數(shù)值分析 試卷及答案 共4套

數(shù)值分析試卷（I）及答案一.(8分)用復(fù)化梯形公式計(jì)算積分，問區(qū)間應(yīng)分多少等分，才能保證計(jì)算結(jié)果有五位有效數(shù)字？解：由又由于（3）其截?cái)嗾`差應(yīng)滿足：（3）n=68即可滿足要求（2）二.(10分)求函數(shù)y=arctanx在[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式(保留6位小數(shù))解：(4)解方程組，(5)(1)三.(18分)設(shè)函數(shù)滿足表中條件:01210-221)填寫均差計(jì)算表(標(biāo)有*號(hào)處不填):001******110***22-2(2)分別求出滿足條件的2次Lagrange和Newton差值多項(xiàng)式.(3)求出一個(gè)三次插值多項(xiàng)式,使其滿足表中所有條件.解：（1）001******110-1***22-2-2-0.5（5）（2）(6)(3)令則（7）四.(18分)(1).用Romberg方法計(jì)算,將計(jì)算結(jié)果填入下表(*號(hào)處不填).0*********1******2***3(2).對(duì)于求積公式求待定系數(shù)使該求積公式的代數(shù)精度盡量高，并指明求積公式的代數(shù)精度；用該公式計(jì)算積分解：（1）00.74924*********10.474200.38252******20.390760.362940.36164***30.368650.361280.361170.36116(8)(2)a)當(dāng)f(x)=1,x時(shí)，令解得將求積公式具有三次代數(shù)精度(7)b)(3)五.(18分)對(duì)于方程（1）分析方程的正根范圍.（2）可以構(gòu)造迭代公式：，分析兩種迭代法的收斂性（2）用Newton迭代法計(jì)算方程正根解的近似值.(要求精度滿足:).解：（1）設(shè)當(dāng)所以正根在（1,2）內(nèi)，并且是唯一正根。（5）（2）對(duì)于迭代格式對(duì)于迭代格式（6）（7）六.(10分)用直接三角分解（LU分解）法求解線性方程組:其中解：（4）令（3）（3）七.(10分)已知初值問題且，計(jì)算公式，判斷計(jì)算公式精度階數(shù).解：通過對(duì)比，計(jì)算公式具有2階精度（10）八（8分）給出方程組=寫出Jacobi和Gauss-Seidel迭代公式，并說明迭代公式的收斂性。解：Jacobi迭代法：（3）Gauss-seidel迭代法：（3）由于矩陣為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，所以兩種迭代法收斂。（2）試卷2一、(10分)設(shè)，如果用作為的近似值，誤差限是多少，能有幾位有效數(shù)字？求出的相對(duì)誤差限。(小數(shù)點(diǎn)后保留5位)解：,又因?yàn)椋?，又誤差限…………6分因此，具有2位有效數(shù)字;…………8分.…………10分二、（16分）設(shè)節(jié)點(diǎn)1、用Langrange插值和牛頓插值公式求三個(gè)節(jié)點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式；2、當(dāng)增加一個(gè)條件：時(shí)，求對(duì)應(yīng)的三次Hermite插值多項(xiàng)式解：1、…………6分012******1242***231283…………12分2、，，，，，…………16分三、(10分)已知一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：123444.558用直線擬合.解：，,，.由法方程得，所求直線為.………10分四、（10分）方程，討論如下幾種迭代求根方法在區(qū)間上的斂散性：1.改寫方程為，相應(yīng)的迭代格式為；2.改寫方程為，相應(yīng)的迭代格式為.解：1、令，則，由于，因此迭代發(fā)散。2、令，則，由于，.且當(dāng)時(shí)，，因此迭代收斂?！?0分五、（10分）試設(shè)計(jì)求積公式，使之代數(shù)精度盡量高，并指出其所具有的代數(shù)精度.解：令上式對(duì)于，，準(zhǔn)確成立，可列出方程…………7分求解上述方程組得，，令，左邊=，右邊=，左邊≠右邊該式的代數(shù)精度為2階?！?0分 六、（10分）利用改進(jìn)的Euler方法求解常微分方程初值問題：（要求取步長計(jì)算）解:令，則改進(jìn)的Euler公式為： . 取得，. ………………6分計(jì)算結(jié)果如下：111.21.461.42.06521.62.84754 ……………10分七、（10分）利用矩陣的LU分解法解方程組.解：................6分令得，得................10分八、（10分）用Romberg方法計(jì)算,將計(jì)算結(jié)果填入下表(*號(hào)處不填).（保留5位小數(shù)）0*********1***2***3解：，, ,,. ,,.,,.00.27563*********10.174450.14072******20.143750.133520.13304***30.135610.132900.132860.13286...............10分九、（14分）給定方程組，(1)寫出迭代和迭代的計(jì)算公式；(2)證明迭代收斂而迭代發(fā)散.解：（1），.………8分（2）Jacobi：,,.，收斂.，，,，發(fā)散.………14分試卷3(10分)已知反映某實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型為，經(jīng)測量所得,測量儀器的誤差限為0.002，試求出的誤差限和相對(duì)誤差限；2、判定近似函數(shù)值有幾位有效數(shù)字.解：………6分…………8分因?yàn)榈恼`差限，所以有1位有效數(shù)字.…………10分二、（18分）設(shè)節(jié)點(diǎn)用Langrange插值和牛頓插值求三個(gè)節(jié)點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式；當(dāng)增加一個(gè)條件：時(shí)，求對(duì)應(yīng)的三次Hermite插值多項(xiàng)式解：1、…………6分0-1-2******10-3-1***21032…………12分設(shè)…………18分三、(10分)求函數(shù)在給定區(qū)間上對(duì)于權(quán)函數(shù)，的最佳平方逼近多項(xiàng)式.解：，，，.解法方程得，因此所求多項(xiàng)式.…………10分四、（10分）方程，討論如下幾種迭代求根公式在區(qū)間上的斂散性：1、改寫方程為，相應(yīng)的迭代格式為；2、改寫方程為，相應(yīng)的迭代格式為.解：1、令，則，由于，因此迭代發(fā)散.2、令，則，由于，當(dāng)時(shí)，，因此迭代收斂。………10分五、（10分）已知(1)推導(dǎo)以這三點(diǎn)為求積節(jié)點(diǎn)在上的插值型求積公式（即求系數(shù)）；(2)該求積公式所具有的代數(shù)精度是多少？解：(1)所求插值型的求積公式形如：故?；颍河扇c(diǎn)插值型求積公式的代數(shù)精度至少為2，將代入上述公式，可得所以…6分（2）所求的求積公式是插值型，故至少具有2次代數(shù)精度，再將代入上述公式，可得………8分故代數(shù)精度是3次.……………10分六、（10分）取,用改進(jìn)的Euler方法求初值問題在處的近似值.（計(jì)算過程保留5位小數(shù).）解：改進(jìn)的Euler公式為得到；………7分得xy0.51.12511.390625………10分七、（10分）利用矩陣的LU分解法解方程組.解：................6分令得，得................10分八、（11分）利用龍貝格公式計(jì)算定積分(計(jì)算到即可)：將計(jì)算結(jié)果填入下表(*號(hào)處不填).（小數(shù)點(diǎn)后保留5位小數(shù)）0*********1******2***3解，, ,,, ,,, ,,.016*********116.9442817.25904******217.2277417.3222317.32644***317.3060017.3320917.3327517.33285………10分九、（12分）分別寫出用雅可比（Jacobi）迭代，高斯—賽德爾迭代求解方程組：的迭代公式.并判斷用高斯—賽德爾迭代法求解該方程組的收斂性。解:Jacibo迭代公式為:Gauss-Seidel迭代公式為:………8分(2)解:設(shè)矩陣可分解為三個(gè)矩陣的和,即,其中,所以,Gauss-Seidel迭代的迭代矩陣.可求得所以,所以,用Gauss-Seidel迭代法求解該方程組是發(fā)散的.………12分試卷4一、填空(54=20分)1.的相對(duì)誤差約是的相對(duì)誤差的倍.2.對(duì)于個(gè)節(jié)點(diǎn)的插值求積公式至少具有＿n＿次代數(shù)精度。3.用二分法求非線性方程在區(qū)間內(nèi)的根時(shí)，二分次后的誤差限為..4.已知,則條件數(shù)=_____9____.5.設(shè)，則差商1.二、(14分)給定數(shù)表-1012-11201.用Lagrange插值求滿足的三次插值多項(xiàng)式；2.當(dāng)增加一個(gè)條件：時(shí)，求對(duì)應(yīng)的四次Hermite插值多項(xiàng)式.解：1、...........8分2.得四次插值多項(xiàng)式...........14分（12分）1.用Romberg方法計(jì)算,將計(jì)算結(jié)果填入下表(*號(hào)處不填).02.73205*********12.780242.79630******22.793062.797342.79740***32.796342.797432.797442.79744.........6分2.求使求積公式的代數(shù)精度盡量高,并求其代數(shù)精度。解：是精確成立，即..............8分得。求積公式為...........9分當(dāng)時(shí)，公式顯然精確成立；當(dāng)時(shí)，左=，右=。所以代數(shù)精度為3。.............12分四、（6分）解：牛頓迭代公