新高中數(shù)學多選題專項訓練100（附答案）

新高中數(shù)學多選題專項訓練100附答案

一、數(shù)列多選題

1.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列、兔子數(shù)列，是數(shù)學家列昂多?斐波那契于1202年提

出的數(shù)列.斐波那契數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,21此數(shù)列從第3項開始，每一

項都等于前兩項之和，記該數(shù)列為歸（叫，貝久/（明的通項公式為（）

B.F（n+1）=F（n）+F（n-l）,n>2且F（1）=1,F（2）=1

答案：BC

【分析】

根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式，再驗證即可；

【詳解】

解：斐波那契數(shù)列為1,1,2,3,5,8,13,21,……，

顯然，，，，，所以且，即B滿足條件；

由，

所以

所以數(shù)列

解析：BC

【分析】

根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出數(shù)列的通項公式，再驗證即可；

【詳解】

解：斐波那契數(shù)列為1，1,2,3,5,8,13,21,......,

顯然網(wǎng)1）=1,-2）=1,F（3）=F（1）+F（2）=2,F（4）=F（2）+F（3）=3,

F（w+1）=+—l）,w>2,所以F（w+1）=+2且

-1）=1，尸（2）=1,即B滿足條件；

由F（n+1）=F（n）+F（n-l）,n>2?

所以廠（〃+1）-三^爪耳=與叵尸伍）一15尸（“一1）

所以數(shù)列卜5+1）-匕白/⑺］是以為首項，為公比的等比數(shù)列,

〔2J22

所以F（〃+l）-、^尸⑺=

1-75

所以尸（〃+1）—二~一⑺11

所以左耳：一下石尸/「I'

（22（2）

b—___________W_________

令”，則%=牛6“+1,

〔2)-

所以6用鼻二三三）

102"10

所以以土史為首項，避二3為公比的等比數(shù)歹!I，

I10J102

所以么二磬+（中）（餐尸,

用"

彳6k［Ei+fi-Ml

即c滿足條件；

故選：BC

【點睛】

考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項公式，數(shù)列遞推公式的應用，本題運算量較大，難度較大，要

求由較高的邏輯思維能力，屬于中檔題.

2.已知數(shù)列｛%｝的前"項和為S“（S,尸0）,且滿足4+4S〃TS“=05N2）,q=；,則

下列說法錯誤的是（）

A.數(shù)列｛q｝的前n項和為S,=4〃B.數(shù)列｛4｝的通項公式為?！?4.：+i）

C.數(shù)列｛4｝為遞增數(shù)列D.數(shù)列為遞增數(shù)列

3”

答案：ABC

【分析】

數(shù)列的前項和為，且滿足，，可得：，化為：，利用等差數(shù)列的通項公式可

得，，時，，進而求出.

【詳解】

數(shù)列的前項和為，且滿足，，

，，化為：，

，數(shù)列是等差數(shù)列，公差為4,

」.，可得

解析：ABC

【分析】

數(shù)列｛叫的前〃項和為S.(S“WO),且滿足4+4S〃TS“=0("22),%=；,可得：

111

5“一5,1+45._]5,=0,化為：----=4,利用等差數(shù)列的通項公式可得不，

111

a=cc==

S〃，〃之2時，n^n~^n-\~T(V\~~A~i八，進而求出

【詳解】

數(shù)列｛4｝的前幾項和為S〃(s〃wO),且滿足?！?4515“=0("22),4=；,

11,

—S“T+4S,IS〃=0,化為：---=4,

%1

數(shù)列J,是等差數(shù)列，公差為4,

.?—=4+4(〃-1)=4"，可得s.」，

，，4"

,__111

；.〃22時，an=Scn-Scn-l=~,--J7--n―77,

4n4(幾一1)

!(〃=1)

4

an=\1，

4n(n-l)

對選項逐一進行分析可得，A,B,C三個選項錯誤，D選項正確.

故選：ABC.

【點睛】

11,

本題考查數(shù)列遞推式，解題關鍵是將已知遞推式變形為不一b=4,進而求得其它性

質(zhì)，考查邏輯思維能力和運算能力，屬于常考題

3.等差數(shù)列｛q,｝的前〃項和為S“，若4〉0,公差dwO,則()

A.若S5〉Sg,則幾>0B.若S5=Sg,則跖是S“中最大的項

C.若其AS7,則邑〉、D.若SGAS7則Ss>S6.

答案BC

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的前項和性質(zhì)判斷.

【詳解】

A錯:;B對:對稱軸為7；

C對：，又，；

D錯：，但不能得出是否為負，因此不一定有.

故選：BC.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列

解析：BC

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的前幾項和性質(zhì)判斷.

【詳解】

A錯：S5>S9=>a6+a7+Og+a9<0+a14<0=>S15<0；B對：S”對稱軸為

n=7；

C對：S6>S7=>a7<0,又q>0,=4>J<0=>a8<?7<0S7>S8；

D錯:S6>S7=>a7<0,但不能得出每是否為負，因此不一定有$6.

故選：BC.

【點睛】

關鍵點點睛：本題考查等差數(shù)列的前幾項和性質(zhì)，(1)S“是關于九的二次函數(shù)，可以利

用二次函數(shù)性質(zhì)得最值；(2)S.=S,i+a〃，可由4的正負確定S”與的大?。?/p>

(3)S'=因此可由4+%的正負確定S"的正負.

4.等差數(shù)列｛4｝的前n項和記為S“，若q〉0,跖=S17，則()

A.d<QB.tz12>0

C.sn<S13D.當且僅當S〃<0時，〃226

答案：AB

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及可分析出結果.

【詳解】

因為等差數(shù)列中，

所以，

又，

所以，

所以，，故AB正確，C錯誤；

因為，故D錯誤，

故選：AB

【點睛】

關鍵點睛：本題突破口在于由

解析：AB

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及s7=S17可分析出結果.

【詳解】

因為等差數(shù)列中邑=5",

所以《+的+K+%6+%7=5（。］,+/3）=0，

又心〉0,

所以《2>0,&<0,

所以d<0,sn<Sl2,故AB正確，c錯誤；

因為525=25（%；45）=2543<0,故D錯誤，

故選：AB

【點睛】

關鍵點睛：本題突破口在于由跖=5"得到+。13=。，結合4〉。，進而得到

?12>0,?13<0,考查學生邏輯推理能力.

5.｛4｝

設是等差數(shù)列，S”是其前〃項的和，且其（毛，S6^S,>S8,則下列結論正確

的是（）

A.d>QB.%=0

$6S7

C.S9>S5D.與均為S"的最大值

答案：BD

【分析】

設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，設等差數(shù)列的公差為，依次分析選項：

是等差數(shù)列，若，貝IJ,故B正確；

又由得，則有，故A錯誤；

而C選項，，即，可得，

解析：BD

【分析】

設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,依次分析選項即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,依次分析選項：

｛4｝是等差數(shù)列，若56=跖，則S7—S6=%=0,故B正確；

又由S5<S6得S5=4〉0,則有d=%—。6<0,故A錯誤；

而C選項，s9>S5,即4+%+。8+。9>0，可得2（%+/）>0,

又由。7=0且d<0，則。8<0，必有%+。8<0，顯然C選項是錯誤的.

S5<S6,$6=$7〉$8，；?$6與S7均為S“的最大值，故。正確；

故選：BD.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列以及前幾項和的性質(zhì)，需熟記公式，屬于基礎題.

6.（多選題）在數(shù)列｛%｝中，若。；—。3=?。╳>2,neN*，。為常數(shù)），則稱

｛4｝為“等方差數(shù)列”.下列對“等方差數(shù)列”的判斷正確的是（）

A.若｛4｝是等差數(shù)列，則｛4：｝是等方差數(shù)列

B.［（-1）"｝是等方差數(shù)列

C.若｛%｝是等方差數(shù)列，則｛他）（keN*，左為常數(shù)）也是等方差數(shù)列

D.若｛4｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列

答案：BCD

【分析】

根據(jù)定義以及舉特殊數(shù)列來判斷各選項中結論的正誤.

【詳解】

對于A選項，取，則不是常數(shù)，則不是等方差數(shù)列，A選項中的結論錯誤；

對于B選項，為常數(shù)，則是等方差數(shù)列，B選項中的結論正

解析：BCD

【分析】

根據(jù)定義以及舉特殊數(shù)列來判斷各選項中結論的正誤.

【詳解】

對于A選項，取4=〃，則

a：+］-a：=（〃+1）4-ri'=［（“+1）2_/］.［（“+1）2+”2］=（2〃+1）（2〃2+2〃+l）不是常

數(shù)，則｛d｝不是等方差數(shù)列，A選項中的結論錯誤；

對于B選項，［（—1廣I）”］、：!—1=0為常數(shù)，則［（-1）］是等方差數(shù)列，B選項

中的結論正確；

對于C選項，若｛%｝是等方差數(shù)列，則存在常數(shù)peR,使得。3一4="，則數(shù)列

｛%為等差數(shù)列，所以4"+1）一%,=S，則數(shù)列｛他,｝（keN*，左為常數(shù)）也是等方

差數(shù)列，C選項中的結論正確；

對于D選項，若數(shù)列｛。“｝為等差數(shù)列，設其公差為d,則存在meR,使得

an=dn+m,

則心1一=（風+i—/）（為+i+為）=d（2血+2m+d）=2d2rl+（2加+d）d,

由于數(shù)列｛4｝也為等方差數(shù)列，所以，存在實數(shù)。，使得。;+1-%=夕

2儲=0

則2d2〃+（2m+d）d=p對任意的〃eN*恒成立，則＜得/?=d=。，

（2〃z+d）d=p

此時，數(shù)列｛%｝為常數(shù)列，D選項正確.故選BCD.

【點睛】

本題考查數(shù)列中的新定義，解題時要充分利用題中的定義進行判斷，也可以結合特殊數(shù)列

來判斷命題不成立，考查邏輯推理能力，屬于中等題.

7.定義““="+2&++2〃4為數(shù)列｛4｝的“優(yōu)值”?已知某數(shù)列｛%｝的"優(yōu)

值"%=2",前n項和為S",則（）

A.數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列B.數(shù)列｛%,｝為等比數(shù)列

C.—L=-lqD.邑，S4,成等差數(shù)列

20202

答案：AC

【分析】

由題意可知，即，則時，，可求解出，易知是等差數(shù)列，則A正確，然后利用

等差數(shù)列的前n項和公式求出，判斷C,D的正誤.

【詳解】

解：由，

得，

所以時，，

得時，，

即時，，

當時，由

解析：AC

【分析】

n1

由題意可知=囚+2%+_+2〃％=2",即q+2g++2-an=n-2",則

n

時，2?&=小2"—5—1）2-=e+l）-2"T,可求解出易知｛%｝是等差數(shù)

列，則A正確，然后利用等差數(shù)列的前n項和公式求出S〃，判斷C,D的正誤.

【詳解】

ci.+2。，++2"%”,

解：由““二-----Z------------=2”,

n

得q+2a2++2"?=",2",①

所以〃N2時，4+2/++2"-24_]=5一I）?"一,②

得〃22時，2"T4=九.2"一（九一1）2T=（九+1）?X-l,

即2時，+

當〃=1時，由①知q=2,滿足

所以數(shù)列｛%｝是首項為2,公差為1的等差數(shù)列，故A正確，B錯,

所以"=史刊，所以名也="”，故c正確.

"220202

S2=5,S4=14,S6=27,故。錯，

故選：AC.

【點睛】

本題考查數(shù)列的新定義問題，考查數(shù)列通項公式的求解及前0項和的求解，難度一般.

8.數(shù)列｛4｝滿足4+1=十]，％=1,則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)列J'的前”項和S“=〃2

C.數(shù)列｛4｝的通項公式為4=2〃-1D.數(shù)列｛。"｝為遞減數(shù)列

答案：ABD

【分析】

首項根據(jù)得到，從而得到是以首項為，公差為的等差數(shù)列，再依次判斷選項即

可.

【詳解】

對選項A,因為，，

所以，即

所以是以首項為，公差為的等差數(shù)列，故A正確.

對選項B,由A知：

解析:ABD

【分析】

a111c[1

首項根據(jù)為+1=丁'，％=1得到--------=2,從而得到4一是以首項為1,公差為

24+1%Iana

2的等差數(shù)列，再依次判斷選項即可.

【詳解】

對選項A,因為4+1=c〃],4=1,

24+1

12a+1-I11c

所以---=-------=2+—，即---------=2

4+1anan4+1a”

所以|上是以首項為1,公差為2的等差數(shù)列，故A正確.

對選項B,由A知：—=l+2(tt-1)=277-1

an

數(shù)列的前。項和s=_D=〃2,故B正確.

EJ2

11

對選項C,因為一=2〃-1,所以2=-----,故C錯誤.

%2n-l

對選項D,因為4=5匕，所以數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，故D正確.

故選：ABD

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和前n項和，同時考查了遞推公式，屬于中檔

題.

9.記S“為等差數(shù)列｛4｝的前〃項和.已知65=35,？=11，則()

A.?！?4〃-5B.?！?2〃+3

2

C.S“=2n-3nD.Sn=rr+4n

答案：AC

【分析】

由求出，再由可得公差為，從而可求得其通項公式和前項和公式

【詳解】

由題可知，，即，所以等差數(shù)列的公差，

所以，.

故選：AC.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列，考查運算求解能力.

解析：AC

【分析】

由1=35求出生=7,再由％=11可得公差為〃=。4一。3=4,從而可求得其通項公式和

前幾項和公式

【詳解】

由題可知，S5=5%=35,即/=7,所以等差數(shù)列｛%｝的公差〃=%-%=4，

所以%=%+（〃—4”=4〃-5,S“=（4〃；1）“=2.2_3〃.

故選：AC.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列，考查運算求解能力.

10.下列命題正確的是（）

A.給出數(shù)列的有限項就可以唯一確定這個數(shù)列的通項公式

B.若等差數(shù)列｛4｝的公差d>0,則｛4｝是遞增數(shù)列

C.若。，b,c成等差數(shù)列，則可能成等差數(shù)列

abc

D.若數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，則數(shù)列｛4+24+J也是等差數(shù)列

答案：BCD

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項的正誤.

【詳解】

A選項：給出數(shù)列的有限項不一定可以確定通項公式；

B選項：由等差數(shù)列性質(zhì)知，必是遞增數(shù)列；

C選項：時，是等差數(shù)列，而a=1,

解析：BCD

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可判斷選項的正誤.

【詳解】

入選項：給出數(shù)列的有限項不一定可以確定通項公式；

B選項：由等差數(shù)列性質(zhì)知d>0,｛q｝必是遞增數(shù)列；

C選項：〃=人=。=1時，工='=1=1是等差數(shù)列，而0=1,b=2,c=3時不成立；

abc

。選項：數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列公差為d,所以

an+2an+l=%+（“一l）d+24+2nd=+（3〃-l）d也是等差數(shù)列；

故選：BCD

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)判斷選項的正誤，屬于基礎題.

11.設公差不為。的等差數(shù)列｛%,｝的前"項和為S“，若57=18,則下列各式的值為0

的是（）

答案：BD

【分析】

由得，利用可知不正確；；根據(jù)可知正確；根據(jù)可知不正確；根據(jù)可知正確.

【詳解】

因為，所以，所以，

因為公差，所以，故不正確；

,故正確；

,故不正確；

,故正確.

故選：BD.

解析：BD

【分析】

由Su=得48=0，利用。17=%8一』=一〃/0可知4不正確；；根據(jù)535=3548可

知3正確；根據(jù)-％9=-2dwo可知。不正確；根據(jù)S19-5]6=3。18=0可知。正確.

【詳解】

因為工7=18，所以18-517=0,所以。18=0，

因為公差dwO,所以47=48-1=一〃/0，故A不正確；

?35（6+%5）35x2a,?一八,,丁山

S35=\~^^=35418=0，故3正確；

%7-％9=-2dw0,故。不正確；

S19—S16=47+%8+q9=348=0，故￡）正確.

故選：BD.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列的求和公式，考查了等差數(shù)列的下標性質(zhì)，屬于基礎題.

12.設等差數(shù)列｛q,｝的前幾項和為s“，公差為d,且滿足q〉0,S“=S18,則對S“描

述正確的有（）

A.S也是唯一最小值B.S15是最小值

C.叢9=0D.S15是最大值

答案：CD

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列中可得數(shù)列的公差，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知是最大值，同時

可得，進而得到，即可得答案；

【詳解】

設，則點在拋物線上，

拋物線的開口向下，對稱軸為，

且為的最大值，

解析：CD

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列中百1=句8可得數(shù)列的公差d<0,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知是最大

值，同時可得％5=0,進而得到邑9=。，即可得答案；

【詳解】

Su=S[8,??t/<0,

設S.=An-+Bn,則點在拋物線y=Ax2+Bx上，

拋物線的開口向下，對稱軸為x=14.5,

、5=，4且為S”的最大值，

Su=Sl8=>+a13++a18—0=>7a[5—0,

.%=29（%”=29%=0,

故選：CD.

【點睛】

本題考查利用二次函數(shù)的性質(zhì)研究等差數(shù)列的前幾項和的性質(zhì)，考查函數(shù)與方程思想、轉

化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運算求解能力.

二、等差數(shù)列多選題

13.侈選）在數(shù)列｛4｝中，若a：—a；i=p（nN2,neN*,p為常數(shù)）,則稱｛4｝為"等方

差數(shù)列"?下歹！I對"等方差數(shù)歹11"的判斷正確的是（）

A.若｛&｝是等差數(shù)列，則｛4｝是等方差數(shù)列

B.[（-1）”）是等方差數(shù)列

C.｛2〃｝是等方差數(shù)列.

D.若｛4｝既是等方差數(shù)列，又是等差數(shù)列，則該數(shù)列為常數(shù)列

解析：BD

【分析】

根據(jù)等差數(shù)列和等方差數(shù)列定義，結合特殊反例對選項逐一判斷即可.

【詳解】

對于A,若｛怎｝是等差數(shù)列，如q=〃，則4一。3="2-（〃—1）2=2"—1不是常數(shù)，故

｛%,｝不是等方差數(shù)列，故A錯誤；

對于B,數(shù)列[(—1)“:中，/一4_1=[(一1)"]2-[(一1)"1]2=0是常數(shù)，...｛(_1)”｝是等方

差數(shù)列，故B正確；

對于C,數(shù)列｛2"｝中，4―4_]=(2"丫—(2"T)2=3X4"T不是常數(shù)，...｛2"｝不是等方差

數(shù)列，故C錯誤；

對于D,｛4｝是等差數(shù)列，.???！èDq.i=d,則設?！?而+加，｛4｝是等方差數(shù)

歹!J,二.d-a：1=(%+4_1)2=(而+機+曲+1+/加)〃=24/2幾+(2/+4/)4/是常數(shù)，

故2d2=0,故d=O,所以(2m+d)d=。，4―。3=。是常數(shù)，故D正確.

故選：BD.

【點睛】

關鍵點睛：本題考查了數(shù)列的新定義問題和等差數(shù)列的定義，解題的關鍵是正確理解等差

數(shù)列和等方差數(shù)列定義，利用定義進行判斷.

14.若不等式(_1)%<2+對于任意正整數(shù)n恒成立,則實數(shù)a的可能取值為

n

()

A.-2B.-1C.1D.2

解析：ABC

【分析】

根據(jù)不等式(-l)"a<2+d;對于任意正整數(shù)n恒成立，即當n為奇數(shù)時有-。<2+-

nn

恒成立，當"為偶數(shù)時有a<2-工恒成立，分別計算，即可得解.

n

【詳解】

根據(jù)不等式(-l)"a<2+色上對于任意正整數(shù)n恒成立，

n

當”為奇數(shù)時有：-。<2+!恒成立，

n

由2+工遞減，且2<2+工<3,

nn

所以一Q?2,即2,

當n為偶數(shù)時有：a<2-工恒成立，

n

131

由2——第增，且一V2——<2,

n2n

3

所以〃〈不，

2

3

綜上可得：—2<。<一,

2

故選：ABC.

【點睛】

本題考查了不等式的恒成立問題，考查了分類討論思想，有一定的計算量，屬于中當題.

15.已知數(shù)列｛%,｝的前4項為2,0,2,0,則該數(shù)列的通項公式可能為()

0,"為奇數(shù)

A.aB.%=(-1尸+1

n2,〃為偶數(shù)

D.an=cos(n-1)4+1

解析：BD

【分析】

根據(jù)選項求出數(shù)列的前4項，逐一判斷即可.

【詳解】

解：因為數(shù)列｛%｝的前4項為2,0,2,0,

選項4不符合題設；

選項B：q=(—1)°+1=2,久=(—I)1+1=0,

%=(—1)2+1=2,%=(—1)3+1=0,符合題設；

冗

選項C：,Oj=2sin—=2,a2=2sin^=0,

37r

%=2sin—=-2不符合題設；

2

選項。：q=cos0+l=2,4=cos〃+l=0,

%=cos2〃+l=2,%=cos3〃+l=0,符合題設.

故選：BD.

【點睛】

本題考查數(shù)列的通項公式的問題，考查了基本運算求解能力，屬于基礎題.

16.設等差數(shù)列｛q｝的前幾項和為S”.若邑=0,%=6,則()

3:廠-9n

S,=rr_3n

C.?！?3〃-6

解析：BC

【分析】

由已知條件列方程組，求出公差和首項，從而可求出通項公式和前幾項和公式

【詳解】

解：設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,

因為星=0,%=6，

3?

3%+——Xd=0q=-3

所以12,解得<

d—3

q+3d=6

所以a==a1+(n—V)d——3+3(n—1)—3“—6,

cn(n-l)3?(n-l)3n2-9n

S?=na,H------a=-3n-\--------=-------，

n7222

故選：BC

17.已知等差數(shù)列｛4｝的前"項和為S“，且4>0,25+%=0,貝U()

A.。8<°B.當且僅當。=7時，s,取得最大值

C.54=59D.滿足5“〉0的"的最大值為12

解析：ACD

【分析】

71Q7

由題可得。]=-6d,d<0,—,求出。8=d<。可判斷A；利用二次函

數(shù)的性質(zhì)可判斷B；求出凡,怎可判斷C；令S“=：〃2—號〃>0,解出即可判斷D.

【詳解】

設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,則2%+qi=2(%+4d)+q+10d=0,解得q=—6d,

、C‘cuen(n-l]d213d

.d0>且S"="q+------d——n-----n,

對于A,/=6+7d=-6Q+7d=d<0,故A正確;

7-IQ71Q

對于B,S=-n2-----〃的對稱軸為〃=—,開口向下，故〃=6或7時，S”取得最大

n"222

值，故B錯誤；

",，d13d,……「d13d,、….

對于C,L=—x16----x4=O8Jd—26d=—18d,S=—x8O11-----x9——18d，故

22g22

S'=S9,故C正確；

11QI

對于D,令S.=—/-----n>0,解得0<〃<13,故"的最大值為12,故D正確.

22

故選：ACD.

【點睛】

方法點睛：由于等差數(shù)列Sn=〃q+“(,T)d=1~"2+,—是關于〃的二次函數(shù)，

當為與d異號時，S“在對稱軸或離對稱軸最近的正整數(shù)時取最值；當為與d同號時，Sn

在〃=1取最值.

18.已知數(shù)列｛q｝：1,1,2,3,5,…其中從第三項起，每個數(shù)等于它前面兩個數(shù)的和,

記s”為數(shù)列｛q｝的前〃項和，則下列結論正確的是（）

A.S6=a&B.S7=33

C.%+%+“5++<^2021="2022D.%+/%++。2020=^2020^2021

解析：BCD

【分析】

根據(jù)題意寫出“8，56,S,,從而判斷A,B的正誤；寫出遞推關系，對遞推關系進行適

當?shù)淖冃?，利用累加法即可判斷C,D的正誤.

【詳解】

對A,tz8=21,S6=20,故A不正確；

對B,Sy=S6+13=33,故B正確；

對C,由q=42，%^^4d?,CI5。6—。4，…，”2021—^2022—“2020'可得

+%+%"*------)■^2021=^2022，故C正確；

對D,該數(shù)列總有?！?2=。"1+〃〃，則=%（%-4）二出/一%卬,

%二%(“4—%)二名。4—^2018=^2018(^2019—^2017)~^2018^2019—^2017^2018y

a2019="2019”2020—^2019^2018,°2020=a2020^2021—a2020^2019,

故a；+藥+a；H------F422020=a2020^2021,故D正確.

故選：BCD

【點睛】

關鍵點睛：解答本題的關鍵是對CD的判斷，即要善于利用an+2=an+l+an對所給式子進

行變形.

19.設｛4｝是等差數(shù)列，S“是其前九項的和，且55<七，S6=S7>S&,則下列結論正

確的是（）

A.d>QB.%=0

C.S9>S5D.S6與S7均為S”的最大值

解析：BD

【分析】

設等差數(shù)列｛&｝的公差為d,依次分析選項即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，設等差數(shù)列｛4｝的公差為d,依次分析選項：

｛4｝是等差數(shù)列，若其二跖，則$7-56=%=0,故B正確；

又由55<其得$6—S5=4>0,則有〃=%—%,<0,故A錯誤；

而C選項，s9>S5,即&+%+/+49>0，可得2（%+線）>0,

又由。7=0且d<0，則。8<0，必有%+。8<0，顯然c選項是錯誤的.

VS5<S6,A=S7〉S8，；.S6與S7均為S”的最大值，故。正確；

故選：BD.

【點睛】

本題考查了等差數(shù)列以及前/?項和的性質(zhì)，需熟記公式，屬于基礎題.

20.已知無窮等差數(shù)列｛與｝的前n項和為Sn,$6<S7,且跖〉工，則()

A.在數(shù)列｛4｝中，見最大

B.在數(shù)列｛。,｝中，生或為最大

C.S3-Sl0

D.當〃28時，<0

解析：AD

【分析】

利用等差數(shù)列的通項公式可以求%>0，。8<0,即可求公差d<0,然后根據(jù)等差數(shù)列

的性質(zhì)判斷四個選項是否正確.

【詳解】

因為56Vs7,所以邑-56=%>0,

因為§7>S8,所以Sg-S7=口8<°，

所以等差數(shù)列｛4｝公差△=q-％<0,

所以｛q,｝是遞減數(shù)列，

故為最大，選項A正確；選項3不正確；

S10—S3=。7+。8++。10=7。7〉。,

所以反片，。，故選項C不正確；

當時，an<a8<0,即a”<0,故選項D正確；

故選：AD

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項和Sn,屬于基礎題.

21.等差數(shù)列｛%｝的首項4〉0,設其前九項和為｛SJ,且久=品，貝|()

A.d>QB.d<Qc.。8=°D.S.的最大值是工

或者$9

解析：BD

【分析】

由'=與=品-56=0,即5%=0,進而可得答案.

【詳解】

解：S]]—Sf=%+4+%+Go+q]=5%=0,

因為q>0

所以的=0,d<0,4二名最大，

故選：BD.

【點睛】

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)，解題關鍵是等差數(shù)列性質(zhì)的應用，屬于中檔題.

22.數(shù)列｛4｝滿足。用=島9=1,

則下列說法正確的是（）

A.數(shù)列是等差數(shù)列B.數(shù)歹人—>的前n項和S,1

C.數(shù)列｛4｝的通項公式為=2〃-1D.數(shù)列｛4｝為遞減數(shù)列

解析：ABD

【分析】

a.11c1

首項根據(jù)a”+i尸n，?，4"］得到一一=2,從而得到一是以首項為1,公差為

2%+14+14

2的等差數(shù)列，再依次判斷選項即可.

【詳解】

對選項A,因為4+1=「"［，4=1，

X+1

111c

所以---a^=2+1即--------=2

4+1a?a?4+1an

所以,L是以首項為1,公差為2的等差數(shù)列，故A正確.

對選項B,由A知：—=1+2（M-1）=2n-1

an

數(shù)列<J->的前n項和S="（1+2〃D=〃2,故B正確.

2

11

對選項C,因為一=2〃-1,所以4=-----,故c錯誤.

a

n2n—1

對選項D,因為所以數(shù)列｛%｝為遞減數(shù)列，故D正確.

故選：ABD

【點睛】

本題主要考查等差數(shù)列的通項公式和前n項和前n項和，同時考查了遞推公式，屬于中檔

23.在下列四個式子確定數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列的條件是（）

A.an^kn+b（左，Z?為常數(shù)，〃eN*）;B.an+2-an^d（d為常數(shù)，

nGN*）;

C.an+2-2??+1+??=GN*）；D.｛4｝的前幾項和S“=〃2+〃+l

"eN*）.

解析：AC

【分析】

直接利用等差數(shù)列的定義性質(zhì)判斷數(shù)列是否為等差數(shù)列.

【詳解】

A選項中6（左，。為常數(shù)，〃eN*），數(shù)列｛4｝的關系式符合一次函數(shù)的形

式，所以是等差數(shù)列，故正確，

B選項中a.+2-d（d為常數(shù)，neN*），不符合從第二項起，相鄰項的差為同一個

常數(shù)，故錯誤；

C選項中%+2—2a"+|+4=0（〃wN*）,對于數(shù)列｛a,｝符合等差中項的形式，所以是等差

數(shù)列，故正確；

D選項｛a“｝的前”項和=〃2+〃+1（〃eN*），不符合S”=4?+3”,所以｛4｝不

為等差數(shù)列.故錯誤.

故選：AC

【點睛】

本題主要考查了等差數(shù)列的定義的應用，如何去判斷數(shù)列為等差數(shù)列，主要考查學生的運

算能力和轉換能力及思維能力，屬于基礎題型.

24.無窮數(shù)列｛4｝的前幾項和=a〃2+加+c,其中a,b,。為實數(shù)，則（）

A.｛a,｝可能為等差數(shù)列

B.｛4｝可能為等比數(shù)列

C.｛4｝中一定存在連續(xù)三項構成等差數(shù)列

D.｛4｝中一定存在連續(xù)三項構成等比數(shù)列

解析：ABC

【分析】

由SR=a“2+/W+C可求得4的表達式，利用定義判定得出答案.

【詳解】

當〃=1時，ax=S1=a+b+c.

2

當〃之2時，an=Sn-Sn_｛=an+bn+c-a^n-i^=2an-a+b.

當〃=1時，上式=〃+△.

所以若｛%｝是等差數(shù)列，則a+〃=a+〃+c7.c=O.

〃=c=0

所以當c=0時，｛4｝是等差數(shù)列，＜_^0時是等比數(shù)列；當cwO時，｛4｝從第二

項開始是等差數(shù)列.

故選：ABC

【點睛】

本題只要考查等差數(shù)列前。項和S.與通項公式明的關系，利用S.求通項公式，屬于基礎

題.

三、等比數(shù)列多選題25.題目文件丟失！

26.題目文件丟失！

27.已知數(shù)列｛%｝是公比為q的等比數(shù)列，4=4+4,若數(shù)列抄,｝有連續(xù)4項在集合

｛-50,-20,22,40,85｝中，則公比q的值可以是（）

3243

A.——B.——C.——D.——

4332

解析：BD

【分析】

先分析得到數(shù)列｛%』有連續(xù)四項在集合｛-54,—24,18,36,81｝中，再求等比數(shù)列的公

比.

【詳解】

b”=%,+4

■-a?=bn-4

「數(shù)列｛么｝有連續(xù)四項在集合｛-50,-20,22,40,85｝中

二數(shù)列｛4｝有連續(xù)四項在集合｛-54,—24,18,36,81｝中

又.數(shù)列｛4｝是公比為9的等比數(shù)列，

二在集合｛-54,—24,18,36,81｝中，數(shù)列｛%,｝的連續(xù)四項只能是：—24,36,

—54,81或81,—54,36,-24.

363--242

“耳［或

故選：BD

28.計算機病毒危害很大，一直是計算機學家研究的對象.當計算機內(nèi)某文件被病毒感染

后，該病毒文件就不斷地感染其他未被感染文件.計算機學家們研究的一個數(shù)字為計算機病

毒傳染指數(shù)就，即一個病毒文件在一分鐘內(nèi)平均所傳染的文件數(shù)，某計算機病毒的傳染指

數(shù)C。=2,若一臺計算機有105個可能被感染的文件，如果該臺計算機有一半以上文件被感

染，則該計算機將處于癱疾狀態(tài).該計算機現(xiàn)只有一個病毒文件，如果未經(jīng)防毒和殺毒處

理，則下列說法中正確的是（）

A.在第3分鐘內(nèi)，該計算機新感染了18個文件

B.經(jīng)過5分鐘，該計算機共有243個病毒文件

C.10分鐘后，該計算機處于癱瘓狀態(tài)

D.該計算機癱瘓前，每分鐘內(nèi)新被感染的文件數(shù)成公比為2的等比數(shù)列

解析：ABC

【分析】

設第九+1分鐘之內(nèi)新感染的文件數(shù)為%+1，前九分鐘內(nèi)新感染的病毒文件數(shù)之和為S“，則

%+i=2（S,,+l）,且q=2,可得4=2X3"T,即可判斷四個選項的正誤.

【詳解】

設第九+1分鐘之內(nèi)新感染的文件數(shù)為為向，前九分鐘內(nèi)新感染的病毒文件數(shù)之和為S“，則

%+i=2（S4+1）,且％=2,

由4+i=2（S〃+l）可得%=2（S“_j+l）,兩式相減得：a〃+]—4=2a〃，

所以“2=3”,,，所以每分鐘內(nèi)新感染的病毒構成以q=2為首項，3為公比的等比數(shù)列，

所以?！?2X3”T,

在第3分鐘內(nèi)，該計算機新感染了%=2X33T=18個文件，故選項A正確；

經(jīng)過5分鐘,該計算機共有1+q+%+%+/+%=1+2[7）=35=243個病毒文

件，故選項B正確；

10分鐘后，計算機感染病毒的總數(shù)為

2x（l-310）1

1+a1+a[+L+1]?！狪d-----------3>—x10，

1—32

所以計算機處于癱瘓狀態(tài)，故選項C正確；

該計算機癱瘓前，每分鐘內(nèi)新被感染的文件數(shù)成公比為3的等比數(shù)列，故選項D不正確；

故選：ABC

【點睛】

關鍵點點睛：解決本題的關鍵是讀懂題意，得出第八+1分鐘之內(nèi)新感染的文件數(shù)為%+i與

前九分鐘內(nèi)新感染的病毒文件數(shù)之和為S“之間的遞推關系為4+]=2（5"+1）,從而求得

an-

29.對任意等比數(shù)列{%},下列說法一定正確的是（）

A.%,a3,生成等比數(shù)列B.a2,%，與成等比數(shù)列

C.。2，。4，%成等比數(shù)列D.。3，。6，成等比數(shù)列

解析：AD

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的定義判斷.

【詳解】

設｛a“｝的公比是q,則a“=qqH-l

A.—=q=4,%,%，與成等比數(shù)列，正確；

CL3

B,-^q,-=q3,在時，兩者不相等，錯誤；

a2%

C.M=q?,—=94,在dwi時，兩者不相等，錯誤；

a2a4

D."=/=&，aa%成等比數(shù)列，正確.

%a6

故選：AD.

【點睛】

結論點睛：本題考查等比數(shù)列的通項公式.

數(shù)列｛4｝是等比數(shù)列，則由數(shù)列｛q｝根據(jù)一定的規(guī)律生成的子數(shù)列仍然是等比數(shù)列：

如奇數(shù)項4,%，%，％，?或偶數(shù)項。2，。4，。6，，仍是等比數(shù)列，

實質(zhì)上只要匕,修，匕，?，/，??是正整數(shù)且成等差數(shù)列，則%，歿2，4,，曳，-仍是等比

數(shù)列.

30.設S”為等比數(shù)列｛%,｝的前幾項和，滿足q=3,且％,-2%,4%成等差數(shù)列，則

下列結論正確的是（）

B.3Sn=6+an

4使得J4=%，則5的最小值為：

c.若數(shù)列｛4｝中存在兩項與,

D.若加恒成立，則利―/的最小值為U

3〃6

解析：ABD

【分析】

根據(jù)等差中項列式求出4=-；,進而求出等比數(shù)列的通項和前〃項和，可知A,B正確；

P=1、p=2〃二4