北師版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)（壓軸題60題）

期末復(fù)習(xí)（壓軸題60題）一、單選題1．如圖，在等邊三角形ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP．若AP=3，BP=1，CP=2A．32 B．3 C．7342．某經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，且一月份、二月份、三月份的總產(chǎn)值為175億元，若設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程（

）A．50(1+x)2=175C．50(1+x)+50(1+x)2=1753．如圖，把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，點(diǎn)P(1,2)在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)90°，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，……，則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2025次后，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A．(6074,1) B．(6075,1) C．(6076,2) D．(6077,2)4．如圖，點(diǎn)P為雙曲線y=12xx>0上一點(diǎn)，點(diǎn)A為x軸正半軸上一點(diǎn)，且OP=OA=5，則△POAA．7.5 B．10 C．7.5或12.5 D．7.5或105．如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B=∠ADE B．ACC．ABAD=AC6．關(guān)于x的一元二次方程k2x2?2k+1A．k>?14 B．k≤?14且k≠0 C．k>?14且7．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，將矩形沿EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G正好落在AD的中點(diǎn)處，則AE的長(zhǎng)為（

）

A．56 B．53 C．28．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為（

A．6 B．8 C．10 D．129．已知正比例函數(shù)y1=mxm≠0的圖象與反比例函數(shù)y2=nxA．x<?1或x>1 B．x<?1或0<x<1C．?1<x<1 D．?3<x<0或0<x<310．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB=90°，將△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBG．延長(zhǎng)AE交CG于點(diǎn)F，連接DE，下列結(jié)論：①AF⊥CG，②四邊形BEFG是正方形，③若DA=DE，則CF=FG；其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③11．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒．如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、DA．122023 B．122024 C．13．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處．下列結(jié)論：①∠EBG=45°；②△DEF∽△HFG；③4S△HGF=9S△FDEA．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③④14．如圖，矩形ABCD中，AB=23，AD=8，點(diǎn)E在邊AD上，且AE:ED=1:3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交射線BC于點(diǎn)F，連接PF．設(shè)M是線段PF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，線段DM的最小值是（

A．5 B．27 C．32 15．拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=?1，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①abc>0；②b2?4ac>0；③9a?3b+c=0；④若點(diǎn)?1.5,y1

A．2 B．3 C．4 D．516．已知點(diǎn)A1,y1，B2,y2，C3,y3，D4,a2+c都在二次函數(shù)y=aA．a(chǎn)<?8或a>4 B．a(chǎn)<?8或a>8C．a(chǎn)<?4或a>8 D．a(chǎn)<?4或a>417．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=3，BD⊥CD．記∠CBD=α，∠BAD=β．若4α=β，tanα=13，則BCA．1255 B．1225 C．18．如圖1，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，沿A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路程為x，CF=y，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，則a的值是()A．4 B．83 C．3 D．19．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)P在直線AD上運(yùn)動(dòng)，以BP為直角邊向右作Rt△PBQ，使得∠BPQ=90°，BP=32PQ，連接CQ，則A．1213 B．2513 C．23920．如圖，AB是⊙O一條弦，將劣弧沿弦AB翻折，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交翻折后的弧于點(diǎn)C，連結(jié)BC，若AB=2，BC=1，則AC的長(zhǎng)為（

）A．235 B．345 C．21．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD和DA的中點(diǎn)，順次連接EF，F(xiàn)G，GH和A．30 B．35 C．40 D．60二、填空題22．如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y=?9x(x<0)的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為?123．如圖，Rt△ABO中，∠OAB=Rt∠，點(diǎn)A在x軸的正半軸，點(diǎn)B在第一象限，函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖象與邊AB，OB分別交于點(diǎn)C,D，若S△BCD=124．如圖，將等邊△ABC折疊，使得點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D處，折痕為EF，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上．若AC=6，AD=2，則△BDF周長(zhǎng)為，CECF的值為25．設(shè)α，β是方程x2?x?2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α326．如圖，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC邊的中點(diǎn)，P，M分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是27．如圖，A，B兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y=?3x(x<0)和y=kxx>0圖象上，連接OA，OB28．如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)y1=k1x（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)M,N，反比例函數(shù)y2=k2x（k229．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，相似比為1:3，OA=2，則OD的長(zhǎng)為．30．如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗桿AB和一根高7米的電線桿CD，它們都與地面垂直．某一時(shí)刻，在太陽(yáng)光照射下，旗桿落在地面上的影子BF的長(zhǎng)為10米，落在圍墻上的影子EF的長(zhǎng)度為2米，而電線桿落在地面上的影子DH的長(zhǎng)為5米，則落在圍墻上的影子GH的長(zhǎng)為米．

31．如圖，在矩形ABCD中，AD=13，CD=12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE=5，CF=6，若點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為．32．如圖、在△ABC中，∠A=60°,AB=6,AC=4，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿DE所在直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，則點(diǎn)A′33．如圖，拋物線y=x2?4x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)F在以點(diǎn)B為圓心，半徑為1的圓上，則DE+EF34．如圖，在等邊△ABC中，AB=4，D，E分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與△ABC的頂點(diǎn)重合），連接AE,CD相交于點(diǎn)F，連接BF，若∠BDF+∠BEF=180°，則BF的最小值為．

35．如圖，分別以等邊△ABC的頂點(diǎn)A,B,C為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，我們把這三條弧組成的封閉圖形叫做萊洛三角形．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π，則萊洛三角形的面積為．36．如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，點(diǎn)E，G分別在邊AB,CD上，且AE=CG，點(diǎn)F在邊BC上，連接EF,BG，若BF=2，則EF+BG的最小值為.

37．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，若AB=4，則38．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三點(diǎn)共線，點(diǎn)G在CD上，BC=3，CE=1，M是AF的中點(diǎn)，那么CM的長(zhǎng)是．39．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B'處，若四邊形ABFE的面積為6，則線段DE的長(zhǎng)為三、解答題40．如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG，A，E，B三點(diǎn)共線，AD=4，AG=22．將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°≤α≤45°)，連接BE，DG(1)如圖2，求證：BE=DG；(2)如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，試求DG的長(zhǎng)；(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻，使得∠DGA=120°，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出DG的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．41．【閱讀理解】半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等．通過(guò)旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)補(bǔ)短，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等三角形，用以解決線段關(guān)系、角度、面積等問(wèn)題，【初步探究】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，連接AE,AF,EF．若∠EAF=45°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABG．易證：△AEF≌△AEG．（1）根據(jù)以上信息，填空：①∠EAG=_______°；②線段BE、EF、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；【遷移探究】（2）如圖2，在正方形ABCD中，若點(diǎn)E在射線CB上，點(diǎn)F在射線DC上，∠EAF=45°，猜想線段BE、EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論；【拓展探索】（3）如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32,∠EAF=45°，連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，若點(diǎn)M恰好為線段BD的三等分點(diǎn)，且BM<DM，求線段42．課本再現(xiàn)證明：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．結(jié)論證明（1）為了證明該命題，小明同學(xué)畫(huà)出了圖形（如圖1），并寫(xiě)出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1求證：∠BAC=30°．證明：如圖1，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CD=BC，連接AD．……知識(shí)應(yīng)用（2）如圖2，四邊形ABCD是一張矩形紙片，將紙片折疊得到折痕EF后再把紙片展平；在CD上選一點(diǎn)P，沿AP折疊△ADP，使點(diǎn)D恰好落在折痕EF上的點(diǎn)M處．求證：∠DAP=∠PAM=∠MAB=30°．拓展提升（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），E在邊AD上，且AE=52，將△APE沿PE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′；將△CBP沿CP折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，且P，A′，B′三點(diǎn)在同一條直線上，A，B′，C三點(diǎn)在同一條直線上，AC43．如圖，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC，垂足為點(diǎn)D，AN是△ABC外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點(diǎn)E．(1)求證：四邊形ADCE為矩形；(2)當(dāng)△ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE為正方形？給出證明．44．如圖，?ABCD對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DE∥AC且DE=OC，連接CE，OE，OE=CD．(1)求證：?ABCD是菱形；(2)若AB=4，∠ABC=60°，求AE的長(zhǎng)．45．在矩形ABCD中，AB=12，P是邊AB上一點(diǎn)，把△PBC沿直線PC折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥CG，垂足為E且在AD上，BE交PC于點(diǎn)F．(1)如圖1，若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，求證：△AEB≌△DEC；(2)如圖2，當(dāng)AD=25，且AE<DE時(shí)，求CEPC(3)如圖3，當(dāng)BE?EF=96時(shí)，求BP的值．46．【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC,D是AB邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，∠CDF=45°．求證：AC?BF=AD?BD；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點(diǎn)D是AB邊的中點(diǎn)，∠A=∠B=∠CDF=45°，若AC=9，BF=8，求線段CF的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）在△ABC中，AB=42,∠B=45°，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形ADE（其中AD:DE=1:2），點(diǎn)D在BC上，點(diǎn)E在AC上．若CE=247．（1）在菱形ABCD中，∠B=60°，點(diǎn)P在邊CD邊上，連接AP，點(diǎn)Q在BC的延長(zhǎng)線上，連接DQ，CP=CQ，求證：∠APC=∠DQC；（2）菱形ABCD中，點(diǎn)P、Q分別是CD,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AP=DQ=8，當(dāng)∠APD=60°時(shí)，求△ADP與△DQC的面積之和．（3）平行四邊形ABCD中，AD=2CD，P是CD上一動(dòng)點(diǎn)，Q是BC上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足AP=2DQ，AP=10，DP=2，當(dāng)∠APD=60°時(shí)，求CQ的長(zhǎng)度．48．已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A?1,0和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，直線y=?3(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交直線BC于點(diǎn)D，連接PC．①如圖1，若動(dòng)點(diǎn)P在直線BC上方運(yùn)動(dòng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥BC于點(diǎn)F，試求三角形△PFD的周長(zhǎng)的最大值．②如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在拋物線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將△CPD沿直線CP翻折，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)Q，若以C、D、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形能成為菱形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．49．如圖1，拋物線y=ax2+bx+c與x軸分別交于點(diǎn)A(?1,0)，B(3,0)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)，點(diǎn)P是坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P(1)求拋物線的解析式；(2)連接OP，若點(diǎn)D在拋物線上且∠DBO+∠POB=90°，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)如圖2，將拋物線y=ax2+bx+c當(dāng)?1≤x≤4時(shí)的函數(shù)圖象記為l1，將圖象l1在x軸上方的部分沿x軸翻折，圖象l1的其余部分保持不變，得到一個(gè)新圖象l2．若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P50．綜合與實(shí)踐綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)探究活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：對(duì)折矩形紙片ABCD，使AD與BC重合，得到折痕EF，把紙片展平；操作二：在AD上選取一點(diǎn)P，沿BP折疊，使點(diǎn)A落在矩形內(nèi)部的點(diǎn)M處，把紙片展平，連接PM,BM．根據(jù)以上操作，如圖1，當(dāng)點(diǎn)M剛好落在折痕EF上時(shí)，∠MBE的度數(shù)為_(kāi)______°；(2)遷移探究將矩形紙片換成正方形紙片，繼續(xù)探究，過(guò)程如下：①將正方形紙片ABCD按照（1）中的方式操作后，如圖2，并延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q，連接BQ．當(dāng)點(diǎn)M在EF上時(shí)，∠CBQ的度數(shù)為_(kāi)______°；②改變點(diǎn)P在AD上的位置（點(diǎn)P不與點(diǎn)A,D重合），如圖3，請(qǐng)判斷CQ與MQ的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．(3)拓展應(yīng)用在（2）的探究中，已知正方形紙片ABCD的邊長(zhǎng)為20cm，當(dāng)FQ=2cm時(shí)，求AP51．（1）【問(wèn)題探究】如圖1，正方形ABCD中，點(diǎn)F、G分別在邊BC、CD上，且AF⊥BG于點(diǎn)P，求證：AF=BG；（2）【知識(shí)遷移】如圖2，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E、F、G、H分別在邊BC、BC、CD、AD上，且EG⊥FH于點(diǎn)P．若EG?HF=48，求HF的長(zhǎng)；（3）【拓展應(yīng)用】如圖3，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AB=9，點(diǎn)E在直線AB上，BE=6，AF⊥DE交直線BC于點(diǎn)F．請(qǐng)直接寫(xiě)出線段FC的長(zhǎng)．52．如圖1，⊙O的直徑AB=8，AM和BN是它的兩條切線，點(diǎn)E是圓上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E的直線與AM，BN分別相交于點(diǎn)D，C兩點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)，交BN點(diǎn)P，BC=CP．(1)求證：DC是⊙O的切線；(2)若DEEC=153．問(wèn)題背景：如圖，在正方形ABCD中，邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)M，N是邊AB,BC上兩點(diǎn)，且BM=CN=1，連接CM,DN,CM與DN相交于點(diǎn)O．(1)探索發(fā)現(xiàn)：探索線段DN與CM的關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)探索發(fā)現(xiàn)：若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是DN與CM的中點(diǎn)，計(jì)算EF的長(zhǎng)；(3)拓展提高：延長(zhǎng)CM至P，連接BP，若∠BPC=45°，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段PM的長(zhǎng)．54．【觀察猜想】（1）我們知道，正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都為直角．如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，EF，并延長(zhǎng)CB到點(diǎn)G，使BG=DF，連接AG．若∠EAF=45°，則BE，EF，DF之間的數(shù)量關(guān)系為【類比探究】（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC的延長(zhǎng)線上，且∠EAF=45°時(shí)，試探究BE，EF，DF【拓展應(yīng)用】（3）如圖3，在Rt△ABC中，AB=AC，D，E在BC上，∠DAE=45°，若△ABC的面積為12，BD?CE=4，請(qǐng)直接寫(xiě)出55．如圖①，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)D為BC邊上的一點(diǎn)，連接AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD于點(diǎn)F，交AB于點(diǎn)E，連接DE(1)求證：△AFC∽△CFD；(2)若AE=2BE，求證：AF=2CF；(3)如圖②，若AB=2，DE⊥BC，求BEAE56．已知：如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E為直角邊AC的中點(diǎn)，過(guò)D，E(1)若AB=6，AC=8，求BD長(zhǎng)；(2)求證：AB?AF=AC?DF．57．綜合與實(shí)踐課上，諸葛小組三位同學(xué)對(duì)含60°角的菱形進(jìn)行了探究．【背景】在菱形ABCD中，∠B=60°，作∠PAQ=∠B，AP、AQ分別交邊BC、CD于點(diǎn)P、Q．(1)【感知】如圖1，若點(diǎn)P是邊BC的中點(diǎn)，小南經(jīng)過(guò)探索發(fā)現(xiàn)了線段AP與AQ之間的數(shù)量關(guān)系．(2)【探究】如圖2，小陽(yáng)說(shuō)“點(diǎn)P為BC上任意一點(diǎn)時(shí)，（1）中的結(jié)論仍然成立”，你同意嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)【應(yīng)用】小宛取出如圖3所示的菱形紙片ABCD，測(cè)得∠ABC=60°，AB=6，在BC邊上取一點(diǎn)P，連接AP，在菱形內(nèi)部作∠PAQ=60°，AQ交CD于點(diǎn)Q，當(dāng)AP=27時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出線段DQ58．如圖①，在正方形ABCD和正方形BEFG中，點(diǎn)A，B，E在同一條直線上，P是線段DF的中點(diǎn)，連接PG,PC．(1)探究PG與PC的位置關(guān)系（寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明）；(2)如圖②，將原問(wèn)題中的正方形ABCD和正方形BEFG換成菱形ABCD和菱形BEFG，且∠ABC=∠BEF=60°．探究PG與PC的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的猜想并加以證明：(3)如圖③，將圖②中的菱形BEFG繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使菱形BEFG的邊BG恰好與菱形ABCD的邊AB在同一條直線上，問(wèn)題（2）中的其他條件不變．你在（2）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫(xiě)出你的猜想并加以證明．59．如圖，拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=?1，與x軸交于A(?3,0),B(1,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,3)(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)連接AC,CD,DA，試判斷△ACD的形狀，并說(shuō)明理由；(3)若點(diǎn)Q在拋物線的對(duì)稱軸上，拋物線上是否存在點(diǎn)P，使以A，B，Q，P四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請(qǐng)求出滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．60．如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，AB是⊙O的直徑，P是AB的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，弦CE交AB于點(diǎn)D．∠POE=2∠CAB，∠P=∠E．(1)求證：CE⊥AB；(2)求證：PC是⊙O的切線；(3)若BD=OD，PB=9，求⊙O的半徑．

期末復(fù)習(xí)（壓軸題60題）一、單選題1．如圖，在等邊三角形ABC內(nèi)部取一點(diǎn)P，連接AP，BP，CP．若AP=3，BP=1，CP=2A．32 B．3 C．734【答案】B【分析】將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′B，連接PP′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AP′=AP=3,BP′=CP=2,∠PAP′=60°，由勾股定理逆定理得【詳解】解：∵ABC是等邊三角形，∴AC=AB,∠BAC=60°．如圖，將△APC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△AP′B由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，∠APC=∠AP′B∴△PAP∴PP∵12∴PB∴△P′PB取BP′的中點(diǎn)H，連接PH，則∴PH=BH=BP，∴△BPH是等邊三角形，∴∠PBH=60°，∴∠PP∴∠AP∴∠AP∴∠APC=∠AP∴S△APC故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊的中線，勾股定理的逆定理等知識(shí)，正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．某經(jīng)濟(jì)技術(shù)開(kāi)發(fā)區(qū)今年一月份工業(yè)產(chǎn)值達(dá)50億元，且一月份、二月份、三月份的總產(chǎn)值為175億元，若設(shè)平均每月的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意可列方程（

）A．50(1+x)2=175C．50(1+x)+50(1+x)2=175【答案】D【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．增長(zhǎng)率問(wèn)題，一般用增長(zhǎng)后的量=增長(zhǎng)前的量×（1+增長(zhǎng)率），本題可先用x表示出二月份的產(chǎn)值，再根據(jù)題意表示出三月份的產(chǎn)值，然后將三個(gè)月的產(chǎn)值相加，即可列出方程．【詳解】解：二月份的產(chǎn)值為：501+x三月份的產(chǎn)值為：501+x故第一季度總產(chǎn)值為：50+501+x故選：D．3．如圖，把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)，點(diǎn)P(1,2)在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)90°，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，……，則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2025次后，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

）A．(6074,1) B．(6075,1) C．(6076,2) D．(6077,2)【答案】D【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形的變化、規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，全等三角形的性質(zhì)和判定，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)從特殊到一般的探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．首先求出P1【詳解】解：∵A(3,0)，P(1,2)，根據(jù)題意點(diǎn)P也是繞正方形右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛞来涡D(zhuǎn)90°，過(guò)點(diǎn)P和點(diǎn)P1作PM⊥OA,則∠PAP∴∠1+∠2=90°,∠1+∠3=90°，∴∠2=∠3，∴△APM≌△P∴AM=P∴ON=5，∴第一次旋轉(zhuǎn)后P1同理第二次旋轉(zhuǎn)后P2第三次旋轉(zhuǎn)后P3第四次旋轉(zhuǎn)后P4第五次旋轉(zhuǎn)后P5發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置4次一個(gè)循環(huán)，∵2025÷4=506...1P2025的縱坐標(biāo)與P1相同為2，橫坐標(biāo)為∴P2025故選：D．4．如圖，點(diǎn)P為雙曲線y=12xx>0上一點(diǎn)，點(diǎn)A為x軸正半軸上一點(diǎn)，且OP=OA=5，則△POAA．7.5 B．10 C．7.5或12.5 D．7.5或10【答案】D【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，勾股定理，三角形的面積，作PD⊥x軸于D，如圖，設(shè)Pa,12a，根據(jù)勾股定理得a2+12a【詳解】解：作PD⊥x軸于D，如圖，設(shè)Pa,∴OD=a，PD=12∵OP=OA=5，OD∴a2整理得，a4解得a=4或a=3，∴P4,3或3,4當(dāng)P4,3時(shí)，S當(dāng)P3,4時(shí)，S綜上，△POA的面積為7.5或10，故選：D．5．如圖，已知∠1=∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無(wú)法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠B=∠ADE B．ACC．ABAD=AC【答案】B【分析】本考查了相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)相似三角形的判定：①如果兩個(gè)三角形的三組對(duì)應(yīng)邊的比相等，那么這兩個(gè)三角形相似；②如果兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似；③如果兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，那么這兩個(gè)三角形相似，逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD∴∠BAC=∠DAEA、由兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合題意；B、不符合兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等，無(wú)法判定△ABC∽△ADE，故符合題意；C、由兩個(gè)三角形的兩條對(duì)應(yīng)邊的比相等，且?jiàn)A角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合題意；D、由兩個(gè)三角形的兩個(gè)對(duì)應(yīng)角相等可得△ABC∽△ADE，故不符合題意；故選：B．6．關(guān)于x的一元二次方程k2x2?2k+1A．k>?14 B．k≤?14且k≠0 C．k>?14且【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的定義和一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系．首先根據(jù)這是一個(gè)一元二次方程，可得二次項(xiàng)系數(shù)不為0，所以有k2≠0，再根據(jù)方程有兩個(gè)實(shí)根可得4k+1≥0，解不等式組即可求出【詳解】解：∵一元二次方程k2a=k2、b=?∴Δ===4=4k+1，∵方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴4k+1≥0解得：k≥?14且故選：D．7．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=8，點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，將矩形沿EF折疊，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G正好落在AD的中點(diǎn)處，則AE的長(zhǎng)為（

）

A．56 B．53 C．2【答案】B【分析】本題主要考查了矩形與折疊問(wèn)題，勾股定，先由矩形的性質(zhì)得到AD=BC=8，∠A=90°，再由折疊的性質(zhì)得到AG=12AD=4，BE=EG，設(shè)AE=x【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，BC=8，∴AD=BC=8，∠A=90°，∵矩形沿EF折疊，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G正好落在AD的中點(diǎn)處，∴AG=12AD=4設(shè)AE=x，∵AB=6，∴BE=AB?AE=6?x=EG，在Rt△AEG中，由勾股定理得A即x2解得x=5∴AE=5故選：B．8．如圖所示，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)D′處，則重疊部分△AFC的面積為（

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】本題考查了矩形與折疊、勾股定理、等腰三角形的判定．證得∠CAF=∠FCA，則AF=CF，設(shè)D′F=x，則在Rt△AFD′【詳解】解：∵ABCD是矩形，∴CD=AB，CD∥AB，BC=DA，∴∠DCA=∠CAF，由折疊可得CD=CD′，AD=AD∴∠CAF=∠ACF，AB=CD′，∴AF=CF，∴D′F＝設(shè)D′F=x，則AF=8?x，在Rt△AFD′解之得：x=3，∴AF=AB?FB=8?3=5，∴S△AFC故選：C．9．已知正比例函數(shù)y1=mxm≠0的圖象與反比例函數(shù)y2=nxA．x<?1或x>1 B．x<?1或0<x<1C．?1<x<1 D．?3<x<0或0<x<3【答案】B【分析】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，求出正比例函數(shù)y1=3x，反比例函數(shù)【詳解】解：∵正比例函數(shù)y1=mxm≠0的圖象與反比例函數(shù)y∴m=3，n=1×3=3，∴正比例函數(shù)y1=3x，反比例函數(shù)畫(huà)出函數(shù)圖象如圖所示：

由圖象可得：不等式y(tǒng)1<y2的解集為故選：B．10．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，∠AEB=90°，將△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△CBG．延長(zhǎng)AE交CG于點(diǎn)F，連接DE，下列結(jié)論：①AF⊥CG，②四邊形BEFG是正方形，③若DA=DE，則CF=FG；其中正確的結(jié)論是（）A．①②③ B．①② C．②③ D．①③【答案】A【分析】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)．設(shè)AF交BC于K，由∠ABK=90°及將△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBG，可得∠KAB=∠BCG，即可得∠KFC=90°，從而判斷①正確；由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，由正方形的判定可證四邊形BEFG是正方形，可判斷②正確；過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，由等腰三角形的性質(zhì)可得AH=12AE，DH⊥AE，由“AAS”可得△ADH≌△BAE，可得AH=BE=12【詳解】解：設(shè)AF交BC于K，如圖：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABK=90°，∴∠KAB+∠AKB=90°，∵將△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到△CBG，∴∠KAB=∠BCG，

∵∠AKB=∠CKF，∴∠BCG+∠CKF=90°，∴∠KFC=90°，∴AF⊥CG，故①正確；∵將△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，∴∠AEB=∠CGB=90°，BE=BG，∠EBG=90°，又∵∠BEF=90°，∴四邊形BEFG是矩形，又∵BE=BG，∴四邊形BEFG是正方形，故②正確；如圖，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AE于H，∵DA=DE，DH⊥AE，∴AH=1∴∠ADH+∠DAH=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠DAH+∠EAB=90°，∴∠ADH=∠EAB，又∵AD=AB，∠AHD=∠AEB=90°，∴△ADH≌△BAE(AAS∴AH=BE=1∵將△ABE繞點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，∴AE=CG，∵四邊形BEFG是正方形，∴BE=GF，∴GF=1∴CF=FG，故③正確；∴正確的有：①②③，故選：A．11．如圖，在鈍角三角形ABC中，AB=6cm，AC=12cm，動(dòng)點(diǎn)D從A點(diǎn)出發(fā)到B點(diǎn)止，動(dòng)點(diǎn)E從C點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)止．點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為1cm/秒，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為2cm/秒．如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、A．3秒或4.8秒 B．3秒 C．4.5秒 D．4.5秒或4.8秒【答案】A【分析】本題考查了相似三角形的判定，解題時(shí)要注意此題有兩種相似形式，別漏解；還要注意運(yùn)用方程思想解題．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，由題意可知有兩種相似形式，△ADE∽△ABC和△ADE∽△ACB，可求運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒．【詳解】解：根據(jù)題意得：設(shè)當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是x秒，①若△ADE∽△ABC，則AD:AB=AE:AC，即x:6=(12?2x):12，解得：x=3；②若△ADE∽△ACB，則AD:AC=AE:AB，即x:12=(12?2x):6，解得：x=4.8；綜上所述：當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時(shí)，運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是3秒或4.8秒，故選：A12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形A1B1C1D1、D1E1E2B2、A2B2C2D2、DA．122023 B．122024 C．【答案】D【分析】本題考查正方形的性質(zhì)．根據(jù)題意，先求出B2【詳解】解：∵正方形A1B1C∴∠∴∴∴同理可得BB……∴正方形A2024B2024故選：D．13．如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6,BC=10，點(diǎn)E在CD上，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處．下列結(jié)論：①∠EBG=45°；②△DEF∽△HFG；③4S△HGF=9S△FDEA．①②③ B．①②③④ C．①③④ D．②③④【答案】B【分析】由矩形的性質(zhì)得AB=6,BC=10，由折疊得∠FBE=∠CBE=12∠CBF，∠HBG=∠ABG=12∠ABF則∠EBG=∠FBE+∠HBG=1【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AB=6,BC=10，∴CD=AB=6,AD=BC=10,∠A=∠ABC=∠C=∠D=90°，∴由折疊得∠FBE=∠CBE=12∠CBF∴∠EBG=∠FBE+∠HBG=1∵∠BFE=∠C=90°，∠BHG=∠A=90°，點(diǎn)F在AD上，點(diǎn)H在∴∠DEF=∠HFG=90°?∠DFE，∴∠D=∠FHG，∴△DEF∽△HFG，故②正確；∵根據(jù)折疊可知：AB=BH=6，BC=BF=10，∴在Rt△ABF中，AF=∴DF=10?8=2，HF=10?6=4，設(shè)AG=HG=x，∴GH2+HF2∴AG=HG=3，∴S△FHG設(shè)EF=CE=y，∴DE2+DF2∴S△FDE∴S△HGF∴4S∵AG+DF=3+2=5，F(xiàn)G=10?AG?DF=10?3?2=5，∴AG+DF=FG，故④正確．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面積公式等知識(shí)，求得FH=4及AF=8是解題的關(guān)鍵．14．如圖，矩形ABCD中，AB=23，AD=8，點(diǎn)E在邊AD上，且AE:ED=1:3．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿射線AB運(yùn)動(dòng)．過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE交射線BC于點(diǎn)F，連接PF．設(shè)M是線段PF的中點(diǎn)，則在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的整個(gè)過(guò)程中，線段DM的最小值是（

A．5 B．27 C．32 【答案】A【分析】由四邊形ABCD為矩形以及AE:ED=1:3得∠ABE=30°,∠EBC=60°，連接EM,BM，再由直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得M在BE的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，故當(dāng)DM與垂直平分線垂直時(shí)，DM最小，過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥AD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)M作MR⊥AB于點(diǎn)R，則四邊形ARMQ為矩形，故MR=AQ，AR=QM，QM∥AR，BS=BTcos∠ABE=433，設(shè)BR=x，則QM=AR=23+x，MR=AQ=SR?tan∠BST=3433【詳解】解：∵四邊形ABCD為矩形，AB=23，AD=8∴CD=AB=23，BC=AD=8,∠ABC=∠BCD=90°∵AE:ED=1:3，∴AE=2,ED=6，連接BE，如圖所示：∴BE=AE2∵sin∠ABE=∴∠ABE=30°,∠EBC=60°，連接EM,BM，如圖所示：∵M(jìn)是線段PF的中點(diǎn)，，∴EM=BM=1∴M在線段BE的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)DM與線段BE的垂直平分線ST垂直時(shí)，DM最小，如圖：過(guò)點(diǎn)M作MQ⊥AD于點(diǎn)Q，過(guò)點(diǎn)M作MR⊥AB于點(diǎn)R，∴四邊形ARMQ為矩形，∴MR=AQ，AR=QM，QM∥AR，此時(shí)BT=1∴在Rt△BST中，BS=設(shè)BR=x，則QM=AR=23∵∠ABE=30°，∴∠BST=60°，∴MR=AQ=SR?tan∴QD=AD?AQ=4?3∵QM∥AR，∴∠TMQ=∠BST=60°，∵DM⊥SM，∴∠QMD=30°，∴QM=3∴23解得：x=3∴QD=4?3∴MD=2QD=5，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，解直角三角形，等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊中線等于斜邊一半，勾股定理，要用的輔助線較多，關(guān)鍵在確定D所在的軌跡以及DM最小值的位置．15．拋物線y=ax2+bx+c的對(duì)稱軸為直線x=?1，部分圖象如圖所示，下列判斷中：①abc>0；②b2?4ac>0；③9a?3b+c=0；④若點(diǎn)?1.5,y1

A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系．熟練掌握二次函數(shù)圖象開(kāi)口方向，與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的特征，對(duì)稱軸特征，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系．與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的特征，對(duì)稱軸特征，一一判斷即可．【詳解】∵拋物線對(duì)稱軸是直線x=?1，經(jīng)過(guò)1,0，∴?b∴b=2a，∵a>0，∴b>0，∴abc<0，故①錯(cuò)誤，∵拋物線對(duì)稱軸是直線x=?1，經(jīng)過(guò)1,0，可知拋物線與x軸還有另外一個(gè)交點(diǎn)為?3,0，∴拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴b2故②正確，∵拋物線與x軸交于?3,0，∴9a?3b+c=0，故③正確，∵點(diǎn)?1.5,y1，?2,y2均在拋物線上，且當(dāng)x<?1時(shí)，∴y1故④錯(cuò)誤，∵5a?2b+c=5a?4a?3a=?2a<0，故⑤正確．∴正確的有②③⑤，共3個(gè)．故選：B．16．已知點(diǎn)A1,y1，B2,y2，C3,y3，D4,a2+c都在二次函數(shù)y=aA．a(chǎn)<?8或a>4 B．a(chǎn)<?8或a>8C．a(chǎn)<?4或a>8 D．a(chǎn)<?4或a>4【答案】D【分析】本題考查了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由題意得y1=a+b+c，y2=4a+2b+c，y3=9a+3b+c，a2+c=16a+4b+c，再根據(jù)【詳解】∵二次函數(shù)y=ax2+bx+c過(guò)點(diǎn)A1,y1，∴y1=a+b+c，y2=4a+2b+c，∴a2=16a+4b，即有∵y1∴a+b+c<4a+2b+c<9a+3b+c，∴b>?3ab>?5a當(dāng)a>0時(shí)，b>?3a，∴a2?16a4當(dāng)a<0時(shí)，b>?5a，∴a2?16a4綜上可知：a的取值范圍是a<?4或a>4，故選：D．17．如圖，在四邊形ABCD中，AB=AD=3，BD⊥CD．記∠CBD=α，∠BAD=β．若4α=β，tanα=13，則BCA．1255 B．1225 C．【答案】D【分析】本題考查了三角函數(shù)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E，作∠DAE的角平分線AF交BD于F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于G，由題意可得∠EAF=∠DAF=α，DF=x，EF=y，由tanα=13得到AE=3y，再證明△AEF≌△AGFAAS，得到EF=GF=y，AE=AG=3y，進(jìn)而得到DG=3?3y，由sin∠ADE=AEAD=FGDF可得3y3=yx，求得x=1，DF=1，再勾股定理可得【詳解】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BD于E，作∠DAE的角平分線AF交BD于F，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于G，則∠AEF=∠AGF=∠FGD=90°，∵AE⊥BD，AB=AD，BD⊥CD，∴BE=DE，∠DAE=12∠BAD=∵AF平分∠DAE，∴∠EAF=∠DAF=1設(shè)DF=x，EF=y，∵tanα=∴EFAE∴AE=3EF=3y，在△AEF和△AGF中，∠AEF=∠AGF=90°∠EAF=∠DAF∴△AEF≌△AGFAAS∴EF=GF=y，AE=AG=3y，∴DG=3?3y，∵sin∠ADE=∴3y3∴x=1，∴DF=1，在Rt△DGF中，D∴3?3y2∴y1=1，當(dāng)y1=1時(shí)，∴y1∴y=4∴EF=4∴DE=1+4∴BD=2DE=2×9∵CDBD∴CD=1∴BC=B故選：D．18．如圖1，在矩形ABCD中，動(dòng)點(diǎn)E從A出發(fā)，沿A→B→C方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)C時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE交CD于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)路程為x，CF=y，如圖2所表示的是y與x的函數(shù)關(guān)系的大致圖象，則a的值是()A．4 B．83 C．3 D．【答案】C【分析】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，由已知，AB=a，AB+BC=5，當(dāng)E在BC上時(shí)，如圖，可得△ABE∽△ECF，繼而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得y=?1ax2+a+5【詳解】解：由已知，AB=a，AB+BC=5，當(dāng)E在BC上時(shí)，如圖，過(guò)E作EF⊥AE，∴∠CEF=90°?∠AEB=∠BAE，∠C=∠B=90°∴△ABE∽△ECF，∴ABBE∴ax?a∴y=?1a∴當(dāng)x=?b2a=a+52解得a1=3，a2=253故選C．19．如圖，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，點(diǎn)P在直線AD上運(yùn)動(dòng)，以BP為直角邊向右作Rt△PBQ，使得∠BPQ=90°，BP=32PQ，連接CQ，則A．1213 B．2513 C．239【答案】D【分析】過(guò)點(diǎn)Q作MN⊥AD于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N，證明△APB∽△MQP，設(shè)QM=x，根據(jù)相似三角形的相似比，用x表示AP，并求得PM，進(jìn)而根據(jù)勾股定理，用x表示CQ2，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得CQ【詳解】解：過(guò)點(diǎn)Q作MN⊥AD于點(diǎn)M，與BC交于點(diǎn)N，如圖所示：∴∠A=∠PMQ=∠CNQ=90°，AB=MN=3，∵∠BPQ=90°，∴∠APB+∠MPQ=∠MPQ+∠PQM=90°，∴∠APB=∠MQP，∴△APB∽△MQP，∴APMQ設(shè)MQ=x，則NQ=3?x，∵BP=3∴APx∴AP=32x∴CN=DM=AD?MP?AP=4?2?3∴C==13∵13當(dāng)x=2413時(shí)，CQ∴CQ長(zhǎng)的最小值為2513故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題，涉及矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．20．如圖，AB是⊙O一條弦，將劣弧沿弦AB翻折，連結(jié)AO并延長(zhǎng)交翻折后的弧于點(diǎn)C，連結(jié)BC，若AB=2，BC=1，則AC的長(zhǎng)為（

）A．235 B．345 C．【答案】C【分析】本題考查了圓周角定理的推論，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)定理及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．延長(zhǎng)AC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，連結(jié)BD，先根據(jù)“在同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等”，得到BC=BD，即BC=BD=1，然后根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角，得到∠ABD=90°，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)一步求出AH和DH的長(zhǎng)，再根據(jù)等腰三角形三線合一性質(zhì)，得到【詳解】延長(zhǎng)AC交⊙O于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)B作BH⊥AD于點(diǎn)H，連結(jié)BD，∵BC和BD是圓周角∠A所對(duì)的弧，∴BC∴BC=BD=1，∵AD是直徑，∴∠ABD=90°，∴AD=A∵AB×BD=AD×AH，∴AH=AB×BD∴DH=B∴BC=BD，BH⊥AD，∴CH=DH=5∴AC=AD?CH?DH=5故選：C．21．如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為邊AB，BC，CD和DA的中點(diǎn)，順次連接EF，F(xiàn)G，GH和A．30 B．35 C．40 D．60【答案】A【分析】本題主要考查了三角形中位線的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線得到EF∥HG，EF=HG=先根據(jù)三角形中位線得到EF∥HG，EF=HG=12【詳解】解：∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別為邊AB，∴EF是△ABC的中位線，∴EF∥AC，∵AC=10，∴EF=1同理可得：HG∥AC，∴EF∥同理可得：EH∥∴四邊形EFGH是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴EF⊥EH，∴∠FEH=90°，∴平行四邊形EFGH是矩形，∴矩形EFGH的面積為：6×5=30，即四邊形EFGH的面積為30．故選：A．第II卷（非選擇題）請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說(shuō)明二、填空題22．如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的點(diǎn)A在函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)y=?9x(x<0)的圖象上，若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為?1【答案】3【分析】本題考查反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)等，構(gòu)造K字形相似，由面積比得出相似比為3，從而得出A點(diǎn)坐標(biāo)與C點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，而P是矩形對(duì)角線交點(diǎn)，故P是AC、【詳解】解：如圖，過(guò)C點(diǎn)作CE⊥x軸，過(guò)A點(diǎn)作AF⊥x軸，∵點(diǎn)A在函數(shù)y=1xx>0的圖象上，點(diǎn)C在函數(shù)∴S△OCE=?9∵CE⊥x軸，∴∠CEO=90°，∠OCE+∠COE=90°，∵在矩形OABC中，∠AOC=90∴∠AOF+∠COE=90°，∴∠AOF=∠OCE，又∵∠CEO=∠OFA=90°，∴△AOF∽△OCE，∴CEOF∴CE=3OF，OE=3AF，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為a,1a，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為連接AC，OB交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P為AC，OB的中點(diǎn)，又∵點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為?1∴a+?解得a=?1（不合題意，舍去）或a=3∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為32故答案為：3223．如圖，Rt△ABO中，∠OAB=Rt∠，點(diǎn)A在x軸的正半軸，點(diǎn)B在第一象限，函數(shù)y=kx（k>0，x>0）的圖象與邊AB，OB分別交于點(diǎn)C,D，若S△BCD=1【答案】24【分析】本題考查了反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)，掌握幾何面積計(jì)算反比例系數(shù)的方法是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x于點(diǎn)F，可得OD=2BD，可證△ODF∽△OBA，得到ODOB=OFOA=23，設(shè)B3m,3n，則D2m,2n，點(diǎn)C3m,【詳解】解：如圖所示，連接CD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥OB于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥x于點(diǎn)F，∴S△BCD=1∴OD=2BD，∵∠OAB=90°，∴OA⊥BA，且點(diǎn)A,C,B三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)A,C,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相同，∴DF∥AB，∴△ODF∽△OBA，∴ODOB設(shè)B3m,3n，則D∵點(diǎn)D在反比函數(shù)圖象上，∴k=4mn，即y=4mn∵點(diǎn)A,C,B三點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相同，∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3m，∴點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為y=4mn∴點(diǎn)C3m,∴S==5∴52解得，mn=6∴k=4mn=4×6故答案為：24524．如圖，將等邊△ABC折疊，使得點(diǎn)C落在AB邊上的點(diǎn)D處，折痕為EF，點(diǎn)E、F分別在AC、BC邊上．若AC=6，AD=2，則△BDF周長(zhǎng)為，CECF的值為【答案】1045【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可得：BD+DF+BF=BD+BC=10，AE+DE+AD=AC+AD=8，再證明△AED∽【詳解】解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AB=AC=6，∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，∵AD=2，∴BD=4，由折疊的性質(zhì)可知：CE=DE，CF=DF，∠EDF=∠C=60°，∴BD+DF+BF=BD+BC=10，即△BDF周長(zhǎng)為10，同理：AE+DE+AD=AC+AD=8，∵∠EDF=∠BAC=∠ABC=60°，∴∠FDB+∠EDA=∠AED+∠EDA=120°，∴∠FDB=∠AED，∵∠B=∠A=60°，∴△AED∽∴AE∴AE+AD+ED∴CECF故答案為：10，45【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、折疊變換的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．25．設(shè)α，β是方程x2?x?2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α3【答案】2024【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可以求出α+β=1，根據(jù)方程的解得出α2?α?2024=0，將α3?2026α?β+1可化為【詳解】∵α，β是方程x2∴α+β=1，α2∴α2∴α∴α=α==α+2024?2α?β+1=?=?1+2025=2024，故答案為：2024．26．如圖，在菱形ABCD中，AC=62，BD=6，E是BC邊的中點(diǎn)，P，M分別是AC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是【答案】2【分析】本題主要考查軸對(duì)稱—最短路線問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)和軸對(duì)稱的性質(zhì)．作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，過(guò)E′作AB的垂線，垂足為G，與AC交于點(diǎn)P′，此時(shí)PE+PM的最小值，其值為E′G．根據(jù)AD2【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC=6，BD=62∴AD=3作E關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E′，過(guò)E′作AB的垂線，垂足為G，與AC交于點(diǎn)P′，此時(shí)PE+PM∵12?AC?BD=AB?∴12∴E∴PE+PM的最小值為26故答案為：2627．如圖，A，B兩點(diǎn)分別在反比例函數(shù)y=?3x(x<0)和y=kxx>0圖象上，連接OA，OB【答案】1【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，反比例函數(shù)y=kx(k≠0)中比例系數(shù)k的幾何意義：過(guò)反比例函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)分別作x軸、y先證得△AEO∽△OFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出OF=13AE,BF=13【詳解】解：如圖，過(guò)A、B分別作x軸的垂線，垂足分別為E、F．∵OA⊥OB，∴∠AOE+∠BOF=90°，∵∠AOE+∠OAE=90°，∴∠BOF=∠OAE，∵∠AEO=∠OFB=90°，∴△AEO∽△OFB，∴AE∴OF=1∴OF?BF=1∵A點(diǎn)在反比例函數(shù)y=?3∴AE?OE=3，∴OF?BF=1∴k=1故答案為：1328．如圖，矩形OABC與反比例函數(shù)y1=k1x（k1是非零常數(shù)，x>0）的圖象交于點(diǎn)M,N，反比例函數(shù)y2=k2x（k2【答案】6【分析】本題考查反比例函數(shù)中k的幾何意義的應(yīng)用，讀懂題意，數(shù)形結(jié)合，將所求代數(shù)式準(zhǔn)確用k的幾何意義對(duì)應(yīng)的圖形面積表示出來(lái)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．根據(jù)反比例函數(shù)中k的幾何意義：反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，與原點(diǎn)構(gòu)成的直角三角形面積等于k2，數(shù)形結(jié)合可以得到S△AOM=k12,【詳解】解：∵矩形OABC與反比例函數(shù)y1=k1x（k∴由反比例函數(shù)中k的幾何意義知，S△AOM∵矩形OABC與反比例函數(shù)y2=k2x（k∴由反比例函數(shù)中k的幾何意義知，S矩形∵四邊形OMBN的面積為3，∴由圖可知，S矩形即k2=k∴2k故答案為：6．29．如圖，△ABC與△DEF是位似圖形，相似比為1:3，OA=2，則OD的長(zhǎng)為．【答案】6【分析】本題考查了位似圖形、相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．先根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得ACDF=13，【詳解】解：∵△ABC與△DEF是位似圖形，相似比為1:3，∴ACDF=1∴△OAC∽△ODF，∴ODOA∵OA=2，∴OD2解得OD=6，故答案為：6．30．如圖，在一面與地面垂直的圍墻的同側(cè)有一根高10米的旗桿AB和一根高7米的電線桿CD，它們都與地面垂直．某一時(shí)刻，在太陽(yáng)光照射下，旗桿落在地面上的影子BF的長(zhǎng)為10米，落在圍墻上的影子EF的長(zhǎng)度為2米，而電線桿落在地面上的影子DH的長(zhǎng)為5米，則落在圍墻上的影子GH的長(zhǎng)為米．

【答案】3【分析】本題主要考查了平行投影、矩形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)平行投影的對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程成為解題的關(guān)鍵．如圖：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于N．利用矩形的性質(zhì)和平行投影的知識(shí)可以得到比例式AMME=CNNG，即【詳解】解：如圖：過(guò)點(diǎn)E作EM⊥AB于M，過(guò)點(diǎn)G作GN⊥CD于N．由題意得：四邊形EFBM,GHDN是矩形，則MB=EF=2m，ND=GH，ME=BF=10m，∵AB=10m∴AM=AB?MB=10?2=8m，由平行投影可知：AMME=CN解得：GH=3．故答案為：3．31．如圖，在矩形ABCD中，AD=13，CD=12，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD上，BE=5，CF=6，若點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，H是BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為．【答案】5【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理，連接BG，并延長(zhǎng)交AD與N，連接NF，由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，∠D=90°，證明△AGN≌△EGBASA得出AN=BE=5，BG=GN【詳解】解：如圖，連接BG，并延長(zhǎng)交AD與N，連接NF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠NAG=∠BEG，∵點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，∴AG=EG，∵∠AGN=∠BGE，∴△AGN≌△EGBASA∴AN=BE=5，BG=GN，∴DN=AD?AN=13?5=8，∵CD=12，CF=6，∴DF=DC?CF=6，∴NF=D∵H是BF的中點(diǎn)，BG=GN，∴GH是△BNF的中位線，∴GH=1故答案為：5．32．如圖、在△ABC中，∠A=60°,AB=6,AC=4，點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿DE所在直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，則點(diǎn)A′【答案】2【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)，勾股定理以及運(yùn)用三角函數(shù)解三角形等，了解當(dāng)A′點(diǎn)落在線段BD時(shí)，點(diǎn)A′到點(diǎn)B之間距離的最小是解題的關(guān)鍵．通過(guò)折疊確定點(diǎn)的軌跡，得出A′點(diǎn)落在線段BD時(shí)，點(diǎn)A′到點(diǎn)B之間距離的最小，再由勾股定理求出【詳解】∵點(diǎn)D是AC邊上的中點(diǎn)，AC=4，∴AD=DC=2，∵把△ADE沿DE所在直線折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′∴A∴點(diǎn)A′是在以D為圓心，2連接BD，過(guò)D作DF⊥AB，交點(diǎn)為F，∵∠A=60°∴AF=AD·cos∴DF=A∴BF=AB?AF=6?1=5，∴BD=D∵點(diǎn)B在圓外，A′∴點(diǎn)A′到點(diǎn)B之間距離的最小值是BD?故答案為：2733．如圖，拋物線y=x2?4x+3與y軸交于點(diǎn)C，與x軸交于A、B兩點(diǎn)（A在B的左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，動(dòng)點(diǎn)E在y軸上，點(diǎn)F在以點(diǎn)B為圓心，半徑為1的圓上，則DE+EF【答案】58?1/【分析】先求出C0，3，B3，0，D4，3，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接BD′交y軸于E′，連接DE′【詳解】解：在y=x2?4x+3中，當(dāng)x=0時(shí)，y=3，當(dāng)y=0解得x1=1，∴C0，3∵y=x∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，∵點(diǎn)C關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)D，∴D4如圖，作點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接BD′交y軸于E，由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：D′?4，∴當(dāng)D′、E′、F在同一直線上時(shí)，DE+EF最小，此時(shí)∵BD′=∴BD∴DE+EF的最小值為58?1故答案為：58?1【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、勾股定理，圓的基本性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．34．如圖，在等邊△ABC中，AB=4，D，E分別是邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)（不與△ABC的頂點(diǎn)重合），連接AE,CD相交于點(diǎn)F，連接BF，若∠BDF+∠BEF=180°，則BF的最小值為．

【答案】433【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，結(jié)合∠BDF+∠BEF=180°，得到∠DFE=120°，對(duì)頂角相等，得到∠AFC=120°，進(jìn)而得到點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑，且∠AOC=120°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，連接OA,OC,OB,OF，則：OA=OC=OF,BF≥OB?OF，證明△AOB≌△COB，得到△AOB為含30度角的直角三角形，進(jìn)行求解即可．【詳解】解：∵等邊△ABC，∴∠ABC=60°，AB=BC，∵∠BDF+∠BEF=180°，∴∠DFE+∠ABC=360°?∠BDF+∠BEF∴∠DFE=120°，∴∠AFC=120°，∴點(diǎn)F在以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑，且∠AOC=120°的圓弧上運(yùn)動(dòng)，如圖，連接OA,OC,OB,OF，則：OA=OC=OF,BF≥OB?OF，

∵AB=BC，OB=OB,OA=OC，∴△AOB≌△COB，∴∠ABO=∠CBO=12∠ABC=30°∴∠BAO=90°，∴BO=2AO，AB=3∴AO=4∴BO=2OA=833∴BF≤433，即：BF故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，求圓外一點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的最值，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)軌跡．35．如圖，分別以等邊△ABC的頂點(diǎn)A,B,C為圓心，以AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，我們把這三條弧組成的封閉圖形叫做萊洛三角形．若萊洛三角形的周長(zhǎng)為2π，則萊洛三角形的面積為．【答案】2π?2【分析】本題考查等邊三角形的性質(zhì)，圓的面積與周長(zhǎng)．根據(jù)題意可把萊洛三角形的周長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為半徑為AB的圓的周長(zhǎng)的一半，進(jìn)而求出等邊三角形的邊長(zhǎng)，而其面積看成半徑為AB的圓的面積的一半減去兩個(gè)等邊三角形的面積即可．【詳解】解：∵萊洛三角形的周長(zhǎng)可轉(zhuǎn)化為半徑為AB的圓的周長(zhǎng)的一半∴12∴AB=2，即等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，則BM=1∴AM=A∴萊洛三角形的面積為12故答案為：2π?2336．如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=5，點(diǎn)E，G分別在邊AB,CD上，且AE=CG，點(diǎn)F在邊BC上，連接EF,BG，若BF=2，則EF+BG的最小值為.

【答案】65【分析】如圖，連接DE，作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′F交AB于E′，連接DE′，證明四邊形BEDG為平行四邊形，可得BG=DE，當(dāng)D′，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)，D′E+EF=D′【詳解】解：如圖，連接DE，作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D′，連接D′F交AB于E

由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：DE=D′E，D∵矩形ABCD，∴AB∥CD，∵AE=CG，∴BE=DG，∴四邊形BEDG為平行四邊形，∴BG=DE，∴EF+BG=EF+DE=EF+D∴當(dāng)D′，E，F(xiàn)D′E+EF=D過(guò)F作FH⊥AD于H，則四邊形ABFH為矩形，∴FH=AB=4，AH=BF=2，∴D′∴D′故答案為：65【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．37．如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC的中點(diǎn)，連接EC，F(xiàn)D，G，H分別是EC，F(xiàn)D的中點(diǎn)，連接GH，若AB=4，則【答案】2【分析】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，以及三角形的中位線等知識(shí)，連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠A=90°，AD∥BC，AB=AD=BC=4，進(jìn)而證明△PDH≌△CFHAAS，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到PD=CF=2【詳解】解：連接CH并延長(zhǎng)交AD于P，連接PE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AD∥BC，∵E，F(xiàn)分別是邊∴AE=CF=1∵AD∥∴∠DPH=∠FCH，∵H是DF的中點(diǎn)，∴DH=FH,在△PDH和△CFH中，∠DPH=∠FCH∠PHD=∠CHF∴△PDH≌△CFHAAS∴PD=CF=2，∴AP=AD?PD=2，∴PE=2∵點(diǎn)G，H分別是∴GH=1故答案為：2．38．如圖，正方形ABCD和正方形CEFG中，B、C、E三點(diǎn)共線，點(diǎn)G在CD上，BC=3，CE=1，M是AF的中點(diǎn)，那么CM的長(zhǎng)是．【答案】5【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的化簡(jiǎn)，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并能作出輔助線是解題的關(guān)鍵．連接AC和CF，先證明△ACF是直角三角形，利用勾股定理分別求出AC，CF和AF的長(zhǎng)度，最后利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，推導(dǎo)出CM=1【詳解】連接AC和CF，如圖所示：∵四邊形ABCD和CEFG是正方形，BC=3，CE=1∴∠ACD=∠ACB=∠GCF=∠FCE=45°，AB=BC=3，CE=EF=1，∠ABC=∠FEC=90°∴∠ACF=∠ACD+∠GCF=45°+45°=90°，AC=CF=∴AF=∵∠ACF=90°，M是AF的中點(diǎn)∴CM=故答案為：5．39．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E、F分別在邊AD、BC上，將正方形沿著EF翻折，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)B'處，若四邊形ABFE的面積為6，則線段DE的長(zhǎng)為【答案】7【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，圖形翻折的特征，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等判定和性質(zhì)，勾股定理，作出合理的輔助線是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．連接BB'交EF于O，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于G．根據(jù)四邊形ABFE的面積為6，得到AE+BF=3，設(shè)AE=x，利用翻折特征，得到BB′⊥EF，證明△EGF≌B′【詳解】解：連接BB′交EF于O，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AD于∵四邊形ABCD為正方形，∴四邊形ABFE是梯形，∴四邊形ABFE的面積為S四邊形ABFE=∴AE+BF=3，設(shè)AE=x，則BF=3?x，F(xiàn)C=BC?BF=4?(3?x)=1+x，∵AD∥BC，F(xiàn)G⊥AD，∴四邊形GDCF為矩形，∴GD=FC=1+x，∴EG=AD?AE?GD=4?x?(1+x)=3?2x,∵四邊形GDCF為矩形，∴∠EFB+∠EFG=90°,∵點(diǎn)B′是點(diǎn)B沿著EF∴BB∴∠B∴∠EFG=∠B′BC，又FG=CD=BC∴△EGF≌B∴B′在Rt△FB′B′F2解得x=1∴DE=AD?AE=4?1故答案為：72三、解答題40．如圖1，正方形ABCD和正方形AEFG，A，E，B三點(diǎn)共線，AD=4，AG=22．將正方形AEFG繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°≤α≤45°)，連接BE，DG(1)如圖2，求證：BE=DG；(2)如圖3，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)D，G，E三點(diǎn)共線時(shí)，試求DG的長(zhǎng)；(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻，使得∠DGA=120°，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出DG的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)DG=23(3)存在某時(shí)刻，使得∠DGA=120°，DG=10【分析】（1）由四邊形ABCD和AEFG是正方形，得AB=AD，∠DAB=90°，AE=AG，∠EAG=90°，證明△ABE≌△ADGSAS（2）連接AF，交GE于點(diǎn)O，由正方形的性質(zhì)可得AE=EF=22，∠AEF=90°，AO=GO=12（3）過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DG，交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，求得∠HGA=60°，∠GAH=30°，則GH=12AG=2，由勾股定理得【詳解】（1）證明：∵四邊形ABCD和AEFG是正方形，∴AB=AD，∠DAB=90°，AE=AG，∠EAG=90°，∴∠BAE=∠DAG，在△ABE和△ADG中，AB=AD∠BAE=∠DAG∴△ABE≌△ADGSAS∴BE=DG；（2）解：如圖3，連接AF，交GE于點(diǎn)O，∵四邊形AEFG是正方形，AG=22∴AE=EF=22，∠AEF=90°，AO=GO=12∴AF=A∴AO=FO=2，∵D、E，G三點(diǎn)共線，AD=4，∴在Rt△ADO中，OD=∴DG=OD?OG=23（3）解：存在某時(shí)刻，使得∠DGA=120°，DG=10如圖2，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥DG，交DG的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，∵∠DGA+∠HGA=180°，∠DGA=120°，∴∠HGA=60°，∵AH⊥DG，∴∠HGA+∠GAH=90°，∴∠GAH=90°?∠HGA=30°，∴GH=1∴AH=A在Rt△ADH中，AD=4∴DH=A∴DG=DH?GH=10【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，30°所對(duì)直角邊是斜邊的一半，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．41．【閱讀理解】半角模型是指有公共頂點(diǎn)，銳角等于較大角的一半，且組成這個(gè)較大角的兩邊相等．通過(guò)旋轉(zhuǎn)或截長(zhǎng)補(bǔ)短，將角的倍分關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的相等關(guān)系，并進(jìn)一步構(gòu)成全等三角形，用以解決線段關(guān)系、角度、面積等問(wèn)題，【初步探究】如圖1，在正方形ABCD中，點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上，連接AE,AF,EF．若∠EAF=45°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABG．易證：△AEF≌△AEG．（1）根據(jù)以上信息，填空：①∠EAG=_______°；②線段BE、EF、DF之間滿足的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)______；【遷移探究】（2）如圖2，在正方形ABCD中，若點(diǎn)E在射線CB上，點(diǎn)F在射線DC上，∠EAF=45°，猜想線段BE、EF、DF之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)證明你的結(jié)論；【拓展探索】（3）如圖3，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為32,∠EAF=45°，連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，若點(diǎn)M恰好為線段BD的三等分點(diǎn)，且BM<DM，求線段【答案】（1）①45；②BE+DF=EF；（2）BE+EF=DF．證明見(jiàn)解析；（3）MN=2.5【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．（1）如圖1，先由正方形的性質(zhì)和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得∠ABG=∠D=∠ABE=90°，∠GAB=∠FAD，AG=AF，BG=DF，進(jìn)而可得G、B、E共線，∠EAG=45°，證明△EAF≌△EAGSAS得到EF=EG（2）在圖2中，在DC上截取DH=BE，連接AH，先證明△ABE≌△ADHSAS，得到AE=AH,∠BAE=∠DAH，則可得∠EAF=∠FAH=45°，再證明△EAF≌△HAFSAS得到（3）將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABK，連接KM，先求得BD=6，則由已知得BM=2,DM=4，由旋轉(zhuǎn)可得，△ADN≌△ABK,∠KAN=90°，易證∠KBM=90°，證明△AMK≌△AMN得到KM=MN，設(shè)MK=MN=x，則BK=DN=4?x，利用勾股定理列方程求解x值即可．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABC=90°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到△ABG．則∠ABG=∠D=∠ABE=90°，∠GAB=∠FAD，AG=AF，BG=DF，∴G、B、E共線，∵∠EAF=45°，∴∠EAG=∠GAB+∠BAE=∠FAD+∠BAE=45°，在△EAF和△EAG中，AF=AG∠EAF=∠EAG∴△EAF≌△EAGSAS∴EF=EG，∵BE+BG=EG，∴BE+DF=EF，故答案為：①45；②BE+DF=EF；（2）解：BE+EF=DF．證明如下：如圖2，在DC上截取DH=BE，連接AH，在△ABE和△ADH中，AB=AD∠ABE=∠D∴△ABE≌△ADHSAS∴AE=AH,∠BAE=∠DAH，∴∠BAE+∠BAH=∠BAH+∠DAH=90°，即∠EAH=∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAH=45°，在△EAF和△HAF中，AE=AH∠EAF=∠HAF∴△EAF≌△HAFSAS∴EF=HF，∵DH+HF=DF，∴BE+EF=DF，（3）將△ADN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABK，連接KM，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD=32,∠BAD=90°，∴BD=∴BM=1由旋轉(zhuǎn)可得，△ADN≌△ABK,∠KAN=90°，∴AK=AN,BK=DN,∠ABK=∠ADB=45°，∴∠KBM=∠ABK+∠ABD=90°∵∠KAN=90°,∠MAN=45°，∴∠KAM=∠MAN=45°，又∵AM=AM，∴△AMK≌△AMN，∴KM=MN，設(shè)MK=MN=x，則BK=DN=4?x，在Rt△BMK中，B∴(4?x)解得x=2.5，∴MN=2.5．42．課本再現(xiàn)證明：在直角三角形中，如果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°．結(jié)論證明（1）為了證明該命題，小明同學(xué)畫(huà)出了圖形（如圖1），并寫(xiě)出了“已知”和“求證”，請(qǐng)你完成證明過(guò)程．已知：在△ABC中，∠ACB=90°，BC=1求證：∠BAC=30°．證明：如圖1，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使得CD=BC，連接AD．……知識(shí)應(yīng)用（2）如圖2，四邊形ABCD是一張矩形紙片，將紙片折疊得到折痕EF后再把紙片展平；在CD上選一點(diǎn)P，沿AP折疊△ADP，使點(diǎn)D恰好落在折痕EF上的點(diǎn)M處．求證：∠DAP=∠PAM=∠MAB=30°．拓展提升（3）如圖3，在矩形ABCD中，AB=8，AD=6，P是邊AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），E在邊AD上，且AE=52，將△APE沿PE折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A′；將△CBP沿CP折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，且P，A′，B′三點(diǎn)在同一條直線上，A，B′，C三點(diǎn)在同一條直線上，AC【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）見(jiàn)詳解；（3）CF=【分析】（1）先證明△ACD≌△ACB，