北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)考點(diǎn) 清單01 特殊平行四邊形（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

清單01特殊平行四邊形（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】平行四邊形的性質(zhì)邊的性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行且相等，如下圖：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性質(zhì)：兩組對(duì)角分別相等，如圖：∠A=∠C，∠B=∠D對(duì)角線的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分。如圖：AO=CO，BO=DO【清單02】平行四邊形的判定與邊有關(guān)的判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形與角有關(guān)的判定：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形與對(duì)角線有關(guān)的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形【清單03】三角形的中位線三角形中位線：在△ABC中，D，E分別是AC，AC的中點(diǎn)，連接DE.像DE這樣，連接三角形_兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.B中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一。【清單04】平行線之間的距離與平行四邊形的綜合定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離性質(zhì)：平行線之間距離處處相等【清單05】菱形的性質(zhì)菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形?！庑蔚男再|(zhì)：（1）具有平行四邊形的性質(zhì)且四條邊都相等（3）兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。注意：菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸?！厩鍐?6】菱形的面積菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的一半【清單07】菱形的判定※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形。【清單08】矩形的性質(zhì)※矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。※矩形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的性質(zhì)（2）對(duì)角線相等（3）四個(gè)角都是直角?！厩鍐?9】直角三角形斜邊上的中線※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半?！厩鍐?0】矩形的判定※矩形的判定：（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。（3）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形?！厩鍐?1】正方形的概念與性質(zhì)正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形?！叫蔚男再|(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）【清單12】正方形的判定※正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對(duì)角線相等的菱形是正方形；對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：【考點(diǎn)題型一】菱形的性質(zhì)【典例1】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=6，則菱形ABCD的高DH為（

）A．3 B．4 C．125 D．【變式1-1】如圖，在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．98° B．128° C．120° D．118°【變式1-2】已知菱形的邊長(zhǎng)為3，較短的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則該菱形面積為（

）A．22 B．25 C．42【變式1-3】如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2，P是AB邊上的一點(diǎn)，E,?F分別是DP,?BP的中點(diǎn)，則線段【考點(diǎn)題型二】菱形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用

【典例2】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，AC與EF交于點(diǎn)O，且EF垂直平分AC，連接AE，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若AC⊥AB，∠B=30°，AE=12，求四邊形AECF的面積．【變式2-1】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CE∥BD，且BD=2CE，連接(1)求證：四邊形OCED是矩形．(2)若AO=3，四邊形ABCD的面積是183，連接OE，求OE【變式2-2】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，AE=AF，連接EF，且AC⊥EF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接OE，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE=5，OA=12【變式2-3】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，EF垂直平分BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)F，CE∥AB，連接(1)求證：四邊形CFBE是菱形；(2)若AB=10，BC=8，求DF的長(zhǎng)．

【考點(diǎn)題型三】菱形中最小問題

【典例3】如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=62，E是BC邊的中點(diǎn)，P，M分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是(

A．6 B．26 C．33 【變式3-1】如圖，已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，面積為83，E為AB的中點(diǎn)，若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+AP的最小值為（

A．2 B．23 C．4 D．【變式3-2】如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE、EF，G、H分別為AE、EF的中點(diǎn)，連接GH．若∠B=45°，BC=23，則GH的最小值為（

A．3 B．32 C．6 D．【變式3-3】如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，AB=1，∠BAC=30°，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AC交BC于點(diǎn)N，則△MPN周長(zhǎng)的最小值是（

）A．3+1 B．3?1 C．32【考點(diǎn)題型四】矩形的性質(zhì)【典例4】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN分別交AD,BC于點(diǎn)M，N．若AM=1,BN=2，則BD的長(zhǎng)為（

）A．23 B．3 C．25 【變式4-1】如圖，在矩形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，M，N分別為BC，OC的中點(diǎn)．若∠ACB=30°，AB=12，則MN的長(zhǎng)為（）A．12 B．8 C．6 D．4【變式4-2】如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AO=4，則AD的長(zhǎng)是（

）．A．4 B．23 C．3 D．【變式4-3】如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，AB、BC長(zhǎng)分別為15和20，那么點(diǎn)P到矩形兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（

）A．26 B．12 C．24 D．不能確定【考點(diǎn)題型五】直角三角形斜邊上的中線

【典例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD，若AB=10，則CD的長(zhǎng)為（

A．3 B．5 C．6 D．8【變式5-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,∠BCD=20°,E是斜邊AB的中點(diǎn)，則∠DCE的度數(shù)為（

A．30° B．50° C．45° D．40°【變式5-2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，E，F(xiàn)分別是線段AC，BD的中點(diǎn)．若AB=AD，EF=3，則AC=（

）A．5 B．6 C．33 【變式5-3】如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,DH⊥BC于點(diǎn)H，連接OH,∠BAD=56°，則∠DHO的度數(shù)是（

）A．38° B．34° C．28° D．24°【考點(diǎn)題型六】矩形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用【典例6】如圖，平行四邊形ABCD中，P是AB邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），CP=CD，過點(diǎn)P作PQ⊥CP，交AD于點(diǎn)Q，連接CQ．(1)若CQ平分∠DCP，求證：四邊形ABCD是矩形；(2)在（1）的條件下，當(dāng)AP=2，CB=4時(shí)，求CD的長(zhǎng)．【變式6-1】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AB=CD，AB∥CD．若四邊形EBOA是菱形；(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠E=60°，AB=2，求四邊形ABCD的面積．【變式6-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=BE，連接DF，AF與DE交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形AEFD為矩形．(2)若AB=6，OE=4，BF=10，求DF的長(zhǎng)．【變式6-3】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于O，點(diǎn)E是CF的中點(diǎn)，DF∥AC交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接

(1)求證：四邊形AODF是菱形；(2)若∠AOB=60°，∠AFC=90°，AB=1，求CF的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型七】矩形形中最小值問題

【典例7】如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=3，若AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值（

）A．5 B．33 C．245 【變式7-1】如下圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥CB于點(diǎn)F，連接EF，則線段EF的最小值是（

A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8【變式7-2】如圖，在菱形ABCD中，若AC?BD=2，S菱形ABCD=24，E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E分別作EF⊥OC于點(diǎn)F，EG⊥OD于點(diǎn)G，連接FG，則FGA．2.4 B．4.8 C．3 D．4【變式7-3】如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E、F分別AD、DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則DG=；PA+PG的最小值為．【考點(diǎn)題型八】矩形中折疊問題【典例8】在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處．??(1)如圖1，若點(diǎn)F落在對(duì)角線AC上，且∠BAC=54°，求∠DAE的度數(shù)．(2)如圖2，若點(diǎn)F落在邊BC上，且AB=6，AD=10，求CE的長(zhǎng)．(3)如圖3，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，且AB=6，AD=10，求CG的長(zhǎng)．【變式8-1】如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，BC的對(duì)應(yīng)邊BE交AD于點(diǎn)F．(1)求證：△BFD是等腰三角形；(2)若AB=3,BC=5，求AF的長(zhǎng)．【變式8-2】如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，B′C交AD(1)求證：AE=CE；(2)若AB=8，BC=12，求DE的長(zhǎng)．【變式8-3】把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（E、F兩點(diǎn)均在BD上），折痕分別為BH，DG．(1)求證：四邊形BGDH為平行四邊形；(2)若AB=6,BC=8，求線段FG的長(zhǎng)．【考點(diǎn)題型九】正方形的性質(zhì)【典例9】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O，B的坐標(biāo)分別是0,0，4,0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．2,?22 B．22,?22 C．【變式9-1】如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=AC，連結(jié)AE交CD于點(diǎn)F，則∠AFC等于（

）度．A．112.5 B．125 C．135 D．150【變式9-2】如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AE⊥BE于E，若AE=6，BE=8，則陰影部分的面積為（

）A．48 B．76 C．78 D．84【變式9-3】如圖，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長(zhǎng)都是2，正方形EFGO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【考點(diǎn)題型十】正方形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用

【典例10】如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥EA交CD于點(diǎn)G，且EF=EA，連接CF．(1)求證：∠BAE=∠CEF；(2)求∠ECF的度數(shù)．【變式10-1】如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為9，BE=3，將△ABE沿AE對(duì)折至△AGE，延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)F，連接AF，且AF平分∠DAG．(1)證明：△AGF≌△ADF；(2)求線段EF的長(zhǎng)．【變式10-2】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，連接AM，過點(diǎn)M作MN⊥AM，交CD于點(diǎn)N，以AM、MN為鄰邊作矩形AMNP．(1)求證：矩形AMNP是正方形．(2)若點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，且AD=8，求正方形AMNP的面積．【變式10-3】如圖，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG．求證：

(1)AE=CG；(2)AE⊥CG．【考點(diǎn)題型十一】正方形中最小值問題【典例12】如圖，正方形ABCD邊長(zhǎng)為2，E是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P是BD上任一點(diǎn)，則PE+PC的最小值是（

）A．5 B．2 C．3 D．2【變式12-1】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,E、F分別為邊AB和BC上的動(dòng)點(diǎn)，且始終滿足AE=BF，連接DE,DF，則DE+DF的最小值為（

）A．45 B．5 C．42【變式12-2】如圖，在邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC，CD上的動(dòng)點(diǎn)，且BE=CF，連接BF，DE，則BF+DE的最小值為（

）A．45 B．35 C．25【變式12-2】如圖所示，正方形ABCD的面積為36，△ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P，使PD+PE的最小值為（

）A．9 B．4.5 C．6 D．6

清單01特殊平行四邊形（11個(gè)考點(diǎn)梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）【清單01】平行四邊形的性質(zhì)邊的性質(zhì)：兩組對(duì)邊分別平行且相等，如下圖：AD∥BC，AD=BC，AB∥CD，AB=CD；角的性質(zhì)：兩組對(duì)角分別相等，如圖：∠A=∠C，∠B=∠D對(duì)角線的性質(zhì)：對(duì)角線互相平分。如圖：AO=CO，BO=DO【清單02】平行四邊形的判定與邊有關(guān)的判定：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形與角有關(guān)的判定：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形與對(duì)角線有關(guān)的判定：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形【清單03】三角形的中位線三角形中位線：在△ABC中，D，E分別是AC，AC的中點(diǎn)，連接DE.像DE這樣，連接三角形_兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.B中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的二分之一?！厩鍐?4】平行線之間的距離與平行四邊形的綜合定義：兩條平行線中，一條直線上任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線之間的距離性質(zhì)：平行線之間距離處處相等【清單05】菱形的性質(zhì)菱形的定義：一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形?！庑蔚男再|(zhì)：（1）具有平行四邊形的性質(zhì)且四條邊都相等（3）兩條對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角。注意：菱形是軸對(duì)稱圖形，每條對(duì)角線所在的直線都是對(duì)稱軸?！厩鍐?6】菱形的面積菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的乘積的一半【清單07】菱形的判定※菱形的判別方法：一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形。四條邊都相等的四邊形是菱形?！厩鍐?8】矩形的性質(zhì)※矩形的定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形。矩形是特殊的平行四邊形。※矩形的性質(zhì)：（1）具有平行四邊形的性質(zhì)（2）對(duì)角線相等（3）四個(gè)角都是直角?！厩鍐?9】直角三角形斜邊上的中線※推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。【清單10】矩形的判定※矩形的判定：（1）有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形叫矩形(根據(jù)定義)。（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形。（3）四個(gè)角都相等的四邊形是矩形?！厩鍐?1】正方形的概念與性質(zhì)正方形的定義：一組鄰邊相等的矩形叫做正方形?！叫蔚男再|(zhì)：正方形具有平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)。（正方形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸）【清單12】正方形的判定※正方形常用的判定：有一個(gè)內(nèi)角是直角的菱形是正方形；鄰邊相等的矩形是正方形；對(duì)角線相等的菱形是正方形；對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。注意：正方形、矩形、菱形和平行邊形四者之間的關(guān)系(如圖3所示)：【考點(diǎn)題型一】菱形的性質(zhì)【典例1】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且AC=8，BD=6，則菱形ABCD的高DH為（

）A．3 B．4 C．125 D．【答案】D【分析】由菱形的性質(zhì)可得AC⊥BD，OA=OC=12AC=4，OB=OD=12BD=3，由垂線的性質(zhì)可得∠AOB=90°，在Rt△AOB【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴AC⊥BD，OA=OC=1OB=OD=1∴∠AOB=90°，在Rt△AOBAB=O∵DH是菱形ABCD的高，∴S∴DH=1故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)，勾股定理，利用菱形的性質(zhì)求面積，等式的性質(zhì)2等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的性質(zhì)與菱形面積的計(jì)算方法是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】如圖，在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，則∠BAD的度數(shù)為（

）A．98° B．128° C．120° D．118°【答案】B【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)，根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角得到∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)菱形對(duì)邊平行即可得到答案．【詳解】解：∵在菱形ABCD中，已知∠ABO=26°，∴∠ABC=2∠ABO=52°，∴∠BAD=180°?∠AHC=128°，故選：B．【變式1-2】已知菱形的邊長(zhǎng)為3，較短的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則該菱形面積為（

）A．22 B．25 C．42【答案】C【分析】本題考查菱形的面積公式，涉及菱形的性質(zhì)、勾股定理求線段長(zhǎng)等知識(shí)，熟練掌握菱形性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．已知菱形的邊長(zhǎng)為3，較短的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為2，作出圖形，由菱形對(duì)角線相互垂直，利用勾股定理可知另一條對(duì)角線長(zhǎng)為42【詳解】解：根據(jù)題意，作圖如下：∴AC⊥BD，∵菱形的邊長(zhǎng)為3，較短的一條對(duì)角線的長(zhǎng)為2，∴OB=OD=1在Rt△AOD中，∠AOD=90°，OD=1，AD=3，則OA=∴BD=2，∴菱形的面積為12故選：C．【變式1-3】如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AD=2，P是AB邊上的一點(diǎn)，E,?F分別是DP,?BP的中點(diǎn)，則線段【答案】1【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，突破點(diǎn)是證明△ADB是等邊三角形．如圖連接BD，首先證明△ADB是等邊三角形，可得BD=2，再根據(jù)三角形的中位線定理即可解決問題．【詳解】解：如圖，連接BD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=2，∵∠A=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴BD=AD=AB=2，∵E，F(xiàn)分別是DP，BP的中點(diǎn)，∴EF是△BPD的中位線，∴EF=1故答案為：1．【考點(diǎn)題型二】菱形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用

【典例2】如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，AD上，AC與EF交于點(diǎn)O，且EF垂直平分AC，連接AE，CF．(1)求證：四邊形AECF是菱形；(2)若AC⊥AB，∠B=30°，AE=12，求四邊形AECF的面積．【答案】(1)詳見解析(2)723【分析】（1）證明△AOF≌△COEASA得OE=OF，再證明四邊形AECF（2）由菱形的性質(zhì)得CE=AE=12，再證明∠CEO=∠B=30°，則OC=12CE=6，AC=2OC=12，然后由勾股定理得OE=6【詳解】（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠OAF=∠OCE，∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，EF⊥AC，在△AOF和△COE中，∠OAF=∠OCEOA=OC∴△AOF≌△COEASA∴OE=OF，∴四邊形AECF是平行四邊形，又∵EF⊥AC，∴平行四邊形AECF是菱形；（2）由（1）可知，OE=OF，四邊形AECF是菱形，∴CE=AE=12，∵AC⊥AB，EF⊥AC，∴∠COE=90°，EF∥AB，∴∠CEO=∠B=30°，∴OC=1∴AC=2OC=12，OE=C∴EF=2OE=123∴菱形AECF的面積=1【點(diǎn)晴】本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、含30°角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O，過點(diǎn)C作CE∥BD，且BD=2CE，連接(1)求證：四邊形OCED是矩形．(2)若AO=3，四邊形ABCD的面積是183，連接OE，求OE【答案】(1)見解析(2)6【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)勾股定理．（1）由菱形的性質(zhì)得BD=2OD,AC⊥BD，證明OD=CE可證四邊形OCED是平行四邊形，進(jìn)而可證四邊形OCED是矩形；（2）連接OE，由四邊形ABCD的面積是183求出BD=63，由勾股定理得CD=6，進(jìn)而可得【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形∴BD=2OD,AC⊥BD即∠COD=90°∵BD=2CE∴OD=CE∵CE∥BD即CE∥OD∴四邊形OCED是平行四邊形∵∠COD=90°∴?OCED是矩形（2）解：連接OE∵四邊形OCED是矩形∴OE=CD在菱形ABCD中，AC=2OA=2OC=6，OD=∵∴∴BD=6∴OD=3∴CD=∴OE=6．【變式2-2】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，AE=AF，連接EF，且AC⊥EF．(1)求證：四邊形ABCD是菱形；(2)連接OE，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，OE=5，OA=12【答案】(1)見詳解(2)四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積分別是85和【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得∠CAD=∠ACB，再證∠BAC=∠DAC，得△ABC為等腰三角形即可得出結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得OA=OC，OB=OD=BD=2，AC⊥BD，由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得OE=1本題考查了菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)、菱形的面積、勾股定理等知識(shí)，熟練掌握菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵AE=AF，∴∠AEF=∠AFE，∵AC⊥EF，∴∠BAC=∠DAC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠CAD=∠ACB，∴∠BAC=∠BCA，∴△ABC為等腰三角形，∴BA=BC，∴四邊形ABCD是菱形；（2）解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD=12BD∴∠AOB=90°，∵E為AB的中點(diǎn)，∴OE=1∵OE=5，OA=∴AB=2OE=25，OB=2OA∵OA∴5OA∴OA=2（負(fù)值已經(jīng)舍去），∴AC=2OA=4，BD=2OB=4OA=8，∴四邊形ABCD的面積=1∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)=4AB=85∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)和面積分別是85和16【變式2-3】如圖，△ABC中，∠ACB=90°，EF垂直平分BC，垂足為D，交AB于點(diǎn)F，CE∥AB，連接(1)求證：四邊形CFBE是菱形；(2)若AB=10，BC=8，求DF的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析；(2)3．【分析】（1）證明△CDE≌△BDFASA得到DE=DF，即得四邊形CFBE是平行四邊形，進(jìn)而由EF⊥BC（2）由勾股定理可得AC=AB2?BC2=6【詳解】（1）證明：∵CE∥∴∠DCE=∠DBF，∴EF垂直平分BC，∴CD=BD，在△CDE和△BDF中，∠DCE=∠DBFCD=BD∴△CDE≌△BDFASA∴DE=DF，∴四邊形CFBE是平行四邊形，又∵EF⊥BC，∴平行四邊形CFBE是菱形；（2）解：∵∠ACB=90°，∴AC=AB2∵EF⊥BC，∴AC∥又∵CE∥∴四邊形ACEF是平行四邊形，∴EF=AC=6，由（1）可知，DF=DE，∴DF=1【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，勾股定理，掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

【考點(diǎn)題型三】菱形中最小問題

【典例3】如圖，在菱形ABCD中，AC=6，BD=62，E是BC邊的中點(diǎn)，P，M分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是(

A．6 B．26 C．33 【答案】B【分析】本題考查了軸對(duì)稱—最短路徑問題，涉及到菱形的性質(zhì)、勾股定理等，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接PM'，M'E，則PM'=PM，PE+PM=PM【詳解】解：如圖，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M∴PM∴PE+PM=PM當(dāng)M'E⊥BC時(shí)，點(diǎn)P在M'∵四邊形ABCD是菱形，∴點(diǎn)M′在AD∵AC=6，BD=62∴AB=AD=3由S菱形得12解得：EM即PE+PM的最小值是26故選：B．【變式3-1】如圖，已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，面積為83，E為AB的中點(diǎn)，若P為對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，則EP+AP的最小值為（

A．2 B．23 C．4 D．【答案】B【分析】本題考查軸對(duì)稱-最短問題、菱形的性質(zhì)等知識(shí)，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′，連接AC、AP′，首先證明E與E′重合，因?yàn)锳、C關(guān)于BD對(duì)稱，所以當(dāng)P與P′【詳解】解：如圖，作CE′⊥AB于E′，交BD于P′∵已知菱形ABCD的周長(zhǎng)為16，面積為83∴AB=BC=4，AB?CE∴CE在Rt△BCE′∵BE=EA=2，∴E與E′∵四邊形ABCD是菱形，∴BD垂直平分AC，∴A、C關(guān)于BD對(duì)稱，∴當(dāng)P與P′重合時(shí)，P′A+故選：B．【變式3-2】如圖，在菱形ABCD中，E、F分別是邊CD、BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE、EF，G、H分別為AE、EF的中點(diǎn)，連接GH．若∠B=45°，BC=23，則GH的最小值為（

A．3 B．32 C．6 D．【答案】D【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、三角形的中位線定理、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)，連接AF，利用三角形中位線定理，可知GH=12AF，當(dāng)AF⊥BC時(shí)，AF【詳解】解∶過A作AK⊥BC于K，在菱形ABCD中，∠B=45°，BC=23∴∠BAK=45°=∠B，AB=BC=23∴AK=BK，∴AK∴AK=6∵G、H分別為AE、EF的中點(diǎn)，∴GH=1∴當(dāng)F和K重合時(shí)，AF最小，GH也最小，∴GH的最小值為62故選∶D．【變式3-3】如圖，點(diǎn)P是菱形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，AB=1，∠BAC=30°，點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥AC交BC于點(diǎn)N，則△MPN周長(zhǎng)的最小值是（

）A．3+1 B．3?1 C．32【答案】D【分析】根據(jù)四邊形ABCD是菱形，AB=1，∠BAC=30°，算出AO，再根據(jù)點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，MN∥AC，得出MN=AO=32，N是BC邊上的中點(diǎn)，作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交AC于P，此時(shí)MP+NP=M′P+NP≥M′N，得出當(dāng)M′,P,N三點(diǎn)共線時(shí)，MP+NP有最小值，最小值為M′N的長(zhǎng)．，再證明四邊形【詳解】解：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，AB=1，∠BAC=30°，∴AB=CD=AD=BC=1，BD⊥AC，∴OB=1∵點(diǎn)M是邊AB的中點(diǎn)，MN∥AC，∴MN是△ABC的中位線，∴MN=12AC=AO=32作點(diǎn)M關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)M′，連接M′N交AC于P，此時(shí)MP+NP=M′P+NP≥M′N，當(dāng)∵菱形ABCD關(guān)于AC對(duì)稱，M是AB邊上的中點(diǎn)，∴M′是AD又∵N是BC邊上的中點(diǎn)，∴AM∴四邊形ABNM∴M′∴MP+NP=M即MP+NP的最小值為1，∵△MPN周長(zhǎng)=MN+MP+NP，則△MPN周長(zhǎng)的最小值是=MN+M故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是軸對(duì)稱-最短路線問題及菱形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，勾股定理，三角形中位線定理，直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知兩點(diǎn)之間線段最短的知識(shí)是解答此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型四】矩形的性質(zhì)【典例4】如圖，在矩形ABCD中，對(duì)角線BD的垂直平分線MN分別交AD,BC于點(diǎn)M，N．若AM=1,BN=2，則BD的長(zhǎng)為（

）A．23 B．3 C．25 【答案】A【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)可證△BEN≌△DEMASA，可得AD=3,DM=BN=BM=2，運(yùn)用勾股定理可得AB的值，在直角△ABD中，運(yùn)用勾股定理即可求解【詳解】解：如圖所示，連接BM，設(shè)BD,MN交于點(diǎn)E，∵四邊形ABCD矩形，∴∠A=90°,AD∥BC，∴∠EBN=∠EDM，∵M(jìn)N垂直平分BD，∴∠BEN=∠DEM=90°,EB=ED，BM=DM，在△BEN和△DEM中，∠EBN=∠EDMEB=ED∴△BEN≌△DEMASA∴DM=BN=2，∴BM=2，AD=AM+MD=1+2=3，在Rt△ABM中，AB=在Rt△ABD中，BD=故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理的綜合運(yùn)用，掌握矩形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，在矩形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，M，N分別為BC，OC的中點(diǎn)．若∠ACB=30°，AB=12，則MN的長(zhǎng)為（）A．12 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，解題的關(guān)鍵是找到線段間的倍分關(guān)系．根據(jù)矩形的性質(zhì)和含30°的直角三角形的性質(zhì)得出AC=BD=24，進(jìn)而求出BD=2BO，再依據(jù)中位線的性質(zhì)推知MN=1【詳解】解：在矩形ABCD中，AC，BD交于點(diǎn)O，若∠ACB=30°，AB=12，∴BD=AC=2AB=2×12=24，∴BD=2BO，即2BO=24，∴BO=12，又∵M(jìn)、N分別為BC、OC的中點(diǎn)，∴MN是△CBO的中位線，∴MN=1故選：C．【變式4-2】如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∠AOD=120°，AO=4，則AD的長(zhǎng)是（

）．A．4 B．23 C．3 D．【答案】D【分析】本題考查矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明△AOB為等邊三角形是解題關(guān)鍵．根據(jù)矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可證明△AOB為等邊三角形，即得出AB=AO=4，再根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，∴AO=BO=4，∠BAD=90°，∴BD=2BO=8．∵∠AOD=120°，∴∠AOB=180°?∠AOD=60°，∴△AOB為等邊三角形，∴AB=AO=4，∴AD=B故選D．【變式4-3】如圖，點(diǎn)P是矩形ABCD的AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，AB、BC長(zhǎng)分別為15和20，那么點(diǎn)P到矩形兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是（

）A．26 B．12 C．24 D．不能確定【答案】B【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形面積．熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．由矩形ABCD可得：S△AOD=14S矩形ABCD，又由AB=15，BC=20，可求得AC【詳解】解：連接OP，如圖所示：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD，OA=OC=12AC，OB=OD=S△AOD∴OA=OD=1∵AB=15，BC=20，∴AC=AB2∴OA=OD=1∴S∴PE+PF=12．∴點(diǎn)P到矩形的兩條對(duì)角線AC和BD的距離之和是12．故選：B．【考點(diǎn)題型五】直角三角形斜邊上的中線

【典例5】在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB邊的中點(diǎn)，連接CD，若AB=10，則CD的長(zhǎng)為（

A．3 B．5 C．6 D．8【答案】B【分析】本題考查了直角三角形的斜邊中線，掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是解題關(guān)鍵．由題意得，CD=12AB【詳解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，∴CD=12∵AB=10，∴CD=5，故選：B．【變式5-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于點(diǎn)D,∠BCD=20°,E是斜邊AB的中點(diǎn)，則∠DCE的度數(shù)為（

A．30° B．50° C．45° D．40°【答案】B【分析】本題考查了斜中半定理：直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半，由題意得CE=12AB=BE【詳解】解：∵CD⊥AB,∠BCD=20°,∴∠B=70°；∵E是斜邊AB的中點(diǎn)，∴CE=1∴∠ECB=∠B=70°，∴∠DCE=∠BCE?∠BCD=50°，故選：B【變式5-2】如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，E，F(xiàn)分別是線段AC，BD的中點(diǎn)．若AB=AD，EF=3，則AC=（

）A．5 B．6 C．33 【答案】B【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出AF⊥BC，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線得出EF=AC，代入求出答案即可，能熟記直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接AF，∵AB=AD，F(xiàn)為BD的中點(diǎn)，∴AF⊥BD，即∠AFC=90°，∵E為AC的中點(diǎn)，∴EF=1∵EF=3，∴AC=6，故選B．【變式5-3】如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,DH⊥BC于點(diǎn)H，連接OH,∠BAD=56°，則∠DHO的度數(shù)是（

）A．38° B．34° C．28° D．24°【答案】C【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)．首先根據(jù)菱形的一組鄰角互補(bǔ)可以求出∠ABC=124°，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分且每組對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠DBH=∠ABD=12∠ABC=62°、OB=OD，所以可得∠BDH=28°，根據(jù)直角三角形的斜邊等于斜邊的一半可得HO=DO【詳解】解：如下圖所示，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠BAD=56°，∵∠ABC=124°，∵BD是菱形ABCD的對(duì)角線，∴∠DBH=∠ABD=1∵DH⊥BC，∴∠DHB=90°，在Rt△DBH中，∠BDH=90°?∠DBH=90°?62°=28°∵OB=OD，∴點(diǎn)O是BD的中點(diǎn)，∴HO=DO，∴∠DHO=∠BDO=28°．故選：C．【考點(diǎn)題型六】矩形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用【典例6】如圖，平行四邊形ABCD中，P是AB邊上的一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），CP=CD，過點(diǎn)P作PQ⊥CP，交AD于點(diǎn)Q，連接CQ．(1)若CQ平分∠DCP，求證：四邊形ABCD是矩形；(2)在（1）的條件下，當(dāng)AP=2，CB=4時(shí)，求CD的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)CD=5【分析】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理：（1）證明△CPQ≌△CDQ，進(jìn)而得到∠CDQ=90°，即可得證；（2）設(shè)CD=x，根據(jù)矩形的性質(zhì)，得到AB=CD=x，進(jìn)而得到BP=AB?AP=x?2，在Rt△CBP中，利用勾股定理求出x【詳解】（1）證明：∵CQ平分∠DCP，∴∠DCQ=∠PCQ，∵CP=CD，CQ=CQ，∴△CPQ≌△CDQ，∴∠CDQ=∠CPQ，∵PQ⊥CP，∴∠CDQ=∠CPQ=90°，∴平行四邊形ABCD為矩形；（2）由（1）知平行四邊形ABCD為矩形，∴∠B=90°,CD=AB，設(shè)CD=AB=x，則：CP=CD=x，BP=AB?AP=x?2，在Rt△CBP中，由勾股定理，得：x解得：x=5，∴CD=5．【變式6-1】如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AB=CD，AB∥CD．若四邊形EBOA是菱形；(1)求證：四邊形ABCD是矩形．(2)若∠E=60°，AB=2，求四邊形ABCD的面積．【答案】(1)見解析(2)4【分析】（1）由題意易得四邊形ABCD是平行四邊形，OA=OB，則有AC=BD，然后問題可求證；（2）由題意易得∠AOB=∠E=60°，AO=BO，則有AO=AB=2，然后可得AC=2AO=4，∠ABC=90°，進(jìn)而根據(jù)勾股定理可進(jìn)行求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形EBOA是菱形，∴OA=OB，∵AB=CD，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC=12AC∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形；（2）解：∵四邊形EBOA是菱形，∴∠AOB=∠E=60°，AO=BO，∴△AOB是等邊三角形，∴AO=AB=2，∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=2AO=4，∠ABC=90°，∴BC=A∴S矩形【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理，熟練掌握菱形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與判定、等邊三角形的性質(zhì)與判定及勾股定理是解題的關(guān)鍵【變式6-2】如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F，使CF=BE，連接DF，AF與DE交于點(diǎn)O．(1)求證：四邊形AEFD為矩形．(2)若AB=6，OE=4，BF=10，求DF的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析；(2)DF=24【分析】（1）根據(jù)線段的和差關(guān)系可得BC=EF，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得AD∥BC，AD=BC，即可得出AD=EF，AD∥EF，可證明四邊形（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)可得AF=DE=8，可得△BAF為直角三角形，利用“面積法”可求出AE的長(zhǎng)，即可得答案；本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵CF=BE，∴BE+EC=CF+EC，∴BC=EF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥∴AD=EF，AD∥∴四邊形AEFD是平行四邊形，∵AE⊥BC，∴∠AEF=90°，∴四邊形AEFD為矩形；（2）解：由（1）得：四邊形AEFD為矩形，∴AE=DF，OE=OD=12DE=4∴AF=DE=8，∵AB=6，BF=10，∴AB∴∠BAF=90°，∴S△BAF∴12∴AE=24∴DF=AE=24【變式6-3】如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于O，點(diǎn)E是CF的中點(diǎn)，DF∥AC交CE延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接

(1)求證：四邊形AODF是菱形；(2)若∠AOB=60°，∠AFC=90°，AB=1，求CF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）由AAS可判定△DEF≌△OEC，由全等三角形的性質(zhì)得DF=OC，結(jié)合矩形的性質(zhì)得OA=OD=DF，由平行四邊形的判定方法得四邊形AODF是平行四邊形，再由矩形的判定方法，即可得證；（2）由等邊三角形的判定方法得△AOB是等邊三角形，由等邊三角形的性質(zhì)得OA=AB=1，由菱形的性質(zhì)得AF=OA=1，AF∥BD，由含30度角的直角三角形的性質(zhì)及勾股定理得CF=3【詳解】（1）證明：∵DF∥AC，∴∠DFE=∠OCE，∠EDF=∠EOC，∵點(diǎn)E是CF的中點(diǎn)，∴FE=CE，在△DEF和△OEC中∠DFE=∠OCE∠EDF=∠EOC∴△DEF≌△OEC（AAS），∴DF=OC，∵四邊形ABCD是矩形，∴OA=OC，OB=OD，AC=BD，AC=BD，∴OA=OD=DF，∵DF∥OA，∴四邊形AODF是平行四邊形．∴平行四邊形AODF是菱形．（2）解：由（1），得OA=OB，∵∠AOB=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴OA=AB=1．∵四邊形AODF是菱形，∴AF=OA=1，AF∥BD，∴∠FAC=∠AOB=60°．∵∠AFC=90°，∴∠ACF=30°，∴AC=2AF，∵CF∵CF∴CF=3【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)、含30度角的直角三角形的性質(zhì)、勾股定理等，掌握菱形的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)題型七】矩形形中最小值問題

【典例7】如圖，矩形ABCD中，AB=6,BC=3，若AC、AB上各取一點(diǎn)M、N，使BM+MN的值最小，求這個(gè)最小值（

）A．5 B．33 C．245 【答案】C【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短路徑，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)，找到點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，結(jié)合三角形三邊數(shù)量關(guān)系，垂線段最短知識(shí)的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵根據(jù)題意，過點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BB'交AC于點(diǎn)F，連接B'N,B'M，作B'E⊥AB于點(diǎn)E，交AC,AB于點(diǎn)M',N'，根據(jù)三角形三邊數(shù)量關(guān)系可得，B'M+MN≥B'N，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短可得，B'【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)B關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)B'，連接BB'交AC于點(diǎn)F，連接B'N,B'M，作∵對(duì)稱，∴BF=B∴BM+MN=B根據(jù)三角形三邊數(shù)量關(guān)系可得，B'根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短可得，B'∴當(dāng)點(diǎn)M,N在垂線B'E上，即點(diǎn)M于點(diǎn)M'，點(diǎn)N于點(diǎn)N∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，∴AC=A∵S△ABC∴BF=AB·BC∴BB在Rt△ABF中，AF=∵S△AB∴B'故選：C．【變式7-1】如下圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DE⊥AC于點(diǎn)E，DF⊥CB于點(diǎn)F，連接EF，則線段EF的最小值是（

A．5 B．2.5 C．2.4 D．4.8【答案】D【分析】本題考查了矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，連接CD，由題意可得四邊形CEDF是矩形，得到EF=CD，可知當(dāng)CD⊥AB時(shí)，CD的值最小，利用勾股定理和三角形的面積求出CD的最小值即可求解，掌握矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接CD，∵DE⊥AC，DF⊥CB，∴∠DEC=∠DFC=∠ACB=90°，∴四邊形CEDF是矩形，∴EF=CD，當(dāng)CD⊥AB時(shí)，可知CD的值最小，此時(shí)12∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8，∴AB=6∴12解得CD=4.8，∴線段EF的最小值是4.8，故選：D．【變式7-2】如圖，在菱形ABCD中，若AC?BD=2，S菱形ABCD=24，E是CD邊上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E分別作EF⊥OC于點(diǎn)F，EG⊥OD于點(diǎn)G，連接FG，則FGA．2.4 B．4.8 C．3 D．4【答案】A【分析】連接OE，利用菱形的性質(zhì)證明四邊形GEFO為矩形，得到FG=OE，進(jìn)而得到當(dāng)OE⊥DC時(shí)，OE的值最小，即FG的值最小，利用菱形的性質(zhì)和勾股定理分別算出OD、OC、DC，再利用面積法求解，即可解題．【詳解】解：連接OE，∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，∵EF⊥OC，EG⊥OD，∴四邊形GEFO為矩形，∴FG=OE，當(dāng)OE⊥DC時(shí)，OE的值最小，即FG的值最小，∵AC?BD=2，S菱形∴12AC?BD=24解得AC=8，BD=6，∴OD=3，OC=4，∴DC=O∴1即5OE=12，解得OE=12∴FG的最小值為2.4，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)和判定，勾股定理，垂線段最短，解題的關(guān)鍵在于利用矩形性質(zhì)和垂線段最短找出FG取最小值的情況．【變式7-3】如圖，矩形ABCD中，AB=2，AD=3，點(diǎn)E、F分別AD、DC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，點(diǎn)P為BC上一動(dòng)點(diǎn)，則DG=；PA+PG的最小值為．【答案】14【分析】此題考查矩形的性質(zhì)，勾股定理，軸對(duì)稱最短路徑問題，先利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到DG=1，作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，交BC于P，當(dāng)點(diǎn)A′，P，G，D共線時(shí)，PA+PG的值最小，最小值為A′【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAC=∠D=90°∵EF=2，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，∴DG=1，作A關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)A′，連接A′D，交BC于P，當(dāng)點(diǎn)A′，P，G，D共線時(shí)，

∵AB=2，AD=3，∴AA∴A′∴A′∴PA+PG的最小值為4；故答案為：1，4．,【考點(diǎn)題型八】矩形中折疊問題【典例8】在長(zhǎng)方形紙片ABCD中，點(diǎn)E是邊CD上的一點(diǎn)，將△AED沿AE所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處．??(1)如圖1，若點(diǎn)F落在對(duì)角線AC上，且∠BAC=54°，求∠DAE的度數(shù)．(2)如圖2，若點(diǎn)F落在邊BC上，且AB=6，AD=10，求CE的長(zhǎng)．(3)如圖3，若點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，AF的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)G，且AB=6，AD=10，求CG的長(zhǎng)．【答案】(1)∠DAE=18°(2)8(3)0.9【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠DAC=36°，根據(jù)折疊的性質(zhì)的∠DAE=18°；（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=10，EF=ED，根據(jù)勾股定理得BF=8，則CF=2，設(shè)CE=x，則EF=ED=6?x，根據(jù)勾股定理可得22+x2=6?x2（3）連接EG，由題意可得DE=CE，由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，F(xiàn)E=DE，則∠EFG=90°=∠C，通過證明Rt△CEG≌Rt△FEGHL，則CG=FG，設(shè)CG=FG=y，則AG=AF+FG=10+y，BG=BC?CG=10?y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：6【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB=90°，∴∠DAC=90°?∠BAC=90°?54°=36°，∵△AED沿AE所在的直線折疊，使點(diǎn)D落在點(diǎn)F處，∴∠DAE=∠EAC=1（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°，BC=AD=10，CD=AB=6，由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=10，EF=ED，∴BF=A∴CF=BC?BF=10?8=2，設(shè)CE=x，則EF=ED=6?x，在Rt△CEF中，由勾股定理得：2解得：x=8即CE的長(zhǎng)為83（3）解：連接EG，如圖所示：∵點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE，由折疊的性質(zhì)得：AF=AD=10，∠AFE=∠D=90°，F(xiàn)E=DE，∴∠EFG=90°=∠C，在Rt△CEG和RtEG=EGCE=FE∴Rt∴CG=FG，設(shè)CG=FG=y，則AG=AF+FG=10+y，在Rt△ABG中，由勾股定理得：6解得：y=0.9，即CG的長(zhǎng)為0.9．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握并靈活運(yùn)用這些知識(shí)點(diǎn)．【變式8-1】如圖，將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E，BC的對(duì)應(yīng)邊BE交AD于點(diǎn)F．(1)求證：△BFD是等腰三角形；(2)若AB=3,BC=5，求AF的長(zhǎng)．【答案】(1)詳見解析(2)AF=【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠ADB=∠CBD，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠DBC=∠DBF，根據(jù)等腰三角形的判定定理得到結(jié)論；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)我們可得出CD=DE=AB=3，∠E=∠C=∠A=90°，BE=BC=5，證明△ABF≌△EDFAAS，設(shè)BF=x【詳解】（1）∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∵將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，∴∠DBC=∠DBF，∴∠DBF=∠BDF，∴△BFD是等腰三角形；（2）∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°，∵將矩形ABCD沿對(duì)角線BD折疊，∴CD=DE=AB=3，∠E=∠C=∠A=90°，BE=BC=5，在△ABF與△EDF中，∠AFB=∠EFD∠A=∠E=90°∴△ABF≌△EDFAAS∴AF=EF，設(shè)BF=x，則AF=FE=5?x，在Rt△AFB中，B即x2解得x=17∴AF=5?17【點(diǎn)晴】本題主要考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟知圖形翻折不變性的性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵．【變式8-2】如圖，將長(zhǎng)方形紙片ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，B′C交AD(1)求證：AE=CE；(2)若AB=8，BC=12，求DE的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)DE=10【分析】本題考查矩形與折疊，勾股定理．（1）證明△AEB（2）設(shè)DE=x，在Rt△DCE中，利用勾股定理求出x【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AB=CD，∵將矩形ABCD沿對(duì)角線AC翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′∴∠B∴AB在△AEB′與∠B∴△AEB∴AE=CE；（2）解：∵△AEB∴AE=CE，設(shè)DE=x，則AE=CE=12?x，在Rt△DCE中，D∴x2∴x=10∴DE=10【變式8-3】把一張矩形ABCD紙片按如圖方式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，點(diǎn)C與點(diǎn)F重合（E、F兩點(diǎn)均在BD上），折痕分別為BH，DG．(1)求證：四邊形BGDH為平行四邊形；(2)若AB=6,BC=8，求線段FG的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查了與矩形有關(guān)的折疊問題，平行四邊形的證明及勾股定理，準(zhǔn)確分析計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)證明即可；（2）由折疊可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，在根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD為矩形，∴AB∥∴∠ABD=∠CDB，又由折疊可得：∠ABH=∠DBH，∠CDG=∠BDG，∴∠ABH=1∴∠DBH=∠BDG，∴BH∥∵AD∥∴四邊形BGDH為平行四邊形；（2）解：由折疊可得FG=CG，DF=DC=6，∠DFG=∠C=90°，在Rt△BCD∵BD∴BD=8∴BF=10?6=4，設(shè)FG=CG=x，則BG=8?x，在Rt△BGF∵BF42解得：x=3，即FG=3．【考點(diǎn)題型九】正方形的性質(zhì)【典例9】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的頂點(diǎn)O，B的坐標(biāo)分別是0,0，4,0，則頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（）A．2,?22 B．22,?22 C．【答案】C【分析】本題結(jié)合坐標(biāo)系考查了正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵靈活運(yùn)用正方形的性質(zhì)進(jìn)行線段計(jì)算，得出點(diǎn)的坐標(biāo)．根據(jù)AC、OB的互相垂直平分，且OB=4=AC，即有OD=DB=DA=DC=2，問題得解．【詳解】解：連接AC，交OB于點(diǎn)D，∵B4，∴OB=4，∵四邊形OABC是正方形，∴AC、OB的互相垂直平分，且OB=4=AC，∴OD=DB=DA=DC=2，OD⊥DC，∴C點(diǎn)坐標(biāo)2，故選：B．【變式9-1】如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)E，使CE=AC，連結(jié)AE交CD于點(diǎn)F，則∠AFC等于（

）度．A．112.5 B．125 C．135 D．150【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理和外角的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是掌握以上知識(shí)點(diǎn)．首先根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BCA=∠FCA=12∠BCD=45°【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴∠BCD=90°∴∠BCA=∠FCA=∵CE=AC∴∠E=∠CAE=∴∠AFC=180°?∠CAF?∠ACF=112.5°．故選：A．【變式9-2】如圖，E是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AE⊥BE于E，若AE=6，BE=8，則陰影部分的面積為（

）A．48 B．76 C．78 D．84【答案】B【分析】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、勾股定理的應(yīng)用、三角形及正方形的面積公式等知識(shí)與方法，先由∠AEB=90°，AE=6，BE=8，根據(jù)勾股定理求得AB=10，再分別求出正方形ABCD的面積和△AEB的面積，即可由S陰影【詳解】解：∵∠AEB=90°，AE=6，BE=8，∴AB=A∵四邊形ABCD是正方形，∴S∵S∴S∴陰影部分的面積是76，故選：B．【變式9-3】如圖，正方形ABCD和正方形EFGO的邊長(zhǎng)都是2，正方形EFGO繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，兩個(gè)正方形重疊部分的面積是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出OB=OC,∠OBA=∠OCB=45°,∠BOC=∠EOG=90°，推出∠BON=∠MOC，證出△OBN≌【詳解】解：如圖，設(shè)AB與OE交點(diǎn)N，BC與OG交點(diǎn)M，∵四邊形ABCD和四邊形EFGO都是正方形，∴OB=OC,∠OBA=∠OCB=45°,∠BOC=∠EOG=90°，∴∠BON=∠MOC．在△OBN與△OCM中，∠OBN=∠OCMOB=OC∴△OBN≌∴S∴S故選：A．【考點(diǎn)題型十】正方形的性質(zhì)與判定綜合運(yùn)用

【典例10】如圖，在正方形ABCD中，E是邊BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥EA交CD于點(diǎn)G，且EF=EA，連接CF．(1)求證：∠BAE=∠CEF；(2)求∠ECF的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)135°【分析】此題屬于四邊形綜合題，考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)．（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和等角的余角相等即可得結(jié)論；（2）在AB上截取BP=BE，連接EP，證明△APE≌△ECFSAS，可得∠ECF=∠APE=180°?∠BPE=135°【詳解】（1）證明：∵EF⊥EA，EF=EA，∴∠AEB+∠CEF=90°，在正方形ABCD中，∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠CEF；（2）解：如圖，在AB上截取BP=BE，連接EP，在正方形ABCD中，∠B=90°，AB=BC，∴AP=EC，∠BPE=45°，∴∠APE=180°?∠BPE=135°，∵AP=EC，∠PAE=∠CEF，AE=EF，∴△APE≌△ECFSAS∴∠ECF=∠APE=180°?∠BPE=135°．【變式10-1】如圖，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為9，BE=3，將△ABE沿AE對(duì)折至△AGE，延長(zhǎng)EG交CD于點(diǎn)F，連接AF，且AF平分∠DAG．(1)證明：△AGF≌△ADF；(2)求線段EF的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)15【分析】此題主要考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理的綜合應(yīng)用以及翻折變換的性質(zhì)，根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)線段相等是解題關(guān)鍵．（1）利用翻折變換對(duì)應(yīng)邊關(guān)系得出AB=AG，BE=GE，∠B=∠AGE=90°，利用HL定理得出Rt△AGF≌（2）結(jié)合（1）設(shè)DF=GF=x，則CF=9?x，EF=x+3，利用勾股定理得出CE2+C【詳解】（1）證明：在正方形ABCD中，AD=AB=BC=CD=9，∠D=∠B=∠BCD=90°，∵將△ABE沿AE對(duì)折至△AGE，∴AB=AG，BE=GE，∠B=∠AGE=90°，∴AD=AG，∠D=∠AGF=90°，又∵AF=AF，在Rt△AGF和RtAF=AFAD=AG∴Rt△AGF≌（2）由（1）可知，Rt△AGF≌Rt△ADF∴DF=GF，CE=BC?BE=6，設(shè)DF=GF=x，則CF=9?x，EF=x+3，∴在Rt△CEF中，CE2解得x=9∴EF=3+9【變式10-2】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)M是對(duì)角線BD上的一點(diǎn)，連接AM，過點(diǎn)M作MN⊥AM，交CD于點(diǎn)N，以AM、MN為鄰邊作矩形AMNP．(1)求證：矩形AMNP是正方形．(2)若點(diǎn)N為CD的中點(diǎn)，且AD=8，求正方形AMNP的面積．【答案】(1)見解析(2)40【分析】本題考查正方形的性質(zhì)和判定，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)：（1）過點(diǎn)M作ME⊥AD于點(diǎn)E，MF⊥CD于點(diǎn)F，先證ME=MF，四邊形EMFD是矩形，進(jìn)而得出∠AME=∠NMF，再證△AME≌△NMFASA，推出AM=NM，即可證明四邊形AMNP（2）先用勾股定理解Rt△ADN求出AN【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)M作ME⊥AD于點(diǎn)E，MF⊥CD于點(diǎn)F，∵四邊形