北師版七年級數學上冊期末復習考點 清單02 有理數及其運算（20個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

清單02有理數及其運算（20個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

【清單01】正數和負數（1）概念正數：大于0的數叫做正數。負數：在正數前面加上負號“—”的數叫做負數。注：0既不是正數也不是負數，是正數和負數的分界線，是整數，自然數，有理數。（不是帶“—”號的數都是負數，而是在正數前加“—”的數。）（2）意義：在同一個問題上，用正數和負數表示具有相反意義的量。【清單02】有理數（1）概念整數：正整數、0、負整數統稱為整數。分數：正分數、負分數統稱分數。（有限小數與無限循環(huán)小數都是有理數。）注：正數和零統稱為非負數，負數和零統稱為非正數，正整數和零統稱為非負整數，負整數和零統稱為非正整數。（2）分類：兩種

【清單03】數軸（1）概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。三要素：原點、正方向、單位長度（2）對應關系：數軸上的點和有理數是一一對應的?！厩鍐?4】相反數（1）概念代數：只有符號不同的兩個數叫做相反數。（0的相反數是0）幾何：在數軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數叫做相反數。（2）性質：若a與b互為相反數，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數。（注意：當“—”號的個數是偶數個時，結果取正號當“—”號的個數是奇數個時，結果取負號）【清單05】絕對值（1）幾何意義：一個數的數量大小叫作這個數的絕對值。

（3）代數符號意義：注：非負數的絕對值是它本身，非正數的絕對值是它的相反數。（4）性質：絕對值是a(a＞0)的數有2個，他們互為相反數。即±a。（5）非負性：任意一個有理數的絕對值都大于等于零，即|a|≥0。幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝0兩個負數比較大小時，絕對值大的反而小?！厩鍐?7】加法法則⑴同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾档膬蓚€數相加得0。⑶一個數同0相加，仍得這個數?！厩鍐?8】加法運算定律（1）加法交換律：兩數相加，交換加數的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結合律：在有理數加法中，三個數相加，先把前兩個數相加或者先把后兩個數相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）【清單09】減法法則減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。即a－b=a＋（﹣）b【清單10】乘法法則（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。（2）任何數同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積為正數；負因數的個數是奇數時，積為負數，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數相乘，若其中有因數0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數是0。【清單11】乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數相乘，交換因數的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c?！厩鍐?2】倒數（1）定義：乘積為1的兩個數互為倒數。（2）性質：負數的倒數還是負數，正數的倒數是正數。注意：①0沒有倒數；②倒數等于它本身的數為±1.【清單13】除法法則（1）除以一個（不等于0）的數，等于乘這個數的倒數。（2）兩個數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數，都得0?！厩鍐?1】乘方法則運算（1）正數的任何次冪都是正數（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數（3）0的任何正整數次冪都是0【清單01】混合運算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進行。（3）如有括號，先算括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值?！厩鍐?1】科學計數法1.科學記數法概念：把一個大于10的數表示成a×10n的形式（其中a是整數數位只有一位的數，n為正整數）。這種記數的方法叫做科學記數法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個n為數用科學記數法表示為a×10n－12.近似數的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數點后某位。（2）保留幾個有效數字注：對于較大的數取近似數時，結果一般用科學記數法來表示例如：256000（精確到萬位）的結果是2.6×1053.有效數字：從一個數的左邊第一個非0數字起，到末尾數字止，所有的數字都是這個數的有效數。注：（1）用科學記數法表示的近似數的有效數字時，只看乘號前面的數字。例如：3.0×104的有效數字是3。（2）帶有記數單位的近似數的有效數字，看記數單位前面的數字。例如：2.605萬的有效數字是2，6，0，5?！究键c題型一】正負數

【典例1】微信錢包收入200元時在微信賬單中顯示為+200，那么支出50元將顯示為（

）A．+50 B．?50 C．+200 D．?200【變式1-1】史料證明：追溯到兩千多年前，中國人已經開始使用負數，并應用到生產和生活中．在農業(yè)生產中，如果增產100kg記為+100kg，那么減產50kgA．?100kg B．+100kg C．?50kg【變式1-2】中國是最早采用正、負數來表示相反意義的量的國家．如果收入200元記作+200元，那么虧損120元記作（

）A．+120元 B．?80元 C．?120元 D．+80元【變式1-3】如果風車順時針旋轉66°，記作+66°，那么逆時針旋轉78°，記作（

）A．?78° B．78° C．?12° D．12°【考點題型二】相反意義的量表示

【典例2】中國是最早使用正負數表示具有相反意義的量的國家，若向東走20米記作+20米，那么向西走30米記作米．【變式2-1】如圖，表中列出了國外幾個城市與北京的時差，其中帶正號的數表示同一時刻比北京時間早的時數，比如北京的時間是7：00時，東京時間為8：00．則當北京的時間為2024年1月28日9：00時，紐約的時間是．城市紐約巴黎東京芝加哥時差/時?13﹣7+1?14【變式2-2】如果?50元表示支出50元，那么+40元表示．【變式2-3】中國是最早采用正負數表示相反意義量的國家，如果盈利100元記作+100元，那么虧損10元可記作元．【考點題型三】有理數的概念辨析

【典例3】?3.782（

）A．是負數，不是分數 B．不是分數，是有理數C．是負數，也是分數 D．是分數，不是有理數【變式3-1】在?2，3.14，227，π，0.101001000……中，有理數的個數是（

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【變式3-2】下列各數：0，?5.11，3.151151115，227，7π中，有理數有【變式3-3】在“?1，?0.3，+116，0，?2.7”這五個數中，負有理數是【考點題型四】有理數的分類

【典例4】把下列各數填在相應的大括號里：5，14，?3，?312，0，2010，?35，6.2正數：{

?}；負數：{

?}；非負整數：{

?}；整數：{

?}；分數：{

?}；負分數：{

?}．【變式4-1】請把下列各數填入它所屬于的集合的大括號里．1，0.0708，?700，?3.88，0，3.14，?723，正有理數集合：{

…}，負整數集合：{

…}，正分數集合：{

…}，非負整數集合：{

…}．【變式4-2】將有理數?2.5,0,21整數：{

…}；負數：{

…}；正分數：{

…}【考點題型五】有理數的大小比較【典例5】a，b兩數在數軸上的位置如圖所示，將a,b,?a,?b用“<”連接，正確的是（A．?b<?a<a<b B．?b<a<?a<bC．a<b<?a<?b D．a<?b<?a<b【變式5-1】在0、1、?12、?2四個數中，最小的數是（A．?2 B．?12 C．0【變式5-2】在??5，?0.8，0，|?6|A．??5 B．?0.8 C．0 D．【變式5-3】比較大小：?2?(?6)；?123?65（填“>”“【考點題型六】數軸上兩點之間的距離

【典例6】M點在數軸上表示?4，N點離M的距離是3，那么N點表示的數為（

）A．?1 B．?7 C．?1或?7 D．?1或1【變式6-1】數軸上與原點距離是2的點有兩個，它們表示的數是（

）A．?2和0 B．2和0C．?2和2 D．?1和1【變式6-2】數軸上點P表示的數為?3，與點P距離為4個單位長度的點表示的數為．【變式6-3】數軸上兩個點之間的距離是5，其中一個點表示的數為3，則另一個點表示的數為．【考點題型七】數軸上的動點問題

【典例7】已知數軸上兩點A，B對應的數分別為?1，3，點P為數軸上一動點，其對應的數為x．(1)若點P為AB的中點，則點P對應的數是．(2)數軸的原點右側有點P，使點P到點A，點B的距離之和為8．請你求出x的值．(3)現在點A，點B分別以每秒2個單位長度和每秒0.5個單位長度的速度同時向右運動，同時點P以每秒6個單位長度的速度從表示數1的點向左運動．當點A與點B之間的距離為3個單位長度時，直接寫出點P對應的數．【變式7-1】如圖所示，點A、B、C、D在數軸上對應的數分別為a、b、c、d，其中a是最大的負整數，b、c滿足b?92+c?12

(1)a=____________；b=_____________；線段BC=____________；(2)若點A以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時點C以每秒5個單位長度的速度向左運動，設運動的時間為t秒，當A、C兩點之間的距離為11個單位長度時，求運動時間t的值；(3)若線段AB和CD同時開始向右運動，且線段AB的速度小于線段CD的速度．在點A和點C之間有一點M，始終滿足AM=CM，在點B和點D之間有一點N，始終滿足BN=DN，此時線段MN為定值嗎?若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．【變式7-2】如圖，點A對應的有理數為a，點B對應的有理數為b，點C對應的有理數為c，且c=?2，點C向左移動3個單位長度到達點A，向右移動5個單位長度到達點B．

(1)a=，b=；(2)若將數軸折疊，使得點A與點B重合，求與點C重合的點表示的數；(3)若點P從點A開始以3個單位長度/秒的速度向左運動，同時，點Q從點B開始以6個單位長度/秒的速度向右運動，點M從點C開始以4個單位長度/秒的速度向右運動，設運動時間t秒，則7QM?2PM的值是否隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【考點題型八】倒數的概念和相反數的概念

【典例8】?2的相反數是（

）A．?12 B．12 C．【變式8-1】2024的倒數是（

）A．2024 B．?2024 C．12024 D．【變式8-2】?57的相反數是，倒數是【考點題型九】相反數的性質運用

【典例9】設a與b互為相反數，則?13【變式9-1】若a、b互為相反數，c是最小的非負數，d是最小的正整數，(a+b)d+d?c=．【變式9-2】已知a+4與2互為相反數，那么a=．【變式9-3】若m、n互為相反數，則|m?5+n|=．【考點題型十】絕對值定義、絕對值的性質

【典例10】若a，b互為相反數，m的絕對值為1，則m2022+a+b的值是（A．?1 B．0或?2 C．0或?1 D．1【變式10-1】?2024的絕對值是（）A．?12024 B．12024 C．2024【變式10-2】?2的絕對值是（

）A．?2 B．?12 C．2 【變式10-3】若m=6，則m的值是（

A．?6 B．6 C．16 D．?6【變式10-3】若x=7，則x=

【考點題型十一】化簡絕對值

【典例11】已知有理數a，b在數軸上的位置如圖所示，則化簡a+1?b?a的結果為（

A．2a?b+1 B．?b+1 C．?b?1 D．?2a?b?1【變式11-1】若ab≠0，那么aaA．?2 B．0 C．1 D．2【變式11-2】有理數m、n在數軸上的對應點如圖所示，則下列各式子正確的是（

）A．m?n=m?nB．m?n=n?m C．n?m=n+m【變式11-3】已知x為有理數，則x+5+x?3的最小值是【考點題型十二】非負性的性質

【典例12】如果a+1+(b?2)2=0，則A．1 B．3 C．?1 D．?3【變式12-1】已知|3a?9|+4+b2=0，則a+b=【變式12-2】已知a?3+(4?b)2=0【變式12-3】已知a+22與b?3互為相反數，則a?b=【考點題型十三】有理數的加減運算【典例13】計算：(1)?4+(2)13

【變式13-1】將?3?(+6)?(?5)+(?2)寫成省略加號的和的形式是（

）A．?3+6?5?2 B．?3?6+5?2C．?3?6?5?2 D．?3?6+5+2【變式13-2】已知x=3，y=2，且x<y，則x+y的值為【變式13-3】(?8)+10+2+(?1)【考點題型十四】有理數乘除法運算

【典例14】計算下列各題：(1)?24×?34+【變式14-1】計算：?1.5×【變式14-2】計算：(1)?12557÷(?5)；【考點題型十五】有理數的乘方

【典例15】下列各組數中，數值相等的是（

）A．23和32 B．(?2)2和?22 C．2和|?2|【變式15-1】在??3，?32，??3，?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式15-2】下面對有理數的大小關系判斷錯誤的是（

）A．35<23 B．+?5<?【考點題型十六】有理數混合運算

【典例16】計算：(1)?23×25?6×25+18×25+25；(2)?【變式16-1】計算：(1)26?27×73?【變式16-2】計算：(1)?9÷3+12【變式16-3】計算：(1)16÷?23?22【變式16-4】計算：?13??22+?28．(3)?22?9×?1【考點題型十七】算“24”點

【典例17】根據“二十四點”游戲的規(guī)則，用僅含有加、減、乘、除及括號的運算式（每個數字只能用一次），使12，?12，3，?1的運算結果等于24：（只要寫出一個算式即可）【變式17-1】“24點的規(guī)則是四個數用且只用一次進行加、減、乘、除四則運算，使結果等24”．現在有四個有理數7，?2，3，?4，運用上述規(guī)則列出算式=24．【變式17-2】有一種“24點”游戲的規(guī)則：用4個整數進行有理數運算（可用括號和乘方）列出一個計算結果為24的算式，現有數2，﹣3，4，5，請列出“24點”的算式：（寫出一個算式即可）．【變式17-3】小明和同學們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據牌面上的數字進行混合運算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數字只能用一次，并使得運算結果等于24．(1)小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個結果等于24的算式；(2)請你抽取任意數字不相同的4張撲克牌，并列出一個結果等于24的算式．【考點題型十八】科學計數法

【典例18】2024年國慶檔全國電影票房為21.04億元，觀影人次為5209萬，國產影片票房為20.17億元，占比為95.87%，其中數據20.17億用科學記數法表示是（

A．20.17×108 B．2.017×109 C．【變式18-1】我國的北斗衛(wèi)星導航系統中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米．將數21500000用科學記數法表示為（）A．2.15×107 B．0.215×109 C．【變式18-2】2021年12月3日中老鐵路全線開通運營，全長1035000米，將1035000米用科學記數法表示應為（

）A．10.35×105米 B．C．0.1035×107米 D．【變式18-3】2021年是中國共產黨百年華誕，在中國共產黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利，現行標準下9899萬農村貧困人口全部脫貧，832個貧困縣全部摘帽，128000個貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，數據128000用科學記數法表為．【考點題型十九】近似數的表示【典例19】用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.05（精確到百分位）C．0.5（精確到十分位） D．0.0502（精確到0.0001）【變式19-1】用四舍五入法得到的近似數2.003萬，精確到（

）A．千分位 B．萬位 C．十位 D．百位【變式19-2】有理數5.555精確到百分位的近似數為．【變式19-3】對于近似數8.10×10?3，它有【考點題型二十】有理數實際應用

【典例20】某快遞公司小哥騎三輪摩托車從公司A出發(fā)，在一條東西走向的大街上來回投遞包裹，現在他一天中七次連續(xù)行駛的記錄如下表（我們約定向東為正，向西為負，單位：千米）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次?3+7?9+10+4?5?2(1)快遞小哥最后一次投遞包裹結束時他在公司A的哪個方向上？距離公司A多少千米？(2)在第幾次記錄時快遞小哥距公司A地最遠，計算說明理由．(3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，并且快遞小哥工作結束后要回公司A交回三輪摩托車，那么快遞小哥工作一天需要花汽油費多少元？【變式20-1】科技改變生活，當前網絡銷售日益盛行，許多農商采用網上銷售的方式進行營銷，實現脫貧致富．小明把自家種的柚子放到網上銷售，計劃每天銷售100千克，但實際每天的銷售量與計劃銷售量相比有增減，超過計劃量記為正，不足計劃量記為負，下表是小王第一周柚子的銷售情況：星期一二三四五六日柚子銷售超過或不足計劃量情況（千克）+3?5?2+11?7+13+5(1)小王第一周銷售柚子最多的一天比最少的一天多銷售多少千克？(2)小王第一周實際銷售柚子的總量是多少千克？(3)若小王按8元/千克進行柚子銷售，平均運費為3元千克，則小王第一周銷售柚子一共收入多少元？【變式20-2】隨著手機的普及，微信的興起，許多人做起了“微商”，很多農產品也改變了原來的銷售模式，實行了網上銷售．剛大學畢業(yè)的小明把自家的冬棗產品也放到了網上實行包郵銷售，他原計劃每天賣100斤冬棗，但由于種種原因，實際每天的銷售量與計劃量相比有出入，下表是某周的銷售情況（超額記為正，不足記為負．單位：斤）：星期一二三四五六日與計劃量的差值+4?3?5+14?8+21?6(1)根據記錄的數據可知銷售量最多的一天比銷售量最少的一天多銷售______斤；(2)本周實際銷售總量是否達到了計劃數量？試說明理由；(3)若冬棗每斤按8元出售，每斤冬棗需要小明支付的平均運費是3元，那么小明本周銷售冬棗實際共得多少元？【變式20-3】某校初一年級兩個班的學生要到航天科普教育基地進行社會大課堂活動，兩班學生共104人，其中初一（1）班有40多人，不足50人，教育基地門票價格如下：原計劃兩班都以班為單位購票，則一共應付1136元，請回答下列問題：(1)初一（1）班有多少人？(2)你作為組織者如何購票最省線？比原計劃省多少錢？購票張數1?50張51～100張以上每張票的價格12元10元8元【變式20-4】有20筐白菜，以每筐25千克為標準，超過或不足的千克數分別用正、負數來表示，記錄如下：與標準質量的差值（單位：千克）?3?2?101.53筐數142328(1)20筐白菜中，最重的一筐比最輕的一筐重多少千克？(2)與標準重量比較，20筐白菜總計超過或不足多少千克？每筐白菜的平均質量是多少千克？(3)若白菜每千克售價2.61元，則出售這20筐白菜可賣多少元？（結果精確到十分位）

清單02有理數及其運算（20個考點梳理+題型解讀+提升訓練）

【清單01】正數和負數（1）概念正數：大于0的數叫做正數。負數：在正數前面加上負號“—”的數叫做負數。注：0既不是正數也不是負數，是正數和負數的分界線，是整數，自然數，有理數。（不是帶“—”號的數都是負數，而是在正數前加“—”的數。）（2）意義：在同一個問題上，用正數和負數表示具有相反意義的量?！厩鍐?2】有理數（1）概念整數：正整數、0、負整數統稱為整數。分數：正分數、負分數統稱分數。（有限小數與無限循環(huán)小數都是有理數。）注：正數和零統稱為非負數，負數和零統稱為非正數，正整數和零統稱為非負整數，負整數和零統稱為非正整數。（2）分類：兩種

【清單03】數軸（1）概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數軸。三要素：原點、正方向、單位長度（2）對應關系：數軸上的點和有理數是一一對應的?！厩鍐?4】相反數（1）概念代數：只有符號不同的兩個數叫做相反數。（0的相反數是0）幾何：在數軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數叫做相反數。（2）性質：若a與b互為相反數，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數。（注意：當“—”號的個數是偶數個時，結果取正號當“—”號的個數是奇數個時，結果取負號）【清單05】絕對值（1）幾何意義：一個數的數量大小叫作這個數的絕對值。

（3）代數符號意義：注：非負數的絕對值是它本身，非正數的絕對值是它的相反數。（4）性質：絕對值是a(a＞0)的數有2個，他們互為相反數。即±a。（5）非負性：任意一個有理數的絕對值都大于等于零，即|a|≥0。幾個非負數之和等于0，則每個非負數都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝0兩個負數比較大小時，絕對值大的反而小?！厩鍐?7】加法法則⑴同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾档膬蓚€數相加得0。⑶一個數同0相加，仍得這個數。【清單08】加法運算定律（1）加法交換律：兩數相加，交換加數的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結合律：在有理數加法中，三個數相加，先把前兩個數相加或者先把后兩個數相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）【清單09】減法法則減法法則：減去一個數，等于加上這個數的相反數。即a－b=a＋（﹣）b【清單10】乘法法則（1）兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。（2）任何數同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積為正數；負因數的個數是奇數時，積為負數，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數相乘，若其中有因數0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數是0?！厩鍐?1】乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數相乘，交換因數的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c?！厩鍐?2】倒數（1）定義：乘積為1的兩個數互為倒數。（2）性質：負數的倒數還是負數，正數的倒數是正數。注意：①0沒有倒數；②倒數等于它本身的數為±1.【清單13】除法法則（1）除以一個（不等于0）的數，等于乘這個數的倒數。（2）兩個數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數，都得0?！厩鍐?1】乘方法則運算（1）正數的任何次冪都是正數（2）負數的奇次冪是負數，負數的偶次冪是正數（3）0的任何正整數次冪都是0【清單01】混合運算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進行。（3）如有括號，先算括號內的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。【清單01】科學計數法1.科學記數法概念：把一個大于10的數表示成a×10n的形式（其中a是整數數位只有一位的數，n為正整數）。這種記數的方法叫做科學記數法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個n為數用科學記數法表示為a×10n－12.近似數的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數點后某位。（2）保留幾個有效數字注：對于較大的數取近似數時，結果一般用科學記數法來表示例如：256000（精確到萬位）的結果是2.6×1053.有效數字：從一個數的左邊第一個非0數字起，到末尾數字止，所有的數字都是這個數的有效數。注：（1）用科學記數法表示的近似數的有效數字時，只看乘號前面的數字。例如：3.0×104的有效數字是3。（2）帶有記數單位的近似數的有效數字，看記數單位前面的數字。例如：2.605萬的有效數字是2，6，0，5?！究键c題型一】正負數

【典例1】微信錢包收入200元時在微信賬單中顯示為+200，那么支出50元將顯示為（

）A．+50 B．?50 C．+200 D．?200【答案】B【分析】本題考查了正數和負數，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，根據在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示，即可解題．【詳解】解：∵收入200元顯示為+200，∴支出50元將顯示為?50，故選：B．【變式1-1】史料證明：追溯到兩千多年前，中國人已經開始使用負數，并應用到生產和生活中．在農業(yè)生產中，如果增產100kg記為+100kg，那么減產50kgA．?100kg B．+100kg C．?50kg【答案】C【分析】本題考查正數和負數，理解具有相反意義的量是解題的關鍵．正數和負數是一組具有相反意義的量，據此即可求得答案．【詳解】解：增產100kg記為+100kg，那么減產50kg故選：C．【變式1-2】中國是最早采用正、負數來表示相反意義的量的國家．如果收入200元記作+200元，那么虧損120元記作（

）A．+120元 B．?80元 C．?120元 D．+80元【答案】C【分析】本題考查了正負數，熟練掌握具有相反意義的量可以用正負數表示是解題的關鍵；根據“正負數是具有相反意義的兩個量，規(guī)定哪一個為正，則和它意義相反的量記為負”進行求解即可．【詳解】∵正、負數來表示相反意義的量，∴收入200元記作+200元，那么虧損120元記作?120元，故選：C．【變式1-3】如果風車順時針旋轉66°，記作+66°，那么逆時針旋轉78°，記作（

）A．?78° B．78° C．?12° D．12°【答案】A【分析】本題考查了正負數的意義，明確相反意義的量是解答本題的關鍵，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．正確審題明確正負的意義，即得答案．【詳解】如果風車順時針旋轉66°，記作+66°，那么逆時針旋轉78°，記作?78°．故選：A．【考點題型二】相反意義的量表示

【典例2】中國是最早使用正負數表示具有相反意義的量的國家，若向東走20米記作+20米，那么向西走30米記作米．【答案】?30【分析】本題考查了正數和負數，解題關鍵是理解“正”和“負”的相對性，明確什么是具有相反意義的量．根據具有相反意義的量的表示方法求解即可．【詳解】解：若向東走20米記作+20米，那么向西走30米記作?30米．故答案為：?30．【變式2-1】如圖，表中列出了國外幾個城市與北京的時差，其中帶正號的數表示同一時刻比北京時間早的時數，比如北京的時間是7：00時，東京時間為8：00．則當北京的時間為2024年1月28日9：00時，紐約的時間是．城市紐約巴黎東京芝加哥時差/時?13﹣7+1?14【答案】2024年1月27日20：00時【分析】本題主要考查正負數的實際運用，根據正數和負數的實際意義，結合表格信息即可求得答案．【詳解】解：當北京的時間為2024年1月28日9：00時，紐約的時間是2024年1月27日20：00時，故答案為：2024年1月27日20：00時．【變式2-2】如果?50元表示支出50元，那么+40元表示．【答案】收入40元【分析】根據正負數表示一對相反意義的量：支出為負，則收入為正，進行作答即可．【詳解】解：如果?50元表示支出50元，那么+40元表示收入40元；故答案為：收入40元．【變式2-3】中國是最早采用正負數表示相反意義量的國家，如果盈利100元記作+100元，那么虧損10元可記作元．【答案】?10【分析】本題考查了正數和負數的意義，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【詳解】解：盈利100元記作+100元，那么虧損10元可記作?10元故答案為：?10．【考點題型三】有理數的概念辨析

【典例3】?3.782（

）A．是負數，不是分數 B．不是分數，是有理數C．是負數，也是分數 D．是分數，不是有理數【答案】C【分析】根據負數、分數及有理數的定義進行判斷即可．【詳解】解：?3.782是小數，是有理數，是負數也是分數．故選：C．【點睛】本題考查有理數和正數和負數的知識點，解題的關鍵是掌握正負數，有理數的概念．【變式3-1】在?2，3.14，227，π，0.101001000……中，有理數的個數是（

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【答案】C【分析】根據有理數的定義，即可求解．【詳解】解：在?2，3.14，227，π，0.101001000……中，有理數有?2，3.14，227，有3個，π，0.101001000故選：C．【點睛】本題主要考查了有理數的定義，熟練掌握整數和分數統稱為有理數是解題的關鍵．【變式3-2】下列各數：0，?5.11，3.151151115，227，7π中，有理數有【答案】4【分析】本題考查有理數的概念，根據有理數是整數和分數的統稱逐個判斷即可．【詳解】解：所給的數中，0，?5.11，3.151151115，227故答案為：4．【變式3-3】在“?1，?0.3，+116，0，?2.7”這五個數中，負有理數是【答案】?1，?0.3，?2.7【分析】本題考查負有理數的知識點，負有理數是指小于零的有理數，包括負整數和負分數，根據負有理數的概念逐個判斷即可．【詳解】解：負有理數是?1，?0.3，?2.7．故答案為：?1，?0.3，?2.7．【考點題型四】有理數的分類

【典例4】把下列各數填在相應的大括號里：5，14，?3，?312，0，2010，?35，6.2正數：{

?}；負數：{

?}；非負整數：{

?}；整數：{

?}；分數：{

?}；負分數：{

?}．【答案】5，14，2010，6.2；?3，?312，?35，?1；5，0，2010；5，?3，0，2010，?35，?1；14，?31【分析】本題考查了正數、負數、非負整數、整數、分數、負分數的定義，根據定義直接求解即可，解題的關鍵是正確理解正數、負數、非負整數、整數、分數、負分數的定義．【詳解】正數：{5，14，2010，6.2?負數：{?3，?312，?35，?1非負整數：{5，0，2010?}；整數：{5，?3，0，2010，?35，?1?}；分數：{14，?312，6.2負分數：{?312故答案為：5，14，2010，6.2；?3，?312，?35，?1；5，0，2010；5，?3，0，2010，?35，?1；14，?31【變式4-1】請把下列各數填入它所屬于的集合的大括號里．1，0.0708，?700，?3.88，0，3.14，?723，正有理數集合：{

…}，負整數集合：{

…}，正分數集合：{

…}，非負整數集合：{

…}．【答案】見解析．【分析】本題考查了有理數的知識，注意整數和正數的區(qū)別，注意0是整數，但不是正數．根據有理數的分類填寫即可．【詳解】解：正有理數集合：{1，0.0708，3.14，0.23，負整數集合：{?700，…}，正分數集合：{0.0708，3.14，0.23，非負整數集合：{1，0，…}．故答案為：1，0.0708，3.14，0.23；?700；0.0708，3.14，【變式4-2】將有理數?2.5,0,21整數：{

…}；負數：{

…}；正分數：{

…}【答案】0，2023；?2.5，?35%；212【分析】本題考查了有理數的概念及分類，根據有理數的概念分類即可．【詳解】解：整數：0，2023；負數：?2.5，?35%正分數：212，故答案為：0，2023；?2.5，?35%；212

【考點題型五】有理數的大小比較【典例5】a，b兩數在數軸上的位置如圖所示，將a,b,?a,?b用“<”連接，正確的是（A．?b<?a<a<b B．?b<a<?a<bC．a<b<?a<?b D．a<?b<?a<b【答案】B【分析】本題考查利用數軸比較數的大小，先由數軸得到?1<a<0<1<b，再在數軸上準確找到?a，【詳解】解：由圖可知，?1<a<0<1<b，∴?b<?1，?a<1，∴?b<?1<a<0<?a<1<b，即?b<a<?a<b，故選：B．【變式5-1】在0、1、?12、?2四個數中，最小的數是（A．?2 B．?12 C．0【答案】A【分析】本題主要考查了尋找一組數據中最小的數．熟練掌握比較數的大小是解決問題的關鍵．把0、1、?12、?2四個數用“【詳解】把0、1、?12、?2四個數用“<”連接起來：∴最小的數是：?2．故選：A．【變式5-2】在??5，?0.8，0，|?6|A．??5 B．?0.8 C．0 D．【答案】B【分析】本題考查了有理數比較大小，正數大于0，0大于負數，兩個負數其絕對值大的反而小，負數都小于0是解題關鍵．根據正數大于0，0大于負數，兩個負數其絕對值大的反而小，可得答案．【詳解】解：??5故最小的數是?5．故選：B【變式5-3】比較大?。?2?(?6)；?123?65（填“>”“【答案】<<【分析】本題考查了有理數的大小比較、化簡多重符號、求絕對值，根據有理數的大小比較方法：正數都大于0，負數都小于0，正數都大于負數，兩個負數進行比較，絕對值大的反而小，比較即可得出答案．【詳解】解：∵?(?6)=6，∴?2<?(?6)，∵?123=?5∴?12故答案為：<，<．

【考點題型六】數軸上兩點之間的距離

【典例6】M點在數軸上表示?4，N點離M的距離是3，那么N點表示的數為（

）A．?1 B．?7 C．?1或?7 D．?1或1【答案】C【分析】本題考查了數軸，注意數軸上到一個點距離相等的點有兩個，要考慮全面．數軸上與?4距離為3的點有兩個，一個在?4左，一個在?4右，可得N點表示的數．【詳解】解：?4+3=?1，?4?3=?7，故選：C．【變式6-1】數軸上與原點距離是2的點有兩個，它們表示的數是（

）A．?2和0 B．2和0C．?2和2 D．?1和1【答案】C【分析】本題考查了數軸，根據數軸上與原點距離的定義即可，熟練掌握數軸上點的表示及幾何意義是解題的關鍵．【詳解】解：數軸上與原點距離是2的點有兩個，分別為?2和2，故選：C．【變式6-2】數軸上點P表示的數為?3，與點P距離為4個單位長度的點表示的數為．【答案】?7或1【分析】本題考查了數軸上兩點之間的距離，設該點表示的數為x，根據題意得?3?x=4【詳解】解：設該點表示的數為x，根據題意得：?3?x=4∴?3?x=4或?3?x=?4，解得：x=?7或x=1，故答案為：?7或1．【變式6-3】數軸上兩個點之間的距離是5，其中一個點表示的數為3，則另一個點表示的數為．【答案】8或?2/?2或8【分析】本題考查了數軸上兩點間的距離，熟練掌握數軸上兩點間的距離且結合題意進行分類討論是解題的關鍵．分兩種情況分別求解即可．【詳解】解：當另一個點在3的右邊時，此時另一點表示的數為3+5=8；當另一個點在3的左邊時，此時另一點表示的數為3?5=?2．故答案為：8或?2．【考點題型七】數軸上的動點問題

【典例7】已知數軸上兩點A，B對應的數分別為?1，3，點P為數軸上一動點，其對應的數為x．(1)若點P為AB的中點，則點P對應的數是．(2)數軸的原點右側有點P，使點P到點A，點B的距離之和為8．請你求出x的值．(3)現在點A，點B分別以每秒2個單位長度和每秒0.5個單位長度的速度同時向右運動，同時點P以每秒6個單位長度的速度從表示數1的點向左運動．當點A與點B之間的距離為3個單位長度時，直接寫出點P對應的數．【答案】(1)1(2)x的值是5(3)點P對應的數是?3或?27【分析】本題考查數軸上點表示的數及兩點間距離，解題的關鍵是掌握點運動后表示的數與運動前表示的數的關系．（1）根據點P為AB的中點列方程即可解得答案；（2）分兩種情況，當P在線段AB上時，由PA+PB=x??1+3?x=4≠8，知這種情況不存在；當P（3）設運動的時間是t秒，表示出運動后A表示的數是?1+2t，B表示的數是3+0.5t，P表示的數是1?6t，根據點A與點B之間的距離為3個單位長度得：?1+2t?3+0.5t=3【詳解】（1）解：∵A，B對應的數分別為?1，3，點P為AB的中點，∴3?x=x??1解得x=1，∴點P對應的數是1；（2）解：當P在線段AB上時，PA+PB=x?∴這種情況不存在；當P在B右側時，x??1解得x=5，答：x的值是5；（3）解：設運動的時間是t秒，則運動后A表示的數是?1+2t，B表示的數是3+0.5t，P表示的數是1?6t，根據題意得：?1+2t?解得t=23或當t=23時，P表示的數是當t=143時，P表示的數是答：點P對應的數是?3或?27．【變式7-1】如圖所示，點A、B、C、D在數軸上對應的數分別為a、b、c、d，其中a是最大的負整數，b、c滿足b?92+c?12

(1)a=____________；b=_____________；線段BC=____________；(2)若點A以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時點C以每秒5個單位長度的速度向左運動，設運動的時間為t秒，當A、C兩點之間的距離為11個單位長度時，求運動時間t的值；(3)若線段AB和CD同時開始向右運動，且線段AB的速度小于線段CD的速度．在點A和點C之間有一點M，始終滿足AM=CM，在點B和點D之間有一點N，始終滿足BN=DN，此時線段MN為定值嗎?若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．【答案】(1)a=?1，b=9，BC=3(2)運動時間為12秒或1秒(3)MN=【分析】本題主要考查了數軸上兩點之間的距離，數軸上動點問題，（1）根據題意和平方絕對值的非負性可求出a，b，c，用點B表示的數減去點A表示的數，即可求解；（2）運動t秒后點A表示的數為?1?3t，點B表示的數為12?5t，根據A、C兩點之間的距離為11個單位長度列式求解即可；（3）設運動時間為t秒，線段AB的速度為a，線段CD的速度為b(a<b)，根據題意表示出MN即可求解【詳解】（1）解：∵a是最大的負整數，∴a=?1；∵b?92∴b?9=0,c?12=0，解得b=9,c=12，∴BC=12?9=3；故答案為：?1，9，3；（2）解：由題意得：運動t秒后點A表示的數為?1?3t，點B表示的數為12?5t，∵A、C兩點之間的距離為11個單位長度，∴|?1?3t?12?5t∴?13+2t=11或?13+2t=?11，解得：t=12或t=1，∴運動時間為12秒或1秒；（3）解：線段MN為定值；設運動時間為t秒，線段AB的速度為a，線段CD的速度為b(a<b)，由（1）得：c=12，BC=3，∵BC=CD，∴d=15，則點A：?1+at，點B：9+at，點C：12+bt，點D：15+bt，∵點A和點C之間有一點M，始終滿足AM=CM，在點B和點D之間有一點N，始終滿足BN=DN，∴M:?1+at+12+bt2=∴MN=12+a+b【變式7-2】如圖，點A對應的有理數為a，點B對應的有理數為b，點C對應的有理數為c，且c=?2，點C向左移動3個單位長度到達點A，向右移動5個單位長度到達點B．

(1)a=，b=；(2)若將數軸折疊，使得點A與點B重合，求與點C重合的點表示的數；(3)若點P從點A開始以3個單位長度/秒的速度向左運動，同時，點Q從點B開始以6個單位長度/秒的速度向右運動，點M從點C開始以4個單位長度/秒的速度向右運動，設運動時間t秒，則7QM?2PM的值是否隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【答案】(1)?5，3(2)0(3)不改變，值是29【分析】（1）根據題意求解即可；（2）由題意可求得折疊點對應的數，再求點C對應的數即可；（3）分別表示出點P、點Q、點M運動后的數，再結合7QM?2PM進行求解即可．【詳解】（1）解：∵c=?2，點C向左移動3個單位長度到達點A，向右移動5個單位長度到達點B，∴點A表示的數為：a=?2?3=?5，點B表示的數為：b=?2+5=3，故答案為：?5，3；（2）解：∵將數軸折疊，使得點A與點B重合，∴折疊點對應的有理數為：?5+32∴點C到折疊點的距離為：?1??2∴與點C重合的點表示的數為：?1+1=0；（3）解：7QM?2PM的值不會隨著t的變化而變化，理由如下：∵點P從點A開始以3個單位長度/秒的速度向左運動，點Q從點B開始以6個單位長度/秒的速度向右運動，點M從點C開始以4個單位長度/秒的速度向右運動，∴運動后點P表示的數為：?5?3t，點Q表示的數為：3+6t，點M表示的數為：?2+4t，∴PM=?2+4t??5?3t=7t+3∴7QM?2PM=72t+5∴7QM?2PM的值不會隨著t的變化而變化，該值是29．【點睛】本題主要考查了用數軸上的點表示有理數、數軸上兩點之間的距離、數軸上的動點問題，讀懂題意，采用數形結合的思想解題，是解此題的關鍵．【考點題型八】倒數的概念和相反數的概念

【典例8】?2的相反數是（

）A．?12 B．12 C．【答案】D【分析】本題考查相反數的定義，根據只有符號不同的兩個數互為相反數求解即可．【詳解】解：?2的相反數是2，故選：D．【變式8-1】2024的倒數是（

）A．2024 B．?2024 C．12024 D．【答案】C【分析】本題考查了倒數，乘積是1的兩數互為倒數，據此解答即可．【詳解】解∶2024的倒數是12024故選∶C．【變式8-2】?57的相反數是，倒數是【答案】57【分析】本題主要考查了相反數和倒數，根據相反數的定義“只有符號不同的兩個數互為相反數”，倒數定義“乘積為1的兩個數互為倒數”，進行求解即可．熟練掌握相反數和倒數的定義，是解題的關鍵．【詳解】解：?57的相反數是57；?故答案為：57；?【考點題型九】相反數的性質運用

【典例9】設a與b互為相反數，則?13【答案】0【分析】本題考查了相反數的應用，根據題意可得a+b=0，代入即可求解．【詳解】解：∵a與b互為相反數∴a+b=0，∴?13(a+b)=故答案為：0．【變式9-1】若a、b互為相反數，c是最小的非負數，d是最小的正整數，(a+b)d+d?c=．【答案】1【分析】根據題意求得a與b的關系，c，d的值，代入代數式求值．【詳解】∵a，b互為相反數，∴a+b=0，∵c是最小的非負數，∴c=0，∵d是最小的正整數，∴d=1．∴(a+b)d+d?c=0+1?0=1．【點睛】本題主要考查互為相反數的定義，掌握相反數的定義是解題的關鍵．【變式9-2】已知a+4與2互為相反數，那么a=．【答案】?6【分析】根據相反數的定義求解即可．【詳解】解：∵a+4與2互為相反數，∴a+4+2=0，∴a=?6，故答案為：?6．【點睛】本題主要考查了相反數的定義，熟知互為相反數的兩個數和為零是解題的關鍵．【變式9-3】若m、n互為相反數，則|m?5+n|=．【答案】5【分析】根據互為相反數的兩個數的和為0，可得?5的絕對值，根據負數的絕對值是它的相反數，可得答案．【詳解】解：m、n互為相反數，|m?5+n|=|?5|=5，故答案為：5．【點睛】本題考查了絕對值，先算m+n的值，再算絕對值．【考點題型十】絕對值定義、絕對值的性質

【典例10】若a，b互為相反數，m的絕對值為1，則m2022+a+b的值是（A．?1 B．0或?2 C．0或?1 D．1【答案】D【分析】此題重在考查、相反數、絕對值的意義以及有理數的混合運算等知識點．正確計算是解題的關鍵；根據a，b互為相反數，可得a+b=0，m的絕對值為1，求出m的值，代入計算即可求解；【詳解】解：∵a，b互為相反數∴a+b=0∵m的絕對值為1m=±1∴m故選：D【變式10-1】?2024的絕對值是（）A．?12024 B．12024 C．2024【答案】C【分析】本題主要考查了求一個數的絕對值，根據正數和0的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數進行求解即可．【詳解】解：?2024的絕對值是，?2024=2024故選：C．【變式10-2】?2的絕對值是（

）A．?2 B．?12 C．2 【答案】C【分析】本題考查的是求一個數的絕對值，熟知負數的絕對值是它的相反數是解題的關鍵．【詳解】解：?2的絕對值是?2=2故選：C．【變式10-3】若m=6，則m的值是（

A．?6 B．6 C．16 D．?6【答案】D【分析】本題主要考查了絕對值的定義，根據正數和0的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數進行求解即可．【詳解】解：∵m=6∴m=±6，故選：D．【變式10-3】若x=7，則x=【答案】±7【分析】本題主要考查了絕對值的性質，根據若x=aa>0，則【詳解】解：∵x=7∴x=±7，故答案：±7．

【考點題型十一】化簡絕對值

【典例11】已知有理數a，b在數軸上的位置如圖所示，則化簡a+1?b?a的結果為（

A．2a?b+1 B．?b+1 C．?b?1 D．?2a?b?1【答案】C【分析】本題考查了數軸上數的表示特征，絕對值的性質．根據數軸上數的表示可知，左邊的數都小于右邊的數，判斷出a+1<0，【詳解】解：根據數軸上數的表示可知，a<?1<0<b<1，∴a+1<0，∴原式=?a?1?b+a=?1?b，故選：C．【變式11-1】若ab≠0，那么aaA．?2 B．0 C．1 D．2【答案】C【分析】本題考查了絕對值的意義，由ab≠0，可得：①a>0，b>0，②a<0，b<0，③a>0，b<0，④a<0，b>0；分別計算即可，采用分類討論的思想是解此題的關鍵．【詳解】解：∵ab≠0，∴有四種情況：①a>0，b>0，②a<0，b<0，③a>0，b<0，④a<0，b>0；①當a>0，b>0時，aa②當a<0，b<0時，aa③當a>0，b<0時，aa④當a<0，b>0時，aa綜上所述，aa+b故選：C．【變式11-2】有理數m、n在數軸上的對應點如圖所示，則下列各式子正確的是（

）A．m?n=m?nB．m?n=n?m C．n?m=n+m【答案】B【分析】本題考查了數軸的知識，先觀察數軸得出m<n<0，再根據絕對值的意義、有理數的大小比較法則，對四個答案依次分析即可．【詳解】由圖可知：m<n<0，∴n?m>0,m?n<0則m?n故選：B．【變式11-3】已知x為有理數，則x+5+x?3的最小值是【答案】8【分析】本題考查絕對值的幾何意義求含絕對值的代數式的最值，理解絕對值的幾何意義，分類討論求解即可得到答案，熟記絕對值的幾何意義是解決問題的關鍵．【詳解】解：x表示的點為數軸上的一個動點，由絕對值的幾何意義可知，x+5+x?3指x表示的點與?5表示的點的距離+x表示的點與當x≤?5時，如圖所示：x+5+x?3=?5?x當?5<x<3時，如圖所示：x+5+x?3=x+5當x≥3時，如圖所示：x+5+x?3=x+5綜上所述，x+5+x?3的最小值是為故答案為：8．

【考點題型十二】非負性的性質

【典例12】如果a+1+(b?2)2=0，則A．1 B．3 C．?1 D．?3【答案】A【分析】本題考查了絕對值及平方非負性的應用，由題意得a+1=0,【詳解】解：∵a+1≥0,(b?2)2∴a+1∴a=?1,b=2∴a+b=1故選：A【變式12-1】已知|3a?9|+4+b2=0，則a+b=【答案】?1【分析】本題考查了非負數的性質：有限個非負數的和為零，則每一個加數都為零．根據絕對值和平方的非負性可知3a?9=0，4+b=0，求出a、b的值代入即可得出答案．【詳解】解：∵|3a?9|+∴3a?9=0，4+b=0∴a=3，b=?4∴a+b=3+(?4)=?1故答案為：?1．【變式12-2】已知a?3+(4?b)2=0【答案】7【分析】本題考查非負性，代數式求值，根據非負性，求出a,b的值，進而求出代數式的值即可．【詳解】解：∵a?3+∴a?3=0,4?b=0，∴a=3,b=4，∴a+b=7；故答案為：7．【變式12-3】已知a+22與b?3互為相反數，則a?b=【答案】?5【分析】此題考查了平方和絕對值的非負性、非負數的性質、代數式的值等知識，根據a+22與b?3互為相反數得到a+22+【詳解】解：∵a+22與b?3∴a+22又∵a+22≥0∴a+2=0,b?3=0∴a=?2,b=3∴a?b=?2?3=?5，故答案為：?5【考點題型十三】有理數的加減運算【典例13】計算：(1)?4+(2)13【答案】(1)?18(2)2【分析】本題考查了有理數的加減混合運算．熟練掌握有理數的加減混合運算是解題的關鍵．（1）先去括號，然后進行加減運算即可；（2）先去括號，然后進行加減運算即可．【詳解】（1）解：?4=?4?6?13+5=?18；（2）解：1===2

【變式13-1】將?3?(+6)?(?5)+(?2)寫成省略加號的和的形式是（

）A．?3+6?5?2 B．?3?6+5?2C．?3?6?5?2 D．?3?6+5+2【答案】B【分析】本題主要考查了去括號法則：括號前面是“+”號，把括號和它前面的“+”號去掉，括號里各項都不改變正負號；括號前面是“?”號，把括號和它前面的“?”號去掉，括號里各項都改變正負號．根據減去一個數等于加上這個數的相反數，變?yōu)檫B加，加號和括號省略，即可．【詳解】解：?3?(+6)?(?5)+(?2)=?3?6+5?2，故選：B．【變式13-2】已知x=3，y=2，且x<y，則x+y的值為【答案】?1或?5【分析】本題考查了絕對值的定義．由絕對值的定義，求出x=±3，由y=±2，且x<y，求得x=?3，y=2或x=?3，y=?2，即可求出x+y的值．【詳解】解：∵x=3，∴x=±3，y=±2，∵x<y，∴x=?3，y=2或x=?3，y=?2，當x=?3，y=2時，x+y=?3+2=?1；當x=?3，y=?2時，x+y=?3?2=?5；故答案為：?1或?5．【變式13-3】(?8)+10+2+(?1)【答案】3【分析】本題考查了有理數的加法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．先將原式進行交換結合，再利用加法運算法則計算即可得到結果．【詳解】解：原式=?8?1【考點題型十四】有理數乘除法運算

【典例14】計算下列各題：(1)?24×(2)?81÷2【答案】(1)0(2)1【分析】（1）根據分配率進行計算即可求解；（2）先把除法轉化為乘法，再進行有理數的乘法運算即可求解．【詳解】（1）解：?24===0（2）解：?81==1．【點睛】本題考查了有理數的混合運算，熟知有理數的加減乘除運算法則是解題關鍵，注意在進行有理數的四則混合運算時，能用運算律的可以用運算律簡化運算．【變式14-1】計算：?1.5×【答案】3【分析】本題主要考查了有理數的乘除混合運算．根據有理數的乘除法“先將除法運算轉化成乘法運算并確定符號，再按順序計算”可以解答本題．【詳解】解：?1.5==3【變式14-2】計算：(1)?1255(2)?7【答案】(1)25(2)?【分析】（1）把除法轉化為乘法，利用乘法分配律簡便運算；（2）先算括號內，再算乘除，最后計算加法【詳解】（1）?125==125×=25+=251（2）原式=?=?=?=?=?1【點睛】本題考查有理數的混合運算，掌握運算順序是解決問題的關鍵，注意利用運算律簡便運算．【考點題型十五】有理數的乘方

【典例15】下列各組數中，數值相等的是（

）A．23和32 B．(?2)2和?22 C．2和|?2|【答案】C【分析】本題考查有理數的乘方運算和絕對值，根據有理數的運算法則即可求出答案．【詳解】解：A、23=8，B、(?2)2=4，C、2=|?2|，故C選項數值相等，符合題意；D、232=故選：C．【變式15-1】在??3，?32，??3，?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】考查了有理數的乘方、絕對值、相反數等知識，判斷一個數是正數還是負數，要把它化簡成最簡形式再判斷．先把各式化簡，然后根據負數的定義判斷即可．【詳解】解：??3=3，?32=9，∴負數有??3=?3，故選：B．【變式15-2】下面對有理數的大小關系判斷錯誤的是（

）A．35<23 B．+?5<?【答案】C【分析】本題主要考查了有理數的比較大小，有理數的乘方運算，解題的關鍵是掌握有理數的比較大小的法則．根據有理數大小比較的法則：①正數都大于0；②負數都小于0；③兩個負數絕對值大的反而小進行分析即可．【詳解】解：A、∵35=9又∵915∴35B、∵+?5=?5，∴+?5C、∵?56=又∵56∴?5D、∵?22=?4∴?2故選：C．【考點題型十六】有理數混合運算

【典例16】計算：(1)?23×25?6×25+18×25+25(2)?1【答案】(1)?250(2)22【分析】（1）根據逆用乘法分配律進行計算即可求解；（2）根據有理數的四則混合運算進行計算即可求解．【詳解】（1）解：原式=25×(?23?6+18+1)=25×(?10)=?250；（2）解：原式==4+18=22．【點睛】本題考查了有理數的混合運算，掌握有理數的運算法則以及運算律是解題的關鍵．【變式16-1】計算：(1)26?27×(2)?【答案】(1)?6(2)23【分析】本題考查的是含乘方的有理數的混合運算，掌握運算順序是解本題的關鍵；（1）先按照分配律計算乘法運算，再計算括號內的加減運算，最后合并即可；（2）先計算乘方，再計算乘除，最后計算加減運算即可．【詳解】（1）解：26?27×=26?=26?=26?32=?6；（2）解：?=?49+2×9+6÷=?49+18+6×9=?49+18+54=23．【變式16-2】計算：(1)?9(2)?【答案】(1)?3；(2)0．【分析】本題考查了有理數的混合運算，絕對值的意義，有理數的乘方等知識，掌握有理數的混合運算法則是解題的關鍵．（1）先算絕對值，有理數的乘方，再根據乘法分配律和有理數的混合運算法則計算即可；（2）先算絕對值，有理數的乘方，再根據有理數的混合運算法則計算即可；【詳解】（1）解：原式=9÷3+=3+6?8?4=?3；（2）解：原式=?1?=?1+2?1=0．【變式16-3】計算：(1)16÷(2)?12+3×【答案】(1)?3(2)0【分析】本題考查有理數的混合運算．根據有理數的混合運算法則進行計算是解題的關鍵．（1）先計算乘方，再計算乘除，然后計算加減，即可求解；（2）先計算有理數的乘方和括號內的，再計算乘法，然后計算加減，即可求解．【詳解】（1）解：16÷=16÷=?2?2+1=?3；（2）解：?12+3×=?1+32=?1+==0．【變式16-4】計算：(1)?13??22(2)16(3)?2(4)?1【答案】(1)?19(2)?1(3)1(4)2【分析】本題主要考查了含乘方的有理數混合計算，有理數的加減計算，有理數乘法分配律：（1）根據有理數加減計算法則求解即可；（2）先計算乘方，再計算括號內的減法，最后計算乘方即可；（3）先計算乘方，再計算乘除法，最后計算加減法即可；（4）先利用乘法分配律去括號，然后計算加減法即可．【詳解】（1）解：?13?=?13+22?28=?19；（2）解：1===?1；（3）解：?=?4?9×=?4?1+4×=?4?1+6=1；（4）解：?=?=?4+14?9?=2【考點題型十七】算“24”點

【典例17】根據“二十四點”游戲的規(guī)則，用僅含有加、減、乘、除及括號的運算式（每個數字只能用一次），使12，?12，3，?1的運算結果等于24：（只要寫出一個算式即可）【答案】3×【分析】根據“二十四點”游戲的規(guī)則列算式，即可得到答案．【詳解】解：由題意得：3×?12故答案為：3×?12【點睛】本題考查了有理數的混合運算，熟練掌握相關運算法則是解題關鍵．【變式17-1】“24點的規(guī)則是四個數用且只用一次進行加、減、乘、除四則運算，使結果等24”．現在有四個有理數7，?2，3，?4，運用上述規(guī)則列出算式=24．【答案】?2+3?7【分析】由“24點”游戲規(guī)則，根據7，?2，3，?4，列出算式?2+3?7×?4，利用有理數的混合運算法則計算，其結果為【詳解】解：∵?2+3?7∴按上述規(guī)則寫出的算式為：?2+3?7×故答案為：?2+3?7×【點睛】本題考查了有理數的混合運算的應用，有理數的混合運算首先弄清運算順序，先乘方，再乘除，最后算加減，有括號先算括號里邊，同級運算從左到右依次進行計算，然后利用各種運算法則計算．【變式17-2】有一種“24點”游戲的規(guī)則：用4個整數進行有理數運算（可用括號和乘方）列出一個計算結果為24的算式，現有數2，﹣3，4，5，請列出“24點”的算式：（寫出一個算式即可）．【答案】-2×（-3-4-5）=24【分析】寫一個算式，可以用加減乘除，乘方，括號，使最后結果為24．【詳解】解：-2×（-3-4-5）=-2×[（-3）+（-4）+（-5）]=-2×（-12）=24．故答案為：-2×（-3-4-5）=24．【點睛】本題考查了有理數的混合運算，考核學生的計算能力，注意運算順序．【變式17-3】小明和同學們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據牌面上的數字進行混合運算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數字只能用一次，并使得運算結果等于24．(1)小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個結果等于24的算式；(2)請你抽取任意數字不相同的4張撲克牌，并列出一個結果等于24的算式．【答案】(1)5?3×2×6=24(2)見解析【分析】（1）根據題意將其進行有理數的混合運算得到24即可；（2）假設一組數字，再進行計算即可．【詳解】（1）由題意得：5?3×2×6=24（2）由題意得，假設抽取的卡牌上的數字為：2、3、4、6，則2×6+3×4=24．（答案不唯一）【點睛】本題考查了有理數的混合運算的應用，靈活運用所學知識求解是解決本題的關鍵．【考點題型十八】科學計數法

【典例18】2024年國慶檔全國電影票房為21.04億元，觀影人次為5209萬，國產影片票房為20.17億元，占比為95.87%，其中數據20.17億用科學記數法表示是（

A．20.17×108 B．2.017×109 C．【答案】B【分析】本題主要考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，【詳解】解：20.17億即2017000000，2017000000=2.017×10故選：B．【變式18-1】我國的北斗衛(wèi)星導航系統中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米．將數21500000用科學記數法表示為（）A．2.15×107 B．0.215×109 C．【答案】A【分析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數，表示時關鍵要正確確定【詳解】解：21500000=2.15×10故選：A．【變式18-2】2021年12月3日中老鐵路全線開通運營，全長1035000米，將1035000米用科學記數法表示應為（

）A．10.35×105米 B．C．0.1035×107米 D．【答案】B【分析】科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n為整數．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正數；當原數的絕對值<1時，【詳解】解：將1035000用科學記數法表示應為1.035×10故選：B．【變式18-3】2021年是中國共產黨百年華誕，在中國共產黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利，現行標準下9899萬農村貧困人口全部脫貧，832個貧困縣全部摘帽，128000個貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，數據128000用科學記數法表為．【答案】1.28×【分析】此題考查科學記數法的表示方法．科學記數法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤a<10，n為整數，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同．當原數絕對值≥10時，n是正整數；當原數的絕對值【詳解】解：128000=1.28×10故答案為：1.28×【考點題型十九】近似數的表示【典例19】用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.05（精確到百分位）C．0.5（精確到十分位） D．0.0502（精確到0.0001）【答案】C【分析】本題考查四舍五入的近似法則，根據四舍五入近似的法則判斷：對于精確到的數位的后一位四舍五入，是解決問題的關鍵．【詳解】A.0.05019精確到0.1約為0.1，說法正確，不符合題意；B.0.05019精確到百分位約為0.05，說法正確，不符合題意；C.0.05019精確到十分位約為0.1，原說法錯誤，符合題意；D.0.05019精確到0.0001約為0.0502，說法正確，不符合題意；故選：C．【變式19-1】用四舍五入法得到的近似數2.003萬，精確到（

）A．千分位 B．萬位 C．十位 D．百位【答案】C【分析】本題考查近似數的精確度求解；熟練掌握近似數的精確度是解題的關鍵；根據近似數精確度求解即可；【詳解】解：2.003萬=20030即精確到了十位；故選：C【變式19-2】有理數5.555精確到百分位的近似數為．【答案】5.56【分析】本題考查近似數：一個近似數四舍五入到哪一位，就說這個數的精確度在哪一位，把近似數精確度百分位，即按照四舍五入的方法把千分位上的數處理即可得到答案．掌握“利用四舍五入的方法確定近似數”是解本題的關鍵．【詳解】解：有理數5.555精確到百分位的近似數為5.56．故答案為：5