湖北省“荊、荊、襄、宜四地七??荚嚶?lián)盟”2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

湖北省“荊、荊、襄、宜四地七??荚嚶?lián)盟”2025屆高三六校第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線,例如:四葉草曲線就是其中一種,其方程為.給出下列四個結(jié)論:①曲線有四條對稱軸;②曲線上的點到原點的最大距離為;③曲線第一象限上任意一點作兩坐標(biāo)軸的垂線與兩坐標(biāo)軸圍成的矩形面積最大值為;④四葉草面積小于.其中,所有正確結(jié)論的序號是()A.①② B.①③ C.①③④ D.①②④2.已知水平放置的△ABC是按“斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖,其中B′O′=C′O′=1,A′O′=,那么原△ABC的面積是()A. B.2C. D.3.已知集合,集合,則()A. B. C. D.4.某人用隨機模擬的方法估計無理數(shù)的值,做法如下:首先在平面直角坐標(biāo)系中,過點作軸的垂線與曲線相交于點,過作軸的垂線與軸相交于點(如圖),然后向矩形內(nèi)投入粒豆子,并統(tǒng)計出這些豆子在曲線上方的有粒,則無理數(shù)的估計值是()A. B. C. D.5.在正方體中,,分別為,的中點,則異面直線,所成角的余弦值為()A. B. C. D.6.已知,,,則()A. B.C. D.7.已知雙曲線,為坐標(biāo)原點,、為其左、右焦點,點在的漸近線上,,且,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.8.直角坐標(biāo)系中,雙曲線()與拋物線相交于、兩點,若△是等邊三角形,則該雙曲線的離心率()A. B. C. D.9.已知角的終邊經(jīng)過點P(),則sin()=A. B. C. D.10.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(0,+∞)單調(diào)遞減,則()A. B.C. D.11.已知為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),,則A. B.C. D.12.設(shè),是空間兩條不同的直線,,是空間兩個不同的平面,給出下列四個命題:①若,,,則;②若,,,則;③若,,,則;④若,,,,則.其中正確的是()A.①② B.②③ C.②④ D.③④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知實數(shù),且由的最大值是_________14.3張獎券分別標(biāo)有特等獎、一等獎和二等獎.甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,兩人都未抽得特等獎的概率是__________.15.若雙曲線的兩條漸近線斜率分別為,,若,則該雙曲線的離心率為________.16.已知一個四面體的每個頂點都在表面積為的球的表面上,且,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖,是矩形,的頂點在邊上,點,分別是,上的動點(的長度滿足需求).設(shè),,,且滿足.(1)求;(2)若,,求的最大值.18.(12分)如圖,焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點,中心都在坐標(biāo)原點,且橢圓與的離心率均為.(Ⅰ)求橢圓與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(Ⅱ)過點M的互相垂直的兩直線分別與,交于點A,B(點A、B不同于點M),當(dāng)?shù)拿娣e取最大值時,求兩直線MA,MB斜率的比值.19.(12分)已知拋物線的準(zhǔn)線過橢圓C:(a>b>0)的左焦點F,且點F到直線l:(c為橢圓焦距的一半)的距離為4.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過點F做直線與橢圓C交于A,B兩點,P是AB的中點,線段AB的中垂線交直線l于點Q.若,求直線AB的方程.20.(12分)的內(nèi)角的對邊分別為,且.(1)求;(2)若,點為邊的中點,且,求的面積.21.(12分)已知函數(shù).(1)解不等式:;(2)求證:.22.(10分)在角中,角A、B、C的對邊分別是a、b、c,若.(1)求角A;(2)若的面積為,求的周長.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

①利用之間的代換判斷出對稱軸的條數(shù);②利用基本不等式求解出到原點的距離最大值;③將面積轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式,然后根據(jù)基本不等式求解出最大值;④根據(jù)滿足的不等式判斷出四葉草與對應(yīng)圓的關(guān)系,從而判斷出面積是否小于.【詳解】①:當(dāng)變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;當(dāng)變?yōu)闀r,不變,所以四葉草圖象關(guān)于軸對稱;綜上可知:有四條對稱軸,故正確;②:因為,所以,所以,所以,取等號時,所以最大距離為,故錯誤;③:設(shè)任意一點,所以圍成的矩形面積為,因為,所以,所以,取等號時,所以圍成矩形面積的最大值為,故正確;④:由②可知,所以四葉草包含在圓的內(nèi)部,因為圓的面積為:,所以四葉草的面積小于,故正確.故選:C.【點睛】本題考查曲線與方程的綜合運用,其中涉及到曲線的對稱性分析以及基本不等式的運用,難度較難.分析方程所表示曲線的對稱性,可通過替換方程中去分析證明.2、A【解析】

先根據(jù)已知求出原△ABC的高為AO=,再求原△ABC的面積.【詳解】由題圖可知原△ABC的高為AO=,∴S△ABC=×BC×OA=×2×=,故答案為A【點睛】本題主要考查斜二測畫法的定義和三角形面積的計算,意在考察學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.3、C【解析】

求出集合的等價條件,利用交集的定義進行求解即可.【詳解】解:∵,,∴,故選:C.【點睛】本題主要考查了對數(shù)的定義域與指數(shù)不等式的求解以及集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

利用定積分計算出矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積,進而利用幾何概型的概率公式得出關(guān)于的等式,解出的表達式即可.【詳解】在函數(shù)的解析式中,令,可得,則點,直線的方程為,矩形中位于曲線上方區(qū)域的面積為,矩形的面積為,由幾何概型的概率公式得,所以,.故選:D.【點睛】本題考查利用隨機模擬的思想估算的值,考查了幾何概型概率公式的應(yīng)用,同時也考查了利用定積分計算平面區(qū)域的面積,考查計算能力,屬于中等題.5、D【解析】

連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設(shè)正方體的棱長為2,取的中點為,連接,在等腰中,求出,在利用二倍角公式,求出,即可得出答案.【詳解】連接,,因為,所以為異面直線與所成的角(或補角),不妨設(shè)正方體的棱長為2,則,,在等腰中,取的中點為,連接,則,,所以,即:,所以異面直線,所成角的余弦值為.故選:D.【點睛】本題考查空間異面直線的夾角余弦值,利用了正方體的性質(zhì)和二倍角公式,還考查空間思維和計算能力.6、C【解析】

利用二倍角公式,和同角三角函數(shù)的商數(shù)關(guān)系式,化簡可得,即可求得結(jié)果.【詳解】,所以,即.故選:C.【點睛】本題考查三角恒等變換中二倍角公式的應(yīng)用和弦化切化簡三角函數(shù),難度較易.7、D【解析】

根據(jù),先確定出的長度,然后利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式,化簡后可得到的值,即可求漸近線方程.【詳解】如圖所示:因為,所以,又因為,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以漸近線方程為.故選:D.【點睛】本題考查根據(jù)雙曲線中的長度關(guān)系求解漸近線方程,難度一般.注意雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛軸長度的一半.8、D【解析】

根據(jù)題干得到點A坐標(biāo)為,代入拋物線得到坐標(biāo)為,再將點代入雙曲線得到離心率.【詳解】因為三角形OAB是等邊三角形,設(shè)直線OA為,設(shè)點A坐標(biāo)為,代入拋物線得到x=2b,故點A的坐標(biāo)為,代入雙曲線得到故答案為:D.【點睛】求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍),常見有兩種方法:①求出,代入公式;②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于的齊次式,結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式,然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式),解方程(不等式)即可得(的取值范圍).9、A【解析】

由題意可得三角函數(shù)的定義可知:,,則:本題選擇A選項.10、D【解析】

利用是偶函數(shù)化簡,結(jié)合在區(qū)間上的單調(diào)性,比較出三者的大小關(guān)系.【詳解】是偶函數(shù),,而,因為在上遞減,,即.故選:D【點睛】本小題主要考查利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性比較大小,屬于基礎(chǔ)題.11、B【解析】

由可得,所以,故選B.12、C【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關(guān)定理逐一判斷即可.【詳解】解:①:、也可能相交或異面,故①錯②:因為,,所以或,因為,所以,故②對③:或,故③錯④:如圖因為,,在內(nèi)過點作直線的垂線,則直線,又因為,設(shè)經(jīng)過和相交的平面與交于直線,則又,所以因為,,所以,所以,故④對.故選:C【點睛】考查線面平行或垂直的判斷,基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

將其轉(zhuǎn)化為幾何意義,然后根據(jù)最值的條件求出最大值【詳解】由化簡得,又實數(shù),圖形為圓,如圖:,可得,則由幾何意義得,則,為求最大值則當(dāng)過點或點時取最小值,可得所以的最大值是【點睛】本題考查了二元最值問題,將其轉(zhuǎn)化為幾何意義,得到圓的方程及斜率問題,對要求的二元二次表達式進行化簡,然后求出最值問題,本題有一定難度。14、【解析】

利用排列組合公式進行計算,再利用古典概型公式求出不是特等獎的兩張的概率即可.【詳解】解:3張獎券分別標(biāo)有特等獎、一等獎和二等獎,甲、乙兩人同時各抽取1張獎券,則兩人同時抽取兩張共有:種排法排除特等獎外兩人選兩張共有:種排法.故兩人都未抽得特等獎的概率是:故答案為:【點睛】本題主要考查古典概型的概率公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題.15、2【解析】

由題得,再根據(jù)求解即可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線為,可令,,則,所以,解得.故答案為:2.【點睛】本題考查雙曲線漸近線求離心率的問題.屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】由題意可得,該四面體的四個頂點位于一個長方體的四個頂點上,設(shè)長方體的長寬高為,由題意可得:,據(jù)此可得:,則球的表面積:,結(jié)合解得:.點睛:與球有關(guān)的組合體問題,一種是內(nèi)切,一種是外接.解題時要認真分析圖形,明確切點和接點的位置,確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系,并作出合適的截面圖,如球內(nèi)切于正方體,切點為正方體各個面的中心,正方體的棱長等于球的直徑;球外接于正方體,正方體的頂點均在球面上,正方體的體對角線長等于球的直徑.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)(2)【解析】

(1)利用正弦定理和余弦定理化簡,根據(jù)勾股定理逆定理求得.(2)設(shè),由此求得的表達式,利用三角函數(shù)最值的求法,求得的最大值.【詳解】(1)設(shè),,,由,根據(jù)正弦定理和余弦定理得.化簡整理得.由勾股定理逆定理得.(2)設(shè),,由(1)的結(jié)論知.在中,,由,所以.在中,,由,所以.所以,由,所以當(dāng),即時,取得最大值,且最大值為.【點睛】本小題考查正弦定理,余弦定理,勾股定理,解三角形,三角函數(shù)性質(zhì)及其三角恒等變換等基礎(chǔ)知識;考查運算求解能力,推理論證能力,化歸與轉(zhuǎn)換思想,應(yīng)用意識.18、(1),(2)【解析】分析:(1)根據(jù)題的條件,得到對應(yīng)的橢圓的上頂點,即可以求得橢圓中相應(yīng)的參數(shù),結(jié)合橢圓的離心率的大小,求得相應(yīng)的參數(shù),從而求得橢圓的方程;(2)設(shè)出一條直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,消元,利用求根公式求得對應(yīng)點的坐標(biāo),進一步求得向量的坐標(biāo),將S表示為關(guān)于k的函數(shù)關(guān)系,從眼角函數(shù)的角度去求最值,從而求得結(jié)果.詳解:(Ⅰ)依題意得對:,,得:;同理:.(Ⅱ)設(shè)直線的斜率分別為,則MA:,與橢圓方程聯(lián)立得:,得,得,,所以同理可得.所以,從而可以求得因為,所以,不妨設(shè),所以當(dāng)最大時,,此時兩直線MA,MB斜率的比值.點睛:該題考查的是有關(guān)橢圓與直線的綜合題,在解題的過程中,注意橢圓的對稱性,以及其特殊性,與y軸的交點即為橢圓的上頂點,結(jié)合橢圓焦點所在軸,得到相應(yīng)的參數(shù)的值,再者就是應(yīng)用離心率的大小找參數(shù)之間的關(guān)系,在研究直線與橢圓相交的問題時,首先設(shè)出直線的方程,與橢圓的方程聯(lián)立,求得結(jié)果,注意從函數(shù)的角度研究問題.19、(1);(2)或.【解析】

(1)由拋物線的準(zhǔn)線方程求出的值,確定左焦點坐標(biāo),再由點F到直線l:的距離為4,求出即可;(2)設(shè)直線方程,與橢圓方程聯(lián)立,運用根與系數(shù)關(guān)系和弦長公式,以及兩直線垂直的條件和中點坐標(biāo)公式,即可得到所求直線的方程.【詳解】(1)拋物線的準(zhǔn)線方程為,,直線,點F到直線l的距離為,,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;(2)依題意斜率不為0,又過點,設(shè)方程為,聯(lián)立,消去得,,,設(shè),,,,線段AB的中垂線交直線l于點Q,所以橫坐標(biāo)為3,,,,平方整理得,解得或(舍去),,所求的直線方程為或.【點睛】本題考查橢圓的方程以及直線與橢圓的位置關(guān)系,要熟練應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系、相交弦長公式,合理運用兩點間的距離公式,考查計算求解能力,屬于中檔題.20、(1);(2).【解析】

(1)利用正弦定理邊化角,再利用余弦定理求解即可.(2)為為的中線,所以再平方后利用向量的數(shù)量積公式進行求解,再代入可解得,再代入面積公式求解即可.【詳解】(1)由,可得,由余弦定理可得,故.(2)因為為的中線,所以,兩邊同時平方可得,故.因為,所以.所以的面積.【點睛】本題主要考查了利用正余弦定理與面積公式求解三角形的問題,同時也考查了向量在解三角形中的運用,屬于中檔題.21、

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