山西省晉中市2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題

晉中市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．全卷共8頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷相應(yīng)的位置．3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1.計(jì)算：的結(jié)果是（）A. B. C.3 D.72.如圖是某校運(yùn)動(dòng)會(huì)領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的示意圖，則此領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的左視圖是（）A. B.C. D.3.《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿，從木桿的頂端觀察井水水岸，視線與井口的直徑交于點(diǎn)，通過測(cè)量，，的長(zhǎng)度，可以推算出水面以上部分的高度，這種測(cè)量原理，就是我們所學(xué)的（）A.圖形的平移 B.圖形的旋轉(zhuǎn) C.圖形的軸對(duì)稱 D.圖形的相似4.如圖，與位似，點(diǎn)是它們的位似中心，且相似比為，若，則的長(zhǎng)為（）A.3 B.4 C.6 D.85.用配方法解一元二次方程的過程中，配方正確的是（）A. B.C. D.6.如圖，已知直線，直線，與直線，，分別相交于點(diǎn)，，，，，，且，，，則的長(zhǎng)為（）A6 B. C. D.7.小明珍藏了四枚由國(guó)家郵政局發(fā)行的《京劇生角》特種郵票，上面分別繪有《將相和》中的藺相如、《四進(jìn)士》中的宋士杰、《群英會(huì)》中的周瑜、《白蛇傳》中的許仙，這些郵票除圖案外，質(zhì)地、規(guī)格完全相同．元旦之際，他想把心愛的郵票送給好朋友小亮兩枚，于是將這些郵票背面朝上，讓小亮隨機(jī)抽取，小亮抽到的郵票正好是“藺相如”和“周瑜”的概率是（）A. B. C. D.8.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，導(dǎo)體中的電流I，與導(dǎo)體的電阻R、導(dǎo)體兩端的電壓U之間滿足關(guān)系式．當(dāng)U一定時(shí)，根據(jù)下表可以判斷a和b的大小關(guān)系為（）204060801001208■■■A. B. C. D.9.如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若，，則與之間的距離為（）A.6 B. C. D.410.如圖是某公園在一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形湖面上修建的等寬的人行觀景曲橋，它的面積恰好為原矩形湖面面積的，求人行觀景曲橋的寬．若設(shè)人行觀景曲橋的寬度為，則可列方程（）A. B.C. D.第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11.廣場(chǎng)上一個(gè)大型藝術(shù)字版塊在地上的投影如圖所示，則該投影屬于_____．（填寫“平行投影”或“中心投影”）12.小明和妹妹為家人制作親子T恤，主要的圖案是在一個(gè)矩形基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，每件T恤上的矩形都是相似的．妹妹T恤上矩形的面積為，媽媽T恤上矩形的長(zhǎng)是妹妹T恤上矩形長(zhǎng)的2倍，則媽媽T恤上矩形的面積為_____________．13.小薇為了了解自家草莓質(zhì)量，隨機(jī)從種植園中抽取適量草莓進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)在多次重復(fù)的抽取檢測(cè)中，“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在，小薇家今年的草莓總產(chǎn)量約為，由此估計(jì)小薇家今年的“優(yōu)質(zhì)草莓”產(chǎn)量約為______．14.如圖，反比例函數(shù)圖象正好經(jīng)過的三等分點(diǎn)，若軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，則的面積為_____________．

15.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為_____________．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.解方程：（1）；（2）17.近年來，我省總工會(huì)不斷加強(qiáng)“愛心驛站”服務(wù)陣地，在全省廣泛創(chuàng)建“愛心驛站”，解決戶外勞動(dòng)者喝水難、熱飯難、歇腳難等急難愁盼問題．為了解戶外勞動(dòng)者對(duì)“愛心驛站”的滿意程度，某課外小組隨機(jī)對(duì)若干名戶外勞動(dòng)者進(jìn)行了問卷調(diào)查，所有問卷全部收回，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下統(tǒng)計(jì)圖（不完整）．（1）參加此次問卷調(diào)查的戶外勞動(dòng)者共____________人；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并直接寫出扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“非常滿意”的扇形圓心角的度數(shù)為____________°；（3）在朝陽(yáng)街有三個(gè)愛心驛站，分別是“1號(hào)驛站”、“2號(hào)驛站”、“3號(hào)驛站”，該課外小組的兩名成員小亮和小穎計(jì)劃分別從這三個(gè)“愛心驛站”中隨機(jī)選擇其中一家驛站進(jìn)行體驗(yàn)，請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法求小亮和小穎恰好選擇同一家驛站的概率．18.課本在線我們知道，矩形的四個(gè)角都是直角．反過來，一個(gè)四邊形至少有幾個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形就是矩形呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并與同伴交流．定理有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．定理證明為了證明該定理，小麗同學(xué)畫出了圖形（如圖），寫出了“已知”，請(qǐng)你補(bǔ)出“求證”的內(nèi)容，并根據(jù)她的思路補(bǔ)全證明過程．已知：如圖，四邊形中，．求證：__________________．證明：，_______________°（______________），又，______________．．四邊形是平行四邊形（______________）．又，是矩形（______________）．19.2023年全國(guó)教育工作會(huì)議之后，某校為了更好地落實(shí)“要把開展讀書活動(dòng)作為一件大事來抓，引導(dǎo)學(xué)生愛讀書、讀好書、善讀書”這一會(huì)議要求，對(duì)學(xué)生閱讀量進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生閱讀量低，9月份校圖書館借閱人次僅為1500．針對(duì)此現(xiàn)狀，學(xué)校積極充實(shí)學(xué)生讀物，向師生全天開放圖書館，舉行“書香校園”讀書活動(dòng)，這些舉措營(yíng)造了良好的讀書氛圍，大大調(diào)動(dòng)了師生讀書熱情，11月份校圖書館借閱人次達(dá)到了2160．請(qǐng)你求出這兩個(gè)月該校圖書館借閱人次的月平均增長(zhǎng)率．20.小明下學(xué)途中遇到一棵大樹，于是他想利用現(xiàn)有長(zhǎng)度為的小尺測(cè)量這棵樹的高度．如圖，小明筆直站立，把手臂水平向前伸直，將小尺豎直舉起，瞄準(zhǔn)小尺的兩端，，然后不斷調(diào)整站立的位置，在點(diǎn)處時(shí)恰好能看到該大樹的頂端和底部．（圖中所有點(diǎn)均在同一平面，點(diǎn)，，在同一條直線上．）經(jīng)測(cè)量，小明的手臂長(zhǎng)，點(diǎn)到樹底端的距離，求大樹的高度．21.為提高學(xué)生的勞動(dòng)技能和實(shí)踐水平，某學(xué)校經(jīng)過多方努力，準(zhǔn)備用柵欄圍建一塊的勞動(dòng)實(shí)踐基地，并向全校發(fā)布了基地設(shè)計(jì)方案征集公告．為此，九年級(jí)（1）班開展了“我為創(chuàng)建勞動(dòng)實(shí)踐基地建言獻(xiàn)策”的項(xiàng)目化學(xué)習(xí)．在進(jìn)行“任務(wù)一：規(guī)劃實(shí)踐基地形狀”時(shí)，“智慧小組”欲將基地設(shè)計(jì)為矩形，以便分割區(qū)域進(jìn)行種植．這樣的設(shè)計(jì)合理嗎？也就是，是否存在滿足學(xué)校所給條件的矩形呢？該小組的同學(xué)們積極思索，想到了如下解決方法：【問題解決】慧慧的思路是：利用一元二次方程解決．假設(shè)存在這樣的矩形，設(shè)矩形的其中一條邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意，可得到一個(gè)一元二次方程，通過判斷方程是否有解即可確定是否存在這樣的矩形．敏敏的思路是：利用函數(shù)圖象解決．假設(shè)存在這樣的矩形，設(shè)矩形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為，，可得，，滿足要求的可以看作是反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)．于是，可以通過看函數(shù)圖象中是否有這樣的交點(diǎn)確定矩形的存在性．（1）請(qǐng)你分別按照以上兩位同學(xué)的思路解決問題：是否存在滿足學(xué)校所給條件的矩形？（2）在解決問題（1）的過程中，你獲得什么啟示？（寫出一點(diǎn)即可）22.綜合與實(shí)踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給同學(xué)們提供了一個(gè)矩形（如圖1），其中，連接對(duì)角線，且，要求各小組以圖形的旋轉(zhuǎn)為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．以下是部分小組的探究過程，請(qǐng)你參與活動(dòng)并解答所提出的問題：猜想證明：（1）如圖2，“奮勇”小組將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)落到對(duì)角線上時(shí)，與交于點(diǎn)．試猜想線段與數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）“勤學(xué)”小組在“奮勇”小組的基礎(chǔ)上，取的中點(diǎn)，連接，，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；深入探究：（3）在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，請(qǐng)你思考此問題，直接寫出答案．23.綜合與探究如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）點(diǎn)是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)線段與之和最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）過點(diǎn)作直線軸，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，若點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是平面直角系內(nèi)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，試判斷是否存在這樣的點(diǎn)，使得以點(diǎn)，，，為頂點(diǎn)的四邊形是菱形．若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

晉中市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平質(zhì)量監(jiān)測(cè)九年級(jí)數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．本試卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷兩部分．全卷共8頁(yè)，滿分120分，考試時(shí)間120分鐘．2．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在本試卷相應(yīng)的位置．3．答案全部在答題卡上完成，答在本試卷上無效．4．考試結(jié)束后，本試卷和答題卡一并交回．第Ⅰ卷選擇題（共30分）一、選擇題（本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)選出并在答題卡上將該項(xiàng)涂黑）1.計(jì)算：的結(jié)果是（）A. B. C.3 D.7【答案】C【解析】【分析】利用有理數(shù)的加法法則求解即可．【詳解】解：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的加法，掌握有理數(shù)的加法法則是解題的關(guān)鍵．2.如圖是某校運(yùn)動(dòng)會(huì)領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的示意圖，則此領(lǐng)獎(jiǎng)臺(tái)的左視圖是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查幾何圖形的三視圖，熟練掌握三視圖是解題的關(guān)鍵．根據(jù)左視圖進(jìn)行觀察即可得到答案．【詳解】解：從左邊觀察領(lǐng)獎(jiǎng)圖，得到的左視圖是故選C．3.《九章算術(shù)》中記載了一種測(cè)量古井水面以上部分深度的方法．如圖所示，在井口A處立一根垂直于井口的木桿，從木桿的頂端觀察井水水岸，視線與井口的直徑交于點(diǎn)，通過測(cè)量，，的長(zhǎng)度，可以推算出水面以上部分的高度，這種測(cè)量原理，就是我們所學(xué)的（）A.圖形的平移 B.圖形的旋轉(zhuǎn) C.圖形的軸對(duì)稱 D.圖形的相似【答案】D【解析】【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)，熟知相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的基礎(chǔ)；善于從實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)問題、解決問題是關(guān)鍵．【詳解】解：，∴，，，，∴根據(jù)測(cè)量，，的長(zhǎng)度可以求出的長(zhǎng)度，∴這種測(cè)量原理利用的是圖形的相似．故選：D．4.如圖，與位似，點(diǎn)是它們位似中心，且相似比為，若，則的長(zhǎng)為（）A.3 B.4 C.6 D.8【答案】B【解析】【分析】本題考查位似圖形，掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：與位似，點(diǎn)是它們的位似中心，且相似比為，，．故選：B．5.用配方法解一元二次方程的過程中，配方正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】本題考查了解一元二次方程，解題關(guān)鍵是利用配方法求解．【詳解】解：，，，，故選B．6.如圖，已知直線，直線，與直線，，分別相交于點(diǎn)，，，，，，且，，，則的長(zhǎng)為（）A.6 B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比列式解答即可．【詳解】解：∵，∴，∵，，，∴，解得，，故選：C．7.小明珍藏了四枚由國(guó)家郵政局發(fā)行的《京劇生角》特種郵票，上面分別繪有《將相和》中的藺相如、《四進(jìn)士》中的宋士杰、《群英會(huì)》中的周瑜、《白蛇傳》中的許仙，這些郵票除圖案外，質(zhì)地、規(guī)格完全相同．元旦之際，他想把心愛的郵票送給好朋友小亮兩枚，于是將這些郵票背面朝上，讓小亮隨機(jī)抽取，小亮抽到的郵票正好是“藺相如”和“周瑜”的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查列表法和樹狀圖求概率，熟練掌握列表法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)列表法把所有情況列舉出來即可．【詳解】解：

藺相如宋士杰周瑜許仙藺相如

宋士杰和藺相如周瑜和藺相如許仙和藺相如宋士杰藺相如和宋士杰

周瑜和宋士杰許仙和宋士杰周瑜藺相如和周瑜宋士杰和周瑜

許仙和周瑜許仙藺相如和許仙宋士杰和許仙周瑜和許仙

一共有種情況，符合條件的是兩種，故．故選A．8.根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，導(dǎo)體中的電流I，與導(dǎo)體的電阻R、導(dǎo)體兩端的電壓U之間滿足關(guān)系式．當(dāng)U一定時(shí)，根據(jù)下表可以判斷a和b的大小關(guān)系為（）204060801001208■■■A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)的應(yīng)用，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：當(dāng)U一定時(shí)，導(dǎo)體中的電流I與導(dǎo)體的電阻R成反比，即是反比例函數(shù)，∵，∴I隨R的增大而減小，由表格可知，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，故選：A．9.如圖，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，若，，則與之間的距離為（）A.6 B. C. D.4【答案】B【解析】【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理．先利用菱形的性質(zhì)及勾股定理求得菱形的邊長(zhǎng)，再利用面積法求解即可．【詳解】解：設(shè)與之間的距離為，在菱形中，對(duì)角線與相交于點(diǎn)，∴，，，∴，∵，∴，故選：B．10.如圖是某公園在一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形湖面上修建的等寬的人行觀景曲橋，它的面積恰好為原矩形湖面面積的，求人行觀景曲橋的寬．若設(shè)人行觀景曲橋的寬度為，則可列方程（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題主要考查了從實(shí)際問題中抽象出一元二次方程，平移的性質(zhì)，根據(jù)平移的性質(zhì)可得除去橋的面積后，湖的面積正好是一個(gè)長(zhǎng)為，寬為的矩形，據(jù)此列出方程即可．【詳解】解：設(shè)人行觀景曲橋的寬度為，由題意得，，故選：C．第Ⅱ卷非選擇題（共90分）二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題3分，共15分）11.廣場(chǎng)上一個(gè)大型藝術(shù)字版塊在地上的投影如圖所示，則該投影屬于_____．（填寫“平行投影”或“中心投影”）【答案】中心投影【解析】【分析】找出光源即可得出結(jié)果.【詳解】如圖可知，該投影屬于中心投影.故答案為中心投影【點(diǎn)睛】平行投影與中心投影之間的區(qū)別是平行投影的投影線互相平行，而中心投影的投影線交于一點(diǎn)．主要從形成投影的光線來比較兩者的區(qū)別．12.小明和妹妹為家人制作親子T恤，主要的圖案是在一個(gè)矩形基礎(chǔ)上設(shè)計(jì)的，每件T恤上的矩形都是相似的．妹妹T恤上矩形的面積為，媽媽T恤上矩形的長(zhǎng)是妹妹T恤上矩形長(zhǎng)的2倍，則媽媽T恤上矩形的面積為_____________．【答案】200【解析】【分析】本題考查了相似多邊形的性質(zhì)，根據(jù)題意可知多邊形的相似比為1:2，則面積比為1:4，據(jù)此解題即可．【詳解】解：由已知，每件T恤上的矩形都是相似的，媽媽T恤上矩形的長(zhǎng)是妹妹T恤上矩形長(zhǎng)的2倍，∴媽媽T恤上矩形與妹妹T恤上矩形的相似比為，∴媽媽T恤上矩形與妹妹T恤上矩形的面積比為，∵妹妹T恤上矩形的面積為，∴媽媽T恤上矩形的面積為，故答案為：200．13.小薇為了了解自家草莓的質(zhì)量，隨機(jī)從種植園中抽取適量草莓進(jìn)行檢測(cè)，發(fā)現(xiàn)在多次重復(fù)的抽取檢測(cè)中，“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在，小薇家今年的草莓總產(chǎn)量約為，由此估計(jì)小薇家今年的“優(yōu)質(zhì)草莓”產(chǎn)量約為______．【答案】1600【解析】【分析】本題考查了用頻率估計(jì)概率，根據(jù)實(shí)驗(yàn)得出的頻率進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：因?yàn)槎啻沃貜?fù)的抽取檢測(cè)中，“優(yōu)質(zhì)草莓”出現(xiàn)的頻率逐漸穩(wěn)定在，估計(jì)小薇家今年的“優(yōu)質(zhì)草莓”產(chǎn)量約為，故答案為：1600．14.如圖，反比例函數(shù)的圖象正好經(jīng)過的三等分點(diǎn)，若軸于點(diǎn)，點(diǎn)是軸上的一點(diǎn)，則的面積為_____________．

【答案】####【解析】【分析】本題主要考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義．連接，根據(jù)反比例函數(shù)比例系數(shù)的幾何意義可得，再根據(jù)軸，可得，即可求解．【詳解】解：如圖，連接，

∵反比例函數(shù)的圖象正好經(jīng)過點(diǎn)，軸，∴，∵軸，∴軸，∴，∵點(diǎn)B為的三等分點(diǎn)，∴．故答案為：15.如圖，正方形的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)是對(duì)角線上的一點(diǎn)，且，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為_____________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，則，由勾股定理得，，則，如圖，作于，于，則四邊形是矩形，設(shè)，則，由勾股定理得，證明，則，可求，則，由勾股定理得，，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵正方形的邊長(zhǎng)為4，，∴，，∴，由勾股定理得，，∵，∴，如圖，作于，于，則四邊形是矩形，∴，∵，∴，，∴，設(shè)，則，由勾股定理得，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，，∴，由勾股定理得，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握正方形的性質(zhì)，勾股定理，矩形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．三、解答題（本大題共8個(gè)小題，共75分．解答題應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.解方程：（1）；（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】本題主要考查了解一元二次方程：（1）利用公式法解一元二次方程即可求解；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可求解．【小問1詳解】解：∵，，．∴，，，．【小問2詳解】解：，，．，或．，．17.近年來，我省總工會(huì)不斷加強(qiáng)“愛心驛站”服務(wù)陣地，在全省廣泛創(chuàng)建“愛心驛站”，解決戶外勞動(dòng)者喝水難、熱飯難、歇腳難等急難愁盼問題．為了解戶外勞動(dòng)者對(duì)“愛心驛站”的滿意程度，某課外小組隨機(jī)對(duì)若干名戶外勞動(dòng)者進(jìn)行了問卷調(diào)查，所有問卷全部收回，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了如下統(tǒng)計(jì)圖（不完整）．（1）參加此次問卷調(diào)查的戶外勞動(dòng)者共____________人；（2）補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖，并直接寫出扇形統(tǒng)計(jì)圖中表示“非常滿意”的扇形圓心角的度數(shù)為____________°；（3）在朝陽(yáng)街有三個(gè)愛心驛站，分別是“1號(hào)驛站”、“2號(hào)驛站”、“3號(hào)驛站”，該課外小組的兩名成員小亮和小穎計(jì)劃分別從這三個(gè)“愛心驛站”中隨機(jī)選擇其中一家驛站進(jìn)行體驗(yàn)，請(qǐng)你用畫樹狀圖或列表的方法求小亮和小穎恰好選擇同一家驛站的概率．【答案】（1）120（2）見解析，126（3），見解析【解析】【分析】本題主要考查條形統(tǒng)計(jì)圖和扇形統(tǒng)計(jì)圖結(jié)合，準(zhǔn)確找到圖表中的信息是解題的關(guān)鍵．（1）用比較滿意的人數(shù)除以所占比例即可求出答案；（2）求出滿意的人數(shù)，根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖求出度數(shù)即可；（3）根據(jù)樹狀圖或列表法求出概率．【小問1詳解】解：（人）；【小問2詳解】解：滿意的人數(shù)：（人），，“非常滿意”的扇形圓心角的度數(shù)為；【小問3詳解】解：一共有九種情況，符合條件的有種情況，故．小亮小紅18.課本在線我們知道，矩形四個(gè)角都是直角．反過來，一個(gè)四邊形至少有幾個(gè)角是直角時(shí)，這個(gè)四邊形就是矩形呢？請(qǐng)證明你的結(jié)論，并與同伴交流．定理有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形．定理證明為了證明該定理，小麗同學(xué)畫出了圖形（如圖），寫出了“已知”，請(qǐng)你補(bǔ)出“求證”的內(nèi)容，并根據(jù)她的思路補(bǔ)全證明過程．已知：如圖，四邊形中，．求證：__________________．證明：，_______________°（______________），又，______________．．四邊形是平行四邊形（______________）．又，是矩形（______________）．【答案】四邊形是矩形；180；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形【解析】【分析】本題考查了平行線的判定，平行四邊形的定義，矩形的定義等知識(shí)，先證明，，得到四邊形是平行四邊形，再根據(jù)矩形的定義即可證明．【詳解】證明：，（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）．又，．．四邊形是平行四邊形（兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形）．又，是矩形（有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形）．故答案為：四邊形是矩形；180；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；；兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形19.2023年全國(guó)教育工作會(huì)議之后，某校為了更好地落實(shí)“要把開展讀書活動(dòng)作為一件大事來抓，引導(dǎo)學(xué)生愛讀書、讀好書、善讀書”這一會(huì)議要求，對(duì)學(xué)生閱讀量進(jìn)行了調(diào)查，發(fā)現(xiàn)學(xué)生閱讀量低，9月份校圖書館借閱人次僅為1500．針對(duì)此現(xiàn)狀，學(xué)校積極充實(shí)學(xué)生讀物，向師生全天開放圖書館，舉行“書香校園”讀書活動(dòng)，這些舉措營(yíng)造了良好讀書氛圍，大大調(diào)動(dòng)了師生讀書熱情，11月份校圖書館借閱人次達(dá)到了2160．請(qǐng)你求出這兩個(gè)月該校圖書館借閱人次的月平均增長(zhǎng)率．【答案】【解析】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，審清題意、根據(jù)等量關(guān)系列出方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)這兩個(gè)月該校圖書館借閱人次的月平均增長(zhǎng)率為，然后根據(jù)題意列出一元二次方程求解即可．【詳解】解：設(shè)這兩個(gè)月該校圖書館借閱人次的月平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意，得，解得，（不合題意，舍去）．答：這兩個(gè)月該校圖書館借閱人次的月平均增長(zhǎng)率為．20.小明下學(xué)途中遇到一棵大樹，于是他想利用現(xiàn)有的長(zhǎng)度為的小尺測(cè)量這棵樹的高度．如圖，小明筆直站立，把手臂水平向前伸直，將小尺豎直舉起，瞄準(zhǔn)小尺的兩端，，然后不斷調(diào)整站立的位置，在點(diǎn)處時(shí)恰好能看到該大樹的頂端和底部．（圖中所有點(diǎn)均在同一平面，點(diǎn)，，在同一條直線上．）經(jīng)測(cè)量，小明的手臂長(zhǎng)，點(diǎn)到樹底端的距離，求大樹的高度．【答案】大樹的高度為．【解析】【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)“對(duì)應(yīng)高是比等于相似比”列式計(jì)算求解即可．【詳解】解：．根據(jù)題意，得．點(diǎn)到的距離即，點(diǎn)到的距離即，∵，，．．．．答：大樹的高度為．21.為提高學(xué)生的勞動(dòng)技能和實(shí)踐水平，某學(xué)校經(jīng)過多方努力，準(zhǔn)備用柵欄圍建一塊的勞動(dòng)實(shí)踐基地，并向全校發(fā)布了基地設(shè)計(jì)方案征集公告．為此，九年級(jí)（1）班開展了“我為創(chuàng)建勞動(dòng)實(shí)踐基地建言獻(xiàn)策”的項(xiàng)目化學(xué)習(xí)．在進(jìn)行“任務(wù)一：規(guī)劃實(shí)踐基地形狀”時(shí)，“智慧小組”欲將基地設(shè)計(jì)為矩形，以便分割區(qū)域進(jìn)行種植．這樣的設(shè)計(jì)合理嗎？也就是，是否存在滿足學(xué)校所給條件的矩形呢？該小組的同學(xué)們積極思索，想到了如下解決方法：【問題解決】慧慧的思路是：利用一元二次方程解決．假設(shè)存在這樣的矩形，設(shè)矩形的其中一條邊長(zhǎng)為，根據(jù)題意，可得到一個(gè)一元二次方程，通過判斷方程是否有解即可確定是否存在這樣的矩形．敏敏的思路是：利用函數(shù)圖象解決．假設(shè)存在這樣的矩形，設(shè)矩形相鄰兩邊長(zhǎng)分別為，，可得，，滿足要求的可以看作是反比例函數(shù)的圖象與一次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)坐標(biāo)．于是，可以通過看函數(shù)圖象中是否有這樣的交點(diǎn)確定矩形的存在性．（1）請(qǐng)你分別按照以上兩位同學(xué)的思路解決問題：是否存在滿足學(xué)校所給條件的矩形？（2）在解決問題（1）的過程中，你獲得什么啟示？（寫出一點(diǎn)即可）【答案】（1）存在，見解析（2）見解析【解析】【分析】本題主要考查一元二次方程以及函數(shù)的圖像性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)兩種思路分別計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意進(jìn)行總結(jié)即可．【小問1詳解】解：假設(shè)存在這樣的矩形，且相鄰兩邊的長(zhǎng)分別為和，根據(jù)題意，可得，化簡(jiǎn)，得．在這里，，，．原方程有實(shí)數(shù)根．存在滿足學(xué)校所給條件的矩形．解法二．假設(shè)存在這樣的矩形，其相鄰兩邊長(zhǎng)分別為，，則，，在同一直角坐標(biāo)系中，的圖象如下：因?yàn)閮蓚€(gè)函數(shù)圖象有交點(diǎn)，所以存在滿足學(xué)校所給條件的矩形．【小問2詳解】解：答案不唯一，如：方程和函數(shù)是解決實(shí)際問題常用的數(shù)學(xué)模型；數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種常用思想方法；方程和函數(shù)之間有著密切的聯(lián)系等．22.綜合與實(shí)踐問題情境：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，李老師給同學(xué)們提供了一個(gè)矩形（如圖1），其中，連接對(duì)角線，且，要求各小組以圖形的旋轉(zhuǎn)為主題開展數(shù)學(xué)活動(dòng)．以下是部分小組的探究過程，請(qǐng)你參與活動(dòng)并解答所提出的問題：猜想證明：（1）如圖2，“奮勇”小組將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，當(dāng)點(diǎn)落到對(duì)角線上時(shí)，與交于點(diǎn)．試猜想線段與的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；（2）“勤學(xué)”小組在“奮勇”小組的基礎(chǔ)上，取的中點(diǎn)，連接，，試判斷四邊形的形狀，并說明理由；深入探究：（3）在繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過程中，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離，請(qǐng)你思考此問題，直接寫出答案．【答案】（1），理由見解析；（2）菱形，理由見解析；（3）6或【解析】【分析】（1）首先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，然后利用得到，然后證明出是等邊三角形，得到，即可證明出；（2）首先由是等邊三角形得到，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，然后證明出，然后由得到與互相平分，證明出四邊形是菱形；（3）根據(jù)題意分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)在上方時(shí)，連接，首先由得到，然后結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，證明出點(diǎn)A，，三點(diǎn)共線，然后得到；當(dāng)點(diǎn)在線段下