)幅度最大值；Amin是通帶內(nèi)幅度最小值；As是阻帶內(nèi)最大值。幅度下降到0.707即時(shí)，ω=ωc，此時(shí)αp=3dB，稱ωc為3dB通帶截止頻率。如果濾波器為帶通或帶阻濾波器，則增加了低端通(阻)帶頻率ωpl(ωsl)(見圖5.3.6)和高端通(阻)帶頻率ωpu(ωsu)(見圖5.3.7)。圖5.3.5低通濾波器的幅頻響應(yīng)圖5.3.6帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)圖5.3.7帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)5.4.1全通濾波器

如果濾波器的幅頻響應(yīng)對(duì)所有的頻率響應(yīng)幅度均為常數(shù)或1，即

|H(ejω)|=1，0≤ω≤2π

(5.4.1)

則該濾波器稱為全通濾波器。全通濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)可表示為

H(ejω)=ejθ(ω)

(5.4.2)

式(5.4.2)表明信號(hào)通過全通濾波器后，幅頻響應(yīng)保持不變，僅相頻響應(yīng)隨ω改變。5.4幾種常見的特殊濾波器圖5.4.1a為實(shí)數(shù)，0<a<1時(shí)，一階全通濾波器的零、極點(diǎn)位置簡單的一階全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

(5.4.3)

式中，a為實(shí)數(shù)且0<|a|<1。這一系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的零、極點(diǎn)位置如圖5.4.1所示。圖5.4.2a為復(fù)數(shù)，一階全通系統(tǒng)的零、極點(diǎn)位置高階全通濾波器是由一串一階系統(tǒng)組成的，可以包括如式(5.4.3)的實(shí)零點(diǎn)和實(shí)極點(diǎn)的一階系統(tǒng)，還可以包括復(fù)數(shù)零點(diǎn)和復(fù)數(shù)極點(diǎn)對(duì)。復(fù)數(shù)零點(diǎn)和極點(diǎn)的全通系統(tǒng)函數(shù)為

(5.4.4)式中，a為復(fù)數(shù)且0<|a|<1。全通系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)出現(xiàn)在共軛鏡像位置上(以單位圓為“鏡子”)，如圖5.4.2所示。一般來講，要求系統(tǒng)為實(shí)，即h(n)是實(shí)序列，此時(shí)H(z)的系數(shù)應(yīng)為實(shí)數(shù)，因而其系統(tǒng)函數(shù)的復(fù)數(shù)極點(diǎn)(零點(diǎn))必須以共軛對(duì)形式出現(xiàn)。例如，一個(gè)實(shí)系數(shù)二階全通系統(tǒng)函數(shù)應(yīng)

為

(5.4.5)

也就是說，它是由兩個(gè)一階全通系統(tǒng)(其極點(diǎn)(零點(diǎn))成共軛對(duì))級(jí)聯(lián)組成的，如圖5.4.3所示。圖5.4.3二階全通系統(tǒng)的零、極點(diǎn)位置可以證明，式(5.4.3)和式(5.4.4)的一階全通系統(tǒng)在任何頻率上，其頻率響應(yīng)的模都為1。例如，對(duì)式(5.4.4)，設(shè)a=rejθ為復(fù)數(shù)，在任一頻率ω處研究，令z=ejω，則有

一般來說，N階數(shù)字全通濾波器的系統(tǒng)函數(shù)可表示為

(5.4.6)

式中

D(z)=1+d1z-1+…+dN-1z-(N-1)+dNz-N

(5.4.7)

D(z)為具有實(shí)系數(shù)的多項(xiàng)式，其根全部在單位圓內(nèi)，當(dāng)z=ejω時(shí)，滿足

D(ejω)=D*(e-jω)

所以有

|H(ejω)|=1，0≤ω<2π

H(z)滿足全通系統(tǒng)的要求。下面分析全通濾波器的零點(diǎn)和極點(diǎn)的分布規(guī)律。設(shè)zk為H(z)的零點(diǎn)，按照式(5.4.6)，zk-1必然是H(z)的極點(diǎn)，記為pk=zk-1，則全通濾波器的極點(diǎn)和零點(diǎn)互為倒數(shù)關(guān)系。如果

考慮到D(z)和D(z-1)的系數(shù)為實(shí)數(shù)，其極點(diǎn)、零點(diǎn)均以共軛對(duì)出現(xiàn)，這樣，對(duì)復(fù)數(shù)零點(diǎn)、復(fù)數(shù)極點(diǎn)必然以四個(gè)一組出現(xiàn)。例如，zk為H(z)的零點(diǎn)，則必有零點(diǎn)zk*、極點(diǎn)pk=zk-1、

pk*=(zk-1)*。

對(duì)實(shí)數(shù)零、極點(diǎn)，則以兩個(gè)一組出現(xiàn)，且零點(diǎn)與極點(diǎn)互為倒數(shù)關(guān)系。全通濾波器起純相位濾波作用，常常用作延時(shí)均衡器。當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)與另一個(gè)離散時(shí)間系統(tǒng)級(jí)聯(lián)時(shí)，全通濾波器可以使整個(gè)級(jí)聯(lián)系統(tǒng)在感興趣的頻帶內(nèi)有一個(gè)常數(shù)延時(shí)。5.4.2數(shù)字陷波器

數(shù)字陷波器是一個(gè)在頻率響應(yīng)特征上包含了一個(gè)或多個(gè)深槽，在理想情況下，這些深槽完全為零的濾波器，也就是在頻率響應(yīng)中有一些被完全抑制的部分。圖5.4.4表示出了在

頻率ω0和ω1出現(xiàn)深槽的陷波器。陷波器在許多實(shí)際應(yīng)用中非常有用，這些應(yīng)用中要求完全消除某些頻率分量。圖5.4.4陷波器的頻率響應(yīng)為了在濾波器的頻率ω0處完全抑制頻率響應(yīng)，簡單地在單位圓上且角度為ω0處引入一對(duì)復(fù)共軛零點(diǎn)，即

所以陷波器的系統(tǒng)函數(shù)為

(5.4.8)

圖5.4.5給出了時(shí)的陷波器的幅頻響應(yīng)。圖5.4.5時(shí)的陷波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)陷波器的問題在于陷波有一個(gè)相對(duì)大的帶寬，這意味著在陷波頻率附近的其他頻率分量也會(huì)被嚴(yán)重抑制。為了降低陷波的帶寬，可以通過在系統(tǒng)函數(shù)中引入極點(diǎn)來改善頻率響應(yīng)特征。

假定，將一對(duì)復(fù)共軛極點(diǎn)放置在，引入極點(diǎn)使得陷波點(diǎn)附近出現(xiàn)了共振峰，同時(shí)減少了陷波的帶寬。此時(shí)所得濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

(5.4.9)圖5.4.6給出了當(dāng)，r=0.65或，r=0.95時(shí)式(5.4.9)的濾波器的幅頻響應(yīng)。

將|H(ejω)|與圖5.4.5中的濾波器的頻率響應(yīng)作比較時(shí)，可看到極點(diǎn)的作用減少了陷波帶寬。圖5.4.6極點(diǎn)位于r=0.65和r=0.95處兩個(gè)陷波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)(a)幅頻響應(yīng);(b)相頻響應(yīng)圖5.4.6的Matlab參考代碼如下：

clearall%清除工作區(qū)中所有變量和函數(shù)

r1=0.65;

r2=0.95;

w=0：0.005*pi：pi；

z1=exp(j*pi/4);z2=exp(-j*pi/4)；

%給出系統(tǒng)的兩個(gè)零點(diǎn)z1,2=e±jπ/4

p11=r1*exp(j*pi/4);p12=r1*exp(-j*pi/4)；

%給出系統(tǒng)1的兩個(gè)極點(diǎn)p1,2=r1e±jπ/4

p21=r2*exp(j*pi/4);p22=r2*exp(-j*pi/4)；

%給出系統(tǒng)2的兩個(gè)極點(diǎn)p1,2=r2e±jπ/4

［b1，a1］=zp2tf(［z1，z2］′，［p11，p12］′，1)； %由零極點(diǎn)求系統(tǒng)函數(shù)H(z)的系數(shù)

［b2，a2］=zp2tf(［z1，z2］′，［p21，p22］′，1);

H1=freqz(b1，a1，w)； %求系統(tǒng)1的頻率響應(yīng)

H2=freqz(b2，a2，w)； %求系統(tǒng)2的頻率響應(yīng)除了減少陷波帶寬外，由于極點(diǎn)產(chǎn)生了共振峰，在陷波點(diǎn)附近引入極點(diǎn)可能會(huì)在通帶內(nèi)引起小的紋波。在陷波器的系統(tǒng)函數(shù)中引入另外的極點(diǎn)或零點(diǎn)可以減少紋波。

【例5.4.1】設(shè)信號(hào)x(t)=sin(2π×60t)+xs(t)，式中xs(t)是低于60Hz的低頻信號(hào)。試設(shè)計(jì)一個(gè)陷波器將60Hz干擾濾除，采樣頻率Fs=200Hz。

解

60Hz對(duì)應(yīng)的數(shù)字頻率，選擇r=0.75，陷波器的系統(tǒng)函數(shù)為

為了測試陷波器的特性，令xs(n)=2sin(2π×25t)，因此數(shù)字陷波器的輸入信號(hào)

Matlab程序如下：

B=［1，0.618，1］; %系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分子系數(shù)A=［1，0.4635，0.5625］;

%系統(tǒng)函數(shù)H(z)的分母系數(shù)f1=60;f2=25;Fs=200;

%給出頻率參數(shù)

n=0：1023;x=sin(2*pi*f1/Fs*n)+sin(2*pi*f2/Fs*n)； %輸入信號(hào)

X=abs(fft(x))/max(abs(fft(x)));

y=filter(B，A，x);

%求出輸出信號(hào)

Y=abs(fft(y，1024))/max(abs(fft(y，1024)))

由圖5.4.7(a)可以看出輸入信號(hào)有兩個(gè)頻率。陷波器的輸出波形如圖5.4.7(b)所示，60Hz的干擾信號(hào)被抑制掉了。圖5.4.7例5.4.1陷波器輸入、輸出幅頻響應(yīng)(a)輸入信號(hào)幅頻響應(yīng);(b)輸出信號(hào)的幅頻響應(yīng)5.4.3梳狀濾波器

最簡單方式的梳狀濾波器可以看成是陷波器，在頻帶內(nèi)周期性地出現(xiàn)陷波，類似于常見的梳子，有一個(gè)個(gè)周期間隔的齒。在實(shí)際系統(tǒng)中梳狀濾波器有許多應(yīng)用，例如消除電源

中的諧波，從電子聚集的電離層測量中分離太陽和月亮成分，抑制來自移動(dòng)目標(biāo)指示雷達(dá)中固定物體的雜亂信號(hào)。設(shè)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為H(z)，其頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)是以2π為周期的。如果將H(z)的變量z用zN代替，得到H(zN)，則相應(yīng)的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejωN)是以2π/N為周期的，在區(qū)間［0，2π］上有N個(gè)周期。利用這種性質(zhì)，可以構(gòu)成各種梳狀濾波器?，F(xiàn)在，假定原來的數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)函數(shù)H(ejω)在某一頻率ω0處的譜為0，那么頻率響應(yīng)函數(shù)為H(ejωN)的濾波器在處周期性地出現(xiàn)零譜。例如，，零點(diǎn)為1，極點(diǎn)為a，所以H(z)表示一個(gè)高通濾波器。以zN代替H(z)的z，得到

(5.4.10)當(dāng)N=8時(shí)，零點(diǎn)為極點(diǎn)為

H(z)的零、極點(diǎn)分布和幅頻響應(yīng)曲線如圖5.4.8所示。由其幅頻響應(yīng)曲線的形狀取名為梳狀濾波器。梳狀濾波器可濾除輸入信號(hào)中

k=0，1，…，N-1的頻率分量。圖5.4.8梳狀濾波器的零、極點(diǎn)分布和幅頻響應(yīng)(N=8)(a)零、極點(diǎn)分布圖;(b)幅頻響應(yīng)

【例5.4.2】設(shè)計(jì)一個(gè)梳狀濾波器，用于濾除心電圖信號(hào)中的50Hz及其二次諧波100Hz干擾，設(shè)采樣頻率為400Hz。

解采用前面介紹的梳狀濾波器，系統(tǒng)函數(shù)為

式中有兩個(gè)參數(shù)需要選擇，N的大小決定于要濾除的點(diǎn)頻的位置，a要盡量靠近1。計(jì)算得到要濾除的兩個(gè)數(shù)字角頻率為

零點(diǎn)頻率為k=0，1，2，…，N-1。由

求出N=8。設(shè)a=0.9，梳狀濾波器的幅頻響應(yīng)如圖5.4.9所示。圖5.4.9例5.4.2梳狀濾波器的幅頻響應(yīng)5.4.4最小相位濾波器

一個(gè)因果穩(wěn)定的離散時(shí)間系統(tǒng)，其極點(diǎn)必須位于單位圓內(nèi)，而對(duì)零點(diǎn)沒有特殊的要求，它可以在單位圓內(nèi)、單位圓上，也可以在單位圓外。在第2章中講到，如果一個(gè)離散

系統(tǒng)的H(z)的極點(diǎn)與零點(diǎn)全部在單位圓內(nèi)，則稱為最小相位系統(tǒng)。與之相對(duì)照，若零點(diǎn)全部在單位圓外，則稱為最大相位系統(tǒng);若在單位圓內(nèi)和圓外都有零點(diǎn)，則稱該系統(tǒng)為混合

相位系統(tǒng)。因此，對(duì)于給定的頻率響應(yīng)，其相頻響應(yīng)可以不唯一。最小相位系統(tǒng)有下列幾個(gè)重要性質(zhì):

(1)任何一個(gè)非最小相位系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)均可由一個(gè)最小相位系統(tǒng)Hmin(z)和一個(gè)全通系統(tǒng)Hap(z)級(jí)聯(lián)而成，即

H(z)=Hmin(z)·Hap(z)

(5.4.11)設(shè)系統(tǒng)H(z)有一個(gè)零點(diǎn)在單位圓之外，即|z0|<1，其余的極點(diǎn)、零點(diǎn)均在單位圓內(nèi)，那么H(z)可表示為

H(z)=H1(z)·(z-1-z0)

(5.4.12)H1(z)是最小相位的，上式又可表示為由于|z0|<1，因此Hmin(z)=H1(z)(1-z0*z-1)是最小相位的，

而是全通的。上述做法的結(jié)果是把H(z)在單位圓外處的零點(diǎn)反射到單位圓內(nèi)z=z0*處，使之成為Hmin(z)的零點(diǎn)，同時(shí)，H(z)和Hmin(z)具有相同的幅頻響應(yīng)。這就為我們提供了一個(gè)如何由非最小相位系統(tǒng)構(gòu)成最小相位系統(tǒng)的方法。

(2)給定一個(gè)穩(wěn)定因果系統(tǒng)，定義其逆濾波器

當(dāng)且僅當(dāng)H(z)是最小相位系統(tǒng)時(shí)，HINV(z)才是穩(wěn)定的、因果的，亦即物理可實(shí)現(xiàn)。

(3)在幅頻響應(yīng)相同的所有因果穩(wěn)定系統(tǒng)集中，最小相位系統(tǒng)的相位延遲(負(fù)的相位值)最小。由式(5.4.11)可知，任何一個(gè)非最小相位系統(tǒng)H(z)的相位函數(shù)，是一個(gè)與H(z)的幅頻響應(yīng)相同的最小相位系統(tǒng)Hmin(z)的相位函數(shù)加上一個(gè)全通系統(tǒng)Hap(z)的相位函數(shù)。所以，只要證明了全通系統(tǒng)的相位函數(shù)是非正的，也就證明了本性質(zhì)

(4)若定義h(n)的積累能量E(M)為

則當(dāng)M很小時(shí)，最小相位系統(tǒng)的最小能量延遲可用下式描述，即

(5.4.13)由Parseval定理，因?yàn)轭l域幅頻響應(yīng)相同，所以時(shí)域的總能量也應(yīng)相同，即

因此式(5.4.13)表明hmin(n)的能量集中在n較小的時(shí)段內(nèi)，即能量延遲最小。

5.1一個(gè)濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為

H(z)=1+z-1+z-2+…+z-8

計(jì)算該濾波器的幅頻響應(yīng)和相頻響應(yīng)。若采樣頻率Fs=1kHz，確定不能通過該濾波器的模擬正弦波信號(hào)的頻率。

5.2用Matlab設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字陷波濾波器，它抑制一個(gè)非常強(qiáng)的60Hz的正弦干擾信號(hào)，被干擾的信號(hào)是一個(gè)200Hz的有用正弦信號(hào)，采樣頻率Fs=1kHz。習(xí)題與上機(jī)題

5.3最小相位系統(tǒng)的一個(gè)重要性質(zhì)是最小能量延遲特性。式(5.4.13)描述了該特性。該性質(zhì)的證明思想如下：

令hmin(n)是系統(tǒng)函數(shù)為Hmin(z)的最小相位系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)序列，且zk為Hmin(z)的一個(gè)零點(diǎn)，因此可以將Hmin(z)表示為

Hmin(z)=Q(z)(1-zkz-1)，|zk|<1

式中Q(z)也是最小相位的?，F(xiàn)在研究另一個(gè)因果穩(wěn)定系統(tǒng)H(z)，其幅頻響應(yīng)滿足

|H(ejω)|=|Hmin(ejω)|且H(z)有一個(gè)零點(diǎn)。并令h(n)=IZT［H(z)］。

(1)試用Q(z)表示H(z)。

(2)試用q(n)=IZT［Q(z)］表示h(n)和hmin(n)。

(3)比較兩個(gè)序列的能量分布，證明

5.4全通系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為，|a|<1。

試證明0≤ω≤π時(shí)，|Hap(ejω)|=1。

5.5若一個(gè)線性時(shí)不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)有如題5.5圖所示的零、極