中考數(shù)學(xué)模型專項(xiàng)突破：射影定理模型（含答案及解析）

叱模型介紹

1.射影定理定義

①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).

②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).

2.如圖在RtZ\A8C中，NA4c=90°,是斜邊8C上的高，有射影定理如下:

@AD2=BD'DC；

回注意：直角三角形斜邊上有高時(shí)，才能用射影

@AB2=BD'BC；AC2=CD-BC.

定理！

例題精講

【例1】.在矩形A8C。中，8￡，47交4。于點(diǎn)￡,G為垂足.若CG=C￡)=1,則AC的長

【例2】.如圖：二次函數(shù)y=a?+fot+2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，若

C.-1D.-2

【例3】.將BC沿弦8c折疊，交直徑AB于點(diǎn)。，若AO=4,DB=5,則8c的長是（)

C.V65D,2^15

A變式訓(xùn)練

【變式1]如圖，在△ABC中，若AB=AC,BC=2BD=6,DELAC,則AC'EC的值是.

【變式2].如圖所示，在矩形ABC。中，AELBD于點(diǎn)E,對角線AC,BD交于0,且BE：

ED=1：3,AD=6cm,貝！JAE=cm.

【變式3】.如圖，若拋物線y=o?+a+c（a#0）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

若/。1C=NOCB.則ac的值為（）

A.-1B.-2C.」D.」

23

【變式4】.如圖，正方形ABC。中，E為A3上一點(diǎn)，于點(diǎn)R已知。歹=5所=5,

過C、。、尸的。O與邊AD交于點(diǎn)G,則DG=.

【變式5】.如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑的。。交BC于點(diǎn)。，過點(diǎn)2作8GLAC

交。。于點(diǎn)E、H,連A。、ED、EC.若BD=8,DC=6,則CE的長為.

【變式6】.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，過點(diǎn)A作AELBC交BC于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在

BC的延長線上，且CP=BE,連接。足

(1)求證：四邊形AEFD是矩形;

(2)連接AC,若NAC￡)=90°，AE=4,CF=2,求EC和AC的長.

Qp

實(shí)戰(zhàn)演練

01.Q童"鼠在矩形ABC。中，DELAC,垂足為點(diǎn)E.若sin/AZ)E=4,A￡)=4,則A8的長

2.如圖，在矩形ABCD中，BD=2M.對角線AC與3。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作AC的垂

A.4B.273C.—D.4a

4

3.如圖，在正方形A8C。內(nèi)，以。點(diǎn)為圓心，長為半徑的弧與以8C為直徑的半圓交

于點(diǎn)P,延長CP、AP交AB、8C于點(diǎn)M、N.若AB=2,則A尸等于()

D

B2^c.喑

-5D?華

4.如圖，點(diǎn)P是。。的直徑54延長線上一點(diǎn)，PC與。。相切于點(diǎn)C,CDLAB,垂足為

D,連接AC、BC、OC,那么下列結(jié)論中：①PC2=B4?PB；@PC-OC=OP-CD；③

=OD-OP；?OA(CP-CD)=AP'CD,正確的結(jié)論有()個(gè).

5.如圖，在RtZXABC中，ZA=90°,AB=AC=8遍，點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在底邊

BC上，S.FE±BE,貝I|C「長.

6.如圖，在矩形ABCZ)中，點(diǎn)E在邊A。上，把△ABE沿直線BE翻折，得到△G3E,BG

的延長線交C。于點(diǎn)?尸為C。的中點(diǎn)，連結(jié)CG,若點(diǎn)E,G,C在同一條直線上，F(xiàn)G

=1,則C。的長為,

cos/QEC的值為.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=fcc+l分別交x軸，y軸于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)B作8c

交x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作C￡)J_BC交y軸于點(diǎn)過點(diǎn)。作交x軸于點(diǎn)E,

過點(diǎn)E作EFLOE交y軸于點(diǎn)尸.已知點(diǎn)A恰好是線段EC的中點(diǎn)，那么線段“'的長

8.如圖，在菱形ABC。中，過點(diǎn)。作。交對角線AC于點(diǎn)E,連接BE,點(diǎn)尸是線

段BE上一動(dòng)點(diǎn)，作尸關(guān)于直線的對稱點(diǎn)P,點(diǎn)。是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接尸。，DQ.若

AE=14,CE=18,則。。-P。的最大值為.

B

9.在矩形ABC。中，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在8C邊上時(shí),將△ABE沿AE翻折，使點(diǎn)B恰好落在對角線BD上點(diǎn)尸處，

AE交BD于點(diǎn)G.

①如圖1,若BC=、RAB,求/AFD的度數(shù)；

②如圖2,當(dāng)AB=4,且EF=EC時(shí)，求BC的長.

(2)在②所得矩形ABC。中，將矩形ABC。沿AE進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C,當(dāng)點(diǎn)

E,C,。三點(diǎn)共線時(shí)，求8E的長.

圖I圖2備用圖

10.如圖，已知。。的半徑為2,A8為直徑，CD為弦,A2與CD交于點(diǎn)M,將弧C￡)沿

著C。翻折后，點(diǎn)A與圓心。重合，延長。4至P,使AP=O4,連接尸C.

(1)求證：PC是的切線；

(2)點(diǎn)G為弧AD8的中點(diǎn)，在PC延長線上有一動(dòng)點(diǎn)。，連接QG交A8于點(diǎn)E,交弧

BC于點(diǎn)與8、C不重合).問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不

是，請說明理由.

11.如圖1,在正方形A3C。中，點(diǎn)石是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A,B不重合)，連

接CE,過點(diǎn)B作BFVCE于點(diǎn)G,交AD于點(diǎn)F.

(1)求證：△ABF四△BCE；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到A2中點(diǎn)時(shí)，連接。G,求證：DC=DG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)C作CMLDG于點(diǎn)H,分別交AD,8尸于點(diǎn)

12.在平面直角坐標(biāo)系中，己知A(-4,0),B(1,0),且以A8為直徑的圓交y軸的正

半軸于點(diǎn)C(0,2),過點(diǎn)C作圓的切線交無軸于點(diǎn)D

(1)求過A,B,C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)設(shè)平行于x軸的直線交拋物線于E,尸兩點(diǎn)，問：是否存在以線段跖為直徑的圓，

恰好與x軸相切？若存在，求出該圓的半徑；若不存在，請說明理由.

叱模型介紹

1.射影定理定義

①直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng).

②每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng).

2.如圖在RtZ\A8C中，NA4c=90°,是斜邊8C上的高，有射影定理如下:

@AD2=BD'DC；

回注意：直角三角形斜邊上有高時(shí)，才能用射影

@AB2=BD'BC；AC2=CD-BC.

定理！

【例1】.在矩形A8C。中，8￡，47交4。于點(diǎn)￡,G為垂足.若CG=C￡)=1,則AC的長

解：,四邊形ABC。是矩形，,A3=CD=1,ZABC=90°,

\BELAC,：.ZAGB=90°=ZABC,

'：ZBAG=ZCAB,.?.△ABGsZXACB,.?.幽=膽，：.AG-AC=AB2（射影定理），

ABAC

即（AC-1）?AC=12,

解得：AC=H叵或AC=±Y￡（不合題意舍去），即AC的長為紅區(qū)，

222

故答案為：止區(qū).

2

【例2】.如圖：二次函數(shù)尸a/+foc+2的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于C點(diǎn)，若

ACLBC,則a的值為（）

A.--B.--C.-1D.-2

24

解：設(shè)A(尤1,0)(xi<0),B(X2,0)(%2>0),C(0,t),

?.?二次函數(shù)y=/+6x+2的圖象過點(diǎn)C(0,f),

t=2；

VAC±BC,

29

/.OC=OAOB(射影定理)，即4=|XIX2|=-X1X2,

根據(jù)韋達(dá)定理知XLX2=2,??.〃=-J1.故選：A.

a2

【例3】.將BC沿弦折疊，交直徑A8于點(diǎn)D,若A0=4,DB=5,則的長是（)

c.V65D.2^/15

根據(jù)折疊的性質(zhì)，知CD所對的圓周角等于/CBD,

又：立所對的圓周角是NCBA,

,：ZCBD=ZCBA,：.AC=CD（相等的圓周角所對的弦相等）;

/.△CAD是等腰三角形；

過C作CELAB于E.

'：AD=4,貝l]AE=r>E=2；：.BE=BD+DE=1；

在RtZ\ACB中，CELAB,根據(jù)射影定理，得：

BC2=BEMB=7X9=63；故BC=3小.故選：A.

A變式訓(xùn)練

[變式1].如圖,在△ABC中，若AB^AC,BC=2BD=6,DELAC,則AC'EC的值是9

解：如圖，?.?在△ABC中，若AB=AC,BC=2BD=6,

J.AD1BC,CD=BD=3.

又DELAC,

：.ZCED=ZCDA=9Q°.

：NC=/C,

△CAD

ACD=EC；即AC?EC=C￡>2=9.（射影定理）

ACDC

故答案是：9.

【變式2].如圖所示，在矩形ABC。中，AELBD于點(diǎn)E,對角線AC,BD交于0,且3E：

￡￡>=1：3,AD=6cm,則AE=cm.

解：設(shè)BE=x,因?yàn)锽E：ED=1：3,故皮>=3x,

根據(jù)射影定理，A￡>2=3x(3無+x),即36=12x2,

AE1=BE-ED,AE2=X-3X；即4君2=3/=3X3=9；AE=3.

【變式3]如圖，若拋物線y=o?+云+cQWO）與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,

^ZOAC=ZOCB.則ac的值為（）

D.1

3

解：設(shè)A(xi,0),B(X2,0),C(0,c),

,二次函數(shù)y=ox2+bx+c的圖象過點(diǎn)c(0,°),

JOC=c,

ZOAC=ZOCB,OCLAB,

:AOACSMOCB,

???"OA—_0C"f

OCOB

AOC2=OA>OB(即射影定理)

即僅「以|=。2=-xi?尤2,

令a^+bx+c=0,

根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系知.n?x2=—,

a

?c2

?"XiXn==C，

1za

故ac=-1,故選：A.

【變式4】.如圖，正方形ABC。中，E為AB上一點(diǎn)，于點(diǎn)孔已知5EF=5,

過C、D、尸的OO與邊交于點(diǎn)G,則。G=.

在正方形ABCZ5中，ZEAD=ZADC=90°,AF±DE,

：.AAFO^AEAD,

.AD=DF

'"EDAD"

又；DF=5EF=5,

???AD=、ED，DF=、5義（5+1）=病=CD,

在Rt^A尸。中，AF=5/AD2_DF2=V30-25=V5,

VZCDF+ZADF=90°,ZDAF+ZADF=90°,

JZDAF=/CDF,

,/四邊形GFCD是。。的內(nèi)接四邊形，

：.ZFCD^ZDGF=\SO°,

VZFGA+ZZ）GF=180°,

：.ZFGA=ZFCD9

：.AAFGsADFC,

.AG=AF

"CDDF,

.AG_V5

.而一T，

.,.AG=J^,

J.DG^AD-AG=5巧3-娓

【變式5】.如圖，在△ABC中，以AC邊為直徑的。。交3c于點(diǎn)。，過點(diǎn)2作8GLAC

交。。于點(diǎn)E、H,連A。、ED、EC.若8。=8,DC=6,則CE的長為2后T.

解：:AC為。。的直徑,

AZADC=90°,

'：BG±AC,

：.ZBGC=ZADC=90°,

'：ZBCG=ZACD,

：.△ADCs^BGC,

.DC=AC

"CGBC"

.?.CGMC=DC?BC=6X14=84,

連接AE,

：AC為。。的直徑，.?.NAEC=90°,

AZAEC=ZEGC^9Q°,

NACE=ZECG,

.,.△C￡G^>ACA￡,.?.苴=比，

CEAC

.?.CE2=CGMC=84,.*.C￡=2V21.

故答案為2亞.

【變式6】.如圖，四邊形ABC。是平行四邊形，過點(diǎn)A作AEL3C交8C于點(diǎn)E,點(diǎn)尸在

BC的延長線上，且CB=BE,連接。足

(1)求證：四邊形AEFD是矩形；

(2)連接AC,若NAC￡)=90°，A￡=4,CF=2,求EC和AC的長.

(1)證明：：四邊形ABCO是平行四邊形，.?.A￡)〃BC,AD=BC,

"：CF=BE：.BE+CE=CF+CE,

即BC=EF,：.AD=EF,

：AD〃EF,...四邊形AE即是平行四邊形，

'：AE±BC,.?.NAEF=90°,，平行四邊形AEFD是矩形；

(2)解：如圖，'：CF=BE,CF=2,

:.BE=2,:四邊形ABC。是平行四邊形，J.AB//CD,：.ZBAC^ZAC￡>=90°,

Ay2J2

'：AE.LBC,:.AE2=BE,EC(射影定理)，：.EC=-^—=—=S,

BE2

,'-AC=VAE2<E2=^42+82=4^5.

AD

百匕|實(shí)戰(zhàn)演練

1.4口圖，在矩形ABCZ)中,DE±AC,垂足為點(diǎn)E.若sin/AOE=2,AD=4,則AB的長

解：-DELAC,

/.ZADE+ZCAD=90°,

VZACD+ZCAD^90°,

ZACD=ZADE,

'：矩形ABCD的對邊AB//CD,

：.ZBAC=ZACD,

sinZA￡)E=—,BC=AD=4,

5

.BC=4.4=4

：.AC=5,

"AC5""AC5

由勾股定理得，^=VAC2-BC2=3,故選：c-

2.如圖，在矩形ABC。中，BD=2M.對角線AC與3。相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作AC的垂

A.4B.273C.9D.473

4

解：：四邊形A8CD是矩形，.?./ADC=90°,AC=BD=26,

'：AE=3CE,：.AE=^-AC=2-43>CE=LC=近，

4242

VZADC=90°,AZDAC+ZACD=90°,

VDEXAC,ZAED=ZCEO=90°,

ZADE+ZDAC=90°,ZADE=ZACD,：.AADE^ADCE,.?理=里

CEDE

.,.￡)￡2=A￡?C￡=-^-V3X2Z1_=2,故選：c.

224

3.如圖，在正方形ABC。內(nèi)，以。點(diǎn)為圓心，長為半徑的弧與以8C為直徑的半圓交

于點(diǎn)尸，延長CP、AP交AB、8C于點(diǎn)M、N.若AB=2,則A尸等于（)

D

A,遮B.2Vwc.巫D.垣

2555

解：如圖，設(shè)點(diǎn)S為2C的中點(diǎn)，連接DP,DS,DS與PC交于點(diǎn)W,作PEL2C于點(diǎn)E,

PF1AB于點(diǎn)F,

:.DP=CD=2,PS=CS=1,即。S是尸C的中垂線，:ADCS"ADPS,

：.ZDPS=ZDCB=90°,：.DS=VDC2+CS2=722+l2=疾，

由三角形的面積公式可得產(chǎn)。=生叵，

5

為直徑，：.ZCPB=90°,，-2=依2_氏2=^^,

：.PE=FB=PC^B=-1,/.PF=BE=VpB2-PE2=T>

DUDD

：.AF=AB-FB=^-,:.AP=y//十叩2=當(dāng)叵故選:B.

55

4.如圖，點(diǎn)P是O。的直徑A4延長線上一點(diǎn)，PC與O。相切于點(diǎn)C,CD±AB,垂足為

D,連接AC、BC、OC,那么下列結(jié)論中：①PC2=M?PB；?PC-OC=OP'CD；③。

解：①與。。相切于點(diǎn)C,

：.ZPCB=ZA,NP=NP,.,.△PBC^APCA,：.PC1=PA'PB-,

?-：OCLPC,：.PC'OC=OP'CD-,

@'：CDLAB,OCLPC,：.OC2=OD'OP,

"：OA=OC,：.OA2=OD-OP；

@VXAP'CD=AOC-CP-AGA-CD,OA=OC,：.OA(CP-CD)=AP'CD,

222

所以正確的有①，②，③，④，共4個(gè).故選：D.

5.如圖，在RtZkABC中，ZA=90°,A8=AC=8%,點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在底邊

BC上，5.FELBE,則CP長.

解：作EH_L8C于H,如圖，

VZA=90°,AB=AC=8%,:.BC=^AB=16M，ZC=45°,

:點(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，:.AE=CE=4娓,

為等腰直角三角形，.?.￡"="=性也=4正，.?.2"=12?

V2

在中，

Rt^ABE5￡=^AB2+AE2=4730.

在RtZ\BEP中，'JEHLBF,：.BE2=BH'BF,

即BF==4。%'3,:.CF=BC-BF=1673-孤3=

1273333

故答案為⑻巨.

6.如圖，在矩形ABC。中，點(diǎn)E在邊AD上，把△ABE■沿直線BE翻折，得至lJ△G2E,BG

的延長線交CD于點(diǎn)F.F為CD的中點(diǎn)，連結(jié)CG,若點(diǎn)E,G,C在同一條直線上，F(xiàn)G

=1,則C。的長為2+2點(diǎn),cos/DEC的值為五-1.

解：；四邊形ABCD是矩形，

C.AB^CD,AD//BC,N2C￡)=NA=/￡>=90°,

/AEB=ZEBC,ZBCG=ZDEC,

由折疊的性質(zhì)得：BG=BA,NEGB=/A=90°,ZGEB=ZAEB,

*.CD=BG,

：.ZEBC=ZGEB,

：.BC=EC,

?.?點(diǎn)E,G,C在同一條直線上，

：.ZCGF=90°,ZCGB=180°-Z￡GB=90°,

?.?尸為CD的中點(diǎn),

：.CF=DF,

設(shè)CP=DB=尤，則BG=Cr>=2x,

/CFG=ZBFC,

:.△CFGsABFC,

?CF=FG

*'BFCF'

：.CF1=FG'BF,

即/=1X（1+2尤），

解得：尤=1+&或x=l-&（舍去），

:.CD=2x=2+2近,

'：ZDEC+ZECD=9Q°,ZGFC+ZECD=90°,

NDEC=ZGFC,

cosZDEC—cosZGFC==——^=-=^2_1>

CF1W2

故答案為：2+2我，V2-1.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=fct+l分別交無軸，y軸于點(diǎn)A,B,過點(diǎn)B作BC

XAB交x軸于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作交y軸于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作DELCD交x軸于點(diǎn)E,

過點(diǎn)E作EPLOE交y軸于點(diǎn)?已知點(diǎn)A恰好是線段EC的中點(diǎn)，那么線段跖的長

解：因?yàn)?8的解析式為尸爪+1,所以8點(diǎn)坐標(biāo)為（0,1）,A點(diǎn)坐標(biāo)為（-50），

由于圖象過一、二、三象限，故%>0,

又因?yàn)?C_LAB,BOLAC,

所以在RtZVIBC中，8。2=&。.。。，代入數(shù)值為：iCO=k,

k

同理，在RtZXBCD中，CO2=BO^DO,

代入數(shù)值為:必=『DO,。。=A2又因?yàn)锳恰好是線段EC的中點(diǎn)，所以2為尸。的中點(diǎn)，

OF=1+1+M,RtZifED中，

根據(jù)射影定理，EO2=DO'OF,即1+』+』）2=^<1+^+1）,

kk

整理得（人-&）（左+加）（/+2）（M+1）=0,解得左=企.

根據(jù)中位線定理，EF=2GB=2DC,女=J（加）2+（（a）2）2=a，EF=2^

8.如圖，在菱形ABC。中，過點(diǎn)。作。ELCO交對角線AC于點(diǎn)E,連接BE,點(diǎn)尸是線

段8E上一動(dòng)點(diǎn)，作P關(guān)于直線QE的對稱點(diǎn)P,點(diǎn)。是AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接P。，DQ.若

AE=14,CE=18,則。Q-PQ的最大值為—工曳2_.

3

解：如圖，連接8。交AC于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作。K_L3C于點(diǎn)K,延長0E交A8于點(diǎn)凡

連接EP并延長，延長線交A2于點(diǎn)J,作￡7關(guān)于AC的對稱線段E/,則點(diǎn)P的對

應(yīng)點(diǎn)尸"在線段EJ'上.

當(dāng)點(diǎn)P是定點(diǎn)時(shí)，DQ-QP'=DQ-QP",

當(dāng)DP",。共線時(shí)，QD-QP'的值最大，最大值是線段Z5P〃的長，

當(dāng)點(diǎn)尸與8重合時(shí)，點(diǎn)P"與/重合，此時(shí)的值最大，最大值是線段DT

的長，也就是線段即的長.

?..四邊形ABC。是菱形，

J.ACLBD,AO=OC,

VA￡=14.EC=18,

：.AC=32,AO=OC=16,

OE=AO-AE=16-14=2,

\'DE±CD,

：.ZDOE=ZEDC=90°,

ZDEO=ZDEC,

：.△EDOS^ECD,

:.D憚=EO?EC=36,

:.DE=EB=EJ=6,

=22

???CDVEC-DE=V182-62=12企>

O￡)=7DE2-0E2=V62-22=4^2-

:.BD=8如,

SADCB=LXOCXBD=LBC?DK,

22

16X872_32

：.DK=

12V2T

'：ZBER=ZDCK,

32

sin/BER=sinZDCK=^-=—^=

CD12V2

:.RB=BE乂至必=為必,

93

?:EJ=EB,ERLBJ,

:.JR=BR=^^,

3

:.JB=DJ'=16五,

3

：.DQ-P'Q的最大值為16泥.

3

解法二:DQ-P,Q=BQ-P'Q^BP',顯然P的軌跡EJ,故最大值為BJ.勾股得CD,OD.△

BDJsABAD,BD2=BJ*BA,可得BJ=16后..

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故答案為：里亞.

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9.在矩形ABC。中，點(diǎn)E為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AE.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí)，將AABE沿AE翻折，使點(diǎn)8恰好落在對角線BD上點(diǎn)F處,

AE交BD于點(diǎn)G.

①如圖1,若BC=?AB,求/AED的度數(shù)；

②如圖2,當(dāng)AB=4,且EP=EC時(shí)，求BC的長.

(2)在②所得矩形ABC。中，將矩形ABC。沿AE進(jìn)行翻折，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C,當(dāng)點(diǎn)

E,C,。三點(diǎn)共線時(shí)，求BE的長.

圖1圖2備用圖

解：（1）①：四邊形ABCD是矩形，：.AD=BC,ZBAD=90°,

,:BC=?AB,：.AD=MAB,，tanNAB￡）=果=E,Z.ZAB￡>=60°,

由折疊的性質(zhì)得：AF=AB,.?.△48尸是等邊三角形，，/4尸8=60°,

AZAFD=180°-ZAFB=120°；

②由折疊的性質(zhì)得：BF±AE,EF=EB,

；EF=EC,：.EF=EB=EC,：.BC=2BE,

:四邊形ABCD是矩形，AZABC=90°,AD=BC=2BE,AD//BC,

:.△ADGs^EBG,.?.迪=幽=2,：.AG=2EG,

EGBE

設(shè)EG=尤，則AG=2尤，：.AE=3x,

在AABE中，BG±AE,，AB2=AG?AE（射影定理），BP42=2x?3x,

解得：x=2展（負(fù)值己舍去），，AE=3x=2五,

22=22

^=VAE-ABV（2V6）-4=2a,,BC=2BE=4如,

即BC的長為4衣；

（2）當(dāng)點(diǎn)E,C,。三點(diǎn)共線時(shí)，如圖3,

由②可知，BC=4&,

:四邊形ABCD是矩形，

ZABC=ZBCD=90°,AD=BC=4?CD=AB=4,AD//BC,

：.ZDCE=9Q°,NCED=/B'DA,

由折疊的性質(zhì)得：AB'=AB=4,ZB'=ZABC=90°,

:.NDCE=/B',DC^AB',：./\CDE^/\B'AD（A4S）,

22

?，-DE=AD=4^2，：.CE=A/DE-CD=V（4V2）2-42=4,

:.BE=BC+CE=4如+4.

B'

B

E

圖3

10.如圖，已知。。的半徑為2,A8為直徑，CD為弦,A2與CD交于點(diǎn)M,將弧C￡)沿

著C。翻折后，點(diǎn)A與圓心。重合，延長。4至P,使AP=O4,連接尸C.

(1)求證：PC是的切線；

(2)點(diǎn)G為弧AD8的中點(diǎn)，在PC延長線上有一動(dòng)點(diǎn)。，連接QG交A8于點(diǎn)E,交弧

BC于點(diǎn)與8、C不重合).問GE?GF是否為定值？如果是，求出該定值；如果不

是，請說明理由.

解：⑴\'PA=OA=2,AM=OM=\,CM=M，

又:/01/尸=/0加。=90°,

22

；?PC=VMC+PM-2^3，

"：OC=2,PO=4,

：.PC2+OC2^PO2,

：.ZPCO=90°,

...PC與o。相切；

(2)GE?Gf"為定值，理由如下：如圖2,

連接G4、AF.GB,

;點(diǎn)G為弧AOB的中點(diǎn),

AC=GB,

：.ZBAG=ZAFG,

/AGE=/FGA,

：.AAGE^AFGA,

?.?AG-FG-,

GEAG

J.GE-GF^AG2,

為直徑，A2=4,

：.ZBAG=ZABG=45°,

:.AG=2?

：.GE-GF=AG2=8.

11.如圖1,在正方形ABC。中，點(diǎn)E是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E與點(diǎn)A,B不重合)，連

接CE,過點(diǎn)8作BfUCE于點(diǎn)G,交A。于點(diǎn)尺

(1)求證：AABF當(dāng)LBCE；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到A3中點(diǎn)時(shí)，連接DG,求證：DC=DG；

(3)如圖3,在(2)的條件下，過點(diǎn)C作CMLOG于點(diǎn)分別交ADBF于點(diǎn)M,

N,求螞的值.

NH

(1)證明：'.'BF1.CE,

：.ZCGB^90°,

：.ZGCB+ZCBG=9Q,

:四邊形ABC。是正方形，

:./CBE=90°=ZA,BC=AB,

：.ZFBA+ZCBG^90,

：.ZGCB=ZFBA,

:AABF^二BCE(ASA)；

(2)證明：如圖2,過點(diǎn)。作。于H,

設(shè)AB=CD=BC=2a,

?點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

：.EA^EB^—AB^a,

2

.'.CE=yf5a,

在RtzXC班中，根據(jù)面積相等，得BG，CE=CB，EB,

；.BG=^^-a,

5

CG=VCB2-BG2=邛口’

D

*：ZDCE+ZBCE=90°,/CBF+NBCE=9U°,

:?/DCE=NCBF,

?:CD=BC,ZCHD=ZCGB=90°,

:?△CHD/ABGC(A4S),

：.CH=BG=^^-a,

5

/.GH=CG-CH=當(dāng)3=CH,

5

,: