魯教版七年級數(shù)學(xué)上冊第三章勾股定理第2課時勾股定理的驗證課件

第三章勾股定理1探索勾股定理第2課時勾股定理的驗證基礎(chǔ)過關(guān)全練知識點2勾股定理的驗證1.(2023浙江湖州長興期中)意大利著名畫家達(dá)·芬奇用一張

紙片剪拼出不一樣的空洞,而兩個空洞的面積是相等的,如圖

所示,若設(shè)左邊圖中空白部分的面積為S1,右邊圖中空白部分

的面積為S2,小聰同學(xué)得出了以下四個結(jié)論:①S1=a2+b2+ab;②

S2=c2+ab;③S1=S2;④a2+b2=c2.其中正確的有

(

)A.1個

B.2個C.3個

D.4個D解析由題意得S1=S2=a2+b2+2×

ab=a2+b2+ab=c2+ab,∴a2+b2=c2,故①②③④正確,故選D.2.歷史上對勾股定理的一種證法采用了如圖所示的圖形,其

中兩個全等的直角三角形的邊AE和EB在一條直線上.證明

中用到的面積相等的關(guān)系是

(

)A.S△EDA=S△CEBB.S△EDA+S△CEB=S△CDEC.S四邊形CDAE=S四邊形CDEBD.S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四邊形ABCDD解析從整體看,可按梯形的面積公式計算梯形的面積.從部

分看,直角梯形的面積等于三個直角三角形的面積和,故選D.3.(情境題·數(shù)學(xué)文化)(2023江蘇揚州中考)我國古代數(shù)學(xué)家趙

爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”,后人稱之為

“趙爽弦圖”,它是由4個全等的直角三角形和一個小正方

形組成的.如圖,直角三角形的直角邊長為a、b,斜邊長為c,若

b-a=4,c=20,則每個直角三角形的面積為

.

96解析根據(jù)勾股定理可知a2+b2=c2=202,∵大正方形的面積=小正方形的面積+4個直角三角形的面

積,∴c2=4×

ab+(b-a)2,即400=2ab+42,整理得2ab=384,∴每個直角三角形的面積為

ab=96.故答案為96.4.(2024山東泰安肥城期中)中國古代數(shù)學(xué)家們對于勾股定理

的發(fā)現(xiàn)和證明,在世界數(shù)學(xué)史上具有獨特的貢獻(xiàn)和地位.現(xiàn)用

4個全等的直角三角形拼成如圖所示的“弦圖”.Rt△ABC中,∠ACB=90°,若AC=b,BC=a,請你利用這個圖形解決下列問題.(1)試說明a2+b2=c2.(2)如果大正方形的面積是12,小正方形的面積是4,求(a+b)2.解析

(1)由題意可得大正方形的面積為c2,每個直角三角形

的面積為

ab,小正方形的面積為(b-a)2,∴c2=4×

ab+(b-a)2=2ab+a2-2ab+b2,即c2=a2+b2.(2)易知(b-a)2=4,4×

ab=12-4=8,∴2ab=8,∴(a+b)2=(b-a)2+4ab=4+2×8=20.知識點3勾股定理的簡單應(yīng)用5.(2023重慶七中期中)如圖,一棵大樹在一次強(qiáng)臺風(fēng)中于離

地面10m處折斷倒下,倒下部分的樹梢到樹的距離為24m,則

這棵大樹折斷處到樹頂?shù)拈L度是

(

)

A.10m

B.15m

C.26m

D.30mC解析

如圖,易知△ABC是直角三角形,AB=10m,AC=24m,∴BC2=AB2+AC2=102+242=676,∴BC=26m,∴這棵大樹折斷處

到樹頂?shù)拈L度是26m.

6.一個直角三角形菜園,一條直角邊長為5m,斜邊長為13m,

則這個菜園的面積為

(

)A.30m2

B.32.5m2

C.26m2

D.60m2A解析由題意得另一條直角邊長的平方=132-52=144,所以另一條直角邊長為12m,所以這個菜園的面積為

×5×12=30(m2).故選A.7.(2023廣東揭陽普寧期末)如圖,某自動感應(yīng)門的正上方A處

裝著一個感應(yīng)器,離地面的距離AB=2.4米,當(dāng)人體進(jìn)入感應(yīng)器

的感應(yīng)范圍內(nèi)時,感應(yīng)門就會自動打開.當(dāng)身高為1.8米的市

民(CD)正對門緩慢走到離門0.8米的地方時(即BC=0.8米),感

應(yīng)門自動打開,此時人頭頂離感應(yīng)器的距離AD等于

米.

1解析如圖,過點D作DE⊥AB于點E,∵AB=2.4米,BE=CD=1.8米,ED=BC=0.8米,∴AE=AB-BE=2.4-1.8=0.6(米),在Rt△ADE中,由勾股定理得,AD2=AE2+DE2=0.62+0.82=1,∴AD=1米.∴人頭頂離感應(yīng)器的距離AD等于1米.故答案為1.能力提升全練8.(新考法)(2023山東日照中考,9,★★☆)已知直角三角形的

三邊a,b,c滿足c>a>b,分別以a,b,c為邊作三個正方形,把兩個

較小的正方形放置在最大的正方形內(nèi),如圖,設(shè)三個正方形無

重疊部分的面積為S1,均重疊部分的面積為S2,則(

)A.S1>S2

B.S1<S2C.S1=S2

D.S1,S2大小無法確定C解析∵直角三角形的三邊a,b,c滿足c>a>b,∴該直角三角形的斜邊為c,∴c2=a2+b2,∴c2-a2-b2=0,∴S1=c2-a2-b2+b(a+b-c)=ab+b2-bc,∵S2=b(a+b-c)=ab+b2-bc,∴S1=S2,故選C.9.(2024山東淄博高新實驗中學(xué)期中,10,★★☆)有一個面積

為1的正方形,經(jīng)過一次“生長”后,在它的左右肩上生出兩

個小正方形,其中,三個正方形圍成的三角形是直角三角形,

再經(jīng)過一次“生長”后,變成了如圖所示的圖形,如果繼續(xù)

“生長”下去,它將變得“枝繁葉茂”,則“生長”了2023

次后形成的圖形中所有的正方形的面積和是

(

)DA.22023

B.22024

C.2023

D.2024解析由題意得,正方形A的面積為1,易知正方形B的面積+

正方形C的面積=1,∴“生長”了1次后形成的圖形中所有的

正方形的面積和為2,同理可得,“生長”了2次后形成的圖形

中所有的正方形的面積和為3,“生長”了3次后形成的圖形

中所有的正方形的面積和為4,……∴“生長”了2023次后形成的圖形中所有的正方形的面積和為2024,故選D.10.(2022江蘇蘇州月考,24,★★☆)勾股定理神秘而美妙,它

的證法多樣,其巧妙各有不同.當(dāng)兩個全等的直角三角形按如

圖所示的方式擺放時,連接CD,可以用面積法來證明勾股定

理,請寫出證明過程.

證明如圖,連接DB,作DF⊥BC,交BC的延長線于點F,由題意可知,△ADE≌△BAC,∠DEA=∠ACB=90°,∴∠ADE=∠BAC,∠DAE+∠ADE=90°,AC=DE=b,∴∠DAE+∠BAC=90°,即∠BAD=90°,易證△CDF≌△DCE,∴DF=CE=b-a,

=S△ADB+S△DCB=

c2+

a(b-a),

=S△ACD+S△ABC=

b2+

ab,∴

b2+

ab=

c2+

a(b-a),∴a2+b2=c2.素養(yǎng)探究全練11.(幾何直觀)2002年國際數(shù)學(xué)家大會的會徽是一個“弦

圖”(如圖1),它是由4個全等的直角三角形(不是等腰三角形)

拼接而成的.如圖2,在線段AE和CG上分別取點P和點Q,使AP

=CQ,連接DP,BP,DQ,BQ,構(gòu)成了一個“壓扁”的弦圖.問題:

線段AE,CG上是否存在不同于端點的點P,點Q,使得“壓

扁”的弦圖(四邊形PBQD)中,4個直角三角形的面積依然滿

足S1=S2=S3=S4?

(

)C

A.存在且唯一

B.存在多個C.不存在

D.無法確定解析因為△BCG≌△CDH≌△DAE≌△ABF,所以CG=DH=AE